Nguyên hàm cơ bản Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng. Nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)





0dx C. ^



^{k xd kx C.}



1

d .

1

n

n x

x x C

n



 



 ^



^{(axb) dn x }_a^{1 (ax}_n^_^b₁^{)n1 C.}

 1

dx lnx C.

x  



^



_ax¹_b^{dx }_a^{1lnax  b C.}

 1₂dx 1 C. x   x



^



_(ax ¹_b)^{2dx   }_{a ax}^{1 1}_b ^C.





sin dx x  cosxC. _{ sin(ax b x)d} ¹_{cos(ax b) C.}

  a  







cos dx x sinx C. _{ cos(ax b x)d} ¹_{sin(ax b) C.}

 a  



 1₂ d cot .

sin x x C

x   



^



_{sin (}^{2 d}_ax^x_b)^{ }_a^{1cot(ax b)C.}

 1₂

d tan .

cos x x C

x  



^



_{cos (}^2d_ax^x _b)^_a^{1tan(ax b)C.}





e x^xd e^x C. _{ e}^{ax b}_dx ¹_e^{ax b} _C. a

   



 d .

ln

x

x a

a x C

 a 



^



^{axdx } _^1a_ln^x_a^{ C.}

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 a Một số nguyên tắc tính cơ bản

 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ^PP  khai triễn.

 Tích các hàm mũ ^PP  khai triển theo công thức mũ.

 Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: ² 1 1 ² 1 1

sin cos2 , cos cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a

 Chứa tích các căn thức của x ^PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K nếu

A. F x'( ) f x( ), x K. B. f x'( )F x( ), x K. C. F x'( ) f x( ), x K. D. f x'( ) F x( ), x K. Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1)



x dx^{2 bằng}

A. 2x C . B. 1 ³

3x C. C. x³C. D. 3x³C NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3 là}

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1)



x x⁴d ^bằng A. 1 ⁵

5x C B. 4x³C C. x⁵C D. 5x⁵C Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1)



x dx^{5 bằng}

A. 5x⁴C. B. 1 ⁶

6x C. C. x⁶C. D. 6x⁶C. Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)



5x dx^{4 bằng}

A. 1 ⁵

5x C. B. x⁵C. C. 5x⁵C. D. 20x³C. Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2)



6x dx^{5 bằng}

A. 6x⁶C. B. x⁶C. C. 1 ⁶

6x C. D. 30x⁴C. Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)

3 dx2 x



_bằng

A. 3x³C. B. 6x C . C. 1 ³

3x C. D. x³C. Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2)



4 dx x^{3 bằng}

A. 4x⁴C. B. 1 ⁴

4x C. C. 12x²C. D. x⁴C. Câu 10. (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x4x2 là}

A. 1 ⁵ 1 ³

5x 3x C B. x⁴x²C C. x⁵x³C. D. 4x³2xC Câu 11. (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x4 là}

A. x²C. B. 2x²C. C. 2x²4xC. D. x²4xC. Câu 12. (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x6 là}

A. x²C. B. x²6x C . C. 2x²C. D. 2x²6x C . Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{cosx6x là}

A. sinx3x²C. B. sinx3x²C. C. sinx6x²C. D. sinx C . Câu 14. (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2 sinx.}

A.



^{2 sinxdx} ^{2 cosx C} ^B.



^{2 sinxdx2 cosx C}

C.



^{2 sinxdx}^{sin2x C} ^D.



^{2 sinxdxsin 2x C}

Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x là}

A. 1 ⁴ 1 ²

4x 2x C B. 3x² 1 C C. x³ x C D. x⁴x²C Câu 16. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x3 là}

A. x²3xC. B. 2x²3xC. C. x²C. D. 2x²C.

4x4C 3x²C x⁴C 1 ⁴

4x C

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A.

 

²



^{2 1}



^{2 1 .}

f x dx3 x x C



^B.



^{f x dx}

 

^1₃



^2x1



^{2x 1 C.}

C.

 

^{1 2 1 .}

f x dx 3 x C



^D.



^{f x dx}

 

^1₂ ^{2x 1 C.}

Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

² 2

f x x 2

 x . A.

