Chuyên Đề Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Có Đáp Án

CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM

I. Định nghĩa:

Giả sử

y  f x  

liên tục trên khoảng

 a b , 

, khi đó hàm số

y F x   

là một nguyên hàm của hàm số

 

y  f x

khi và chỉ khi F x

'( ) 

f x

( )

_,

  x  a b , 

_.

Nếu

y F x   

là một nguyên hàm của hàm số

y  f x  

_thì

 f ( x )dx F( x ) C  

_,

C 

 II. Vi phân:

Giả sử

y  f x  

xác định trên khoảng

 a b , 

và có đạo hàm tại điểm

x   a b , 

_.

Vi phân của hàm số

y  f x  

_là:

dy  f x dx '   .

Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

 

^

 

^{  }

 

^

 

^

 

^

 



^{f x dx F x c F x f x dF x f x dx}

III. Các tính chất của nguyên hàm

1. Nếu

f x  

là hàm số có nguyên hàm thì :

 

^{f x dx}

  

^{  f x}

 

_; ^d

 

^{f x dx}

  

^{ f x dx}

 

2. Nếu

F x  

có đạo hàm thì:



^{d F x}

   

^{F x}

 

^C

3. Phép cộng, phép trừ:



^_^{f x}

 

^{g x dx}

 

^_ ^



^{f x dx}

 

^



^{g x dx}

 

4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:



kf x dx k f x dx

 

^

  

, k  0 IV. Phương pháp tính nguyên hàm:

1. Phương pháp đổi biến số:

Nếu



f u du F u C

( )  ( ) 

_và ^{u u x}

 ( )

có đạo hàm liên tục thì:

 ( ) . '( )   ( ) 

f u x u x dx F u x

 

C



2. Phương pháp từng phần

Nếu hai hàm số

u u x   

_và

v v x   

có đạo hàm liên tục trên K thì:

           

u x .v' x dx u x .v x  u' x .v x dx

 

Hay:



u.dv u.v 



v.du

V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

VI. Vi phân

+ Cho hàm số

y  f x  

có đạo hàm tại

x

⁰ vi phân của hàm số

y  f x  

_{tại điểm}

x

_{0 là :}

 

₀

 

₀

.

df x  f x   x

.

+ Cho hàm số

y  f x  

có đạo hàm

f x   

_{thì tích}

f x    .  x

được gọi là vi phân của hàm số

y  f x  

Kí hiệu :

df x    f x    .   x f x dx    .

_hay

dy  y dx  .

_.

VII. Các quy tắc tính đạo: Cho

u u x    ; v v x    ; C :

là hằng số .

Nguyên hàm c a hàm s s c pủ ố ơ ấ Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp

∫ dx= x+C

∫

^xαdx=x

α+1

α+1+C (α≠1)

2

1 1

dx C

x    x



1 dx 2 x C

x  



∫

^d

(

^ax+b

)

⁼¹_a

(

^ax+b

)

^+C

∫

^(ax+b)αdx=1_a^(ax+b)

α+1

α+1 +C (α≠1)

 

²

1 1 1

dx C

a ax b

ax b   

 



1 1 2

dx C

ax b  a ax b 

 



∫ du=u+C

∫

^uαdu=u

α+1

α+1+C (α≠1)

2

1 1

du C

u    u



1 du 2 u C

u  



∫ cos xdx =sin x+C

∫ sin xdx=−cos x+C

∫

_cos¹2x dx=tanx+C

∫

_sin¹2x dx=−cotx+C

∫

^cos

(

^ax+b

)

^dx=1_a^sin

(

^ax+b

)

^+C

∫

^sin

(

^ax+b

)

^dx=−1_a^cos

(

^ax+b

)

^+C

∫

_cos2

(

ax¹ +b

)

^dx= 1

atan

(

ax+b

)

+C

∫

_sin2 ¹

(

ax+b

)

^dx=−

1

acot

(

ax+b

)

+C

∫ cosudu =sin u+ C

∫ sin udu=−cosu+ C

∫

_cos¹2u du=tanu+C

∫

_sin¹2u du=−cotu+C

∫

^dx_x ^=ln|x|+C

(

^x≠0

)

∫ e

^x

dx=e

^x

+C

∫

^axdx=_ln^ax_a^{+C (0<a≠1)}

∫

_ax^dx_+b⁼¹_a^ln|ax+b|+C

(

^x≠0

)

∫

^eax+bdx=1_a^eax+b+C

 

1 . 0 1

ln

x

a

x

a dx C a

a

 

 









  



∫

^du_u ^=ln|u|+C

(

^u≠0

)

∫ e

^u

du=e

^u

+C

∫

^audx=_ln^au_a^{+C (0<a≠1)}

 u v   '   u v ' '

  u v . '  u v v u '.  '.   C u .    C u . 

 

2 2

'. '. .

, 0

u u v v u C C u

v v v u u

 

         

   

   

N u ế

y  f u u u x   ,     y 

_x

 y u

_{u x}

  .

