70 Câu Trắc Nghiệm Vi Phân Của Hàm Số Có Đáp Án

(1)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Tích f x'( ).⁰ x được gọi là vi phân của hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} tại điểm x⁰ (ứng với số gia x) được kí hiệu là df x( )⁰  f x'( )⁰ x.

 Nếu hàm số ^f có đạo hàm ^f ^' thì tích ^{f x x}^{'( )}^ được gọi là vi phân hàm số ^y^ ^{f x}^{( )}, kí hiệu là:

( ) '( ) df x  f x x .

Đặc biệt: dx x x   ' x nên ta viết ^{df x}^{( )}^ ^{f x dx}^{'( )} .

B – BÀI TẬP

Câu 1. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

  

^ ^x^¹



². Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số ^{f x}

 

_?

A. ^d^y^²



^x^^{1 d}



^x_. _B.^d^y^



^x^^{1 d}



² ^x_.

C. ^d^y^²



^x^¹



_. _D.^d^y^²



^x^^{1 d}



^x_.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có ^d^y^ ^{f x x}^

 

^d ^²



^x^^{1 d}



^x_.

Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y x ³2x²

A. dy(3x²4 )x dx B. dy(3x²x dx) C. dy(3x²2 )x dx D. dy(3x²4 )x dx Hướng dẫn giải:

Chọn D.

(3 2 4 ) dy x  x dx

Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y 3x2 A.

3

3 2

dy dx

 x

 B.

1 2 3 2

dy dx

 x

 C.

1

3 2

dy dx

 x

 D.

3 2 3 2

dy dx

 x

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

3 2 3 2

dy dx

 x



Câu 4. Cho hàm số y x ³9x²12x5. Vi phân của hàm số là:

A.^d^y^



³^x²^¹⁸^x^^{12 d}



^x_. _B.^d^y^{ }



³^x²^¹⁸^x^^{12 d}



^x_.

C. ^d^y^{ }



³^x²^¹⁸^x^^{12 d}



^x_. _D.^d^y^{ }



³^x²^¹⁸^x^^{12 d}



^x_.

Chọn A.

Ta có ^d^y^



^x³^⁹^x²^¹²^x^^{5 d}



^ ^x^



³^x²^¹⁸^x^^{12 d}



^x_.

Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y(3x1)¹⁰

A. dy10(3x1)⁹dx B. dy30(3x1)¹⁰dx

(2)

C. dy9(3x1)¹⁰dx D. dy30(3x1)⁹dx Hướng dẫn giải:

Chọn D.

30(3 1)9

dy x dx.

Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số ysin 2xsin³x

A. ^dy^



^{cos 2}^x^^3sin²^x^cos^{x dx}



_B.^dy^



^{2cos 2}^x^^3sin²^x^cos^{x dx}



C. ^dy^



^{2cos 2}^x^^sin² ^x^cos^{x dx}



_D.^dy^



^{cos 2}^x^^sin²^x^cos^{x dx}



Chọn B.



^{2cos 2} ^3sin² ^cos



dy x x x dx

Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số ^y^^{tan 2}^x

A. dy (1 tan 2 )² x dx B. dy (1 tan 2 )² x dx C. dy2(1 tan 2 ) ² x dx D. dy2(1 tan 2 ) ² x dx Hướng dẫn giải:

Chọn D.

2(1 tan 2 )2

dy  x dx

Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số ^y^ ³ ^x^¹

A. ³ ²

1 ( 1)

dy dx

 x

 B. ³ ²

3 ( 1)

dy dx

 x



C. ³ ²

2 ( 1)

dy dx

 x

 D. ³ ²

1 3 ( 1)

dy dx

 x

Chọn D.

3 2

1 3 ( 1)

dy dx

 x



Câu 9. Xét hàm số ^y^ ^{f x}

 

^ ^{1 cos 2}^ ² ^x. Chọn câu đúng:

A. ²

sin 4

d ( ) d

2 1 cos 2

f x x x

x

 

 . B. ²

sin 4

d ( ) d

1 cos 2

f x x x

x

 

 .

C. ²

cos 2

d ( ) d

1 cos 2

f x x x

 x

 . D. ²

sin 2

d ( ) d

2 1 cos 2

f x x x

x

 

 .

