Các dạng phương trình lượng giác thi dại học hay có trong đề thi

Các cơng thức biến đổi:

1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung gĩc cĩ liên quan đặc biệt:

* Cung đối nhau:

cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx

* Cung bù nhau:

cos(π - x) = - cosx sin(π - x) = sinx tg(π - x) = - tgx cotg(π - x) = -cotgx

* Cung phụ nhau:

cos( x 2

π  ) = sinx sin( x 2

π ) = cosx tg( x 2

π ) = cotgx cotg( x 2

π ) = tgx

* Cung hơn kém nhau π:

cos(π+ x) = - cosx sin(π + x) = - sinx tg(π - x) = tgx cotg(π - x) = cotgx 2) Cơng thức cộng:

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa tg(a + b) =

tgatgb 1

tgb tga



 tg(a - b) =

tgatgb 1

tgb tga



 3) Cơng thức nhân đơi:

sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a = cos²a - sin²a; tg2a =

a tg 1

tga 2

 2

4) Cơng thức hạ bậc:

) a 2 cos 1 2( a 1

cos²   ; (1 cos2a)

2 a 1

sin²   ;

a 2 cos 1

a 2 cos a 1

tg²



  5) Cơng thức tính sina, cosa, tga theo t =

2 tga

2 2

2

2 1 t

t tga 2

; t 1

t a 1 cos

; t 1

t a 2

sin  



 

 

6) Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

2 b cosa 2

b cosa 2 b cos a

cos     ;

2 b sina 2

b sina 2 b cos a

cos  





 2

b cosa 2

b sina 2 b sin a

sin     ;

2 b sina 2

b cosa 2 b sin a

sin    

b cos . a cos

) b a tgb sin(

tga b;

cos . a cos

) b a tgb sin(

tga     

7) Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b) 2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)

I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:

 Phương trình dạng : a.f²(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.

Và a, b, c là các hệ số a0.

 Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì t 1)

+ Giải phương trình at² + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.

ÔN LUYỆN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

+ Giải phương trình f(x) = t.

Ví dụ 1) Giải phương trình :2 cos 4 6 s² 1 3cos 2 cos 0

x co x x

x

  

 (1)

Ví dụ 2) Giải phương trình : 1

cos 1

sin 2 ) 1 cos 2 ( cos

1 









x

x x

x (2)

Ví dụ 3) Giải phương trình : 3cosx  2 3(1cosx).cot²x (3) Ví dụ 4) Giải phương trình : sin⁶x cos x ⁶ 2cos x² 1 (4) Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng



^0;



của phương trình : 7 ^{sin 3 cos 3} 4 cos 2

2 sin 2 1

x x

cosx x

x

    

  

  (5)

Ví dụ 6) Cho phương trình : cos 2x(2m1)sinx m  1 0 (*). a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng



^{ ; 2}



^.

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1) +Đk   m x 

2 .

(1) ^2



^2cos22x1



^{3(1cos2x13cos2x0}

















 





















 

 k x

x k x

x x

x

6 2 2

2 1 cos

1 2 cos 0

1 2 cos 3 2 cos

2 ²

Họ 2



x k thỏa ĐK khi k = 2h xh

Vậy (1) cĩ 3 họ nghiệm là: xh x k ; h,kZ

; 6 

 .

Ví dụ 2) + ĐK : cosx1xm2

(2) 12cos² xcosx 2sinx1cosx2(1sin² x) 2sinx0 2

2 sin sin 2

0 2 sin 2 sin

2 ²       

 x x x x (loại)























 









 

 



4 2 5

4 2 sin 4

2 sin 2

k x

k x

x

Ví dụ 3) +ĐK : xm

(3)     

x x x

x ₂

2

sin )cos cos 1 ( 3 2 2 cos

3 

 





 x

x x

x ₂

2

cos 1 ) cos cos 1 ( 3 2 2 cos 3

0 2 cos cos

cos 6 1

cos 2 3

cos

3 ²

2    

 





 x x

x x x











































 

