50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2022) – Toán 12

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x₂ ∈ K, x1 < x₂ ⇒ f(x1) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) >

f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K – Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ + 3x² – 9x – 7 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^3;1



^.

B. Hàm số đồng biến trên



^{ 9; 5}



^.

C. Hàm số đồng biến trên R.

D. Hàm số đồng biến trên



^5;



^.

Lời giải

Tập xác định: D .

Ta có: y 3x² 6x9; y 0 ^{x 1} x 3

 

      Bảng biến thiên:

 3 1



y  0  0  y



42

10



Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:



^{ ; 3 , 1;}

 

^



. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^3;1



^.

Chọn C.

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y  x⁴ 2x² 4 là

A. ( 1;0) và (1;). B. (;1) và (1;).

C. ( 1;0) và (0;1). D. ( ; 1) và (0;1).

Lời giải

Tập xác định: D .

Ta có: y  4x³4x; y 0 ^{x 0} x 1

 

      Bảng biến thiên

x  1 0 1 

y  0  0  0 

y



3

4

3



Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:



^{ ; 1 , 0;1}

  

. Hàm số nghịch biến trên các khoảng:



^{1;0 , 1;}

 

^



^.

Chọn A.

Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số 2x 1

y x 2

 

 . A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Tập xác định: ^{D \}

 

^{2 .Ta có:}

 

²

y 5 0, x 2

x 2

     

 . Nên hàm số đồng

biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên

x  2 

y  

y

2





2

Kết luận: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 3 2 2x. Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2;2). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) và đồng biến trên khoảng ( 2;2). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;1) và đồng biến trên khoảng (1;2) . Lời giải

Tập xác định: ^{D }



^;2



^.

Đạo hàm: y 1 ^{1 2 x 1}

2 x 2 x

     

  ; y  0 2     x 1 x 1 y 6.

Bảng biến thiên:

x  1 2 

y  

y



6 5

Kết luận: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^;1



và nghịch biến trên khoảng

 

^{1;2 .}

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số x ²

y sin x,

 2 với ^x

 

^0; . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

 

^0; . B. Hàm số nghịch biến trên

 

^{0; .}

C. Hàm số nghịch biến trên 7 0;12

 

 

 . D. Hàm số nghịch biến trên 7 11 12 12;

 

 

 

 . Lời giải

Tập xác định: ^D

 

^0;

Đạo hàm: 1 1

y 2sin x cos x sin 2x

2 2

     ; 1

y 0 sin 2x

    2.

2x k2 x k

6 12

(k )

7 7

2x k2 x k

6 12

 

         

 

  

 

       

 



. Do ^x

 

^{0; x 11}12 k 7

x 12

  

   

    

 



.

Bảng biến thiên

x 0 7

12

 11 12



 y + 0  0 +

y

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số y = -x + 3x - 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 3 2 đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^;1



^và



^1;



^.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



và nghịch biến trên khoảng



^1;



^.

D. Hàm số luôn đồng biến trên R.

Câu 2. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên R?

A. h(x) = x - 4x + 4 . ^{4 2} B. g(x)x³3x² 10x 1 . C. . D. k(x)x³10xcos x² . Câu 3. Hỏi hàm số

x2 3x 5

y x 1

 

  nghịch biến trên các khoảng nào ? A. ( ; 4)và (2;). B.



^4;2



^.

C.



^{ ; 1}



^và



^{ 1;}



^{. D.}



^{ 4; 1}



^và



^1;2



^.

Câu 4. Hỏi hàm số 3 ^{5 4 3}

y x 3x 4x 2

5    đồng biến trên khoảng nào?

A. (;0). B. R. C. (0;2) . D. (2;).

Câu 5. Cho hàm số yax³ bx² cxd. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên R khi nào?

A. 2

a b 0,c 0 a 0;b 3ac 0

  

   

 . B.

2

a b 0,c 0 a 0;b 3ac 0

  

   

 .

C. ^{a b} ₂^{0,c 0} a 0;b 3ac 0

  

   

 . D. ^{a b} ₂^{c 0} a 0;b 3ac 0

  

   

 .