Chọn B.

Ta có : ^d^y^ ^{f x x}^

 

^d



²



2

1 cos 2 2 1 cos 2 d

x x

x

 

  ²

4 cos 2 .sin 2 2 1 cos 2 d

x x



 ²

sin 4 1 cos 2 d

x x

x

 

 .

Câu 10. Cho hàm sốy x ³5x6 . Vi phân của hàm số là:

A. ^d^y^



³^x²^^{5 d}



^x_. _B.^d^y^{ }



³^x²^^{5 d}



^x_.

C. ^d^y^



³^x²^^{5 d}



^x_. _D.^d^y^



³^x²^^{5 d}



^x_.

Chọn A.

Ta có ^d^y^



^x³^⁵^x^^{6 d}



^ ^x^



³^x²^^{5 d}



^x_.

(3)

Câu 11. Cho hàm số ³ 1 y 3

 x

. Vi phân của hàm số là:

A.

d 1d y 4 x

. B. ⁴

dy 1 dx

 x

. C. ⁴

dy 1 dx

 x

. D. dy x x ⁴d . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có

 

2 2

3 3 4

1 1 3 1

d d . d

3 3

y x x x

x x x

 

    

 

. Câu 12. Cho hàm số

2 1 y x

x

 

 . Vi phân của hàm số là:

A.

 

²

d d

1 y x

 x

 . B.

 

²

d 3d

1 y x

 x

 .

C.

 

²

d 3d

1 y x

x

 

 . D.

 

²

d d

1 y x

  x

 . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có

 

²

2 3

d d d

1 1

y x x x

x x

 

 

      .

Câu 13. Cho hàm số

2 1

1 x x

y x

  

A.

2 2

d d

( 1)

x x

y x

x

 

   . B. ²

2 1

d d

( 1)

y x x

x

 

 .

C. ²

2 1

d d

( 1)

y x x

x

  

 . D.

2 2

d d

( 1)

x x

y x

x

 

  .

Chọn D.

Ta có

2 1

d d

1 x x

y x

x

   

   

     

 

2 2

2 1 1 1

1 d

x x x x

x x

    

 

 

2 2

1 d

x x

 

  .

Câu 14. Cho hàm số ^y^^sin^x^^3cos^x. Vi phân của hàm số là:

A. ^d^y^{ }



^cos^x^^3sin^{x x}



^d _. _B.^d^y^{ }



^cos^x^^3sin^{x x}



^d _.

C. ^d^y^





^d _. _D.^d^y^{ }





^d _.

Chọn C.

Ta có ^d^y^



^sin^x^^3cos^x



^^d^x^





^d _.

Câu 15. Cho hàm số ysin²x. Vi phân của hàm số là:

A. ^d^y^^{– sin 2 d}^{x x}. B. ^d^y^^{sin 2 d}^{x x}. C. ^d^y^^{sin d}^{x x}. D. ^d^y^^{2cos d}^{x x}. Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có ^dy^{d sin}



² x

 

 ^sin²x



^dxcos .2sin dx x xsin 2 dx x . Câu 16. Vi phân của hàm số

tan x y x

là:

(4)

A. ²

d 2 d

4 cos

y x x

x x x



. B. ²

sin(2 )

d d

4 cos

y x x

x x x



.

C. ²

2 sin(2 )

d d

4 cos

x x

y x

x x x

 

. D. ²

2 sin(2 )

d d

4 cos

x x

y x

x x x

  

. Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có

2

1 1 1

. . tan .

tan 2 cos 2

dy dx = dx

x x

x x x x

x x

 

 

  

2 2

1 1 sin 1 1 sin cos

= . . dx = .

2 cos cos 2 2 .cos

x x x x

x dx

x x x x x x

   

 

 

2

2 sin 2

= .

4 .cos

x x

x x x dx



Câu 17. Hàm số ^{y x}^ ^sin^x^^cos^x có vi phân là:

A. ^d^y^



^x^{cos – sin}^x ^{x x}



^d _. _B.^d^y^



^x^cos^{x x}



^d _.