 

3 1

d 3

f x x x C

  x



^{. B.}

 

3 2

d 3

f x x x C

 x



^.

C.

 

3 1

d 3

f x x x C

 x



^{. D.}

 

3 2

d 3

f x x x C

 x



^.

Câu 19. (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

5 2

f x  x

 .

A. d 1

ln 5 2

5 2 5

x x C

x   



 ^B.



_5x^d_^x₂^{ln 5x2 C}

C. d 1

ln 5 2

5 2 2

x x C

x    



 ^D.



_5x^dx_2^{5 ln 5x2 C}

Câu 20. (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{cos 3x}

A.



^{cos 3xdx}^{3 sin 3x C} ^B.



^{cos 3xdxsin 3}₃ ^xC

C.



^{cos 3xdx}^{sin 3x C} ^D.



^{cos 3xdx sin 3}₃ ^xC

Câu 21. (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x2 là}

A. 1 ⁴ 1 ³

4x 3x C B. 3x²2xC C. x³x²C D. x⁴x³C Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{exx là}

A. e^x 1 C B. e^xx²C C. 1 ² 2

ex x C D. 1 1 ²

1 2

ex x C

x  

 Câu 23. (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là

A. x²C. B. x²5x C . C. 2x²5x C . D. 2x²C. Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^7x.

A. 7

7 d ln 7

x

x x C



^B.



^{7 dx x7x1C}

C.

7 1

7 d 1

x

x x C

x



 



 ^D.



^{7 dx x7 ln 7x C}

Câu 25. (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x4x là}

A. 4x³ 1 C B. x⁵x²C C. 1 ⁵ 1 ²

5x 2x C D. x⁴ x C Câu 26. (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )3x²1 là

A. x³C B.

3

3

x  x C C. 6xC D. x³xC Câu 27. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm nguyên hàm



^{x x}



^27



^15dx?

A. ¹₂



^x27



^{16C B. }₃₂¹



^x27



^{16C C.} ₁₆¹



^x27



^{16C D.} ₃₂¹



^x27



^16C

Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x)e^3xlà hàm số nào sau đây?

A. 3e^xC. B. 1 ³

3e ^x C. C. 1

3e^x C. D. 3e^3xC. Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính

 

^{xsin 2 dx x}



^.

A.

2

2 sin

x  x C . B.

2

cos 2 2

x  x C . C. ² cos 2 2

x  xC. D.

2 cos 2

2 2

x x

C

  . Câu 30. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số ye^2x1 là

A. 2e^2x1C. B. e^2x1C. C. 1 ^{2 1} 2e

x^ C. D. 1

2e

xC.

Câu 31. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 3

f x  x

 A. ln 2x3C. B. 1

ln 2 3

2 x C. C. 1

ln 2 3

ln 2 x C. D. ^{1lg 2}



³



2 x C. Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ² 1

3^x y x

   x. A.

3

2

3 1

3 ln 3 , x x

x C C

   . B.

3

2

3 1 ,

3 x x

x C C

   .

C.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C

   . D.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C

   .

Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{sin 3x}

A. 3cos3x C . B. 3cos3x C . C. 1

3cos3xC. D. 1

3cos3x C

  . Câu 34. (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x2sinx là}

A. x³cosxC. B. 6xcosx C . C. x³cosxC. D. 6xcosx C . Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?

A. 1

ln dx x C

 x



^{. B.}



_cos¹²_x^{dxtanx C .}

C.



sin dx x cosx C ^{. D.}



^{e dx xex C.}

Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu



^{f x}

 

^{dx4x3x2C} thì hàm số ^{f x}

 

^bằng

A.

 

3 4

3

f x x  x Cx. B. ^{f x}

 

^{12x22x C .}

C. ^{f x}

 

^{12x22x. D.}

 

3 4

3 f x x x .

Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 1

cos 2 sin 2

d 2

x x x C



^{. B.}

e e

1

d 1 e

x x x C



 



 ^.

C. 1 ln

dx x C

x  



^{. D.}

e 1

e d 1

x

x x C

x



 



 ^.

Câu 38. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y2^x là A.