Câu 6. Cho hàm số y 3x² x³ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

^{0;2 .}

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng



^{;0 ; 2;3}

  

^.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



^{;0 ; 2;3}

  

^.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

^{2;3 .}

Câu 7. Cho các hàm số sau:

3 2

(I) : y 1x x 3x 4

3    ;

(II) : y x 1

x 1

 

 ; (III) : y x² 4

(IV) : yx3 4xsin x; (V) : yx⁴ x² 2 .

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Câu 8. Cho các hàm số sau:

; ;

(III) : y  x3 2; x 2

(IV) : y

1 x

 

 Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

A. (I), (II). B. (I), (II) và (III).

C. (I), (II) và (IV). D. (II), (III).

Câu 9. Xét các mệnh đề sau:

(I). Hàm số y  (x 1)³ nghịch biến trên R.

(II). Hàm số x

y ln(x 1)

   x 1

 đồng biến trên tập xác định của nó.

(III). Hàm số

2

y x

x 1

  đồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 10. Cho hàm số y  x 3 2 2x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ ; 2}



và đồng biến trên khoảng



^2;2



^.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ ; 2}



và nghịch biến trên khoảng



^2;2



^.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



và nghịch biến trên khoảng

 

^{1;2 .}

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^;1



và đồng biến trên khoảng

 

^{1;2 .}

Câu 11. Hàm số 2x 3

y 4 x

 

 . Chọn phát biểu đúng:

A. Luôn đồng biến trên R.

B. Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Luôn nghịch biến trên R.

Câu 12. Cho hàm số . Khoảng đồng biến của hàm số này là

A. (0;). B. (;0). C. (2;). D. (0; 2).

Câu 13. ho hàm số: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. f(x) nghịch biến trên khoảng (5 0). B. f(x) giảm trên khoảng . C. f(x) nghịch biến trên khoảng ( 3 ; 1)  . D. f(x) đồng biến trên

khoảng .

Câu 14. (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017). Hàm số nào đồng biến trên khoảng ( ; ):

A. y  x³ 3x. B. yx³ x. C. x 1

y x 2

 

 . D. x 1

y x 3

 

 . Câu 15. Tập xác định của hàm số là:

A. D = R \ { 1} . B. D = R. C. R\{2}. D. DR \ {0}. Câu 16. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y2xcos x luôn đồng biến trên . B. Hàm số y  x³ 3x 1 luôn nghịch biến trên . C. Hàm số 2x 1

y x 1

 

 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

D. Hàm số y2x⁴ x² 1 luôn nghịch biến trên (-∞;0).

Câu 17. Cho hàm số y 2xx² . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2). B. (0;1). C. (1;2). D. (-1;1).

Câu 18. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? A. 2x 1

y x 1

 

 . B. y2xcos 2x5. C. yx³ 2x²  x 1. D. y x²  x 1.

Câu 19. Cho y2x⁴ 4x². Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -∞; -1) và (0;1).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;+ ∞).

C. Trên các khoảng (-∞;- ) và (0 ), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

D. Trên các khoảng (-1;0) và (1;+ ∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Câu 20. (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên R.

A. x 1

y x 3

 

 . B. 2 . C. x 1

y x 2

 

 . D. y = 2x + 3.

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C D B A B C A A C C D B B D C C B B D

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- ác bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm ^{g x}

 

^.

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho ^{g x}

 

^.

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của ^{g x}

 

vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ. Cho hàm số ^{yf x}

 

có bảng biến thiên như hình bên Hàm số

 

y 2018.f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x  1 

y  

y

0

 

0

A.



^{;0 .}



B.



^1;



^{. C.}



^0;



^. D.



^{;1 .}



Lời giải

Đặt ^{g x}

 

^{ 2018.f x}

 

^{, ta có: g x}

 

^{ 2018.f x}

 

^.

Xét ^{g x}

 

^{ 2018.f x}

 

^{ 0 f x}

 

^{  0 x 1.}

Vậy hàm số ^{y 2018.f x}

 

đồng biến trên khoảng



^1;



^.

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số ^{yf x}

 

có đạo hàm liên tục trên



^3;3



và hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng nào?