C. ^d^y^



^{cos – sin}^x ^{x x}



^d _.. _D.^d^y^



^x^sin^{x x}



^d _.

Chọn B.

Ta có ^dy^



^x^sin^x^^cos^x



^^d^x^



^sin^{x x}^ ^cos^x^^sin^{x x}



^d ^



^x^cos^{x x}



^d _.

Câu 18. Hàm số y ²x 1

 x

 . Có vi phân là:

A.

2

2 2

1 ( 1)

dy x dx

x

 

 B. ²

2 ( 1)

dy x dx

 x

 C.

2 2

1 ( 1)

dy x dx

x

 

 D. ² ²

1 ( 1)

dy dx

 x

Chọn A.

Ta có

2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1

dy dx

1 ( 1) ( 1)

x x x x

x x x dx

   

 

       .

Câu 19. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

  

^ ^x^¹



². Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

A. ^d^y^²



^x^^{1 d}



^x_. _B.^d^y^²



^x^¹



_.

C. ^d^y^



^x^^{1 d}



^x_. _D.^d^y^



^x^^{1 d}



² ^x_.

Chọn A

  

^x ¹



² ^y ²



¹



^d ²



^{1 d}



y f x     x  y x x

Câu 20. Vi phân của hàm số ^{f x}

 

^³^x²^^x_{tại điểm}_x_₂_{, ứng với}_{ }_x _0,1_là:

A. ^^{0, 07}. B. 10 . C. ^1,1. D. ^^{0, 4}.

Chọn C

Ta có: ^{f x}^

 

^⁶^x^{ }¹ ^f^

 

² ^¹¹

   

d 2f  f 2  x 11.0,1 1,1

(5)

Câu 21. Vi phân của ^y^^{cot 2017}



^x



_là:

A. ^dy 2017sin 2017 d .



x x



B. ^d^y^^{sin 2017}²²⁰¹⁷



^x



^{d .}^x

C. ^d^y^{ }^{cos 2017}²²⁰¹⁷



^x



^{d .}^x _D.^d^y^{ }^{sin 2017}²²⁰¹⁷



^x



^{d .}^x

Chọn D.

 

^{sin 2017}²²⁰¹⁷

 

^d ^{sin 20}²²⁰¹⁷

 

^d

cot 201

7 y y 17 x

y x x

 x

     



Câu 22. Cho hàm số y =

2 1

1 x x

x

 

A.

2 2

d d

( 1)

x x

y x

x

 

   B. ²

2 1

d d

( 1)

y x x

x

 



C. ²

2 1

d d

( 1)

y x x

x

  

 D.

2 2

d d

( 1)

x x

y x

x

 

 

Chọn D.

2 2

2

1 2 2

d d d

1 ( 1)

x x x x

y x x

x x

     

    

Câu 23. Cho hàm số

3 1 2 y x

x

 

 . Vi phân của hàm số tại x 3 là:

A.

d 1d . y7 x

B. ^d^y^^{7d .}^x C.

d 1d . y 7 x

D. ^d^y^{ }^{7d .}^x Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có

 

2

 

7 1

3 7

y 1 2 y

 x    



Do đó

d 1d y7 x

Câu 24. Vi phân của ^y^^{tan 5}^x là :

A. ²

d 5 d .

cos 5

y x x

 x

B. ²

d 5 d .

sin 5

y x

  x

C.

2

d 5 d .

cos 5

y x

 x

D. ²

d 5 d .

cos 5

y x

  x Hướng dẫn giải:

Chọn C

2

tan 5 5

cos 5

y x y

 x

  

Do đó ²

d 5 d

cos 5

y x

 x Câu 25. Hàm số

( 1)2

( ) x

y f x

x

  

. Biểu thức 0,01. '(0,01)f là số nào?

A. 9. B. -9. C. 90. D. -90.

(6)

Chọn D.

