50 bài tập về Cách giải phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản 1. Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2:

m  1

. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

x k2

sin x m sin x sin k

x k2

   

            

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

x arcsin m k2

sin x m k

x arcsin m k2

  

         

- Các trường hợp đặc biệt:

 

sin x      0 x k k

 

sin x 1 x k2 k 2

      

 

sin x 1 x k2 k

2

        

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2:

m  1

. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

x k2

cos x m cos x cos k

x k2

   

            

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

x arccos m k2

cos x m k

x arccos m k2

  

         

- Các trường hợp đặc biệt:

 

cos x 0 x k k

2

      

 

cos x 1    x k2   k

(2)

 

cos x       1 x k2   k

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện:

x k  k 

2

    

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 

tan x   m tan x  tan        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 

tan x    m x arctan m    k k

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện:

x    k  k 

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 

cot x   m cot x  cot        x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 

cot x    m x arccot m    k k

e) Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin (cos, tan, cot) của chúng bằng m.

Ví dụ:

sin x  20  1

   2

ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm.

Đối với ví dụ trên ta viết:

x 20 30 k360  k 

x 20 180 30 k360

     

 

      



chứ không viết

x 20 30 k2  k 

x 20 180 30 k2

     

 

        



2. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

    2  

s u(x) v(x) k

u(x) v( k in u x si

n v k x 2

x)

  

        

 

    u      

c os u x  cos v x  x   v x  k 2  k 

         

tan u x  tan v x  u x  v x   k k 

(3)

         

cot u x  cot v x  u x  v x   k k 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 3

sin x

3 2

 

 

 

b) 3cos(x+1) = 1 c)

tan 3x 15      3

d) cot x 1 0

3

  

 

 

Lời giải a)

sin x 3

3 2

 

 

  sin x sin

3 3

 

 

   

x k2

3 3

x k2

3 3

      

  

 

      



 

x 2 k2 3 k

x k2

   

 

    



Vậy họ nghiệm của phương trình là:

2

x k2 ; x k2 ;k

3

        

.

b) 3cos(x+1) = 1

  1

cos x 1

  3

 1

x 1 arccos k2

    3   x 1 arccos 1 k2  k 

    3   

. Vậy họ nghiệm của phương trình là:

1

x 1 arccos k2 ;k

   3   

. c) Điều kiện xác định:

cos 3x 15      0

3x 15 90 k180

       3x    75 k180 



 

x 25 k60 k

     

Ta có:

tan 3x 15      3

 

tan 3x 15 tan 60

    

(4)

3x 15 60 k180

       3x 45 k180

    

 

x 15 k60 k

     

(Thỏa mãn)

x 15    k60 ; k  

. d) Điều kiện xác định: sin x 0

3

 

 

 

x k

3

     x k  k 

3

     

cot x 1 0

3

  

 

 

cot x 1

3

 

   

cot x cot

3 4

 

 

   

x k

3 4

 

    

 

x k k

12

     

(Thỏa mãn)

x k ;k 12

    

.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 3

sin 3x sin x

4 6

 

     

   

   

b) cos5x – sinx = 0

c) cos 2x sin x 0

4 3

 

     

   

   

d) ^{cot x} ^cot



^2x



3

  

 

 

Lời giải

a) 3

sin 3x sin x

4 6

 

     

   

   

(5)

3x 3 x k2 4 6

3x 3 x k2

4 6

       

  

 

       



4x 11 k2 12 2x 19 k2

12

    

  

    



 

11 k

x 48 2

19 k

x k

24

 

  

   

    



11 k 19

x ; x k ;k

48 2 24

  

     

.

b) cos5x – sinx = 0

 cos5x  sin x

cos5x cos x 2

 

    

5x x k2

2

5x x k2

2

     

  

      



6x k2

2

4x k2

2

    

  

     



 

x k

12 3 k k

x 8 2

 

  

   

 

   



k k

x ; x ;k

12 3 8 2

   

     

.

c) cos 2x sin x 0

4 3

 

     

   

   

cos 2x sin x

4 3

 

   

       

cos 2x sin x

4 3

 

   

      

cos 2x cos x

4 2 3

  

   

       

2x x k2

4 2 3

2x x k2

4 2 3

  

      

  

  

       



3x 13 k2 12

x 7 k2

12

    

  

     



 

13 k2

x 36 3 k

x 7 k2

12

 

  

   

     



Vậy họ nghiệm của phương trình là

13 k2 7

x ; x k2 ;k

36 3 12

  

      

.

d) Điều kiện xác định:

 

sin x 0

3 sin 2x 0

     

    

   



x k

3 2x k

   

 

  



 

x k

3 k

x k

2

     

       



(6)

Ta có: ^{cot x} ^cot



^2x



3

  

 

 

x 2x k

3

      

3x k

3

     

 

x k k

9 3

 

    

(Thỏa mãn)

k

x ;k

9 3

 

   

. Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 b) (cotx + 1)sin3x = 0 c)

sin 3x

cos3x 1  0



d) tanx.tan2x = 1

Lời giải a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) =

0

1 2cos x 0 3 – cos x 0

   

 

  

cos x 1 2 cos x 3 Loai



 

 





 

x 2 k2 k

3

      

Vậy họ nghiệm của phương trình là

2

x k2 ;k

3

     

.

b) Điều kiện xác định:

sin x      0 x k  k 

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

cot x 1 0

sin 3x 0

  

   

cot x 1 3x k

  

     x 4 k  k 

x k 3

     

   

  



Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

x k ;

4

     x k ;k 3

     

.