A.

 

^{2;3 . B.}

 

^{0;2 . C.}



^1;0



^{. D.}



^{ 3; 1}



^.

Câu 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 3. Cho hàm số ^{yf x}

 

^{. Biết} f x có đạo hàm là

 

^{f x}

 

và hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên.

 

f x

^1; ^1;1  ^0;1 ^1;0

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số ^{yf x}

 

chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^{1;3 .}

C. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng



^;2



^.

D. Hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng



^4;



^.

Câu 4. Cho hàm số f x xác định trên

 

và có đồ thị của hàm số ^{f x}

 

^{như hình}

vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng



^{ ; 2 ; 0;}

 

^



^.

B. Hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{2;0 .}



C. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng



^{ 3;}



^.

D. Hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng



^;0



^.

Câu 5. Cho hàm số f x xác định trên

 

và có đồ thị của hàm số ^{f x}

 

^{như hình}

vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng



^{4;2 .}



B. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng



^{ ; 1 .}



C. Hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^{0;2 .}

D. Hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{ ; 4}



^và



^2;



^.

Câu 6. Cho hàm số f x có đạo hàm

 

f ' x xác định, liên tục trên

 

và ^{f ' x có}

 

đồ thị như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên



^1;



^.

B. Hàm số đồng biến trên



^{ ; 1}



^và



^3;



^.

C. Hàm số nghịch biến trên



^{ ; 1 .}



D. Hàm số đồng biến trên



^{  ; 1}

 

^3;



^.

Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm

 

^{f x}

 

xác định, liên tục trên và ^{f ' x có}

 

đồ thị như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^{;1 .}



B. Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^;1



^và



^1;



^.

C. Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^1;



^.

D. Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên .

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax4 bx3 cx2 dxe}



^a0



. Biết rằng hàm số

 

f x có đạo hàm là ^{f ' x}

 

và hàm số ^{yf ' x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên.

Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A. Trên



^2;1



thì hàm số f x luôn tăng.

 

B. Hàm f x giảm trên đoạn

  

^1;1



^.

C. Hàm f x đồng biến trên khoảng

  

^1;



^.

D. Hàmf x nghịch biến trên khoảng

  

^{ ; 2}



Câu 9. Cho hàm số ^{yf x}

 

liên tục và xác định trên . Biết f x có đạo hàm

 

 

f ' x và hàm số ^{yf ' x}

 

có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f x đồng biến trên

 

. B. Hàm số f x nghịch biến trên

 

.

C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng

   

^0;1

D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng

  

^0;



^.

Câu 10. ho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0) B. (-∞ 0) C ( +∞) D. (0;1)

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D C B C B B C B C D

Dạng 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Cho hàmyf (x) hoặc hàm yf '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x)f (u(x)).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm g'(x)f '(u(x)).u '(x)

- Xét dấu g '(x) dựa vào dấu của f '(u(x)) và u '(x) theo quy tắc nhân dấu Lưu ý khi xét dấu f '(u(x)) dựa vào dấu của f '(x) như sau: Nếu f '(x) không đổi dấu trên

D thì f '(u(x)) không đổi dấu khi u(x)D.

Bài toán 2: Cho hàm yf (x)hoặc yf '(x)xét sự biến thiên của hàm g(x)f (u(x))h(x).

Phương pháp:

- Tính g'(x)u '(x).f '(u(x))h '(x)

- Lập bảng xét dấu g '(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức u '(x).f '(u(x)) và h '(x) .

Bài toán 3: Cho hàmyf (u(x)) hoặc hàm yf '(u(x)) xét sự biến thiên của hàm yf (x).

Phương pháp: Giả sử ta có: f '(u(x))  0 x D . Ta cần giải BPT f '(x)0. - Đặt tu(x) x v(t)

- Giải bất phương trình: f '(t) 0 f '(u(x))    0 x D x v(t)  D t D'. - Vậy f '(x)  0 x D'.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. ho hàm số f (x) , bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Hàm số f (5 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3). B. (0;2).