 

2

( 1) 1 1

( ) x 0, 01 9000

y f x y y

x x x x

  

       

Do đó 0,01. '(0, 01)f  90

Câu 26. Cho hàm số ^y^^{sin(sin )}^x .Vi phân của hàm số là:

A. ^dycos(sin ).sin dx x x. B. ^d^y^^{sin(cos )d}^{x x}. C. ^dycos(sin ).cos dx x x. D. ^d^y ^^{cos(sin )d}^{x x}. Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: y' (sin ) '.cos(sin ) cos .cos(sin ) x x  x x nên ^dycos .cos(sin )dx x x Câu 27. Cho hàm số

2 khi 0 ( ) 2 khi 0

x x x

f x x x

  

   . Kết quả nào dưới đây đúng?

A. ^{d (0)}^f ^{ }^d^x. B. ^f

 

⁰ _x^lim₀ ^x²_x ^x _x^{lim (}₀ ^x ¹⁾ ¹



 

      

. C. ^f

 

⁰ _x^lim₀



^x² ^x



⁰



    

. D. ^f

 

⁰ _x^{lim 2}₀ ^x ⁰



   

Chọn B.

Ta có: ^f

 

⁰ _x^lim₀ ^x²_x ^x _x^{lim (}₀ ^x ¹⁾ ¹



 

      

;

 

⁰ _x^lim₀ ²^x ²

f ^ x



   

và hàm số không có vi phân tại x0 Câu 28. Cho hàm số ycos 2² x. Vi phân của hàm số là:

A. ^dy4cos 2 sin 2 dx x x. B. ^dy2 cos 2 sin 2 dx x x. C. ^dy 2 cos 2 sin 2 dx x x. D. ^d^y ^{ }^{2sin 4 d}^{x x}. Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có : ^dy^{d cos 2}



² x



2 cos 2 .(cos 2 ) 'dx x x 4cos 2 .sin 2 dx x x 2sin 4 dx x Câu 29. Cho hàm số

2 khi 0 ( ) khi 0

x x x

f x x x

  

   . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. ^f^

 

⁰^ ^¹_. _B. ^f^

 

⁰^ ^¹_.

C. ^{d (0) d}^f ^ ^x. D. Hàm số không có vi phân tại x0. Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ^f

 

⁰ _x^lim₀ ^x²_x ^x _x^{lim (}₀ ^x ^{1) 1}



 

     

và ^f

 

⁰ _x^lim₀ ^x_x ¹



   

và ^{d (0) d}^f ^ ^x Câu 30. Cho hàm số ^y^ ^{f x}^{( )}^ ^{1 cos 2}^ ² ^x . Chọn kết quả đúng:

A. ²

sin 4

d ( ) d

2 1 cos 2

f x x x

x

 

 . B. ²

sin 4

d ( ) d

1 cos 2

f x x x

x

 

 .

C. ²

cos 2

d ( ) d

1 cos 2

f x x x

 x

 . D. ²

sin 2

d ( ) d

1 cos 2

f x x x

x

 

 .

(7)

Chọn B.

Ta có :



²



² 2 2 2

(1 cos 2 ) ' 2.2cos 2 .sin 2 sin 4

d d ( ) d 1 cos 2 d d d

2 1 cos 2 2 1 cos 2 1 cos 2

x x x x

y f x x x x x

x x x

  

     

  

Câu 31. Cho hàm số ytan x. Vi phân của hàm số là:

A. ²

d 1 d

2 cos

y x

x x



. B. ²

d 1 d

y cos x

x x



. C.

d 1 d

2 cos

y x

x x



. D. ²

d 1 d

2 cos

y x

x x



Chọn D.

Ta có :

 

2 2

1 1

d d tan .( ) 'd d

cos 2 .cos

y x x x x

x x x

 

   

 

Câu 32. Vi phân của hàm số

2 3

2 1

y x x

 

 là :

A.

 

²

d 8 d

2 1

y x

  x

 . B.

 

²

d 4 d

2 1

y x

 x

 .

C.

 

²

d 4 d

2 1

y x

  x

 . D.

 

²

d 7 d

2 1

y x

  x

 .

Chọn A.

Ta có : ²

2 3 8

d d d

2 1 (2 1)

y x x

x x

 

 

    

Câu 33. Cho hàm số

2 2

1 1 y x

x

 

 . Vi phân của hàm số là:

A. ^d^y



¹ ⁴^x^x²



² ^d^x

 

 . B. ^d^y



¹ ^x⁴²



² ^d^x

 

 . C. ²

d 4 d

y 1 x

x

 

 . D. ^d^y



¹ ^d^x^x²



²

 

 .