VIII. Các công thức tính đạo:

IX. Nguyên hàm mở rộng

thuvienhoclieu.com Trang 3

o hàm c a hàm s s c p

Đạ ủ ố ơ ấ Đạo hàm c a hàm s h pủ ố ợ

  C   0 ;   x   1

  x

ⁿ

  n x .

^n1

  u

ⁿ

  n u .

^n1

. u  ,  n 

^

, n  2 

'

2

1 1

x x

   

   

' 2

1 u

u u

    

   

 

^{x  } ₂¹_x ^,



^x0

  

^{u  }₂^u_u ^,



^u0





^sinx



^{ cosx}



^sinu



^{ u. cos u}

 cos x     sin x  cos u     u  .sin u

 tan  1

₂

x cos

  x  tan 

₂

cos u u

u

  

 cot  1

₂

x sin

   x  cot 

₂

sin u u

u

   

  x

^{ '}

  . x

^1

,  x  0    u

^{ '}

  . u

^1

. ' u

  a

^{x '}

 a

^x

.ln a   a

^{u '}

 a

^u

.ln . ' u u

  e

^{x '}

 e

^x

  e

^{u '}

 e u

^u

. '

 log

a

x 

^'

ln 1

 x a  log

a



^'

ln u ' u  u a

 ln x 

^'

1 ,  x 0 

 x   ln u 

^'

u '

 u

 

^'

1

₁

.

n

x

n n

n x

^

  

^'

'

₁

.

n

n n

u u

n u

^



∫ 1

x

²

−1 . dx= 1

2 .ln| x−1

x+ 1 |+ C ∫ 1

x

²

−a

²

. dx = 1

2 a . ln| x−a x +a |+C

(a>0 )

∫

_x2¹₊₁^{.dx=arctanx+C}

∫

¹

x²+a².dx=1

a. arctan x

a+C(a>0)

∫ 1

√ 1− x

²

dx =arcsin x + C ∫ 1

√ a

²

−x

²

dx =arcsin

x a +C

(a>0 )

∫ 1

√ x

²

±1 dx =ln|x+ √ x

²

±1|+C ∫ 1

√ x

²

±a

²

dx =ln|x + √ x

²

±a

²

|+C

∫ tan x . dx=−ln|cos x|+C ∫√ a

²

− x

²

dx= x

2 . √ a

²

−x

²

+ a 2

²

arcsin x a +C

∫ cot x . dx=−ln|sin x|+ C ∫√

^x2±a2dx=₂^x.

√

^x2±a2±a₂^2ln|x+

√

^x2±a2|+C



^x



^'

1

x

a b

a 

X. Lượng giác

1. Hệ thức cơ bản:



 

 sin  tan cos



 

 cos  cot sin



sin

²

  cos

²

   1  sin

²

  cos

²

 

ⁿ

 1

 tan .cot

 

  1 tan .cotⁿ



ⁿ



 1



2 2

2 2

1 1

1 tan ; 1 cot

cos sin

 

 

   

2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:

cos đối, sin bù, phụ chéo

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc ph nhauụ

cos( ) cos     sin(    ) sin   sin cos

  2 

 

 

 

 

sin( )     sin  cos(    )   cos  cos sin

  2 

 

 

 

 

tan( )     tan  tan(    )   tan  tan cot

  2 

 

 

 

 

cot( )     cot  cot(    )   cot  cot tan

  2 

 

 

 

 

Góc h n kém ơ



Góc h n kém ơ

2



sin(    )   sin  sin cos

  2 

 

 

 

 

cos(    )   cos  cos sin

  2 

 

  

 

 

tan(    ) tan   tan cot

  2 

 

  

 

 

cot(    ) cot   cot tan

  2 

 

  

 

 

kém  tan, cot, kém 2



chéo cos

3. Công thức lượng giác a. Công thức cộng

b. Công thức nhân đôi

c. Công thức biến đổi tích thành tổng

d. Công thức biến đổi tổng thành tích

sin(

a b

 ) sin .cos 

a b

 sin .cos

b a

sin(

a b

 ) sin .cos 

a b

 sin .cos

b a

cos(

a b

 ) cos .cos 

a b

 sin .sin

a b

cos(

a b

 ) cos .cos 

a b

 sin .sin

a b

tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  



tan tan tan( )

1 tan .tan

a b

a b a b

  



H qu :ệ ả

1 tan 1 tan

tan , tan

4 1 tan 4 1 tan

     

 

         

     

   

Công th c nhân ôiứ đ Công th c h b cứ ạ ậ Công th c nhân baứ

sin 2   2sin .cos  

  





 

 

 

2 2

2 2

cos2 cos sin

2 cos 1 1 2sin

 

 



²

2 tan tan 2

1 tan

 



 cot

²

 1 cot 2

2 cot

2 2 2

1 cos2

sin 2

1 cos2

cos 2

1 cos2 tan 1 cos2

 

 

 



 

 

 



3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan

tan3 1 3tan

  

  

 

 

 

 

 



sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31 ho c: ặ

sin thì 3sin 4s n , cos thì 4 c 3côỉ ổ

cos .cos 1 cos( ) cos( ) 2 1

sin .sin cos( ) cos( )

2 1

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

 

     

 

     

 

     

PHẦN 1 NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1 Lý thuyết

Câu 1. Hàm số ^{f x}( ) có nguyên hàm trên ^K nếu:

A. f x( ) xác định trên ^K . B. f x( ) có giá trị lớn nhất trên ^K . C. f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên ^K . D. f x( ) liên tục trên ^K .