2 3) arccos( 2

3 2 3

cos 2 2 cos 1

k x

k x

x x

(Thỏa các ĐK) Ví dụ 4) +Biến đổi:

 

4 2 1 4cos 3

2 4sin 1 3 ) cos (sin

cos sin 3 ) cos (sin

) (cos sin

cos sin

2

2 2

2 2 2 3

2 2

3 3 2

2 6

6



























x

x x

x x x x

x

x x

x x

(4) cos2 3cos 2 4cos2 1 0

4 2 1 4cos

3 2    2   

 x x x x















 











 



3 2 arccos1 2

1 3

2 1 cos

1 2 cos

k x

k x x

x

Ví dụ 5) *Giải PT(5):

+ĐK : sinx





















 

  12 2 12 2 5 2

1

m x

m x

+Ta có

) cos sin 1 )(

cos (sin

4 ) cos (sin

3 cos 3 cos 4 sin 4 sin 3 3 cos 3

sin x x x ³x ³x x x x  x x  x x

) 1 2 sin 2 )(

cos (sin

) 1 cos sin 4 )(

cos

(sin     

 x x x x x x x

x x x

x

x sin cos

1 2 sin 2

3 cos 3

sin  



 

(5)7(sinxcosxcosx)4cos2x7sinx4(12sin²x) 3

2 sin sin 1

0 3 sin 7 sin

2 ²       

 x x x x (loại)





















 

  6 2 5 6 2 2

sin 1

k x

k x

x

*Chọn nghiệm trên khoảng

 

0; ta được hai nghiệm của phương trình là:

6

; 5 6



 _

 x

x

Ví dụ 6) (*)12sin²x(2m1)sinxm10 0 sin

) 1 2 ( sin

2 ²    

 x m x m

 

1;1

; sin

; 0 )

1 2 ( 2 )

(  ²      

 f t t m t m t x t

a)Khi m=2: 2

2 0 1

2 5 2 )

(t  t²  t  t  t 

f (loại)

























 

  6 2 5 6 2 2

sin 1 2

1

k x

k x

x t

b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng



^{ ; 2}



^:

Khi ^x



^;2



^{1t 0.}

Vậy ta phải có : 













 











































































0 1

0 ) 1 ( 0 ) 1 ( ).

0 (

2 0 1

0 ) 1 (

; 0 ) 0 (

; 0

0 1

0 1

0 1

2 1

2 1

2 1

m m f

f f

S

af af

t t

t t

t t



1;0





m

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình :4sin 2² 6sin² 9 3cos 2 cos 0

x x x

x

  

 2) Giải phương trình : ^cos



^{2 3 2}



^{2 2 1}

1 sin 2 1

x sinx cos x

x

  

 

3) Giải phương trình : 5sinx 2 3(1sinx).tan²x

4) Giải phương trình : ^{8 8} 17 ²

sin 2

x cos x 16cos x

5 Tìm các nghiệm trên khoảng



^{0; 2}



của phương trình : 5 ^{cos 3 sin 3} 3 cos 2

1 2 sin 2

x x

sinx x

x

    

  

 

6) Cho phương trình : cos 2x(2m1) cosx m  1 0 (*). a) Giải phương trình khi m = 3/2.