Chọn A.

Ta có :

2

2 2 2

1 4

d d d

1 (1 )

x x

y x

x x

   

    

Câu 34. Cho hàm số ( )f x  cos 2x . Khi đó A. ^d

 

^{sin 2} ^d

2 cos 2

f x x x

 x

 

 

. B. ^d

 

^{sin 2} ^d

cos 2

f x x x

 x

 

 

. C. ^d

 

^{sin 2} ^d

2 cos 2

f x x x

x

 

 

 

. D. ^d

 

^{sin 2} ^d

cos 2

f x x x

x

 

 

 

Chọn D.

Ta có : ^{d ( ) d}



^{cos 2}



^{(cos 2 ) '} ^d ^{sin 2} ^d

2 cos 2 cos 2

x x

f x x x x

x x

   

(8)

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số ^f có đạo hàm ^f ^'. Nếu ^f ^' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của ^f và được kí hiệu là: ^f ^'', tức là: ^f ^{'' ( ') '}^ ^f .

 Đạo hàm cấp ⁿ: Cho hàm số ^f có đạo hàm cấp n1 (với ⁿ^^^,ⁿ^²) là f⁽ⁿ^¹⁾. Nếu f⁽ⁿ^¹⁾ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp ⁿ của ^f và được kí hiệu là f^{( )}ⁿ , tức là:

( )ⁿ ( (ⁿ 1)) ' f  f ^ . Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

B – BÀI TẬP

Câu 1. Hàm số 2 y x

 x

 có đạo hàm cấp hai là:

A. ^{y }⁰. B.

 

²

1 y 2

  x

 . C.

 

²

4 y 2

   x

 . D.

 

³

4 y 2

  x

 .

Chọn D.

Ta có

 

²

2

2 2

y x

x x

 

 

      ;

   

2 4 3

2 2

2 4

2 2. 2 2

y x

x x x

   

       

Câu 2. Hàm số ^y^



^x²^¹



³ có đạo hàm cấp ba là:

A. ^y^{ }¹²



^x²^¹



_. _B.^y^{ }²⁴



^x²^¹



_.

C. ^y^{ }^{24 5}



^x²^³



_. _D.^y^{ }^–12



^x²^¹



_.

Chọn C.

Ta có y x ⁶3x⁴3x²1 ; y 6x⁵12x³6x

4 2

30 36 6

y  x  x  ; ^y^{ }¹²⁰^x³^⁷²^x^^{24 5}



^x²^³



_.

Câu 3. Hàm số ^y^ ²^x^⁵ có đạo hàm cấp hai bằng:

A.

1

(2 5) 2 5 y  x x

  . B.

1

2 5

y  x

 . C.

1 (2 5) 2 5 y   x x

  . D.

1

2 5

y   x

 . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có ^y^{ }



²^x^⁵



^ ^ _{2 2}²_x_₅ ^ ₂_x¹_₅

 

2 5 2 22 5 1

2 5 2 5 2 5 2 5

x x

y x x x x

  

      

    .

(9)

Câu 4. Hàm số

2 1

1 x x

y x

 

 

có đạo hàm cấp 5 bằng:

A.

(5)

6

120 ( 1) y   x

 . B.

(5)

6

120 ( 1) y  x

 . C.

(5)

6

1 ( 1) y  x

 . D.

(5)

6

1 ( 1) y   x

Chọn A.

Ta có

1 y x 1

  x



 

²

1 1 y 1

 x

  

 .

 

³

2 y 1

 x

 



 

3

4

6 y 1

x

  



 

4

5

24 y 1

  x

 ⁽⁵⁾ 120⁶

( 1)

y x

  

 .

Câu 5. Hàm số

2 1

1 x x

y x

  

 có đạo hàm cấp 5 bằng :

A.

 

5

6

120 y 1

  x

 . B.

 

5

120 y 1

 x

 .

C.

 

5

1 y 1

 x

 . D.

 

5

1 y 1

  x

Chọn A.

