50 bài toán về nguyên hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải A. LÝ THUYẾT.

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ - Hệ thức lượng giác cơ bản:

2 2 2 2

2 2

1 1

sin x cos x 1; 1 cot x; 1 tan x

sin x cos x

+ = = + = +

- Công thức cộng:

( )

sin a b sin a.cos b sin b cosb cos a b cos a.cos b sin a.cos b

tan a tan b tan a b

1 tan a.tan b

 = 

 =

 = 

- Công thức nhân đôi:

2 2 2 2

sin 2a 2sin a cos a

cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a

 =

 = − = − = −



- Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2a 2 1 cos 2a

sin a ;cos a

2 2

− +

= =

- Công thức nhân ba:

3 3

sin 3a 3sin a 4sin a cos3a 4cos a 3cos a

 = −



= −



- Công thức biến đổi tích thành tổng:

( ) ( )

cos a.cos b 1 cos a b cos a b

= 2 + + − 

( ) ( )

sin.a sin b 1 cos a b cos a b

= 2 − − + 

( ) ( )

sin a.cos b 1 sin a b sin a b

= 2 + + − 

(2)

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

( ) ( )

1

2

I sin xdx cos x C

I sin ax dx 1cos ax C a

= = − +



( ) ( )

3

4

I cos xdx sin x C

I cos ax dx 1sin ax C a

= = +



2 5

2 6

1 cos 2x x sin 2x

I sin xdx dx C

2 2 4

1 cos 2x x sin 2x

I cos xdx dx C

2 2 4

= = − = − +

= = + = + +

 

( ) ( )

7 2

8 2

I dx tan x C

cos x

dx 1

I tan ax C

cos ax a

= = +



( )

( ) ( )

9 2

10 2

I dx cot x C

sin ax

dx 1

I cot ax C

sin ax a

= = − +



11

12

sin xdx

I tan xdx ln cos x C

cos x cos xdx

I cot xdx ln sin x C

sin x

= = = − +

= = = +

 

2

13 2

2

14 2

I tan xdx 1 1 dx tan x x C

cos x

I cot xdx 1 1 dx cot x x C

sin x

 

= =  −  = − +

 

= =  −  = − +

 

 

(3)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Dạng



sin x.cos xdx^m ⁿ trong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Lũy thừa của cosx là số lẻ, n=2k 1+ thì

đổi biến u=sin x Lũy thừa của sin x là số lẻ, m 2k 1= + thì đổi biến u cosx=

( )

^k

m n m 2

sin x.cos xdx= sin x cos x cos xdx

 

( )

^k

( )

m 2

sin x 1 sin x . sin x 'dx

=



−

( )

^k

m 2

u 1 u du

=



−

( )

^k

m n n 2

sin x.cos xdx= cos x sin x sin xdx

 

( )

^k

( )

n 2

cos x. 1 cos x cos x 'dx

= −



−

(

^{1 u}²

)

^k^{.u du}ⁿ

= −



−

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của sin x;cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng



sin ax.cos bxdx^;



sin ax.sin bxdx^;



cos ax.cos bxdx^;



cos ax.sin bxdx^. Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

( ) ( )

cos ax.cos bxdx 1 cos a b x cos a b x dx 2

sin ax.sin bxdx 1 cos a b x cos a b x dx 2

=  + + − 

= −  + − − 

 

( ) ( )

sin ax.cos bxdx 1 sin a b x sin a b x dx 2

cos ax.sin bxdx 1 sin a b x sin a b x dx 2

=  + + − 

=  + − − 

 

3. Dạng

m n

tan x cos x dx



trong đó m, n là các số nguyên.

Lũy thừa của cosx là số nguyên dương chẵn, n=2k thì ta đổi biến u=tan x

Lũy thừa của tan x là số nguyên dương lẻ, m 2k 1= + thì ta đổi biến u ¹

cos x

=

m m

n 2k 2 2

tan x tan x 1

dx . dx

cos x = cos ⁻ cos x

 

^{Khi đó}^{u '}⁼ _{cos x}^{sin x}² ^{, do đó}

(4)

( ) ( )

m 2 k 1

tan x

tan x 'dx cos x ⁻

=



( )

^{k 1}

( )

m 2

tan x. 1 tan x ⁻ .d tan x

=



+

( )