Câu 2. Giả sử hàm số

F x  

là một nguyên hàm của hàm số

f x  

_{trên K}. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. Chỉ có duy nhất một hằng số

C

sao cho hàm số

y  F x ( )  C

là một nguyên hàm của hàm

f

_trên

K .

B. Với mỗi nguyên hàm

G

_của

f

_{trên K} thì tồn tại một hằng số

C

_{sao cho}

G x ( )  F x ( )  C

_với

x

_{thuộc K} .

C. Chỉ có duy nhất hàm số

y  F x ( )

là nguyên hàm của

f

_trên

K .

D. Với mỗi nguyên hàm

G

_của

f

_{trên K thì}

G x ( )  F x ( )  C

_{với mọi}

x

_{thuộc K và}

C

_{bất kỳ.}

Câu 3. Cho hàm số

F x ( )

là một nguyên hàm của hàm số

f x ( )

_{trên K}. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A.

 f x dx F x ( )  ( )  C .

_B.

  f x dx ( )    f x ( ).

C.

  f x dx ( )    f x  ( ).

_D.

  f x dx ( )    F x  ( ).

Câu 4. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A.

 kf x dx k f x dx k ( )   ( ) ,( 

R

)

. B.

 f x g x dx     .   f x dx g x dx   .    .

C.

   f x      g x dx     f x dx     g x dx   .

_D.

   f x      g x dx     f x dx     g x dx   .

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a



b

  

cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a



b

   

sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a



b

  

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a b

a b

 

 

sin( ) tan tan

cos .cos

a b a b

a b

  

sin( ) tan tan

cos .cos

a b a b

a b

  

sin( ) cot cot

sin .sin

a b a b

a b

  

a b b a

a b

sin( ) cot cot

sin .sin

  

Chú ý:

     

    

 

sin cos 2.sin

4

             sin cos 2 cos

 4

Câu 5. Cho hai hàm số

f x g x ( ), ( )

là hàm số liên tục, có

F x G x ( ), ( )

lần lượt là nguyên hàm của

f x g x ( ), ( )

_. Xét các mệnh đề sau:

(I).

F x ( )  G x ( )

là một nguyên hàm của

f x ( )  g x ( ).

(II).

k F x . ( )

là một nguyên hàm của

kf x ( )

_với

k 

R._. (III).

F x G x ( ). ( )

là một nguyên hàm của

f x g x ( ). ( ).

Các mệnh đúng là

A.(I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; ) và ^C là hằng số thì

ò

f x x F x( )d = ( )+C_. B. Mọi hàm số liên tục trên (^{a b;} ) đều có nguyên hàm trên (^{a b;} )_.

C. F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên (a b; )Û F x^/( )=f x( ), " Îx (a b; ). D.

( ò

^{f x x}( )^d

)

^{/ =f x( )}_.

Câu 7. Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 8. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [a b; ] nếu:

A. Với mọi xÎ (a b; ), ta có F x^/( )=f x( ). B. Với mọi ^xÎ (^{a b;} )_{, ta có} ^{f x/}( )^{=F x}( )_. C. Với mọi xÎ [a b; ], ta có F x^/( )=f x( ).

D. Với mọi xÎ (a b; ), ta có F x^/( )=f x( ), ngoài ra ^{F a/}

( )

^{+ =f a( )} _và ^{F b/}

( )

^{- =f b( )}_.

Câu 9. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số ^f xác định trên khoảng ^D, câu nào là sai?

(I)^F là nguyên hàm của ^f trên ^D nếu và chỉ nếu " Îx D F x: '( )=f x( ). (II) Nếu ^f liên tục trên ^D thì ^f có nguyên hàm trên ^D.

(III) Hai nguyên hàm trên ^D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai. C. Câu (II) sai. D. Câu (III) sai.

