50 bài tập về Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác 1. Lý thuyết

Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác

 

x 2k

sin x sin k

x 2k

   

          

 

x 2k

cos x cos k

x 2k

   

          

 

tan x  tan        x k k

 

cot x  cot        x k k

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi, công thức nhân ba...

- Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a

2

2 tan a tan 2a

1 tan a

 

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin³a cos3a = 4cos³a – 3cosa Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) cosx – 2sin2x = 0 b) 6sin4x + 5sin8x = 0 c) cos²x – sin2x = 0

Lời giải a) cosx – 2sin2x = 0

cos x 2.2.sin x cos x 0

  

(2)

 

cos x 1 4sin x 0

  

cos x 0 1 4sin x 0

 

   

cos x 0 sin x 1

4

 



 



 

x k

2

x arcsin1 k2 k 4

x arcsin1 k2 4

   



    



     



Vậy họ nghiệm của phương trình là

x k ;

2

    1

x arcsin k2 ;

 4   1

x arcsin k2 ;k

   4   

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

6sin 4x 5.2.sin 4x cos4x 0

  

 

2sin 4x 3 5cos 4x 0

  

sin 4x 0 3 5cos 4x 0

 

   

sin 4x 0 cos 4x 3

5

 



  



4x k

4x arccos 3 k2 5

  

               

 

x k

4 k

1 3 k

x arccos

4 5 2

  



 

  

    

  



Vậy họ nghiệm của phương trình là k 1 3 k

x ; x arccos ;k

4 4 5 2

   

      ^. c) cos²x – sin2x = 0

cos x

2

2sin x cos x 0

  

 

cos x cos x 2sin x 0

  

cos x 0

cos x 2sin x 0

 

   

 

x k k

2

2sin x cos x *

     

  

 

Giải phương trình (*)

Trường hợp 1: cosx = 0. Thay vào (*) ta được sinx = 0 Ta thấy sin²x + cos²x = 0² + 0² = 0 (Vô lí) (Loại).

(3)

Trường hợp 2:

cos x 0 x k ;k 2

      

Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

  * 2. sin x 1

cos x

  1

tan x

  2 1

x arctan k ;k

  2   

(Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

1

x k ; x arctan k ;k

2 2

       

.

Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0.

Lời giải Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0

   

sin x cos3x 1 2 cos3x 1 0

    

 cos3x 1 sin x  2  0

   

cos3x 1 0 sin x 2 0

  

    

cos3x 1

sin x 2(Loai)

 

      3x  k2  k2

x ;k

3

   

.

k2

x ;k

3

  

.

Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng Phương pháp giải:

- Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b

cosa cos b 2cos cos

2 2

 

 

a b a b

cosa cos b 2sin sin

2 2

 

  

a b a b

sin a sin b 2sin cos

2 2

 

 

a b a b

sin a sin b 2cos sin

2 2

 

 

- Công thức biến đổi tích thành tổng

   

cosa.cos b 1 cos a b cos a b

 2       

   

sin a.sin b 1 cos a b cos a b

 2       

(4)

   

sin a.cos b 1 sin a b sin a b

 2       

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Lời giải a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

       

1 1

cos 5x 2x cos 5x 2x cos 4x 3x cos 4x 3x

2 2

                cos3x cos7x cos x cos7x

   

cos3x cos x

 

3x x k2

  

       

2x k2 4x k2

 

     

x k x k

2

  

  



 

x k k

2

   

k

x ;k

2

  

.

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

       

1 1

sin 5x 3x sin 5x 3x sin 4x 2x sin 4x 2x

2 2

                sin8x sin 2x sin 6x sin 2x

   

sin8x sin 6x

 

8x 6x k2

  

        

2x k2

14x k2

 

       

^x ^k k



^k



x 14 7

  

     



k

x k ; x ;k

14 7

 

    

. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + sin2x = sinx

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải a) sin3x + sin2x = sinx

(5)

sin3x sin x sin 2x 0

   

3x x 3x x

2cos .sin sin 2x 0

2 2

 

  

2cos 2xsin x 2sin x cos x 0

  

 

2sin x cos 2x cos x 0

  

2x x 2x x

2sin x.2cos .cos 0

2 2

 

 

3x x

4sin x.cos .cos 0

2 2

 

sin x 0 cos3x 0

2 cosx 0

2

 



 







x k

3x k

2 2

x k

2 2

  

 

    

   



x k x k2

3 3

x k2

  

  

  

    



 

x k

x k2 k

3

  

     



x k ; x k2 ;k 3

       

.

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

x 3x x 3x 2x 4x 2x 4x

2sin cos 2cos cos

2 2 2 2

   

 

   

2sin 2x cos x 2cos3x cos x

   

sin 2x cos x cos3x cos x 0

  

 

cos x sin 2x cos3x 0

  

cos x 0 sin 2x cos3x

 

   

cos x 0

sin 2x sin 3x 2

 

             

(6)

x k 2

2x 3x k2

2

2x 3x k2

2

   



 

    

 

      



x k

2

5x k2

2

x k2

2

   



 

   

 

   



x k

2 x k2

10 5

x k2

2

   



 

  

 

    



 

x k

2 k

x k2

10 5

   

 

 

  



k2

x k ; x ;k

2 10 5

  

     

. Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp giải:

Công thức hạ bậc hai:

2

1 cos 2a cos a

2

 

2

1 cos 2a sin a

2

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin²x + sin²3x = 2sin²2x.