^{k 1}

m 2

u . 1 u ⁻ du

=



+

m 2k

n n 1

tan x tan x tan x

dx . dx

cos x = cos ⁻ x cos x

 

k 2

n 1 2

1 1

sin x cos x

. dx

cos ⁻ x cos x

 − 

 

 

=



(

^u² ^{1 u}

)

^k ^{n 1}⁻^.du

=



−

4. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng

2 2 2 2 2 2

x +a , x −a , a −x , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

Biểu thức có chứa Đổi biến

2 2

x +a _x _{a tan t, t} _;

2 2

  

=  −  Hoặc ^x⁼ ^{a cot, t}^

( )

^0;^

2 2

x −a ^x ^a ^{, t} ^; ^{\ 0}

 

sin t 2 2

  

=  −  Hoặc ^x ^a ^{, t}

 

^0; ^\

cos t 2

 

=    

 

2 2

a −x _x _{a sin t, t} _;

2 2

  

=  −  Hoặc ^x⁼ ^{a cos t, t}^

 

^0;^

a x a x

+  −

− + ^x⁼^{a cos 2t}

(

^x⁻^a

)(

^b⁻^x

)

^x ^a

(

^b ^{a sin t, t}

)

² ^0;

2

 

= + −    

(5)

VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1: Tìm I=



sin x.cos xdx⁵ ² ^. Lời giải

Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến

( )

u=cos xdu = cos x 'dx Ta có:

5 2 4 2

I=



sin x.cos xdx=



sin x.cos x.sinxdx

( ) ( )

2 2 2

(sin x) .cos x.(cosx)'dx 1 cos x .cos x. cos 'dx

= −

= − −



Thay ^u⁼^{cos x,du}⁼

(

^{cos x 'dx}

)

^{ta được:}

(

²

)

² ²

(

⁴ ² ⁶

)

I= −



1 u− .u du=



2u −u −u du

5 3 7

2u u u

5 3 7 C

= − − +

Thay ngược trở lại, ta có:

5 3 7 5 3 7

2u u u 2cos x cos x cos x

I C C

5 3 7 5 3 7

= − − + = − − + .

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a.

6 4

tan x

A dx

cos x

=



^b.^B⁼



_{cos x}^{tan x}⁵⁷ ^dx

Lời giải

a. Do lũy thừa của cosx là số nguyên dương chẵn nên đặt u = tanx. Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có:

( )

6 6 2 1

4

tan x

A du u . 1 u du

cos x

=



=



+

7 9

6 8 u u

(u u )du C

7 9

=



+ = + + ^.

Thay u = tan x trở lại, ta có:

(6)

7 9 7 9

u u tan x tan x

A C C

7 9 7 9

= + + = + +

b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt u ¹ cos x

= , do vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ở trên ta có

( ) ( )

5 2 2 6 4 2 6

7

tan x

B dx u 1 .u du u 2u 1 .u du

cos x

=



=



− =



− +

(

^u¹⁰ ^2u⁸ ^u⁶

)

^du ^u¹¹ ^2u⁹ ^u⁷ ^C

11 9 7

=



− + = − + +

Thay u ¹ cos x

= trở lại, ta có:

11 9 7

u 2u u 1 2 1

C C

11 − 9 + 7 + =11cos x −9cos x +7 cos x + .

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn ^{f ' x}

( )

= +^x sin x sin 2x. Biết rằng f(0) = 2. Giá trị của f

2

 

   là:

A.

2 2

f 2 4 3

 

  = +

   B.

2 8

f 2 4 3

 

  = +

  

C.

2 2

f 2 2 3

 

  = +

   D.

2 8

f 2 2 3

 

  = +

   Lời giải:

Ta có: ^{f ' x}

( )

= +^x sin x sin 2x= +x 2sin x.cos x² Khi đó: ^{f x}

( )

^{f ' x dx}

( )

^x² 2sin x cos xdx²

=



= 2 +



( )

2 2 3

x 2 x 2sin x

2 sin xd sin x C

2 2 3

= +



= + +

Lại có: ^{f 0}

( )

^C ² ^f ² ⁸

2 4 3

 

= =     = + .

(7)

Chọn B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm công thức sai:

A.



e dx^x =e^x +C ^B.