2^xdxln 2.2^xC^{. B.}



^{2xdx2xC. C. 2 d} _ln²₂

x

x x C



^{. D. 2 d 2} ₁

x

x x C

 x 



 ^.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

^{3 sin}

f x  x x.

A.



^{f x x}

 

^{d 3x2cosx C . B.}

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^.

C.

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^{. D.}



^{f x x}

 

^{d  3 cosx C .}

Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x xs inxlà A. x²cos x+C B. x²cos x+C C.

2

cos x+C 2

x  D.

2

cos x+C 2

x  Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:

A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .

Câu 42. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x4x2 là}

A. 4x³2x C . B. x⁴x²C. C. 1 ⁵ 1 ³

5x 3x C. D. x⁵x³C. Câu 43. (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ex2x là.}

A. e^x x²C. B. e^xx²C. C. 1 ² 1

ex x C

x  

 ^{. D.} e^x 2 C. Câu 44. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ycosx x là

A. 1 ²

sinx2x C. B. sinxx²C. C. 1 ² sinx 2x C

   . D. sinxx²C.

Câu 45. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ² 1 3 y x x

  xlà A.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

   B.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

  

C.

3 2

3 ln .

3 2

x x

x C

   D.

3 2

2

3 1

3 2 .

x x

x C

  

Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{1 sinx}

 x là A. lnxcosxC. B. 1₂

cosx C

x   . C. ln xcosx C . D. ln xcosx C . Câu 47. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số

 

^{1 3}

F x 3x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên



^{ ;}



^?

A. ^{f x}

 

^{3x2. B. f x}

 

^{ x3. C. f x}

 

^{x2. D.}

 

^{1 4}

f x  4x . Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2x.

A.



^{f x}

 

^{dx2xC. B.}

 

^d _{ln 2}²

x

f x x C



^.

C.



^{f x}

 

^{dx2 ln 2x C. D.}

 

2 1

d 1

x

f x x C

x



 



 ^.

Câu 49. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

4 2

2 f x x

x

  .

A.

 

3 1

d 3

f x x x C

 x



^{. B.}

 

3 2

d 3

f x x x C

 x



^.

C.

 

3 1

d 3

f x x x C

  x



^{. D.}

 

3 2

d 3

f x x x C

  x



^.

Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số ye^x? A. 1

y x. B. ye^x. C. ye^x. D. ylnx.

Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F x( )



e dx² , trong đó e là hằng số và 2, 718

e . A.

2 2

( ) 2

F x e x C. B.

3

( ) 3

F x  e C. C. F x( )e x C²  . D. F x( )2ex C .

Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1 2

 x

 trên

;1 2

 

 

 . A. 1

ln 2 1

2 x C. B. ^{1ln 1 2}

 

2  x C. C. 1

ln 2 1

2 x C

   . D. ln 2x 1 C. Câu 53. (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2xx là}

A.

2 2

ln 2 2

x x

C

  . B. 2^x x²C. C. 2 ² ln 2

x

x C

  . D.

2

2 2

x x

C

  . Câu 54. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 1 sinx}

A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. xcosxC. D. xcosxC. Câu 55. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f(x) 1 ^{3 2}

2 2019

3x  x  x là

A. x C

x

x   

2 3

2 12

1 4 3 ²

. B.

2

4 3

1 2

9 3 2 2019

x  x x  x C .

C.

2

4 3

1 2

12 3 2 2019

x  x x  x C . D.

2

4 3

1 2

9 3 2 2019

x  x x  x C .

Câu 56. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) 3 1 f x  x

 trên khoảng

;1 3

 

 

  ^là:

A. 1

ln(3 1)

3 x C B. ln(1 3 ) x C C. 1

ln(1 3 )

3  x C D. ln(3x 1) C Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.



2 d^x x2 ln 2^x C^{. B.}

2

2 e

e d 2

x

x x C



^.

C. 1

cos 2 d sin 2 x x2 x C



^{. D.}



_x¹_1^{dxln x 1 C}



^{  x 1}



^.

Câu 58. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

4 2

2 3

( ) x f x x

  . Khẳng định nào sau

đây là đúng?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A.

2 3 3

( ) 3 2

f x dx x C

  x



^{. B.}

2 3 3

( ) 3

f x dx x C

 x



^.

C.