(7)

c) Điều kiện xác định:

cos3x 1 0    cos3x 1   3x  k2  x k2  k 

3

   

.

Ta có:

sin 3x cos3x 1  0

  sin3x  0  3x   k x k  k 

3

   

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là:

 

x k2 k

3 3

 

  

.

d) Điều kiện xác định:

cos x 0 cos 2x 0

 

 



x k

2

2x k

2

    

       



 

x k

2 k

x k

4 2

    

        



tanx.tan2x = 1 (*)

Trường hợp 1: tanx = 0. Thay vào (*) (vô lí).

Trường hợp 2:

tan x      0 x k  k 

(*)

1

tan 2x

tan x

 

tan 2x cot x

 

tan 2x tan x 2

 

    

2x x k

2

     

3x k

2

    

 

x k k

6 3

 

   

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là

x k ;k

6

     

.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình tan x 3 0 5

  

 

  ^là

(8)

A.

8 15 k ;k

   

B.

8 15 k ;k

    

C.

8

k2 ;k 15

    

D.

8 k2 ;k 15

   

Câu 2. Số nghiệm của phương trình: 2 cos x 1 3

  

 

  ^với

0    x 2

là :

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 3. Các nghiệm phương trình 1 sin 2x

3 2

  

 

  ^là:

A.

x k

4 , k

x 5 k

12

     

 

 

   



B.

x k

4 , k

x 5 k

12

    

 

 

   



C.

x k

4 , k

x k

12

    

 

 

    



D.

x k

4 2 , k x k

12 2

 

   

 

  

  



Câu 4. Các nghiệm của phương trình

cos 3x 15   3

   2

là:

A.

x 25 k.120 x 15 k.120 , k

   

 

    



^B.

x 5 k.120 x 15 k.120 , k

   

 

   



C.

x 25 k.120 x 15 k.120 , k

   

 

   



^D.

x 5 k.120 x 15 k.120 , k

   

 

    



Câu 5. Nghiệm của phương trình 2sinx.cosx = 1 là:

A. xk2 ;k  B.

x k ;k 4

    

C.

k

x ;k

2

  

D.

x  k ;k

Câu 6. Phương trình

x tan x tan

 2

có họ nghiệm là:

A. xk2 ;k  B. x  k ;k C. x  k2 ;k  D.

x k ;k

2

   

(9)

Câu 7. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

A.

k

x k ; x ;k 2

    

B.

k

x ; x k ;k

8 2 4

  

     

C.

x k ; x k ;k

4

      

D.

x k2 ; x k2 ;k 2

      

Câu 8. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:

A.

x ; x

18 2

 

  

B.

2

x ; x

18 9

 

  

C.

x ; x

18 6

 

  

D.

x ; x

18 3

 

  

Câu 9. Giải phương trình sin 4x sin 2x 0

4 3

 

     

   

   

A.

 

7 k

x 72 3 k

x k

24

 

  

 

 

   



B.

 

7 k

x 72 3 11 k

x 2k

24

 

  

 

 

   



C.

 

7 k

x 72 3 11 k

x k

4

 

  

 

 

   



D.

 

7 k

x 72 3 11 k

x k

24

 

  

 

 

   



Câu 10. Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x



 3



0 là:

A. ^x ^k



^k



x k2

6

  

  

    



B. ^x ^k



^k



x k

6

  

  

    



C. ^x ^k2



^k



x k2

3

 

  

    



D.

x k2 ;k 6

     

Câu 11. Nghiệm của phương trình tanx = cotx

A.

k

x ;k

4 2

 

  

B.

x k ;k

4

     

C.

x k ;k 4

    

D.

k

x ;k

4 4

 

  

(10)

Câu 12. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là A.

k

2 , k

 

B.

k

4 2 , k

 

  

C. k , k  D. Vô nghiệm.

Câu 13. Phương trình



sin x 1 sin x

   20 có các nghiệm là:

A.

x k2 ;k 2

     

B.

x k2

4

    

,

x k ;k 8

     

C.

x k2 ;k 2

    

D.

x k2 ;k

2

     

Câu 14. Giải phương trình

cos 2x 1 sin 2x  0



A.

x k , k  

4

    

B.

x 3 k , k  

14

    

C.

x 3 k2 , k  

4

    

^D.

x 3 k , k  

4

    

Câu 15. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 5x cos 2x

3 3

 

     

   

   ^trên

[0; ] A.

7 18



B.

4

18



C.

47

8



D.

47

18



Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B B C D B A B C D A A D A D D