Các dạng bài tập phương trình lượng giác - TOANMATH.com

(1)

1

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chuyên đề 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC HAY CUNG LƯỢNG GIÁC



1. Đường tròn lượng giác

Là đường tròn có tâm O trong mặt phẳng Oxy và có bán kính R1.

^A

 

^{1; 0} là điểm gốc của đường tròn lượng giác.

Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.

2. Giá trị lượng giác

Cho cung AM

 sin OKTung độ của điểm M.

 Cos =cosOH Hoành độ của điểm M.

 sin

tan cos AT

   (Kéo dài OM cắt tiếp tuyến ’t At tại T)

 cos S

cot sin B

   (Kéo dài OM cắt tiếp tuyến ’s Bs tại S, với ^B

 

^0;1 ⁾

(2)

2

3. Hàm số lượng giác a) Hàm số sin

Đặt mỗi giá trị x với duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác mà số đo cung bằng

x . Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định đó là sinx

sinx

B' B

A' A

x

O M

Định nghĩa Tập xác định Tập giá trị Đồ thị sin : 

sin

x x D



^x^



^T_{ }_{1 sin}^{  }^ ^1;1_x^_₁

b) Hàm số cosin

Quy tắc đặt mỗi số thực x với một số thực cosx được gọi là hàm số cosin

Định nghĩa Tập xác định Tập giá trị Đồ thị cos : 

cos

x x

D



^x^



^T_{ }_{1 sin}^{  }^ ^1;1_x^_₁

y

x

-π π

-1 π -π 2

2 1

O

c) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

 sin 

, cos 0

cos

y x x

x .

Ký hiệu: ytanx

(3)

3

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC



1. Hệ thức cơ bản



 

  

 

2

2 2 2

2

1 tan 1

sin cos 1 cos

1 cot 1

sin

a a





 

 tan 1 tan .cot 1 cot

cot 1

tan

a a

  sin  

tan sin tan cos

cos

a a a a a

a  cos  

cot cos cot .sin

sin

a a a a a

a

2. Cung liên kết 3. Công thức cộng

 sin(a b ) sin cosa bsin cosb a

 cos(a b ) cos cosa b sin sina b

 tan( ) ^tan ^tan 1 tan .tan

a b

a b a b

  

 1

cot( )

tan( )

a b  a b

 cos( a) cosa

sin(  a) sina tan(  a) tana cot(  a) cota

sin(  a) sina

cos(   a) cosa tan(   a) tana cot(  a) cota

sin cos

2 a a



  

 

 

cos sin

2 a a



  

 

 

tan cot

2 a a



  

 

 

cot tan

2 a a



  

 

 

sin cos

2 a a



  

 

 

cos sin

2 a a



   

 

 

tan cot

2 a a



   

 

 

cot tan

2 a a



   

 

 

Áp dụng công thức cộng ta được

 

    

 

sin cos 2 sin 

x x x 4

 

   

 

cos sin 2 cos 

x x x 4

Định nghĩa Tập xác định Tập giá trị Đồ thị

tan : 

sin cos x x

x

 

 

    

 

\ ,

D 2 k k

 

   

 

x 2 k 

T ^y

x π 2 -π

2 O

d) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

cos 

, sin 0

sin

y x x

x .

Ký hiệu: ycotx

Định nghĩa Tập xác định Tập giá trị Đồ thị

cot : 

cos sin x x

x

^D^ ^\



^{k k}^^, ^





^{x k}^ ^



T  ^y

π x π O 2

(4)

4

…

4. Cung liên kết 5. Công thức nhân đôi

 sin2a2sin cosa a

 _ _



2 2

cos – sin cos 2 1 2sin

2cos 1

a a

a

 2

2 tan tan 2

1 tan a a

 a



 1 1 tan²

cot 2

tan 2 2 tan a a

a a

  

 

sin a  sina

 

cos a  cosa

 

tan a tana

 

cot a cota

sin(  a) sina

    cos( a) cosa

tan(   a) tana cot(  a) cota

sin cos

2 a a



  

 

   cos sin

2 a a



  