2 3 3

( ) 3

f x dx x C

 x



^{. D.}



^{f x dx( ) 2x33}_x^C.

Câu 59. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số ^{f x}

 

^{2x x 1. Tìm}



^{f x}

  d x

^.

A.



^{f x}

  d x 

^{2xx2 x C. B.}



^{f x}

  d x  ln 2 1

^2x

1 2

^{x2 x C.}

C.

  d

²

1

²

2

f x

x 

x x  x C



^{. D.}



^{f x}

  d x  x 1  1

^2x

1 2

^{x2 x C.}

Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

^{3 sin}

f x  x x.

A.



^{f x x}

 

^{d 3x2cosx C . B.}

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^.

C.

 

3 2

d cos

2

f x x x  x C



^{. D.}



^{f x x}

 

^{d  3 cosx C .}

Câu 61. (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số ^{F x}

 

^ex2 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:

A. f x( )2xe^x2. B. f x( )x e^{2 x2}1. C. f x( )e^2x. D.

2

( ) 2 ex

f x  x . Câu 62. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 3^x là

A. 3 ln 3

x

C



  B. 3^xC C. 3^xln 3C D. 3 ln 3

x

C





Câu 63. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3x2 là}

A.

4 3

4  3  x x

C. B. x⁴x³C. C. 3x²2xC. D.

4 3

3  4  x x

C

Câu 64. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số yx²⁰¹⁹?

A.

2020

2020 1

x  . B.

2020

2020

x . C. y2019x²⁰¹⁸. D.

2020

2020 1 x  .

Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ² 1 3

  ^x  y x

x^. A.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C R

    B.

3 3

ln ,

3 ln 3 x x

x C C R

   

C.

3

2

3 1 ,

3 x x

C C R

  x   D.

3

2

3 1

3 ln 3 , x x

C C R

  x  

Câu 66. (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

^{2017 2018}₅

x

x e

f x e

x

  

   

 

.

A. ^{f x}

 

^{dx 2017ex 2018}₄ ^C

  x 



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx2017ex2018}_x^{4 C.}

C. ^{f x}

 

^{dx 2017ex 504,5}₄ ^C

  x 



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx2017ex504,5}_x^{4 C.}

Câu 67. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ₂ cos

x

x e

y e

x

  

   

 

là

A. 2e^x tanx C B. 2e^xtanx C C. 1 2 cos

ex C

 x D. 1

2 cos

ex C

 x Câu 68. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

  

^{ x1}



^x2



^{x3 ?}



A.

 

4

3 11 2

6 6

4 2

F x x  x  x  x C . B. ^{F x}

 

^{x46x311x26x C .}

C.

 

4

3 11 2

2 6

4 2

F x x  x  x  x C . D. ^{F x}

 

^{x36x211x26x C .}

Câu 69. (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

5 4

 

f x x là:

A. ^{1ln 5}



⁴



5 x C. B. ln 5x4C. C. 1

ln 5 4

ln 5 x C. D. 1

ln 5 4 5 x C.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)





0dx C. ^



^{k xd kx C.} 

 

1

d .

1

n

n x

x x C

n



 



   ^ 



^{(axb) dn x }_a^{1 (ax}_n^_^b₁^{)n1 C.} 

  1

dx lnx C.

x  



  ^ 



_ax¹_b^{dx }_a^{1lnax  b C.} 

  1₂ 1

dx C.

x   x



  ^ 



_(ax ¹_b)^{2dx   }_{a ax}^{1 1}_b ^C. 

 



sin dx x  cosxC.  _{  sin(ax b x)d} ¹_{cos(ax b) C.}

  a  



 

 



cos dx x sinx C.  _{  cos(ax b x)d} ¹_{sin(ax b) C.}

 a  



 

  1₂

d cot .

sin x x C

x   



  ^ 



_{sin (}^{2 d}_ax^x_b)^{ }_a^{1cot(ax b)C.} 

  1₂

d tan .

cos x x C

x  



  ^ 



_{cos (}^2d_ax^x _b)^_a^{1tan(ax b)C.} 

 



e x^xd e^x C.  _{  e}^{ax b}_dx ¹_e^{ax b} _C. a

   



 

  d .

ln

x

x a

a x C

 a 



  ^ 



^{axdx } _^1a_ln^x_a^{ C.} 

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 a  Một số nguyên tắc tính cơ bản

 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ^PP  khai triễn.