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng ;³ 2 2

 

 

 

 . II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  0 + Điều kiện phương trình có nghiệm : a² + b²  c². + Cách giải :

- Chia 2 vế phương trình cho a²b² ta được :

2 2 2 2 2 2

cos

asinx b x c

a b a b a b

 

  

- Đặt

2a 2 sin 2b 2

cos

a b a b

    

  và đặt

2 2

sin c

a b

 

 ta có phương trình:

sin(x)sin

Ví dụ 1: Giải phương trình : 4cos³2x 3sin6x2cos4x3cos2x (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình : 8sinx ^{3 1} cosx sinx   (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2xcos2xcosxsinx0 (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình : 9sinx3cosx3sin2xcos2x8 (4)

Ví dụ 5: Giải phương trình : 2cos x³ cos 2x sinx 0 (5)

Ví dụ 6: Giải phương trình : sin³x cos x ³ sinx cosx (6)

Ví dụ 7: Giải phương trình : 4(sin⁴x cos x ⁴ ) 3 sin 4x2 (7)

Ví dụ 8: Giải phương trình : 3(sin3xcosx)cos3xsinx (8) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) ^



^{4cos32x3cos2x}



^{ 3sin6x2cos4x}

x x x x sin6x cos4x

2 6 3 2cos 4 1

cos 2 6 sin 3 6

cos     



x cos4x 6 3

cos 



 



 

 

.

Ví dụ 2: + ĐK : m



m Z



x x x

x     









0 2 2 0 sin cos

0

sin 

+ (2)4sin2xsinx 3sinxcosx2(cosxcos3x) 3sinxcosx x

x x

x

x cos3

cos 3 3

cos 2 sin

cos 3 2

1 



 

 







 

Ví dụ 3: (3) (2sinxcosxsinx)



2cos²xcosx1



0 0

) 1 cos )(sin

1 cos 2 (

0 ) 1 )(cos 1 cos 2 ( ) 1 cos 2 ( sin























x x

x

x x

x x

1 4) sin(

2 2

cos  1  

 

x x

Ví dụ 4: (4) ^



^{9sinx6sinxcosx}



^



^{3cosx2cos2x9}



^0

0 ) 3 )(cos 3 cos 2 ( ) cos 2 3 ( sin

3     

 x x x x

0 3 sin 3 cos 0

) 3 sin 3 )(cos 3 cos 2

(        

 x x x x x





cos sin sin sin cos

10 sin 3

10 cos 3

10

1     

 x x x x

10 sin 3

10 ; cos 1

2 ; cos )

cos(   



 

 





 x     

Ví dụ 5: (5) 2cos³x2cos²x1sinx02cos²x(cosx1)(1sinx)0 0

) sin 1 ( ) 1 )(cos sin 1 )(

sin 1 (

2      

 x x x x

 

0 ) 1 2 sin cos 2 sin 2 )(

sin 1 (

0 1 ) cos 1 )(

sin 1 ( 2 ) sin 1 (

























x x

x x

x x

x



^{2(sin cos ) (sin cos )}



⁰

) sin 1

(     ² 

 x x x x x











 











 sin cos 0

0 sin 0 1

) 2 cos )(sin

cos )(sin

sin 1

( x x

x x x

x x

x

Ví dụ 6: (6) (sinxcosx)(1sinxcosx)sinxcosx

x x

x x

x x x

x cos sin cos (sin cos ) sin cos

sin     



0 ) cos sin sin

2 ( cos 0

) cos (sin

cos sin cos

2      ²  

 x x x x x x x x x

0 ) 2 sin 2 cos 3 ( cos 0

) 2 2sin 1 2

2 cos 2 1

(

cos        

 x x x x x

x 0 cos 

 x

Ví dụ 7: + Biến đổi : x x x x cos4x

4 1 4 ) 3 4 cos 1 4( 1 1 2 2sin 1 1 cos

sin⁴  ⁴   ²     

+ (7)

2 4 1

2 sin 4 3

2cos 2 1

4 sin 3 4 cos

3     

 x x x x

 3

cos2 4 3

cos  _ 



 



 x 3(sin3xcosx)cos3xsinx

Ví dụ 8: (8) x x x x x x x cosx

2 sin 3 2 3 1 2cos 3 1

2 sin cos 3

3 sin 3 cos 3 sin

3       



_



 

 





 