Lời giải Ta có: sin²x + sin²3x = 2sin²2x

1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x

2 2 2. 2

  

  

cos 2x cos6x 2cos 4x

    

cos6x cos2x 2cos4x 0

   

6x 2x 6x 2x

2cos cos 2cos 4x 0

2 2

 

  

2cos 4x cos 2x 2cos 4x 0

  

 

2cos 4x cos 2x 1 0

  

(7)

cos 4x 0 cos 2x 1

 

   

4x k

2 2x k2

   



  



 

x k

8 4 k x k

 

  

 

  



k

x ; x k ;k

8 4

 

    

. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

Lời giải Ta có: cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 1 cos8x

2 2 2 2 2

   

    

cos 2x cos 4x cos6x cos8x 0

    

cos8x cos 2x cos6x cos 4x 0

    

8x 2x 8x 2x 6x 4x 6x 4x

2cos .cos 2cos .cos 0

2 2 2 2

   

  

2cos5x cos3x 2cos5x cos x 0

  

 

2cos5x cos3x cos x 0

  

3x x 3x x

2cos5x.2cos .cos 0

2 2

 

 

4cos5x cos 2x cos x 0

 

cos5x 0 cos 2x 0 cos x 0

 

   

 



5x k

2

2x k

2

x k

2

   



 

   

 

   



 

x k

10 5

x k k

4 2

x k

2

 

  

 

 

     

 

   



Vậy họ nghiệm của phương trình là

k

x ;

10 5

 

  k

x ;

4 2

 

  x k ;k 2

    

.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình cos²x – cosx = 0 thuộc khoảng

0    x

là:

A.

x 6

 

B.

x

2

 

C.

x

4

 

D.

x

2

  

Câu 2. Giải phương trình cos²x – sin2x = 0

(8)

A.

x 2 k  k 

x arctan 1 k 3

    

 

    



B.

x 2 k  k 

x arctan 1 k 4

    

 

    



C.

x 2 k  k 

x arctan 1 k 5

    

 

    



D.

x 2 k  k 

x arctan 1 k 2

    

 

    



Câu 3. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 2 – 4cosx là:

A.

x 4 k2  k 

x k

3

     

 

 

   



B.

x 3 k2  k 

x k2

3

     

 

 

   



C.

x 3 k  k 

x k

4

     

 

 

   



D.

x 2 k2  k 

x k2

3

     

 

 

   



Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 là:

A.

x   k

B.

k x 2

 

C.

k

x 8

 

D.

k x 4

 

Câu 5. Nghiệm của phương trình cos3x – cos5x = sinx là:

A.

 

x k

x k2 k

24

5 k

x 24 2

  

 

    

    



B.

 

x k2

x k k

24 2

5 k

x 24 2

  

  

   

   



C.

 

x k

x k k

24 2

5 k

x 24 2

  

  

   

    



D.

 

x k 2

x k k

24 2

5 k

x 24 2

  



 

   

  

  



Câu 6. Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

(9)

A. sinx = cos x B. cosx = 0 C. cos8x = cos6x D. sin8x = cos6x

Câu 7. Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = 0 có nghiệm là:

A.

x k  k 

16 4

 

   

B.

x k2  k 

6

     

C.

x k  k 

4 2

 

  

D.

x k2  k 

3

    

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos3x – cos4x + cos5x = 0 là:

A.

x k

8 4

, k

x k2

3

 

  

 

 

   



B.

x k

8 4

, k

x k2

3

 

  

 

 

    



C.

x k

8 4

, k

x k2

3

 

  

 

 

    



D.

x k

8 , k

x k2

3

    

 

 

    



Câu 9. Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:

A.

 

x k

6

x 5 k k

6 x k

    

 

     

   

 

B.

x k2

6

x 5 k2

6 x k2

    

 

    

   

 

, k

C. x k2

6 x k2

    



 



, k D. x k2

6 x k

    



  

, k

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin²3x – cosx = 0 là :

A.

k

6 3 ;k

 

  

. B.

k 6 3 ;k

   

C.

k 2 ;k

 

D.

k

4 ;k

 

Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin²x + sin²3x = cos²x + cos²3x là:

A.

x k2 ;k 4

     

B.

k

,

k

x x ;k

4 2 8 2

   

     

(10)

C.

k

,

k

x x ;k

4 2 8 4

   

    

D.

k

x ;k

4 2

 

   

Câu 12. Các nghiệm của phương trình

1

cos x cos5x cos6x

 2

(với k ) là:

A.

x k

8

   

B.

k

x 2

 

C.

k

x 4

 

D.

x k

8 4

 

 

Câu 13. Họ nghiệm của phương trình sin²x + cos²4x = 1 là:

A.

 

x k

13 k x k

15

  

 

 

  

B.

 

x k

23 k x k

25

  

 

 

  

C.

 

x k

3 k x k

5

  

 

 

  

D.

 

x k

33 k x k

35

  

 

 

  

Câu 14. Họ nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là:

A.

k 4 ;k

 

B.

k 8 ;k

 

C.

k 8 4 ;k

   

D.

k ;k

8 2

   

Câu 15. Phương trình sin²3x – cos²4x = sin²5x – cos²6x có các nghiệm là:

A.

 

x k

12 k x k

4

  

 

 

  

B.

 

x k

9 k x k

2

  

 

 

  

C. ^x ^k6



^k



x k

  

 

  



D.

 

x k 3 k x k2

  

 

  



Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B D B D C C C C B B C D C A B

(11)