 Tích các hàm mũ ^PP  khai triển theo công thức mũ.

 Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: ² 1 1 ² 1 1

sin cos2 , cos cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a

 Chứa tích các căn thức của x ^PP  chuyển về lũy thừa. 

Câu 1. (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  1

\ 2

  

 

   thỏa  mãn 

 

^{2 ,}

 

^{0 1,}

 

^{1 2}

2 1

f x f f

  x  

 . Giá trị của biểu thức  ^f

 

^{1  f}

 

^{3  bằng}

A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15  

Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho ^{F x}

 

 là một nguyên hàm của 

 

¹

 1 f x 

x  trên khoảng 



^1;



 ^thỏa 

mãn ^{F e}



^1



^{4Tìm F x}

 

^. 

NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25

A. ^{2 ln}



^x1



^{2  B. ln}



^x1



^{3 C. 4 ln}



^x1



  ^{D. ln}



^x1



^3

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho ^{F x}

 

  là một nguyên hàm của hàm  số 

 

^{1 ,}

f x 2

 x

   biết ^F

 

^{1 2.} Giá trị của ^F

 

^{0  bằng} 

A. 2 ln 2. B. ln 2. C. ^2ln



^{2 .}



^{D. ln}

 

^{2 .}

Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  ^{F x}

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

 

¹

2 1

f x  x

 ^; biết F

 

^{0 2. Tính F}

 

^{1 .} 

A. ^F

 

^{1  1}₂^{ln32.  B. F}

 

^{1 ln32.  C. F}

 

^{1 2 3 2ln  .  D. F}

 

^{1  1}₂^ln32. 

Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số ^{F x}

 

 là một nguyên hàm của hàm số  1

yx trên 



^;0



 

thỏa mãn ^F

 

^{2 0}. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A.

 

^ln



^;0



2 F x x x

     

   

B. ^{F x}

 

^{ln xC   x}



^;0



 ^với C là một số thực bất kì. 

C. ^{F x}

 

^{ln xln 2  x}



^;0



^. 

D. ^{F x}

 

^ln



^x



^{C   x}



^;0



 ^với C là một số thực bất kì. 

Câu 6. (THPT  Minh  Khai Hà Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  ^{f x}

 

  xác  định  trên  ^{R\ 1}

 

  thỏa  mãn 

 

¹

f x 1

  x

 ^{,  f}

 

^{0 2017,  f}

 

^{2 2018. Tính S f}

 

^{3  f}

 

^{1 .} 

A. Sln 4035.  B. S4.  C. S ln 2.  D. S1. 

Câu 7. (Mã 105 2017)  Cho _{F x}

 

  là một nguyên hàm của hàm  số  f x( )e^x2x ^thỏa mãn 

 

_{0 }³ F 2.  Tìm _{F x}

 

.

A.

 

_{ } ²_¹ 2

F x ex x B.

 

_{ } ²_⁵ 2 F x ex x C.

 

_{ } ²_³

2

F x ex x D.

 

_{2 } ²_¹ 2 F x ex x  

Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết ^{F x}

 

 là một nguyên hàm của hàm số  ^{f x}

 

^e2x 

và ^F

 

^{0 0}. Giá trị của ^F



^{ln 3}



 ^bằng 

A. 2.  B. 6.  C. 8.  D. 4. 

Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết ^{F x}

 

 là một nguyên hàm của hàm số e^2x và 

 

^{0 201}

F  2  Giá trị  1

F 2

   ^là  A. 1

2e200 B. 2e100 C. 1

2e50 D. 1 2e100

Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  ^{f x}

 

  có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 

 

^{2e2x 1,}

f x   ^{x f,}

 

^{0 2. Hàm f x}

 

 ^là 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số  ^{f x}

 

^{2x e x}. Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

 của hàm số  ^{f x}

 

 

thỏa mãn ^F

 

^{0 2019.} 

A. ^{F x}

 

^{x2ex2018.  B. F x}

 

^{x2ex2018.} 

C. ^{F x}

 

^{x2ex2017.  D. F x}

 

^{ex2019.} 

Câu 12. Gọi ^{F x}

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  ^{f x}

 

^2x,  thỏa  mãn 

 

^{0 1}

F ln 2.  Tính  giá  trị  biểu  thức ^{T F}

 

^{0 F}

 

^{1 ...F}



²⁰¹⁸



^F



²⁰¹⁹



^. 