 

 sin 3

3 6

sin  

x x

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình : 3sin3x 3cos9x2cos3x4sin³3x 2) Giải phương trình : 8 ^{3 1}

cosx sin

x cosx

 

3) Giải phương trình : sin 2x2sinx 1 4sin xcosx cos x²  2 2sin cos 2x x

4) Giải phương trình : sinx4cosxsin 2x2cos 2x1 5) Giải phương trình : 2sin³xcos 2x cosx 0

6) Giải phương trình : sin³x cos x ³ sinx cosx 7) Giải phương trình : ⁸



^{sin6 xcos6 x}



^{3 3sin4x2}

8) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3xcosx

III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:

 Phương trình có dạng : asin²x + bsinxcosx + ccos²x + d = 0. (1)

 Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng cung)

(1)  1 cos 2 1 cos 2

sin 2 0

2 2 2

x b x

a   x c   d

bsin 2x (c a) cos 2x (2d a c).

 Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx) Xét hai trường hợp :

+ Nếu x = ;

2 k k Z

    có là nghiệm phương trình hay không.

+ Nếu x ;

2 k k Z

 

   , chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

atan²x + btanx + c + d(1 + tan²x) = 0  (a + d)tan²x + btanx + c + d = 0.

Ví dụ 1: Giải phương trình cos²x - 3sin2x = 1 + sin²x (1) Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin²x – 3sinxcosx +



^34



^{cos2x = 4 (2)}

Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos²x – 5sinxcosx + 3sin²x = 4 (3) Ví dụ 4: Giải phương trình : cos²x + sinxcosx + 3sin²x = 3. (4) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: (1) ^



^{cos2 xsin2 x}



^{ 3sin2x1cos2x 3sin2x1}

cos3 2 3

2 cos 2 1

2 sin 2 3

2cos

1  _ 



 



 







 x x x

Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì sin²x1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) cĩ nghiệm   k x 

2 .

+Xét cosx0. Chia hai vế PT(2) cho cos² x và thay x x

2

2 1 tan

cos

1   và đặt ăn phụ t = tanx :

Ta cĩ :   

k x

x t

t t

t            

6 tan 6

3 tan ) 3

1 ( 4 4 3 3

4 ^{2 2}

Vậy PT (2) cĩ hai họ nghiệm là :   k x 

2 ; x k ; kZ

6 



Ví dụ 3: (3) (1 cos2 ) 3

2 2 3 2sin ) 5 2 cos 1 (

5     

 x x x

7 2 sin 5 2 cos

7  

 x x

Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì sin²x1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) cĩ nghiệm   k x 

2 .

+Xét cosx0. Chia hai vế PT(2) cho cos² x và thay x x

2

2 1 tan

cos

1   và đặt ăn phụ t = tanx :

Ta cĩ : 1t3t² 3(1t²)t 2tanx2xarctan2k BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1) Giải phương trình : 3sin²x - 5 3sinxcosx – 6cos²x = 0

2) Giải phương trình : sin²x +(1 3) sin cosx x 3cos x² 0 3) Giải phương trình : 2sin²x + sinxcosx – 5cos²x = 1

4) Giải phương trình : cos²x – 3sin²x – 4sinxcosx = 0

2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:

 Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:

+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx cĩ bậc k cĩ thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx cĩ bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin²xcos²x1.(k,nN)

Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.(sin²xcos²x)sin³xsinxcos²x (bậc 3).

Hoặc sinx = sinx.(sin²xcos²x)² sin⁵x2sin³xcos²xsinxcos⁴x (bậc 5).

+ Chú ý : i) Số 0 khơng cĩ bậc. Một hằng số khác 0 cĩ bậc là 0.

ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và cơsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x cĩ bậc 1, với cung 1x thì sin3x cĩ bậc 3)

 Từ những ý tưởng trên ta cĩ thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và cơsin của cùng một cung như sau:

“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT cĩ bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, kN”

 Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)

(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và cĩ thuật tốn, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)

+Bước 1: Xét cosx = 0 cĩ nghiệm đúng PT khơng. (nếu đúng ghi nhận kết quả) +Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho cosⁿxvà thay ^k



^x



^k

x

2

2 1 tan

cos

1   



 



 .

-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.

-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.

 Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và cơsin)

( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng khơng định hướng được kết quả biến đổi. Địi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng cĩ thuật tốn như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: tanxsinxcosxcos²x (1) Giải cách 1:

+ĐK:  

m x 

2 .

+(1) sinxsinxcos²xcos³x (*) (đẳng cấp bậc 3).

+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì 10 ; vơ lý) +cosx 0, chia hai vế (*) cho cos³x được :

 

k x

x t

t x

x

x            

1 4 tan

1 1

1 tan ) tan 1 (

tan ^{2 3} (t = tanx)

Giải cách 2:

(*) sinx(1cos²x)cos³xsin³xcos³x (**)

  k x

x

x      1 4

tan 1

tan³

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như sau:

(**)sin³xcos³x0(sinxcosx)(1sinxcosx)0(sinxcosx)(2sin2x)0

 

k x

x x

x      

sin cos 0 tan 1 4 .

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos³xsinxcosx (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1:

+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (2)

+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos³x được :1tanx(1tan²x)(1tanx)

 k x x

t t

t

t         

 ( ² 1) 0 0 tan 0 (với t = tanx )

Giải cách 2:

(2) cosx(cos²x1)sinxcosxsin²xsinx0sinx(sinxcosx1)0 sinx(sin2x2)0sinx0xk

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3sin³x2cos³xsin²xcosx2cosx0 (3) (đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (3)

+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos³x được :

0 ) 3 ( 3 0 3 3 ) tan 1 ( 2 tan 2 tan

3 ³x  ² x  ² x  t³  t²   t² t 















 









 









 

 

 k x

k x x

x t

t

3 3 tan

0 tan 3

0 Giải cách 2:

(3) ^



^{3sin3xsin2 xcosx}



^{2cosx(1cos2x)0}

^{sin2 x( 3sinxcosx)2cosxsin2 x0sin2 x}



^{3sinx3cosx}



^0















 









 









 

 

 

k x

k x x

k x x

x x

3 3 tan

0 cos 3 sin

0 sin

Ví dụ 4 : Giải phương trình 3cos⁴x – 4sin²xcos²x + sin⁴x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1:

+ cosx = 0 thì sinx = 1 khơng nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0 + Chia hai vế (2) cho cos⁴x rồi đặt ẩn phụ t = tan² x thì được:

t²4t30t 1t3 Giải cách 2:

(4) (3cos⁴x3sin²xcos²x)(sin²xcos²xsin⁴x)0 0 ) sin (cos

sin ) sin (cos

cos

3 ^{2 2}  ²  ^{2 2}  ² 

 x x x x x x









 





 tan 3

0 2 0 cos

) sin cos

3 ( 2

cos ^{2 2}

x x x

x x

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin⁶xcos⁶xcos²2xsinxcosx (5) Giải cách 1:

Nếu biến đổi : sin⁶xcos⁶x(sin²xcos²x)(sin⁴xcos⁴xsin²xcos²x)= = sin⁴xcos⁴xsin²xcos²x

Và biến đổi : cos²2x(cos²xsin²x)² cos⁴xsin⁴x2sin²xcos²x Thì PT (5) sin²xcos²xsinxcosx0 (*)

Khi đĩ PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: sin⁶xcos⁶x(cos²xsin²x)²sinxcosx (đẳng cấp bậc 6)

Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )

















 









 2 1 0 (5.1)

0 0

2 ^{3 2} _{4 3 2}

4 5

t t t t t t

t t t t

Khi đĩ PT (5.1) 1 1 2 0

1 0

2 1 ₂ ² ₂

2  



 

 





 

 













 t t

t t t

t t

t (5.2)

PT (5.2) đặt ẩn phụ t t

u 1



 thì được PT bậc hai u²u0u0u1. Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm.