 

 

tan cot

2 a a



  

 

   _cot _tan

2 a a



  

 

 



^ ^



^

sin a k.2 sina  ^cos



^{a k}^ ^.2^



^^cos^a



^ ^



^

tan a k tana  ^cot



^{a k}^ ^



^^cot^a

6.Công thức hạ bậc

    

    

 



2 2

2

1 cos 2

* sin 1 cos 2 2 sin

2 1 cos 2

* cos 1 cos 2 2 cos

2 1 cos 2

* tan

1 cos 2

a a a a

a a

a 7. Công thức biến tích thành tổng

     

      

     

     

* cos .cos 1 cos( ) cos( ) 2

* sin .sin 1 cos( ) cos( ) 2

* sin .cos 1 sin( ) sin( ) 2

* cos .sin 1 sin( ) sin( ) 2

a b a b a b

8.Công thức biến tổng thành tích

     

     

   

     

      

   

     

     

   

     

     

   

  

* cos cos 2 cos cos

2 2

cos cos 2 sin sin

2 2

* sin sin 2 sin cos

2 2

sin sin 2 cos sin

2 2

sin( )

* tan tan

cos cos

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

Ghi chép: ...

...

(5)

5

VẤN ĐỀ 1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



A. PHƯƠNG PHÁP

 1.

radian 2

sin sin ,

2 u v k

u v k

u v k



 

  

       hoặc

độ 0

0 0

sin sin 360 ,

180 360

u v k

u v k

u v k

  

  

  



 2.

radian 2

cos cos ,

2 u v k

u v k

u v k



  

       hoặc

độ 0

0

cos cos 360 ,

360 u v k

u v k

u v k

  

  

  



 3.

radian

tanutanv   u v k, k hoặc

độ ⁰

tanutanv  u v k180 , k

 4.

radian

cotucotv   u v k, k hoặc

độ ⁰

cotucotv  u v k180 , k

 5.

radian arcsin 2

sin ,

arcsin 2

x m k

x m k

x m k



 

  

      

 6.

radian arccos 2

cos ,

arccos 2

x m k

x m k

x m k



  

      

 7.

radian

tanx m  x arctanm k , k

 8.

radian

cotx m  x arc cotm k , k

￧

Ghi chép bổ sung

...

 cosu  1 u k2

 cosu    1 u  k2

 cos 0

u   u 2 k

 sin 1 2 u   u 2 k 

 sin 1 2 u     u 2 k 

 sinu  0 u k ĐẶC BIỆT

(6)

6

B. VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải phương trình sin sin²

2 5

x  

  

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 2. Giải phương trình ^sin



^x^³⁰⁰



^^{sin 2}⁰⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 3. Giải phương trình ^sin^x



^cos^x^²



^⁰

Lời giải

...

Ví dụ 4. Giải phương trình 2sinx 1.

Lời giải

...

Ví dụ 5. Giải phương trình sin 1 x 5

 

  

 

  .

Lời giải

(7)

7

...

Ví dụ 6. Giải phương trình 2 sin 2 0 x 6

   

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 7. Giải phương trình ^{2 sin}



^x^⁶⁰⁰



^ ³ ^⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 8. Giải phương trình   

   

 

sin 3 cos

x x 3 . Lời giải

...

Ví dụ 9. Giải phương trình    

   

cos 2 sin

5 4

x x .

Lời giải

...

(8)

8

Ví dụ 10. Giải phương trình 5sinx1 .

Lời giải

...

Ví dụ 11. Giải phương trình ^sin



²



²

x  3 .

Lời giải

...

Ví dụ 12. Giải phương trình cos ² cos

5 7

x  

 

 

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 13. Giải phương trình ^cos



^x^⁴⁰⁰



^^cos10⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 14. Giải phương trình 2cosx 1 .

Lời giải

...

(9)

9

...

Ví dụ 15. Giải phương trình cos 1 x 8

  

 

  . Lời giải

...

Ví dụ 16. Giải phương trình 2 cos 3 0 x 6

 

  

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 17. Giải phương trình ^{2 cos}



^x^³⁰⁰



^ ² ^⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 18. Giải phương trình 3cosx 30 . Lời giải

...