C. (3;5). D. (5 +∞).

Lời giải

Ta có yf (5 2x)   y' 2f '(5 2x)

Hàm số nghịch biến khi y' 2f '(5 2x)  0 f '(5 2x) 0. Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi f '(x) 0 ^{x 1}

3 x 1

 

     

Nên f '(5 2x) 0 ^{5 2x 1 3 x 4} 3 5 2x 1 x 2

   

 

        

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

^{3;4 và}



^;2



^.

Chọn B

Ví dụ 2. Cho hàm số ^{yf x}

 

có đạo hàm trên và có đồ thị hàm ^{f x}

 

như hình vẽ dưới đây Hàm số ^{g x}

 

^{f x}



^{2 x}



đồng biến trên khoảng nào?

A. 1 2;1

 

 

 . B.

 

^{1;2 .}

C. 1

1;2

 

 

 . D.



^{ ; 1}



^.

Lời giải

Ta có: ^{g x}

 

^{f x}



^{2 x}



^{g x}

  

^{ 2x 1 f x}



^



^{2 x}



^.

^{5 2} 

y f  x

  

²



²₂

x 1

1 2

x 2 x 0

2x 1 0

g x 0 x x 0 x 1

f x x 0

x 1 x x 2

x 2

 

  

  

    

              

  



Từ đồ thị ^{f x}

 

ta suy ra ^{f x}

 

^{  0 x 2}

Do đó : ^{f x}



^{2 x}



^{0 x2 x 2 x 2}

x 1

 

         

(Ta cần xác định một loại dấu của^{f ' x}



^{2 x}



⁾

Bảng xét dấu ^{g x}

 

^:

Từ bảng xét dấu ta có hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng 1 1;2

 

 

 . Chọn C.

Lưu ý: Dấu của ^{g x}

 

ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức



^{2x 1}



^{và f x}



^{2 x}



^.

Ví dụ 3. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

 

Hàm số ^{y3f x}



^2



^x33x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;



^{. B.}



^{ ; 1}



^.

C.



^1;0



^{. D.}

 

^{0;2 .}

Lời giải

Ta có ^{y3f x}



^2



^{3x2  3 3 f '(x}_ ^{  2) (1 x )2 }_

Xét f '(x2)   0 x 2 {1,2,3,4}  x { 1,0,1,2}

Xét 1 x ²   0 x 1, x 1

Lại có: f '(x 2) 0 ^{1 x 2 3 1 x 1}

x 2 4 x 2

     

 

        và 1 x ²     0 1 x 1 Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng



^1;0



hàm số đồng biến.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên . Hàm số yf '(3x 1) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số yf (x)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

^{2;6 . B.}



^{ ; 7}



^.

C.



^{ ; 6}



^{. D. ; 1}

3

  

 

 . Lời giải

Ta cần giải BPT dạng f '(x)0. Ta có f '(3x 1) 0 ^{x 2}

1 x 2

  

     

Đặt t 1

t 3x 1 x

3

    

Do đó:

t 1 2

x 2 3 t 7

f '(t) 0 f '(3x 1) 0

1 x 2 t 1 2 t 5

1 2

3

   

    

 

               



Vậy f '(x) 0 ^{x 7} 2 x 5

  

     . Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số yf (x) có 7 ²

f 2x 3x 12x 9

2

 

     

  . Hàm số

yf (x)nghịch biến trên khoảng nào sau đây A. 1 9

4 4;

 

 

 . B. 9

4;

 

 

 . C. 5 3

2 2;

 

 

 . D. 5

; 2

  

 

 . Lời giải

Ta cần giải bất phương trình f (x) 0.

Từ 7 ²

f 2x 3x 12x 9

2

 

      7 2

f 2x 0 3x 12x 9 1 x 3

2

 

         

  .

Đặt 7

t 2x

  2 7 2t

x 4

   Khi đó ta có

 

^{7 2t 5 3}

f t 0 1 3 t

4 2 2

          .

Vậy hàm số yf (x) nghịch biến trên khoảng 5 3 2 2;

 

 

 . Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hàm số ^{yf x}

 

có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số

 

yf 3x 5 như hình vẽ. Hàm số ^{yf x}

 

nghịch trên khoảng nào?

A.