+ Với t = 0 tanx0xk .

Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nĩ nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:

  k x 

2 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = 2



k . Phù hợp với mọi cách giải.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng một cung như :

1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos³x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3) Giải phương trình sinx – 4sin³x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 4) Giải phương trình : sin³x cos x ³ sinx cosx (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : ⁸



^{sin6 xcos6 x}



^{3 3sin4x2} (đẳng cấp bậc 6) 6) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3xcosx (đẳng cấp bậc 3)

7) Giải phương trình : sin³x cos x ³ sinx cosx (đẳng cấp bậc 3) 8) Giải phương trình : 4(sin⁴ x cos x ⁴ ) 3 sin 4x2 (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 3(sin3xcosx)cos3xsinx (đẳng cấp bậc 3) 10) Giải phương trình : ^{8 8} 17 ²

sin 2

x cos x 16cos x (đẳng cấp bậc 8) 11) Giải phương trình : sin⁶x cos x ⁶ 2cos x² 1 (đẳng cấp bậc 6)

IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cơssin cùng một cung:

1) Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và cơsin)

 Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(1)

 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2

sin 4

2   



 

 x  t

(*)

2 cos 1

sin cos

sin 2 1

2

2     

 t

x x x

x t

(1) 0 2 2 0 (1.1)

2

. 1 ²

2













 



 t c bt at c b

b

at .

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t₀  2. Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t₀² 1 để tìm x.

2) Phương trình chứa hiệu và tích ( cịn gọi là phương trình phản xứng)

 Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(2)

 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2

sin 4

2   



 

 x  t

(**)

2 cos 1

sin cos

sin 2 1

2

2 t

x x x

x

t     



(1) 0 2 2 0 (2.1) 2

.1 ²

2       

 

 t c bt at c b

b

at .

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t₀  2. Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1-t₀² để tìm x.

Ví dụ 1: Giải phương trình



sinxcosx



sin2x12(cosxsinx)12cos2x0 (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình _



 

 





3sin2 sin 3sin2 cos 7 2sin 4 2

cos

8 

x x

x x

x

x (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình sin³xsin²x2cosx20 (3) Ví dụ 4: Giải phương trình sin²xcosx12(sinxcosxsin2x)sinxcos²x12(4) Ví dụ 5: Giải phương trình sin²xsinxcosxcosx2sin2x(sinx1)1 (5) Ví dụ 6: Giải phương trình (sinxcosx1)cos2xcosxsinx0 (1) HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) 



^sinx^cosx

 

^sin2x^12(sinx^cosx⁾¹²



⁰ _















 

) 1 ( 0 12 2 sin ) cos (sin

12

) 1 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

x

(1a)   k x 

 4

(1b) t



t x x



t t t

t 1 sin cos

13 0 1

13

2 12     









 









0 2 2 sin

1 k

x x

t    



+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là ( )

; 2

4 k k Z

x k

x     

Ví dụ 2: (2) 



cosxsinx

 

8(cosxsinx)3sin2x7



0 _















 

) 2 ( 0 7 2 sin 3 ) sin (cos 8

) 2 ( 0 cos sin

b x

x x

a x

x

(2a)   k x 

 4

(2b) : Đặt t = cosxsinx ; (t  2)t² 1sin2xsin2x1t² (*) (2b)

3 2 3

2 2 0

4 8

3 ²   





















 t

t t t

t , thay t = -2/3 vào (*):

Sin2x =





















 

 k x

k x

9 arcsin5 2

9 arcsin5 2 1 9

5

Ví dụ 3: (3) (1cosx)(sinxcosxsinxcosx1)0











 













 

2 2 0

1 cos sin cos sin

1

cos 

 x k

k x x

x x x

x Ví dụ 4: (4) 