Ví dụ 19. Giải phương trình ^{5cos 2}



^x^{  }¹



^{3 0}^.

(10)

10

Lời giải

...

Ví dụ 20. Giải phương trình tan ³ tan

4 7

x  

  

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 21. Giải phương trình ^tan



^x^⁴⁸⁰



^^{tan 25}⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 22. Giải phương trình tanx 3 .

Lời giải

...

Ví dụ 23. Giải phương trình tan cot

6 x 6

 

  

 

  .

Lời giải

...

(11)

11

Ví dụ 24. Giải phương trình ^tan



^x^³⁰⁰



^{ }^{1 0}^.

Lời giải

...

Ví dụ 25. Giải phương trình 2tanx 5 0.

Lời giải

...

Ví dụ 26. Giải phương trình cot cot

8 5

x  

 

 

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 27. Giải phương trình ^cot



^x^²⁸⁰



^^{cot 12}⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 28. Giải phương trình 3 cotx 3 0. Lời giải

...

(12)

12

Ví dụ 29. Giải phương trình cot 1 0 x 6

   

 

  .

Lời giải

...

Ví dụ 30. Giải phương trình ^{cot 2}



^x^²⁰^o



^ ³ ^⁰^.

Lời giải

...

Ví dụ 31. Giải phương trình 3 cotx 50. Lời giải

...

Ví dụ 32. Giải phương trình cosxsinx0. Lời giải

...

Ví dụ 33. Giải phương trình 3 sinxcosx0. Lời giải

...

(13)

13

...

Ví dụ 34. Giải phương trình 3 cosxsinx0. Lời giải

...

Ví dụ 35. Giải phương trình sin2xsin2 cosx x0. Lời giải

...

Ví dụ 36. Giải phương trình cos 2 sin² 0 2 x x  .

Lời giải

...

Ví dụ 37. Giải phương trình sin3xsinx0. Lời giải

...

Ví dụ 38. Giải phương trình cos4xsinx.

Lời giải

...

(14)

14

...

Ví dụ 39. Phương trình 2cos²x 1 0 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn   

3 ;

2 2 .

Lời giải

...

Ví dụ 40. Giải phương trình 



sin 0

cos 1

x

Lời giải

...

Ví dụ 41. Giải phương trình ^tan^x



^cos^x^{ }¹



⁰

Lời giải

...

Ví dụ 42. Giải phương trình



^cos^x^^{1 2sin}



^x^{ }¹



⁰

Lời giải

...

Ví dụ 43. Phương trình sin2x3cosx0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng



^{0; 2022}



Lời giải

...

(15)

15

C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Giải các phương trình sau:

1. 2

sin 2 sin

x_ 7

. 2. sin3xsinx0. 3. sin5xsin2x0.

4. sin ³

3 2

x 

  

 

  . 5. ^sin



^x^⁴⁵⁵



^ ₂² ^. ^6.^{2 sin 2}^ ^x^^₄^^{ }^{1 0}

  .

7. ^{2 sin 2}



^x^⁶⁰⁰



^{ }^{1 0}^. ^8.^{sin 3} ¹

x 4

 

 

 

  . 9. sin ² 30⁰ 0 3

 x 

 

 

  .

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1. 5

cos 3 cos

x_ 8

. 2. cos3xcosx0. 3. cos ²

3 2

x 

   

 

  .

4. ^cos



^x^³⁰⁰



^ ₂³ ^. ^5.^{2 cos}^^x^^₃^^¹

  . 6. ^{2 cos 2}



^x^⁶⁰⁰



^{ }^{1 0}^.

7. cos 2 1 0 x 4

   

 

  . 8. cos 30⁰ 1 0

3

x  

 

  . 9. ² 1

cos 2

x4. Bài 3. Giải các phương trình sau:

1.cos3xsin2x . 2. cos 3 2cos 0

x 4

. 3. ^  ^ 

 

cos 2 1

3 2

x 

. 4. ^{cos 2}



^³⁰⁰



^ ¹

x 2. 5. ^  ^

 

2 cos 0

x 3

. 6. ^{2 cos 2}



^x^⁶⁰⁰



^{ }^{1 0}^.