Câu 10. Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng (a b; ). Giả sử G x( ) cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên khoảng (a b; ). Khi đó:

A. F x( )=G x( ) trên khoảng (a b; ).

B. G x( )=F x( )- C trên khoảng (a b; ), với ^C là hằng số.

C. ^{F x}( )^{=G x}( )^+C _{với mọi x} thuộc giao của hai miền xác định, ^C là hằng số.

D. Cả ba câu trên đều sai.

Câu 11. Xét hai câu sau:

(I)

ò (

f x( )+g x( )

)

dx=

ò

f x x( )d +

ò

g x x( )d =F x( )+G x( )+C_,

trong đó F x( ) và G x( ) tương ứng là nguyên hàm của f x g x( ), ( ). (II) Mỗi nguyên hàm của a f x. ( ) là tích của ^a với một nguyên hàm của f x( ).

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.

Câu 12. Các khẳng định nào sau đây là sai?

A.

ò

f x x( )d =F x( )+ ÞC

ò

f t t( )d =F t( )+C_{. B.} ^éê_ë

ò

^{f x x( )d ù =ú}_û^{/ f x( )}_.

C.

ò

^{f x x}( )^{d =F x}( )^{+ ÞC}

ò

^{f u x}( )^{d =F u}( )^+C_{. D.}

ò

kf x x k f x x^{( )d} =

ò

^{( )d} ₍k là hằng số).

Câu 13. Câu nào sau đây sai?

A. Nếu F t'( )=f t( ) thì ^{F u x/}

(

( )

)

^{=f u x}

(

^{( )}

)

_.

B.

ò

^{f t t}( )^d =^{F t}( )+ Þ^C

ò

f u x u x x

(

( )

)

^{'( )d} =F u x

(

^{( )}

)

+C _.

C. Nếu ^{G t}( ) là một nguyên hàm của hàm số ^{g t}( ) _thì ^{G u x}

(

^{( )}

)

là một nguyên hàm của hàm số g u x u x

(

( )

)

. ^/( ) . D.

ò

f t t( )d =F t( )+ ÞC

ò

f u u F u( )d = ( )+C _với ^{u u x= ( )}_.

Câu 14. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.

A.

  f x ( )  g x dx ( )    f x dx ( )   g x dx ( )

_.

B.Nếu

F x ( )

_và

G x ( )

đều là nguyên hàm của hàm số

f x ( )

_thì

F x ( )  G x ( )  C

là hằng số.

C.

F x ( )  x

là một nguyên hàm của f x( )2 x. D.F x( )x² là một nguyên hàm của

f x ( ) 2 .  x

VẤN ĐỀ 2

Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức

Câu 15.

(ĐỀ THI TNTHPT 2021) Cho hàm số f x ( )  x

²

 3 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

( )

2

3

f x dx x   x C 

 B.

3

( ) 3

3

f x dx  x  x C 

 .

C.

( )

3

3

f x dx x   x C 

 . D.  f x dx ( )  2 x C  .

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số

f x    x

³

 3 x  2

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.

 

⁴

3

²

2

3

F x  x  x  x C 

. B.

 

⁴

3

²

2

4 2

x x

F x    x C 

.

C.

 

^{4 2}

2

4 2

x x

F x    x C 

. D.

F x    3 x

²

 3 x C 

_.

Câu 17. Hàm số

F x    5 x

³

 4 x

²

 7 x  120  C

là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A.

f x    5 x

²

 4 x  7

_{. B.}

f x    5 x

²

 4 x  7

_.

C.

  5

²

4

³

7

²

4 3 2

x x x

f x   

. D.

f x    15 x

²

 8 x  7

_.

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số:

2

1

3

y x x

   x

là

A.

 

³

3

²

ln

3 2

 x   

F x x x C

. B.

 

³

3

²

ln

3 2

 x   

F x x x C

.

C.

 

³

3

²

ln

3 2

 x   

F x x x C

. D.

 

2

2 3 1

   

F x x C

x

_.

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số

f x     x  1   x  2 

A.

F x    2 x   3 C

_{. B.}

 

³

2

²

2

3 3

 x   

F x x x C

.

C.

 

³

3

²

2

3 2

 x   

F x x x C

. D.

 

³

2

²

2

3 3

 x   

F x x x C

. Câu 20. Biết hàm số

f x    2 1 3 x   x

³



có nguyên hàm là

F x   ax

²

b x

⁵

C

  c 

với

a b c , , 



và b c là

phân số tối giản

. Tính giá trị biểu thức

. . a b c T a b c

  

. A.

1 T  3

B.

2 T  5

C.

1 T  5

D.

7 T  3

Câu 21. Biết hàm số

f x     2 x  1 

⁵ có nguyên hàm là

F x   a  2 x c 

⁶

C

 b  

với

a b c , , 



và a b là

phân số tối giản

. Tính giá trị biểu thức

. . a b c T a b c

  

. A.

5 T  3

B.

3 T  5

C.

6 T  7

D.

7 T  6

Câu 22. Một nguyên hàm

F x  

_của

f x ( ) 3  x

²

 1

_thỏa

F   1  0

_là:

A.

F x    x

³

 1

_B.

F x    x

³

  x 2

C.

F x    x

³

 4

_D.