A.

22019 1 1009.

T ln 2

 .  B. T 2^2019.2020. 

C.

22019 1 T ln 2

 .  D.

22020 1 T ln 2

 . 

Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

 của hàm số  ^{f x}

 

^{sinxcosx thoả mãn  2}

F2

 

  . A. ^{F x}

 

^{ cosxsinx3 B. F x}

 

^{ cosxsinx1}

C. ^{F x}

 

^{ cosxsinx1 D. F x}

 

^{cosxsinx3} 

Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số  ^{f x}

 

 ^{thỏa mãn f x'}

 

^{ 3 5 sinx và f}

 

^{0 10}. Mệnh đề nào dưới  đây đúng?

A. ^{f x}

 

^{3x5 cosx15 B. f x}

 

^{3x5 cosx2}

C. ^{f x}

 

^{3x5 cosx5 D. f x}

 

^{3x5 cosx2} 

Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  ^{f x}

 

 ^{thỏa mãn  f}

 

^{x  2 5sinx và  f}

 

^{0 10. Mệnh đề} 

nào dưới đây đúng? 

A. ^{f x}

 

^{2x5 cosx3.  B. f x}

 

^{2x5 cosx15.} 

C. ^{f x}

 

^{2x5 cosx5.  D. f x}

 

^{2x5 cosx10.} 

Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  ^{F x}

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 

 

^{cos 3}

f x  x và  2

2 3

F 

 

  ^. Tính F9

 

 ^. 

A. 3 2

9 6

F  

 

    B. 3 2

9 6

F  

 

    C. 3 6

9 6

F  

 

    D. 3 6

9 6

F  

 

   

Câu 17. (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  ^{F x}

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

¹₂

f x cos

 x. Biết 

F 4 k k

 

 

 

   ^với mọi k. Tính ^F

 

^{0 F}

 

^{ F}



^



^...F



^10



^. 

A. 55.  B. 44.  C. 45.  D. 0. 

Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi ^{F x}

 

 là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2x, thỏa mãn 

 

0 ¹

F ln 2. Tính giá trị biểu thức ^{T F}

 

^{0 F}

 

^{1 F}

 

^{2 ...F}



²⁰¹⁹



^. 

A.

22020 1 T ln 2

 .  B.

22019 1 1009.

T 2

 .  C. T 2^2019.2020.  D.

22019 1 T ln 2

 . 

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

“ Nếu 



^{f x dx}

 

^{F x}

 

^C thì 



^{f u x}

   

^{. 'u x dx}

 

^{F u x}

   

^C”. 

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I



f x dx

 

, trong đó ta có thể phân tích 

     

^'

 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số ^{tu x}

 

 

 

' dt u x dx

  . Khi đó: ^I



^{g t dt}

 

^{G t}

 

^{CG u x}

   

^C 

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ^{tu x}

 

 

1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp   



f ax b x x(  )ⁿ d   ^PP t ax b .

    ( ) ( )d ( ).

b

n PP n

a

f x f x x  t f x





   (ln ) d1 ln .

b

PP a

f x x t x

x  





   ( ) d .

b

PP

x x x

a

f e e x t e





   (sin ) cos d sin .

b

PP a

f x x x t x





   (cos ) sin d cos .

b

PP a

f x x x t x





2

   (tan ) 1 d tan .

cos

b

PP a

f x x t x

x  





   (sin cos ).(sin cos )d sin cos .

b

a

f x x x x x t x x





2 2 2

   f( a x )x ⁿdx ^PP x asin .t





  





  ^{ f}



^{( x2 a2)m}



^{x2ndx PP x atan .t}



  





   a x d ^PP cos 2 .

f x x a t

a x





  

 

 

 

 







   d .

( )( )

x<