Ta có:

2 1 1

1 1

x x

y x

x x

    

  .

 

²

1 1 y 1

 x

  

 ;

 

³

2 y 1

  x

 ;

 

⁴

6 y 1

   x

 ;

 

4

5

24 y 1

 x

 ;

 

5

6

120 y 1

  x

 . Câu 6. Hàm số y x x ²1 có đạo hàm cấp ² bằng :

A.

 

3

2 2

2 3

1 1

x x

y x x

   

 

. B.

2 2

2 1

1 y x

x

  

 .

C.

 

3

2 2

2 3

1 1

x x

y x x

  

 

. D.

2 2

2 1

1 y x

x

   

Chọn C.

Ta có:

2 2

2 1

1 1 1

x x

y x x

x x

     

  ;

 

2 2

2 3

2 2 2

4 1 2 1

2 3

1

1 1 1

x x x x

x x

y x

x x x

  

 

  

  

Câu 7. Hàm số ^y^



²^x^⁵



⁵ có đạo hàm cấp 3 bằng :

A. ^y^{ }^{80 2}



^x^⁵



³_. _B.^y^{ }^{480 2}



^x^⁵



²_.

C. ^y^{  }^{480 2}



^x^⁵



²_. _D.^y^{  }^{80 2}



^x^⁵



³_.

Chọn B.

Ta có: ^y^{ }^{5 2}



^x^⁵



⁴^² ^^{10 2}



^x^⁵



⁴_;^y^{ }^{80 2}



^x^⁵



³_;^y^{ }^{480 2}



^x^⁵



²_.

Câu 8. Hàm số ytanx có đạo hàm cấp ² bằng :

(10)

A. ³ 2sin cos y x

   x

. B. ²

1 y cos

  x

. C. ²

1 y cos

   x

. D. ³

2sin cos y x

  x

Chọn D.

Ta có: ²

1 y cos

  x

.

 

4 3

2cos sin 2sin

cos cos

x x x

y x x

    

Câu 9. Cho hàm số ^y^^sin^x. Chọn câu sai.

A. ^y ^sin ^x ²

  

    . B. ^y^{ }^sin



^x^^



_.

C.

sin 3

y_{ } _x 2 _

  

 . D. ^y^{ }⁴ ^^{sin 2}



^^^x



_.

Chọn D.

Ta có: ^y ^cos^x ^sin ² ^x

 

      ; ^cos ^sin

 

y  ^2x^  x .

 

³

cos sin

y   x  ^ 2 x^;

 ⁴ ^cos ³ ^{sin 2}

 

y  ^ 2 x^ x . Câu 10. Hàm số

2 2 3 1

x x

y x

 

  có đạo hàm cấp ² bằng :

A.

 

²

2 1 y 1

   x

 . B.

 

³

2 y 1

  x

 . C.

 

³

2 y 1

x

  

 . D.

 

⁴

2 y 1

  x

 .

Chọn B.

Ta có:

2 1 1 y x 1

   x



 

²

2 1 y 1

 x

  

 ; ³

2 (1 ) y  x

 .

Câu 11. Hàm số

 

^{cos 2}

y f x _ x 3_

     . Phương trình ^f^{ }⁴

 

^x ^{ }⁸ có nghiệm ^x ^0;²

 

   là:

A. x2

. B. x0 và x6

. C. x0 và x3

. D. x0 và x2

Chọn A.

Ta có: ^y ^{2sin 2}^x ³

  

     

 . ^y ^{4cos 2}^x ³

  

     

 . ^y ^{8sin 2}^x ³

 

    

 .

 4

16cos 2

y _ x 3_

   

 

Khi đó : ^f^{ }⁴

 

^x ^{ }⁸ _^{16cos 2}_ x_3__{ }⁸

 

 

cos 2 1

3 2

x 

 

    

2 2 2

3 3

2 2 2

3 3

x k

  

   

 

    



2 6

x k

 

  

 

   



0;2

2

x x

 

 

 

  . Câu 12. Cho hàm số ^y^^sin2^x. Chọn khẳng định đúng

A. ⁴^{y y}^{ }⁰. B. ⁴^{y y}^ ^⁰. C. ^y^ ^y^^{tan 2}^x. D. ^y² ^

 

^y ² ^⁴_.