^;8



^{. B. 7;}

3

 

 

 . C. 4

3;

 

 

 . D.



^;10



^.

Bài 2. Cho hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị hàm số ^{yf 2}



^x



như hình vẽ bên. Hỏi hàm số ^{yf x}

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^2;4



^{. B.}



^1;3



^{. C.}



^2;0



^{. D.}

 

^{0;1 .}

Bài 3. Cho hàm số ^{yf x}

 

có đạo hàm trên Đồ thị hàm số ^{yf x}

 

^{như hình}

vẽ bên dưới.

Hàm số ^{g x}

   

^{f x x3 x2 x 2}

  3    đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.



^1;0



^{. B.}

 

^{0;2 . C.}

 

^{1;2 . D.}

 

^0;1

Bài 4. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số ^{yf x}

 

. Hàm số

 

yf x có đồ thị như hình bên Hàm số ^{yf 2}



^x



đồng biến trên khoảng:

A.

 

^{1;3 . B.}



^2;



^.

C.



^2;1



^{. D.}



^;2



^.

Bài 5. (Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) liên tục trên và có đạo hàm f’(x) thỏa mãn f’(x) = ( -x)(x+2)g(x) + 2018 với . Hàm số y = f(1-x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

A. ( +∞) B. (0;3)

C. (-∞ 3) D. (4 +∞)

Bài 6. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số ^{yf x}



^{2 2x}



nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^2;1



^{. B.}



^{ 4; 3}



^.

  ^0,

g x   x

O x

y

1

1 4

 

y f x

C.

 

^{0;1 . D.}



^{ 2; 1}



^.

Bài 7. Cho hàm số f (x) . Biết hàm số f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số yf (3 x ) 2 2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A.



^1;0



^{. B.}

 

^2;3

C.



^{ 2; 1}



^{. D.}

 

^{0;1 .}

Bài 8. Cho hàm số f x liên tục trên

 

, hàm số ^{yf x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số ^{h x}

 

^{2f 3x 1}



^{ }



^{9x2 6x4}. Hãy chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số h x nghịch biến trên

 

. B. Hàm số h x nghịch biến trên

 

1;1 3

 

 

 

C. Hàm số h x đồng biến trên

 

1 1;3

 

 

 . D. Hàm số h x đồng biến trên

 

.

Bài 9. (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên là f’(x) = (x-1)(x+3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;20] để hàm số y = f(x²+3x-m) đồng biến trên khoảng (0;2)?

A. 18 B. 17 C. 16 D. 20

R

Bài 10. Cho hàm số f x có đồ thị của hàm số

 

^{yf x}



^2



^2 như hình vẽ.

Hỏi hàm số ^{yf x}

 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;1



^{. B.}



^;2



^.

C. 3 5 2 2;

 

 

 . D.



^{2; }



^.

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A C D C D D A C A A

Phần II. Các bài toán có chứa tham số.

Dạng 4. Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định (khoảng xác định) của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số yax³bx² cxd đơn điệu trên . Bước 1: Tập xác định: D .

Bước 2: Đạo hàm y 3ax² 2bxc . Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a0).

- Hàm số đồng biến trên ^y

y

a 0

y 0, x

0





 

        m.

- Hàm số nghịch biến trên ^y

y

a 0

y 0, x

0





 

        m.

Lưu ý: Nếu hàm bậc ba yax³ bx² cxd có a chứa tham số thì ta cần xét a0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên hay không.

- Không xét bài toán tìm m để hàm số yax⁴ bx² c đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm là x = 0.

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số ax b y cx d

 

 (c0, adbc0) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: d

D \

c

 

  

 . Bước 2: Đạo hàm: ad bc₂

y (cx d)

  

 . Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định    y 0, x D adbc0

m.

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định    y 0, x D adbc0

m.

Lưu ý: Nếu hàm số ax b y cx d

 

 có c chứa tham số thì ta nên xét c0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không.

Mở rộng:

* Tìm tham số mđể hàm số

ax2 bx c

y dx e

 

  (ad0) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: e

D \

d

 

  

 . Bước 2: Đạo hàm:

2

2

Ax Bx C y (dx e)

 

   với A ^{a b} 0

 0 d  , B 2^{a c}, C ^{b c} 0 e d e

  .