F x    2 x

³

 2

Câu 23. Tìm một nguyên hàm

F x  

của hàm số

f x     2 x

² _biết

F   2  7 3

A.

  2

³

1

3 3 F x  x  x 

B.

  2

³

19

F x  x x   3

C.

  2

³

1

3 F x  x  x 

D.

  2

³

3

3 F x  x  x 

Câu 24. Nguyên hàm

F x  

của hàm số

f x    2 x

²

 x

³

 4

thỏa mãn điều kiện

F   0  0

_là

A.

F x    4

_B.

F x    2 x

³

 4 x

⁴

C.

  2

^{3 4}

4

3 4

F x  x  x  x

D.

F x    x

³

 x

⁴

 2 x

Câu 25. Cho hàm số

f x    x

³

 x

²

 2 x  1

_{. Gọi}

F x  

là một nguyên hàm của

f x ( )

, biết rằng

F   1  4

_thì:

A.

 

^{4 3 2}

49

4 3 12

x x

F x    x   x

B.

 

^{4 3 2}

1

4 3

x x

F x    x   x

C.

 

^{4 3 2}

2

4 3

x x

F x    x   x

D.

 

^{4 3 2}

4 3

x x

F x    x  x

Câu 26. Biết hàm số

f x ( ) (  x  1)

² có nguyên hàm là

( )  x

³



²

 

F x bx cx C

a

_với

a b c , , 

 . Tính giá trị biểu thức

T    a b c

_.

A.

T  1

B.

T  3

_C.

T  5

_D.

T  10

Câu 27. Biết hàm số

f x     x  3 

⁴ có nguyên hàm là

    x  3 

^a



F x C

b

_với

a b , 

 . Tính giá trị biểu thức

T  a

²

 b

²_.

A.

T  5

_B.

T  25

_C.

T  50

_D.

T  10

Câu 28. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

A.

 

          

   

     

 

2 2

1 1

2 x 1 dx 2 x 1 dx .

x x

B.

   

    

   

   

 2 x 1 1 x

²

dx 2  2 x 1 1 x dx .

C.

            

     

     

 2 x 1 1 x

²

dx  2 x 1 1 x dx .  2 x 1 1 x dx .

D.

         

 

 

 2 x 1 1 x

²

dx 4  x dx

²

 dx  x 1

²

dx 4  xdx  2 x dx 4  dx

Câu 29. Cho hàm số ^{f x}

 

^{x x}



^21



⁴_{. Biết}

F x  

là một nguyên hàm của

f x ( )

; đồ thị hàm số

y F x   

_{đi qua}

điểm

M 1;6  

. Nguyên hàm

F x  

_là

A.

  

²

1 

⁴

2

4 5

F x x 

 

B.

  

²

1 

⁵

2

5 5

F x x 

 

C.

  

²

1 

⁵

2

5 5

F x x 

 

D.

  

²

1 

⁴

2

4 5

F x x 

 

Câu 30. Hãy xác định hàm số

f x ( )

từ đẳng thức:

2

( )

x  xy C    f y dy

A.

f x    2 x

_B.

f x ( )  x

_C.

f x ( ) 2  x  1

D. Không tính được Câu 31. Cho

 f (x)dx F(x) C.  

Khi đó với a  0, ta có

 f (a x b)dx 

_bằng:

A.

1 F(a x b) C

2a  

B.

F(a x b) C  

_C.

1

F(a x b) C

a  

D.

F(a x b) C  

Câu 32. Cho

( )

2

f x dx x    x C



_{. Khi đó}

 f x dx  

² _bằng:

A.

5 3

5 3

x x

  C

B.

x

⁴

 x

²

 C

_C.

2

3

3 x   x C

D. Không được tính Câu 33. Cho hàm số

y  f x  

_{thỏa mãn}

y '  x y

²

.

_và

f     1 1

_thì

f   2

bằng bao nhiêu?

A.

f   2  e

³ _B.

f   2  e

² _C.

f   2  2 e

_D.

f   2   e 1

Câu 34. Tìm giá trị thực của

m

_để

F x    mx

³

 x

²

 3 x  4

là một nguyên hàm của hàm số

 

²

2 3

f x    x x 

.

A.m 1_{. B.}

1 m  3

. C.m1_{. D.}

1 m   3

. Câu 35. Cho

f x     1 x

. Một nguyên hàm

F x  

_của

f x  

_thỏa

F   1  1

_là:

A.

x

²

  x 1

_B.

2

2 2

1 khi 0 2 2

khi 0 2

x x x

x x C x

   



   

 _.

C.

2

1 2

2

khi 0 2

khi 0 2

x x C x

x x C x

   



   

 _{. D.}

2

1 2

2

khi 0 khi 0 2

x x C x

x x C x

   

 

  



_.

Câu 36. Cho hàm số

f x   

thỏa mãn

  2 1

f   25

và

f x     4 . x

³

  f x    

² với mọi

x 

 . Giá trị của

  1

f

bằng?