Chọn B.

(11)

Ta có: ^y^{ }^2cos2^x; ^y^{  }^4sin2^x. ^⁴^{y y}^ ^⁰. Câu 13. Cho hàm số ^y ^{f x}

 

¹

  x

. Xét hai mệnh đề :

 

^I ^:^y ^f

 

^x ²₃

   x

.

 

^II ^:^y ^f

 

^x ⁶₄

   x . Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ

 

^I _đúng. _{B. Chỉ}

 

^II _đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Chọn D.

Ta có: ² y 1

  x

; ³

y 2

  x

; ⁴

y 6

  x . Câu 14. Nếu

 

^2sin₃

cos f x x

  x

thì ^{f x}

 

_bằng

A.

1

cosx. B.

1 cosx

 . C. ^cot^x. D. ^tan^x.

Chọn D.

Vì:



^tan



¹₂

x cos

x

 

   

 

4

2cos sin cos

x x

x

  

 2sin₃

cos x

 x

. Câu 15. Cho hàm số

 

² ²

1 x x y f x

x

  

 

 . Xét hai mệnh đề :

 

^I ^:^y^^ ^{f x}^

 

¹ ( ²1)² ^0, x ¹

   x   

 .

 

^II ^:^y^^ ^f^

 

^x ( ⁴1)² ^0, x ¹

 x   

 .

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ

 

^I _đúng. _{B. Chỉ}

 

^II _đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Chọn A.

Ta có: ^y^ ^{f x}

 

2 2

1 x x

x

  

 

2 x 1

   x



 

²

1 2 y 1

 x

   

 ;

 

³

4 y 1

  x

 . Câu 16. Cho hàm số ^{f x}

  

^ ^x^¹



³_{. Giá trị} ^f^

 

⁰ _bằng

A. 3 . B. 6 . C. ¹². D. ²⁴.

Chọn B.

Vì: ^{f x}^

 

^³



^x^¹



²_; ^{f x}^

 

^⁶



^x^¹



^ ^f^

 

⁰ ^⁶_.

Câu 17. Cho hàm số ^{f x}

 

^^sin³ ^{x x}^ ²_{. Giá trị} f _{ }2

 

  bằng

A. 0 . B. ^¹. C. ^². D. 5 .

Chọn B.

Vì: ^{f x}^

 

^^{3sin cos}²^x ^x^²^x_; ^{f x}^

 

^^{6sin cos}^x ²^x^^3sin³^x^² f__{ }2 ¹

     .

Câu 18. Cho hàm số ^{f x}

 

^⁵



^x^¹



³^⁴



^x^¹



. Tập nghiệm của phương trình ^f^

 

^x ^⁰_là

A.



^^1;2



_. _B.



^^;0



_. _C.

 

^¹ _. _D.__.

(12)

Vì: ^{f x}^

 

^¹⁵



^x^¹



²^⁴_; ^{f x}^

 

^³⁰



^x^¹



^ ^{f x}^

 

^{   }⁰ ^x ¹_.

Câu 19. Cho hàm số

1 y 3

 x

 . Khi đó : A.

 

¹ ³

y 8

. B.

 

¹ ¹

y 8

. C.

 

¹ ³

y  8

. D.

 

¹ ¹

y  4 . Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì:

 

²

1 y 3

   x

 ;

 

³

2 y 3

  x

 ;

 

⁴

6 y 3

   x



 

¹ ³

y 8

  

. Câu 20. Cho hàm số ^y^



^{ax b}^



⁵_với_a_,_b là tham số. Khi đó :

A. ^y^{ }¹⁰

 

¹ ^⁰_. _B.^y^{ }¹⁰

 

¹ ^¹⁰^{a b}^ _. _C.^y^{ }¹⁰

 

¹ ^⁵^a_. _D.^y^{ }¹⁰

 

¹ ^¹⁰^a_.

Chọn A.