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định   y 0, x D

2 A 0

Ax Bx C 0, x

0

 

         m.

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định   y 0, x D

2 A 0

Ax Bx C 0, x

0

 

         m.

Lưu ý: Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số

2 2

ax bx c

y dx ex f

 

   thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên.

- Đối với bài toán 2, đạo hàm ychỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho y0, y0. Lý do là nếu ta cho y 0 thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y 0 tại một số hữu hạn điểm x mà thôi).

* Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên . Cách 1.

- Tính đạo hàm ^{yf x}

 

^{, cho yf x}

 

^0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên . (Ngược lại: ^{yf x}

 

^0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên .) - Cô lập m để có được dạng ^{g m}

   

^{h x}

(hoặc ^{g m}

           

^{h x ; g m h x ; g m h x ).}

- Tìm Max-Min cho hàm số h x trên . (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm

 

 

h x ).

- Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.

Cách 2. Đặt tsin x (hoặc tcos x) với điều kiện ^{t }



^{1;1 .}



Bất phương trình:

   

t sin x

a.1 b 0

a sin x b 0, x at b 0, t 1;1

a. 1 b 0



  

               Hoàn toàn tương tự:

   

t cos x

a.1 b 0

a cos x b 0, x at b 0, t 1;1

a. 1 b 0



  

               . 2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số ^{y  x3 mx2 }



^{4m9 x}



^{5 với} m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



^?

A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.

Lời giải

TXĐ: D .

Đạo hàm y' 3x²2mx4m 9.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



^{   y' 0, x}

( y'0 có hữu hạn nghiệm).

Do a = -3 < 0 nên y’ ≤ 0^{   ' 0 m2 3 4m}



^9



     ^{0 9 m 3}.

 

m^ m 9; 8;...; 3 .

    

Vậy có 7 giá trị m thoả mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



^thì

y' 0, x

    '' Khi đó ra giải ra 9   m 3 và chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số ^x2



^{m 1 x 1}



y 2 x

  

  (m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi các giá trị của m là:

A. m 1 . B. m 1. C. 5

m 2. D.   1 m 1. Lời giải

Tập xác định: ^{D \ 2}

 

^.

Đạo hàm:

   

 

2

2 2

x 4x 2m 1 g x y

2 x 2 x

   

  

  .

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y   0, x D (Dấu " " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D )

^{g x}

 

^{  x2 4x2m 1 0,   x D.}

Do a = - < 0, nên g(x) ≤ 0

   

g

0 4 1 . 2m 1 0 2m 5 0 m 5

 2

              . Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Hàm số y = x³ + mx đồng biến trên khi:

A. Chỉ khi m = 0. B. Chỉ khi m ≥ 0.

C. Chỉ khi m ≤ 0. D. Với mọi m.

Câu 2. Tìm m lớn nhất để hàm số ^{y 1x3 mx2}



^{4m 3 x}



²⁰¹⁷

3     đồng biến

trên ?

A. m = 1. B. m = 2. C Đáp án khác. D. m = 3.

Câu 3. Hàm số ^{y mx3 2x2}



^{m 3 x}



^m

 3     luôn đống biến trên thì giá trị m nhỏ nhất là:

A. m = - 4. B. m = 0. C. m = - 2. D. m = 1.

Câu 4. Hàm số ^{y 1x3}



^{m 1 x}



⁷

 3    nghịch biến trên thì điều kiện của m là:

A. m > 1. B. m = 2. C. m ≤ . D. m ≥ 2.

Câu 5. Hàm số ^y



^{m 2}



^x3



^{m 2 x}



²



^{m 8 x}



^{m2 1}

  3       nghịch biến trên

thì:

A. m < - 2. B. m > - 2. C. m ≤ -2. D. m ≥ - 2.

Câu 6. Cho hàm số ^yx3



^{m 1 x}



^{2 }



^{2m2 3m2 x}



^{2m 2m 1}



^



^{. Khẳng}

định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến.