A.

41 100



. B.

1 10



. C.

391 400



. D.

1 40



.

Câu 37. Biết

 x x   1 

³

dx a x    1 

⁵

 b x   1 

⁴

 C

_{, với}

a b , 

 . Tính giá trị

2020

. S a b

a b

  

    

A.

1

2020

2 . S  

    

_B.

S  2

²⁰²⁰

.

_C.

S  1.

_D.

S  0.

Câu 38. Biết

2020 2022 2021

(1 ) ( 1) ( 1)

x  x dx a x    b x   C



_{, với}

a b , 

 . Tính giá trị

. S a b

 a b



A.

S   4043.

_B.

S  2

²⁰²⁰

.

_C.

S  2020.

_D.

S   2020.

Câu 39. Biết

2 3 2019 3

3 (2020 x  x ) dx a  (2020  x )

^b

 C



_{, với}

a 



; b 

 . Tính giá trị

 

²⁰²⁰

1 S .

 a b

A.

S  2020.

_B.

S  1.

_C.

S  4.

_D.

S  2019.

Câu 40. Cho

 

^{4 3}

2020

4 3

x x

f x dx     C



_{. Khi đó}

 f   3 x dx

_là:

A.

4

27

3

2020

4 3 3

x  x   C

B.

4

3

3

3 2020 4

x  x   C

C.

4 3

27 2020

4

x   x  C

D.

4 3

2020

4 3

x  x   C

Câu 41. Cho

( 1)

10

x x  dx



_{. Nếu đặt}

t x   1

_thì

 f t dt  

_là

A.

10 9

10 9 t t

  C

B.

10 9

10 9 t t

  C

C.

12 11

12 11 t t

  C

D.

12 11

12 11 t t

  C

VẤN ĐỀ 3

Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ ( ) ( )

( )

f x P x



Q x

Câu 42. Nguyên hàm của hàm số

f x x – 3x  

²

201 9

  x

là A. F(x) =

3 2

x 3x

2019ln x C

3  2  

B. F(x) =

3 2

x 3x

2019ln x C

3  2  

C.

F(x) =

3 2

x 3x

2019ln x C

3  2  

D. F(x) =

3 2

x 3x

2019ln x C

3  2  

Câu 43.

dx 2 3x 



_bằng:

A.

 

²

1 C

2 3x 

 B.

 

²

3 C

 2 3x 

 C.

1 ln 2 3x C

3  

D.

1 ln 3x 2 C

 3  

Câu 44. Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số ²

y 2

(x 1)

 

_:

A.

x 1 x 1





_B.

2x

x 1 

_C.

2 x 1





_D.

x 1 x 1

 



Câu 45. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số ²

f (x) 1

(x 2)

 



_là:

A.

F(x) 1 C

 x 2 



B. Đáp án khác. C.

F(x) 1 C

x 2

  



_D. ³

F(x) 1 C

(x 2)

  



Câu 46. Tính

5 3

x 1 x dx

 

ta được kết quả nào sau đây?

A. Một kết quả khác B.

3 2

x x

3  2  C

C.

6

4

x x

6 C

x 4

 

D.

3 2

x 1

3  2x  C

Câu 47. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số ²

x(2 x) f (x)

(x 1)

 



_?

A.

x

2

x 1 x 1

 



_B.

x

2

x 1 x 1

 



_C.

x

2

x 1 x 1

 



_D.

x

2

x 1 

Câu 48. Nguyên hàm của hàm số

 x

³

  x 1

y x

_là:

A.   

3

ln .

3

x x x C

B. ³



²

 ln 

3 2

x x

x C

. C.

x

³

  x ln x C  .

_D. ³

  ln  . 3

x x x C

Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số





3

( )

4

.

1 f x x

x

A.

 

 f x dx ( ) 2 x 3

⁴

x 

⁴

6 C .

_B.

 f x dx ( )  ln( x

⁴

  1) C .

C.

 f x dx ( )  x

³

ln( x

⁴

  1) C .

_D.



f x dx^{( )  1}4^ln(x^{4 1)} C^. Câu 50. Nếu



^{f x dx}

 

^{ 1}_x ^{ln 2x C} thì hàm số

f x  

_là

A.

 

^{  1 .}

f x x 2

x _B. ^{f x}

 

^{  1}₂ ^1.

x x C.

 

^ 2 ^

 

1 ln 2 .

f x x

x D.

 

^{ } 2 ^

1 1

2 .

f x x x

Câu 51. Nguyên hàm của

    3 1  1 

²

f x

x

là:

A.

 

 3

1 3 C

x _{. B.}

 

 1

3 1 C

x _{. C.} 

 1

9 3 C

x _{. D.}

 

 1

9 3 C

x _.

Câu 52. Một nguyên hàm của

  

²

 2x 3  

1 f x x

x

_{là :}

A.   