Vì: ^y^{ }⁵^{a ax b}



^



⁴_;^y^{ }²⁰^{a ax b}²



^



³_;^y^{ }⁶⁰^{a ax b}³



^



²_;^y^{ }⁴ ^¹²⁰^{a ax b}⁴



^



_;y^{ }⁵ 120a⁵ ;

 6 0

y  y^{ }¹⁰ 0. Do đó ^y^{ }¹⁰

 

¹ ^⁰

Câu 21. Cho hàm số ysin 2² x. Tính

 ⁴

y _{ }6

   bằng:

A. 64 . B. 64. C. 64 3 . D. 64 3.

Chọn C.

Vì: y 2sin2 2cos2x



x



2sin4x; ^y^{ }^8cos4^x ; ^y^{  }^32sin4^x;

 4 128cos4

y   x

 ⁴ 64 3

y _{ }6

    .

Câu 22. Cho hàm số ysin 2x. Tính ^y^''

A. ^y^''^{ }^{sin 2}^x B. ^y^''^{ }^4sin^x

C. ^y^{'' sin 2}^ ^x D. ^y^''^{ }^{4sin 2}^x

Chọn D.

Ta có ^y^{' 2cos 2}^ ^x^^y^''^{ }^{4sin 2}^x

Câu 23. Cho hàm số ysin 2x. Tính '''( ) y 3

,

(4)( ) y 4

A. 4 và 16 B. 5 và 17 C. 6 và 18 D. 7 và 19

Chọn A.

Ta có y''' 8cos 2 , x y⁽⁴⁾ 16sin 2x Suy ra

2 (4)

'''( ) 8cos 4; ( ) 16sin 16

3 3 4 2

y      y    

.

Câu 24. Cho hàm số ysin 2x. Tính y^{( )}ⁿ A.

( ) 2 sin(2 ) 3

n n

y  x n 

B.

( ) 2 sin(2 ) 2

n n

y  x

(13)

C.

( ) 2 sin( ) 2

n n

y x 

 

D.

( ) 2 sin(2 ) 2

n n

y x n

 

Chọn D.

Ta có

' 2sin(2 ), '' 2 sin(22 2 )

2 2

y  x y  x 

,

''' 2 sin(23 3 ) y  x 2 Bằng quy nạp ta chứng minh

( ) 2 sin(2 ) 2

n n

y  x n 

Với

1 ' 2 sin(21 ) n  y  x2

đúng Giả sử

( ) 2 sin(2 ) 2

k k

y  x k 

,

suy ra ^y⁽^k^¹⁾ ^

 

^y^{( )}^k ^{' 2}^ ^k^¹^cos(2^{x k}^ ^₂^{) 2}^ ^k^¹^{sin 2}^ ^x^⁽^k^¹⁾^₂^ Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số

2 1

2 y x

x

 



A.

( ) 1

1

(1) .3. ! ( 2)

n n

n

y n

x



 

 B.

( ) 1

1

( 1) . ! ( 2)

n n

n

y n x





 



C.

( ) 1

1

( 1) .3. ! ( 2)

n n

n

y n

x





 

 D.

( ) 1

1

( 1) .3. ! ( 2)

n n

n

y n

x





 

Chọn D.

Ta có

2 '

2 4 3

3 ( 2)

3 3.2

' , ''

( 2) ( 2) ( 2)

y y x

x x x

   

 

   

  

4

3.2.3 ''' ( 2) y  x

 . Ta chứng minh

( ) 1

1

( 1) .3. ! ( 2)

n n

n

y n

x





 



 Với

0

2 2

( 1) .3 3

1 '

( 2) ( 2)

n y

x x

    

  đúng

 Giả sử

( ) 1

1

( 1) .3. ! ( 2)

k k

k

y k

x





 



 

¹ ¹

( 1) ( )

2 2 2

( 1) .3. !. ( 2) ' ( 1) .3.( 1)!

' ( 2) ( 2)

k k k

k k

k x k

y y

x x

 



 

 

     

    

 

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số

1 , 0

y a

 ax b 



A.

( )

1

(2) . . !

( )

n n

n

y a n

ax b ^

  B.

( )

1

( 1) . . ! ( 1)

n n

n

y a n

x ^

 



C.

( )

1

( 1) . !

( )

n n

n

y n

ax b ^