B. Hàm số luôn đồng biến.

C. Hàm số không đơn điệu trên . D. Các khẳng định A, B, C đều sai.

Câu 7. Tìm điều kiện của a, b để hàm số y2xa sin xbcos x luôn luôn đồng biến trên .

A. a² b² 2. B. a² b² 2. C. a² b² 4. D. a² b² 4.

Câu 8. Giá trị của b để hàm số ^{f x}

 

^{sin xbxc} nghịch biến trên toàn trục số là:

A. b 1 . B. b 1 . C. b 1 . D. b 1 . Câu 9. Nếu hàm số



^{m 1 x 1}



y 2x m

 

  nghịch biến thì giá trị của m là:

A.



^;2



^{. B.}



^2;



^{. C. \ 2 .}

 

^D.



^1;2



^.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số và  sao cho hàm số

3

x 1 2 3

y f (x) (sin cos )x x sin cos 2

3 2 2

             luôn giảm trên ?

A. k k , k

12 4

         và  2.

B. 5

k k , k

12 12

         và  2.

C. k , k 4

     và  2.

D. 5

k , k 12

     và  2.

Câu 11. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số yf (x)2xa sin xbcosx luôn tăng trên ?

A. 1 1

a  b 1. B. a2b2 3. C. a² b² 4. D. 1 2

a 2b

3

   .

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số x m 2

y x 1

  

 giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

A. m 3 B. m 3 C. m 1 D. m 1

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên ?

3 2

y 1x mx (2m 3)x m 2

 3     

A. 3 m 1   . Bm 1 . C. 3 m 1   . D. m 3;m 1 . Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

x2 (m 1) 2m 1

y x m

   

  tăng trên từng khoảng xác định của nó?

A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

yf (x) x mcos x luôn đồng biến trên ? A. m 1. B. 3

m 2 . C. m 1. D. 1 m 2.

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên ?

3 2

y2x 3(m2)x 6(m 1)x 3m 5

A. 0. B. –1. C. 2. D. 1.

Câu 17. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số (m 3)x 2

y x m

 

  luôn nghịch

biến trên các khoảng xác định của nó?

A. m 1. B. m 2. C. m0. D. Không có m Câu 18. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

x2 2mx m 2

y x m

  

  đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 2. B. 4. C. Vô số. D. Không có.

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B D D C C C C A D B C D A B A A D C Dạng 5. Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng xác định K cho trước.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm yf (x) . Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên K   y 0, x K. - Hàm số nghịch biến trên K   y 0, x K. Bước 3:

Cách 1: Biến đổi theo dạng mg(x), x K (hoặc mg(x), x K).

Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi xK.

Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

Cách 2: Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y 0 (x phụ thuộc m).

Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).

*Tìm tham số mđể hàm số yax³ bx² cxd đơn điệu trên một khoảng có độ dài p.

Phương pháp:

Bước 1: Đạo hàm y 3ax² 2bxc . Bước 2:

- Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2}

thỏa mãn _{1 2 y}

y

a 0

x x p

a p





 

 

    



.

x  x₁ x₂ 

y  0 + 0 

- Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt

1 2

x , x thỏa mãn _{1 2 y}

y

a 0

x x p

a p





 

 

    



.

x  x1 x2 

y + 0  0 + Lưu ý:

- Dạng này không cần điều kiện a  0, 0 vì điều kiện p

a _

  đã bao hàm hai ý trên.

- Điều kiện x₁x₂ p có thể được xử lý theo hai cách chính:

+ Một là sử dụng định lí Vi-ét: x₁x₂  p x₁² 2x x_{1 2} x₂² p²

2 2

1 2 1 2

(x x ) 4x x p 0

    

2

b c 2

4 p 0

a a

 

      .

+ Hai là tự xây dựng công thức: ₁ b ₂ b

x , x

2a 2a

     

 

1 2

b b 2

x x

2a a a

      

    

Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài    p, p, p, p” ta cũng sẽ làm tương tự.

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số nhất biến ^{y ax b}



^{c 0, ad bc 0}



cx d

    



đơn điệu trên một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác định: d

D \

c

 

  

 . Bước 2: Đạo hàm ad bc₂

y (cx d)

  

 . Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên

y 0 ad bc 0

K d d

x , x K K

c c

   

 

 

      

m.

