Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Lý thuyết

I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là

x1 < x2  f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là

x1 < x2  f(x1) > f(x2).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K ^{2 1} _{1 2 1 2}

2 1

f (x ) f (x )

0 ; x ; x K; (x x )

x x

     

 .

f(x) nghịch biến trên K ^{2 1} _{1 2 1 2}

2 1

f (x ) f (x )

0 ; x ; x K; (x x )

x x

     

 .

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với x  K thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x² + 2x – 10;

b) x 5

y 2x 3

 

 . Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định với mọi x . Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x   – 1 

f’(x) – 0 +

f(x) – 11

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng









b) x 5

y 2x 3

 



Hàm số đã cho xác định với x ³

  2

Ta có: y' ¹³ ₂ 0 x ³

(2x 3) 2

    



Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; ³ 2

 

 

  và ³; 2

 

 

 .

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu ^{f (x)} 0 f (x) 0 ;





Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x³ – 6x² + 12x – 10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x . Ta có: y’ = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với  x 2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên . II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x⁴ – 2x² – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x³ – 4x

y’ = 0 x 0

x 1

 

    Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;) Hàm số nghịch biến trên





Ví dụ 4. Cho hàm số y  x³ 6x² 9x 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x² + 12x – 9 Và y’ = 0 x 1

x 3

 

   Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (; 1) và (3; ). B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = – x⁴ + 2x² + 2;

b) y = x³ – 3x² + 1;

c) x y x 1

 . Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x x 0

y ' 0

x 1

 

     . Bảng biến thiên

x   –1 0 1 

f’(x) + 0 – 0 + 0 –

f(x) 3

2

3

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; 1) và (0; 1).

Nghịch biến trên khoảng (–1; 0) và (1;). b) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 3x² – 6x.

Và y' 0  x 0;x 2 Bảng biến thiên:

x _ 0 2 ^{ }

f’(x) + 0 – 0 +

f(x) 1

– 3

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (; 0) và (2; ). Nghịch biến trên khoảng (0; 2).

c) x

y x 1



Hàm số đã cho xác định với mọi x  1.

Ta có: 1 ₂

y' ; x 1

(x 1)

   



Ta thấy với mọi x khác – 1 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng





Bài 2. Chứng minh hàm số

x2 1

y x

  đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x 0 . Ta có:

2 2

2 2

2x.x 1.(x 1) x 1

y' ; x 0

x x

  

   

Ta thấy, với mọi x ≠ 0 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng





Bài 3. Chứng minh hàm số y 8xx² đồng biến trên khoảng (0; 4); nghịch biến trên khoảng (4; 8).

Lời giải:

Điều kiện: 8x x²    0 0 x 8.

2

2 2

(8x x )' 8 2x

y '

2 8x x 2 8x x

y ' 0 x 4

 

 

 

   Bảng biến thiên:

x 0 4 8

f’(x) + 0 – f(x)

0

4

0

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 4) và nghịch biến trên khoảng (4;

8) (đpcm).