^{a dx}^x ⁼ _{ln a}^a^x ⁺^{C 0}

(

^{ }^a ¹

)

C.



cos xdx=sin x+C ^D.



^{sin xdx}⁼^{cos x}⁺^C

Câu 2. Tìm nguyên hàm của: y=sin x.sin 7x với F 0 2

  =

   là:

A. ^{sin 6x} ^{sin 8x}

12 + 16 B. ^{sin 6x} ^{sin 8x}

12 16

− +

C. ^{sin 6x} ^{sin 8x}

12 − 16 D. ^{sin 6x} ^{sin 8x}

12 16

 

− + 

Câu 3. ₂ ¹ ₂ dx sin x.cos x



^bằng:

A. 2 tan 2x+C B. -4 cot 2x+C C. 4 cot 2x+C D. 2 cot 2x+C Câu 4.

 (

^{sin 2x}⁻^cos2x

)

²^dx^bằng:

A.

(

^{sin 2x} ^cos2x

)

³

3 C

− + B.

1 1 2

cos2x sin 2x C

2 2

− +  +

 

 

C. 1

x sin 2x C

−2 + D. 1

x cos4x C

+ 4 +

Câu 5. cos²^2xdx



3 ^bằng:

A. ³cos⁴ ^2x C

2 3 + B. ¹cos⁴ ^2x C

2 3 +

C. ^x ³sin^4x C

2 + 8 3 + D. ^x ⁴cos^4x C

2 − 3 3 +

(8)

Câu 6. Hàm số F(x)=ln sin x−3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

A. f (x) ^{cos x} ^{3sin x} sin x 3cos x

= +

− B. f (x)=cos x+3sin x

C. f (x) ^{cos x} ^{3sin x} sin x 3cos x

− −

= − D. f (x) ^{sin x} ^{3cos x}

cos x 3sin x

= −

+ Câu 7. Tìm nguyên hàm:



(1 sin x) dx+ ²

A. ²x 2cos x ¹sin 2x C

3 + −4 + B. 3 1

x 2cos x sin 2x C

2 − + 4 +

C. ²x 2cos 2x ¹sin 2x C

3 − −4 + D. 3 1

x 2cos x sin 2x C

2 − − 4 +

Câu 8. Cho f (x)= ^4m +sin x²

 . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0)

= 1 và F

4 8

 

  =

  

A. m ⁴

= −3 B. 3

m= −4 C. 3

m= −4 D. 3 m= 4 Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số y=sin 3x

A. ¹cos3x

−3 B. −3cos3x C. 3cos3x D. ¹cos3x

3 Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f (x)= tan x³ là:

A. Đáp án khác B. tan x 1² +

C.

tan x4

4 +C D. 1 ²

tan x ln cos x C

2 + +

Câu 11. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A. sin 2x và cos x² B. tan x² và ¹₂ ₂ cos x C. e^x và e⁻^x D. sin 2 x và sin x²

(9)

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số f (x) ⁴₂ cos x

= là:

A. ^4x₂

sin x B. 4 tan x

C. 4+tan x D. 4x ⁴tan x³

+ 3 Câu 13. Họ nguyên hàm của f(x) = sin³x

A.

cos x3

cos x C

− 3 + B.

cos x3

cos x C

− + 3 + C. cos x ¹ c

cos x

− + + D.

sin x4

4 +C Câu 14. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^{2sin x}⁺^{cos x}^là:

A. 2cos x−sinx+C B. 2cos x+sinx+C C. −2cos x−sinx+C D. −2cos x+sinx+C Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^{sin 2x}^là

A. ^{F x}

( )

¹^{cos 2x} ^C

= −2 + B. ^{F x}

( )

⁼^{cos 2x}⁺^C

C. ^{F x}

( )

¹^{cos 2x} ^C

= 2 + D. ^{F x}

( )

^{= −}^{cos 2x}⁺^C

Câu 16. Tính



cos5x.cos3xdx A. ¹sin 8x ¹sin 2x C

8 + 2 + B. 1 1

sin8x sin 2x

2 +2

C. ¹ sin 8x ¹sin 2x

16 + 4 D. ¹sin 8x ¹sin 2x

16 4

− −

Câu 17.



cos8x.sin xdx^bằng:

A. ¹sin 8x.cosx C

8 + B. ¹sin 8x.cosx C

−8 +

C. ¹ cos7x ¹ cos9x C

14 −18 + D. ¹ cos9x ¹ cos7x C

18 −14 +

(10)

Câu 18.



sin 2xdx² ^bằng:

A. ¹x ¹sin 4x C

2 +8 + B. ¹sin 2x³ C

3 +

C. ¹x ¹sin 4x C

2 −8 + D. 1 1

x sin 4x C

2 − 4 +

Câu 19. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= +x sin x thỏa mãn F(0) 19= là:

A.

x2

F(x) cosx

= − + 2 B.

x2

F(x) cosx 2

= − + 2 + C.

x2

F(x) cosx 20

= + 2 + D.

x2

F(x) cosx 20

= − + 2 + Câu 20. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2x ¹₂

sin x

= + thỏa mãn F 1

4

  = −

   là:

A.

2

F(x) cotx x2

4

= − + − B.

2

F(x) cotx x2

16

= − + 

C. F(x)= −cotx+x² D.

2

F(x) cotx x2

16

= − + −

Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

( )

=cos3x.cos x. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

bằng 0 khi x=0 là hàm số nào trong các hàm số sau ?

A. 3sin 3x+sin x B. ^{sin 4x} ^{sin 2x}

8 + 4

C. sin 4x sin 2x

2 + 4 D. ^{cos 4x} ^{cos 2x}

8 + 4

Câu 22. ^{3cos x} dx 2+sin x



^bằng:

A. ^{3ln 2}

(

⁺^{sin x}

)

⁺^C ^B.⁻^{3ln 2}⁺^{sin x} ⁺^C

C.

( )

²

3sin x

C 2 sin x +

+ D.

(

^{3sin x}

)

^C

ln 2 sin x

− +

+ Câu 23. Nguyên hàm của ^{sin x} ^{cos x}

sin x cos x +

− là:

(11)

A. ln sin x+cos x +C B. ¹ C ln sin x cos x +

−

C. ln sin x−cos x +C D. ¹ C

sin x cos x + +

Câu 24. ^{cot x}₂ dx sin x



^bằng:

A.

cot x2

2 C

− + B.

cot x2

2 +C C.

tan x2

2 C

− + D.

tan x2

2 +C Câu 25. ^{sin x}₅ dx

cos x



^bằng:

A. ¹₄ C 4cos x

− + B. ¹ ₄ C

4cos x + C. ¹₄ C

4sin x + D. ¹₄ C

4sin x

− +

Câu 26.



sin x.cosxdx⁵ ^bằng:

A.

sin x6

6 +C B.

sin x6

6 C

− + C.

cos x6

6 C

− + D.

cos x6

6 +C Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼^{e cos x}⁻^x ^là

A. ^{F x}

( )

¹^e ^x

(

^{sin x} ^{cos x}

)

^C

2

= − − + B. ^{F x}

( )

¹^e ^x

(

^{sin x} ^{cos x}

)

^C

2

= − + +

C. ^{F x}

( )

¹^e ^x

(

^{sin x} ^{cos x}

)

^C

2

= − − + + D. ^{F x}

( )

¹^e ^x

(

^{sin x} ^{cos x}

)

^C

2

= − − − +

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số: ^I⁼

 (

^x⁻^{2 sin 3xdx}

)

^là:

A. F(x) =

(

^x ^{2 cos3x}

)

1

sin 3x C

3 9

− − + +

B. F(x) =

(

^x ^{2 cos3x}

)

1

sin 3x C

3 9

− + +

C. F(x) =

(

^x ^{2 cos3x}

)

1

sin 3x C

3 9

− + + +

D. F(x) =

(

^x ^{2 cos3x}

)

1

sin 3x C

3 3

− − + +

(12)

Câu 29. Biểu thức nào sau đây bằng với



x sin xdx² ^?

A. −2x cos x−



x cos xdx² ^B.⁻^{x cos x}² ⁺



^{2x cos xdx}

C. −x cos x² −



2x cos xdx ^D.⁻^{2x cos x}⁺



^{x cos xdx}²

Câu 30. Đổi biến x = 2sint tích phân

2

I dx

4 x

=



− trở thành

A.



dt ^B.



^tdt ^C.



¹_t^dt ^D.



^dt

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D C B D C A D D A D D B B D A

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C C C D D B A C A B A A A B A