7. ^  ^ 

 

cos 2 2 0

x 4

. 8. ^  ^

 

cos 300 1 3

x . 9. ² 1

sin 2

x 4. Bài 4. Giải các phương trình sau:

1.sinxcosx1 . 2. sinxcosx 2. 3. sinx2cosx1. 4. cosx 2 sinx0. 5. cosxsinx 2 sin 3x. 6. sin cos sin

x x 4

.

(16)

16

VẤN ĐỀ 2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC



Cho u là 1 góc lượng giác chứa ẩn x

 1. asin²u b sinu c 0  Đặt tsinu với điều kiện 1  t 1. Phương trình đã cho trở thành at²  bt c 0 (*)

 2. acos²u b cosu c 0  Đặt tcosu với điều kiện 1  t 1. Phương trình đã cho trở thành at²  bt c 0 (*)

 3. atan²u b tanu c 0  Đặt ttanu

Phương trình đã cho trở thành at²  bt c 0 (*)

 4. acot²u b cotu c 0  Đặt tcotu

Phương trình đã cho trở thành at²  bt c 0 (*)

 Giải phương trình (*) tìm t và so t tìm được với điều kiện (nếu có).

 Thay lại t bằng giá trị lượng giác tương ứng để tìm nghiệm x.

Ghi chú

...

B. VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin²x– 3sinx 1 0. Lời giải

(17)

17

...

Ví dụ 2. Giải phương trình cos²x3cosx 2 0. Lời giải

...

Ví dụ 3. Giải phương trình 2 tan²x3tanx 1 0. Lời giải

...

Ví dụ 4. Giải phương trình cot²x– cot – 12 0x  . Lời giải

...

Ví dụ 5. Giải phương trình 8cos²x2sinx 7 0. Lời giải

...

(18)

18

Ví dụ 6. Giải phương trình 2cos2xcosx1. Lời giải

...

Ví dụ 7. Giải phương trình sin²x2cosx 2 0. Lời giải

...

Ví dụ 8. Giải phương trình cos2x5sinx 2 0. Lời giải

...

Ví dụ 9. Giải phương trình 2cos²x– sin²x– 4cosx 2 0. Lời giải

...

(19)

19

Ví dụ 10. Giải phương trình sinx2cos²x 1 0. Lời giải

...

Ví dụ 11. Giải phương trình cos 2xsin²x2cosx 1 0. Lời giải

...

Ví dụ 12. Giải phương trình tan²xtanx0. Lời giải

...

Ví dụ 13. Giải phương trình 1₂   ²

tan tan

cos x x

x .

Lời giải

...

(20)

20

Ví dụ 14. Giải phương trình 1₂   ²

2cot cot

sin x x

x .

Lời giải

...

Ví dụ 15. Giải phương trình 3tan²x2 3 tanx 3 0. Lời giải

...

Ví dụ 16. Giải phương trình 3cot²x5cotx 8 0. Lời giải

...

Ví dụ 17. Giải phương trình 3 tanx6cotx2 3 3 0  . Lời giải

...

(21)

21

Ví dụ 18. Giải phương trình sin² 2cos  2 0

2 2

x x

.

Lời giải

...

C. BÀI TẬP Bài 5. Giải các phương trình sau:

1. cos 2xcos⁴x– 2 0 . 2. ^{5 1 cos}



^ ^x



^{ }^{2 sin}⁴^x^{– cos}⁴^x^.

3.



^{1 cos}^ ^x



^{cos 2}^x^^cos^x



^{ }^{2 sin}²^x^. ^4.^{5 3sin}^ ²^x^^{4 cos}^x ^^{1 – 2 cos}^x^.

5. sin⁴xcos⁴xsin cosx x0. 6. ⁶ ⁶ 1

sin cos cos 4 0

x x8 x .