2

3x 6 ln 1 . 2

x x

B. ²

 3x+6 ln  1 2

x x

. C. ²

 3x-6 ln  1 . 2

x x

D. ²

 3x+6 ln  1 . 2

x x

Câu 53. Tìm nguyên hàm:

1 dx x(x 3) 



.

A.

1 x

ln C

3 x 3 

 _B.

1 x 3

ln C

3 x

 

C.

1 x

ln C

3 x 3 

 _D.

1 x 3

ln C

3 x

  Câu 54. Tìm ^F

 

^{x =}



_x²_{ }^dx_{x 2}^?

A.

F   = 1 ln   2  .

3 1

x x C

x

_B.

F   = 1 ln   1  .

3 2

x x C

x

C. F   = 1 ln   1  .

3 2

x x C

x

_D.

F   = ln   2  .

1

x x C

x

Câu 55. ²

1 dx

x  6x 9 



_bằng:

A.

1 C

 x 3 



_B.

1 C

x 3 



_C.

1 C

 x 3 



_D.

1 C

3 x 



Câu 56. Nguyên hàm của hàm số: y = ^{2 2}

dx a  x



_là:

A.

1 a x

2a ln a x





_{+C B.}

1 a x

2a ln a x





_{+C C.}

1 x a a ln x a





_{+C D.}

1 x a

a ln x a





_+C

Câu 57. Tìm nguyên hàm



 



_x^{2 x}_3x³ ₂^dx_.

A.

     

 



_x^{2 x}_3x³ ₂^{dx 2 ln x 2 ln x 1 C}_{. B.}



_x² _^x_3x³_2^{dx2 ln x 1 ln x 2 C}_.

C.

     

 



_x^{2 x}_3x³ ₂^{dx 2 ln x 1 ln x 2 C}_{. D.}



_x² _^x_3x³_2^{dxln x 1 2 ln x 2 C}_.

Câu 58. Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số

   

 

 

 ² 2 . 1 f x x x

x

A.

 



2

1

1 . x x

x

_B.

 



2

1

1 . x x

x

_C.



2

1 . x

x

_D.

 



2

1

1 . x x

x

Câu 59. Cho hàm số

 

^ _2^2_ ^.

4 5

f x x

x x Khẳng định nào sau đây là sai?

A.



^{f x dx}

 

^{ 1}₂^{ln x24x 5 C.} _B.

         

 

 f x dx ln 1 2 x

²

4 x 5 C .

C.



^{f x dx}

 

^{ 1}₂^{ln x24x 5 C.} _D.

  

^{ 1ln}



^{2 4 5}



^{ .}

f x dx 2 x x C

Câu 60. Kết quả



 



_x^25x_3x⁷ ₂^dx _bằng:

A.

2 ln x   2 3ln x   1 C

. B.

3 ln x   2 2 ln x   1 C

. C.

2 ln x   1 3 ln x   2 C

. D.

3 ln x   2 2 ln x   1 C

. Câu 61. Nguyên hàm của (với C hằng số) là ²

2x dx 1 x



 

A.

1 x C 1 x

 



_B.

x C

1 x 



_C.

1 C

1 x 



_D. ^{ln 1 x 2 C}

Câu 62. ²

4x 1 dx 4x 2x 5



 



_bằng:

A. ²

1 C

4x 2x 5 

 

_B. ²

1 C

4x 2x 5

 

  C.

^{ln 4x22x 5 C } D.

1

2

ln 4x 2x 5 C

2   

Câu 63. Biết

F x  

là một nguyên hàm của

 

^{ 1}_

f x 1

x _và

F   2  1

_{. Tính}

F   3

_.

A.

F   3  ln 2 1 

_{. B.}

F   3  ln 2 1. 

_C.

 

^{3 1}

F 2

. D.

 

^{3 7}

F 4

. Câu 64. Tìm nguyên hàm

F x ( )

của hàm số



³



₂

1 ( ) x

f x x

_{, biết}

F (1) 0 

_.

A.



²

  1 1

( ) .

2 2

F x x

x

_B.



²

  1 3

( ) .

2 2

F x x

x

_C.



²

  1 1

( ) .

2 2

F x x

x

_D.



²

  1 3

(x) .

2 2

F x

x

Câu 65. Tìm một nguyên hàm

F x  

của hàm số

 

^{ } b2



^0



f x ax x

x , biết rằng

F     1 1,

  1  4,   1  0

F f

A.

   3

²

 3  7 .

4 2 4

F x x

x

_B.

   3

²

 3  7 .

4 2 4

F x x

x

C.

   3

²

 3  7 .

2 4 4

F x x

x

_D.

   3

²

 3  1 .

2 2 2

F x x

x

Câu 66. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

3 2

2

x 3x 3x 1 f (x)

x 2x 1

  

  

_biết

F(1) 1

 3

A.

2

2

F(x) x x 6

   x 1 



_B.