- Hàm số nghịch biến trên

y 0 ad bc 0

K d d

x , x K K

c c

   

 

 

 

     

 

 

m.

* Tìm tham số m để hàm số

 

   

a.u x b

y c 0, ad bc 0

c.u x d

    

 đơn điệu trên

khoảng K cho trước.

Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt ^{tu x}

 

^{ t u x}

 

⁽¹⁾

 

₂

 

ad bc

y .u x

c.u x d

  



 

 

   

 

²

at b ad bc

f t f t

ct d ct d

  

  

  (2)

Bài toán 3. Bài toán tham số đối với những dạng hàm số khác.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm yf (x) . Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

- Hàm số đồng biến trên K   y 0, x K. - Hàm số nghịch biến trên K   y 0, x K. Bước 3:

- Biến đổi theo dạng mg(x), x K (hoặc mg(x), x K).

- Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi xK.

Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

- Giả sử hàm g x tồn tại Max-Min trên

 

. Ta có:

   

mg x ,   x m Max g x ^{mg x ,}

 

^{   x m Max g x}

 

   

mg x ,   x m Min g x ^{mg x ,}

 

^{   x m Min g x}

 

- Nếu hàm g x không tồn tại Max-Min trên

 

, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn:M1g x

 

M2, khi đó:

 

2

mg x ,   x m M mg x ,

 

   x m M2

 

1

mg x ,   x m M mg x ,

 

   x m M1

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đề 103) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 2

y x m

 

 đồng biến trên khoảng ( ; 5)

A. (2;5] . B. [2;5) . C. (2;). D. (2;5) . Lời giải

Chọn A

Tập xác định: ^{D \}

 

^{m .}

Ta có: m 2₂ y ' (x m)

 



Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 5) ^{y' 0 x ( ; 5)} m ( ; 5)

    

       

m 2 0

2 m 5

m 5

  

       .

Ví dụ 2. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số tan x 2

y tan x m

 

 đồng biến trên 0;

4

 

 

 . A. m2. B. m0 hoặc 1 m 2. C. 1 m 2. D. m0.

Lời giải

Điều kiện: tan x m 0, x 0; m tan x, x 0;

4 4

 

   

        

   

^{m 0}

m tan x, tan x 0;1 m 0;1

m 1

 

         . (*)

Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt 1₂

t tan x t

cos x

   (1)

 

^{2 2}

m 2 1

y .

cos x tan x m

 

   



   

 

²

t 2 m 2

f t f t

t m t m

   

  

  (2)

Ta có y 0, x 0; m 2 0 m 2 4

 

          . (**)

Từ (*) và (**) suy ra ^{m 0} 1 m 2

 

  

 . Chọn B.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{yx3 3x2 }



^{2m x}



đồng biến trên khoảng



^2;



^là:

A.



^{ ; 1}



^{. B.}



^;2



^{. C.}



^{ ; 1}



^{. D.}



^;2



^.

Lời giải

Ta có y'3x² 6x 2 m.

Để hàm số đồng biến trên khoảng



^2;



khi và chỉ khi ^{y'  0, x}



^2;



 

3x2 6x 2 m 0, x 2;

        ^{m3x2 6x  2, x}



^2;



^.

Xét hàm số ^{f x}

 

^{3x26x  2, x}



^2;



^.

 

f ' x 6x6; ^{f ' x}

 

^{ 0 6x   6 0 x 1.}

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy m2. Vậy ^{m }



^;2



^.

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số yx³ (m 1)x ² 4x7 có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 4

3.

A. ^{m 5}. m 3

  

  B. ^{m 1}. m 3

 

  C. ^{m 5}. m 1

  

  D. ^{m 2} .

m 4

 

  

 Lời giải

Đạo hàm y 3x² 2(m 1)x 4 .

Hàm số có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 2 5  y 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn :

2

1 2

a 3 0

2 m 2m 11 4

x x 2 5 2 4

3 3

a 3

  

 

      



2 2 m 3

m 2m 11 2 m 2m 15 0

m 5

 