7. sin⁶xcos⁶x2sin²x. 8. ^{2 sin}



⁶^x^^cos⁶^x



^{– sin .cos}^x ^x^⁰^.

VẤN ĐỀ 3

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS



 Là phương trình lượng giác có dạng: sina u b cosu c (*)

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a²b² c²

CÁCH GIẢI

 Cách 1.

Chia 2 vế của phương trình (*) cho a²b² , ta được:

2 2 2 2 2 2

(*) a sin b cos c

u u

a b a b a b

  

   (**)

(22)

22

Do

2

2 2

a a b

 

 

   +

2

2 2

b a b

 

 

   = 1, nên tồn tại một góc  sao cho

2a 2 cos

a b



  và

2b 2 sin

a b



 

Khi đó

2 2

(**) sin .cos cos .sin c

u u

a b

 

  



 

2 2

sin c

u

a b



  



 Cách 2.

Nếu a0, chia 2 vế của phương trình (*) cho a, ta được:

^*

 

^sin^x ^b^cos^x ^c

a a

   (**)

Luôn tồn tại một góc  sao cho b tan a  

Khi đó: sin

(**) sin cos

cos

x x c

a



   

sin cos sin cos ccos

x x

  a 

  

^sin



^x



^c^cos

 a 

  

ĐẶC BIỆT

 Nếu c0 thì (*)asinu b cosu0 (**)

Chia 2 vế của phương trình (**) cho cosu, ta được: sin

(**) 0 tan 0

cos

a u b a u b

 u     .

 Nếu a b 1 thì (*) sin cos 2 sin

u u c u 4 c

      

  MỞ RỘNG

Cách giải phương trình sina u b cosu c còn được dùng đối với các dạng sau:

 Dạng 1: asinu b cosu a²b² sinv

 Dạng 2: asinu b cosu a²b² cosv

Chú ý

sin cosa bsin cosb asin(a b ) cos cosa b sin sina bcos(a b )

Chú ý

￧

    

 

sin cos 2 sin

x x x 4    

 

sin cos 2 sin

x x x 4

(23)

23

￧

  ^ ^ ^

 

cos sin 2 cos

x x x 4   

    

 

cos cos 2 cos

x x x 4

Ghi chú

...

(24)

24

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình sinx 3 cosx2. Lời giải

...

Ví dụ 2. Giải phương trình 3 cos – sinx x 2. Lời giải

...

Ví dụ 3. Giải phương trình sinx 3 cosx  3. Lời giải

...

Ví dụ 4. Giải phương trình 3 sin 2x 3 cos 2x3. Lời giải

...

(25)

25

...

Ví dụ 5. Giải phương trình 3sin 4x 3 cos 4x 3 0 . Lời giải

...

Ví dụ 6. Giải phương trình 3sinx 3 cosx0. Lời giải

...

Ví dụ 7. Giải phương trình sinxcosx 2. Lời giải

...

Ví dụ 8. Giải phương trình sin – cosx x1. Lời giải

...

(26)

26

...

Ví dụ 9. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x2sinx. Lời giải

...

Ví dụ 10. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x2sin 3x. Lời giải

...

Ví dụ 11. Giải phương trình 3 cos 5 – 2cos 3x xsin 5x0. Lời giải

...

C. BÀI TẬP

Bài 6. Giải các phương trình sau:

1.



^sin^x^^cos^x



²^ ^{3 cos 2}^x^²^. ^2.2sin 2xsin 3x 3 cos 3x.

3. sin²x 3 sin 2 – cosx ²x 2 0. 4. 3 cos 5 – 2sin 3 .cos 2 – sinx x x x0.

(27)

27

5.



^{1 2 sin}^ ^x



^cos^x^{ }



^{1 2 sin}^x



^{1 – sin}^x



^. ^6.^8sin²^x^cos^x^ ^{3 sin}^x^^cos^x^.

7.



^{sin 2}^x^ ^{3 cos 2}^x



²^{ }^{5 cos}^^_^₆^²^x^^_^. ^8.^{4 sin}



⁴^x^^cos⁴^x



^ ^{3 sin 4}^x^²^.