2

2 13

F(x) x x

x 1 6

   



C.

x

2

2 13

F(x) x

2 x 1 6

   



_D.

x

2

2

F(x) x 6

2 x 1

   



Câu 67. Tìm 1 nguyên hàm F(x) của

3 2

x 1 f (x)

x

 

biết F(1) = 0 A.

x

2

1 1 F(x)  2   x 2

B.

x

2

1 3 F(x)  2   x 2

C.

x

2

1 1 F(x)  2   x 2

D.

x

2

1 3 F(x)  2   x 2

Câu 68. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: ^{3 2}

4 1

C f (y)dy x  y   

A. ³

1

 y

B. ³

3

 y

C. ³

2

 y

D. Một kết quả khác.

Câu 69. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số ²

f (x) 1

x 3x 2

  

_{thỏa mãn}

F 3 0

  2

   . Khi đó F(3) bằng:

A. 2ln2 B. ln2 C. -2ln2 D. –ln2

Câu 70. Nếu

F(x)

là một nguyên hàm của hàm ²

f (x) x 3 , F(0) 0 x 2x 3

  

 

thì hằng số C bằng

A.

2 ln 3

 3

B.

3 ln 3

2

_C.

2 ln 3

3

_D.

3 ln 3

 2

Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số

3 2

2

x 3x 3x 7 f (x)

(x 1)

  

 

với F(0) = 8 là:

A.

x

2

8

2   x x 1



_B.

x

2

8

2   x x 1



_C.

x

2

8

2   x x 1



D. Một kết quả khác

Câu 72. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: ²

f (x) 1

x 6x 5

  

. Một học sinh trình bày như sau:

(I) ²

1 1 1 1 1

f (x)

x 6x 5 (x 1)(x 5) 4 x 5 x 1

 

           

(II) Nguyên hàm của các hàm số

1 1

x 5 x 1  , 

theo thứ tự là:

ln x 5 , ln x 1  

(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:

1 1 x 1

(ln x 5 ln x 1 C C

4 4 x 5

      

 Nếu sai, thì sai ở phần nào?

A. I B. I, II C. II, III D. III

Câu 73. Tìm giá trị thực của

a

_để

  1

5 F x ax

x

 



là một nguyên hàm của hàm số

   

²

1 f x 5

 x



.

A.a6_{. B.}

2 a  5

. C.

3 a  5

. D.

2 a   5

.

Câu 74. Biết ²

1 ln 2 7

2 5 7

x a

dx x C

x x b

   

 



_{, với}

a b

là phân số tối giản. Tính S = a + b?

A.

S  4.

_B.

S  2.

_C.

S  3.

_D.

S  5.

Câu 75. *Biết

F x ( )

là nguyên hàm của

 

2 2 2

5 8 4

1

x x

x x dx

 

 

với

0   x 1

_và

1 26

F        2

. Giá trị nhỏ nhất của

( )

F x

_là:

A.

24.

_B.

20.

_C.

25.

_D.

26.

Câu 76. Biết

  25 x

²

 1 20 x  4  dx   a x  5 1  2   C

. Với a là số nguyên. Tìm a ?

A.

a  4.

_B.

a  100.

_C.

a  5.

_D.

a  25.

Câu 77. Biết

  x  1 2 x    1  x  dx a  ln x   1 b ln x   2 C

. Tính giá trị biểu thức

a b 

A.

a b   5.

_B.

a b   1.

_C.

a b   5.

_D.

a b   1.

Câu 78. Nguyên hàm

F x  

của hàm số

 

2

2 2 3

f x 5 2

x x x

  



là hàm số nào?

A.

F x   ln 5 2 x 2ln x 3 C

      x

. B.

F x   ln 5 2 x 2ln x 3 C

      x

. C.

F x   ln 5 2 x 2ln x 3 C

     x

. D.

F x   ln 5 2 x 2ln x 3 C

      x

.

Câu 79. Biết

2

1

2

ln | 1|

1 x x

dx ax b x C

x

     

 

_{, với}

a 



; b 

 . Tính giá trị

 

²⁰²⁰

1 S .

 a b

A.

S  2

²⁰²⁰

.

_B.

S  1.

_C.

S  2.

_D.

1 . S  2

Câu 80. Biết

2 2

1

3

x b

dx ax cx C

x x

      

 

 



, với

a 



; , b c 

 . Tính giá trị

S a b c   

_. A.

5 . S  2

B.

4 . S  3

C.

3 . S  2

D.

1 . S  2

Câu 81. Biết

2

2 3

2

ln 1 1

x x

dx ax bx c x C x

      

 

_{, với}

a 

_

; , b c 

_ . Tính giá trị

S  2 a  3 b  5 c

_.

A.

S  0.

_B.

S  3.

_C.

S  8.

_D.

S  20.

Câu 82. Hàm số

f x   2 x

⁴₂

3

x

 

có nguyên hàm là

F x   ax

³

b C

   x

với với

a 



; b 

 . Tính giá trị biểu thức

.