VẤN ĐỀ 4

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐỐI VỚI SIN VÀ COS



￧ Tham khảo thêm Sách giáo khoa trang 35

 Là phương trình lượng giác có dạng: a.sin²u b .sin cosu u c .cos²u d (*) CÁCH GIẢI

 Cách 1.

 Xét cosu0, khi đó sin²u1 và

u 2 k

Thế cosu0 và sin²u1 vào phương trình (*) ta được: a d (**)

Nếu (**) đúng thì

u 2 k là nghiệm của phương trình (*)

Nếu (**) sai thì loại trường hợp cosu0

 Xét cosu0, chia 2 vế của phương trình (*) cho cos²u ta được:

(*) tan² tan 2 tan² tan



1 tan²



cos

a u b u c d a u b u c d u

    u    

 Cách 2.

Sử dụng các công thức: ² 1 cos 2

sin 2

u  u ² 1 cos 2

cos 2

u  u sin 2

sin cos

2 u u u

Đưa phương trình (*) về phương trình bậc nhất đối với sin 2u và cos 2u

MỞ RỘNG

 Phương trình đẳng cấp bậc 3 có dạng:

a.sin³u b .cos³u c .sin²ucosu d .sin cosu ²u e .sinu fcosu0

 Xét cosu0 có là nghiệm của phương trình (*) không?

 Xét cosu0, chia 2 vế của phương trình (*) cho cos³u.

Ghi chú

...

(28)

28

...

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình 3sin²x 3 sin cosx x2cos²x 2 0. Lời giải

...

Ví dụ 2. Giải phương trình sin²x 3 sin 2 – cosx ²x 1 0. Lời giải

...

Ví dụ 3. Giải phương trình 4sin²x3 3 sin 2x2cos²x4. Lời giải

...

(29)

29

Ví dụ 4. Giải phương trình sin²x7 sin 2x5cos²x 3 0. Lời giải

...

Ví dụ 5. Giải phương trình sin³x– 5sin²xcos – 3sin cosx x ²x3cos³x0. Lời giải

...

Ví dụ 6. Giải phương trình 8sin²xcosx 3 sinxcosx. Lời giải

...

Ví dụ 7. Giải phương trình 2sin²xsin cosx x3cos²x0. Lời giải

...

(30)

30

C. BÀI TẬP Bài 7. Giải các phương trình sau:

1. sin²x– 3sin cosx x2cos²x1. 2. ² ² 1

sin sin 2 2 cos

x x x2.

3. ² ² 5

4 3 sin cos 4 cos – 2 sin

x x x x2. 4. 2cos²x3 3 sin 2 – 4sinx ²x 4 0.

5. 2cos²x– 2cos 2 – 4sin cosx x x 1 0. 6. 2 sin³x 2sin ²xcos – cosx ³x2sinx.

7. sin³xcos³xsin – cosx x. 8. 2cos 3x 3 sinxcosx0.

9. sin sin 2x xsin 3x6cos³x. 10. 8sin³x– 9sinx5cosx0.

11. sin2x2sin²x0. 12. sin2x2sin²x0.

13. cos²x 3 sin2x 1 sin²x. 14. cos³x4sin³xsinx3cos sinx ²x.

(31)

31

VẤN ĐỀ 5

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN VÀ COS



 Là phương trình lượng giác có dạng: ^a



^sin^u^^cos^u



^^b^{sin cos}^u ^{u c}^{ }⁰ ^(*)

CÁCH GIẢI

Đặt sin cos 2 cos 2 sin

4 4

t u u u  u 

   .

Điều kiện:  2 t 2

Bình phương hai vế của tsinucosu ta được

2

2 1

1 2 sin cos sin cos

2 t   u u u ut 

Thế sinucosu t và

2 1

sin cos

2 u u t 

 vào (*) ta thu được một phương trình đại số.

MỞ RỘNG

 phương trình lượng giác có dạng: ^a



^sin^u^^cos^u



^^b^{sin cos}^u ^{u c}^{ }⁰

Đặt sin cos 2 sin

t u u u4

 .

Điều kiện:  2 t 2

Bình phương hai vế của tsinucosu ta được

2

2 1

1 2 sin cos sin cos

2

t u u u u t

   

Ghi chú

...

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình ^{3 sin}



^x^^cos^x



^^{2sin 2}^x^{ }^{3 0}^.

(32)

32

Lời giải

...

Ví dụ 2. Giải phương trình 5sin 2 – 12 sin – cosx



x x



12 0 . Lời giải

...

Ví dụ 3. Giải phương trình



^{1 cos}^ ^x



^{1 sin}^ ^x



^²^.

Lời giải

...

Ví dụ 4. Giải phương trình ³ ³ 3

1 sin cos sin 2

x x 2 x

   .

Lời giải

...

(33)

33

...

VẤN ĐỀ 6

SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI



MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP

 DẠNG 1.

￧ Dùng công thức biến đổi



cos ^cos ^2cos ^ cos ^

2 2

a b a b

a b



sin ^sin ^2sin ^ cos ^

2 2

a b a b

a b



cos cos  2sin ^ sin ^

2 2

a b a b

a b



sin sin 2cos ^ sin ^

2 2

a b a b

a b

VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải phương trình sinxsin2xsin3x0.

Lời giải

...

Ví dụ 2. Giải phương trình cosxcos2xcos3x0. Lời giải

...

(34)

34

...

Ví dụ 3. Giải phương trình cos7xcos5xcos3x0. Lời giải

...

Ví dụ 4. Giải phương trình sin9 – cos6x xsin3x. Lời giải

...

Ví dụ 5. Giải phương trình sin5xsin3 – cosx x0. Lời giải

...

Ví dụ 6. Giải phương trình sinx2cos2xsin3x. Lời giải

...

(35)

35

...

Ví dụ 7. Giải phương trình cosxcos2xcos3xcos4x0. Lời giải

...

Ví dụ 8. Giải phương trình sinxsin2xsin3 cosx xcos2xcos3x. Lời giải

...

Ví dụ 9. Giải phương trình sinxsin2xsin3 sin4x xsin5xsin6x0. Lời giải

...

Ví dụ 10. Giải phương trình ^sin^x^^{sin 2}^x^^{sin 3}^x^ ^{3 cos}



^x^^{cos 2}^x^^{cos 3}^x



^.

Lời giải

...

(36)

36

...

 DẠNG 2.

￧ Dùng công thức hạ bậc



^cos² ^ ¹



^{1 cos 2}^



u 2 u



^sin² ^ ¹



^{1 cos 2}^



u 2 u

￧ Dùng công thức biến đổi



cos cos 2cos ^ cos ^

2 2

a b a b

a b



sin sin 2sin ^ cos ^

2 2

a b a b

a b



cos cos  2sin ^ sin ^

2 2

a b a b

a b



sin sin 2cos ^ sin ^

2 2

a b a b

a b

VÍ DỤ

Ví dụ 11. Giải phương trình sin 3 – cos 4² x ² x sin 5 – cos 6² x ² x. Lời giải

...

Ví dụ 12. Giải phương trình sin²xsin 2² xsin 3² xsin 4² x. Lời giải

...

(37)

37

...

Ví dụ 13. Giải phương trình sin²x sin 3 cos 2 ² x ² xcos 4² x. Lời giải

...

Ví dụ 14. Giải phương trình ² ² ² 3

sin sin 2 sin 3

x x x 2. Lời giải

...

Ví dụ 15. Giải phương trình ² ² ² ² 3

cos cos 2 cos 3 cos 4

x x x x2. Lời giải

...

Ví dụ 16. Giải phương trình sin²xcos 2² xcos 3² x.

(38)

38

Lời giải

...

Ví dụ 17. Giải phương trình sin²x sin 2 sin 3 ² x ² xcos²xcos 2² xcos 3² xcos 4² x. Lời giải

...

Ví dụ 18. Giải phương trình ^{2 cos}²x^{2 cos 2}² x2 cos 3 – 3 cos 4² x  x



2 sin 2x 1



. Lời giải

...