   















 













0 12 ) cos (sin

12 cos sin

0 cos sin

0 12 ) cos (sin

12 cos sin cos sin

x x

x x

x x

x x

x x x x















2 4



 x k x

Ví dụ 5: (5) ^



^sin2x1



^{(sinxcosxcosx)2sin2x(sinx1)0}

    

  













 





























0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 1 2 sin 2 cos sin

1 sin

0 ) 1 (sin 2 sin 2 1 sin cos 1 sin 1 sin

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x

Ví dụ 6: (6) 



sinxcosx1

 

cos²xsin²x







cosxsinx



0





sinxcosx1



cosxsinx



cosxsinx

 

 cosxsinx



0 ^(cosx^sinx⁾

 

^sinx^cosx¹



^cosx^sinx



¹



⁰

_















 

) 6 ( 0 1 ) sin )(cos 1 cos (sin

) 6 ( 0 sin cos

b x

x x

x

a x

x

(6a)   k x 

 4

(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  2 ) ; t² 1sin2xsin2xt²1 (*) (6b) 1 . 1 0

2

2 1



 



 



   t t

0 2

33  

t t (t1)(t²t2)0 1

2

1  









  t

t

t thay vào (*) thì sin2x = 0

2

 x k



BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :

1) 2

cos 4 2 ) 1 cos (sin

2 sin

2 



 

 





 

x x

x

x .

2) x x sin4x sinx cosx 2

cos 1

sin⁴  ⁴   

3) cos³xcos²x2sinx20 4)



^3sinx

 

^3sin2x



^{8(2cosx)}

5) cos2x(1sinxcosx)cosxsinx0 6) sin³x3sin²x6cosx60

D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009

(Khơng hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học) Bài 1:Giải các phương trình sau :

a) x

x

x x 3 cos2

cos 2 1

3 2 sin

sin

4  



 





  ; b) sin²2xcos²3xsin²xcos²4x c) sin3x4cos2x3sinx40 ; d) sin 2 1 0

2 sin 1 2 cos 3

sin x x x ² x 

e) 0

2 cos 2

cos sin cos

sin sin

cos^{6 6 2 2} 









x

x x x x x

x ; g)

x x x x x

x sin

cos sin 4 cos cot 1

.

cos ²   

Bài 2:Giải các phương trình sau :

a)

 

0 sin

2 2

4 3 4 cos

sin 2 cos

sin

2 ^{4 4}

 





 

 



 

 





x

x x

x

x  

b)



sinxcosx



cotxcos2x.cosx2sin³xcos³xsin²x.cosx c) 10cos²xcosx23(cosxcos2x).cotg²x

d)



^{2cosx 3}

 2sinxcosxsin2x 3sinx

Bài 3:Giải các phương trình sau :

a) 1sinxcosxsin2xcos2xsin³xcos³x0 ; b)

x x x

x ² ₂

tan cot 1

. cos sin

1  

c) 1(1sin²x)cosxsin2xsinx(1cos²x) ; d) tan²x2tanxcot²x2cotx20

Bài 4 : Giải các phương trình :

a)

   

0 1 2 2 sin

sin 3 4

cos sin

cos sin

8

2 6

6   





 x

x

x x

x

x ; b) sin²3x.cos2xsin²x0

c) 0

3 2 cos 5

2 cos 2 cos sin

cos

sin^{6 6 4 4}

 









x

x x

x x

x ; d) sinx.tanxsin2xtanx

e) 1(1sin²x)cosxsin2xsinx(1cos²x) ; g) 2cos²xcosx1cos7x Bài 5 : Giải các phương trình :

a) (1sin²x)cosx(1cos²x)sinxsin2x1 ; b) 3cos 1 2 cos2

sin2

2





 



 



 x x x

c) 3cosx(1cos2x)2sin2xsinxcos2x0 ;

d) 



 

 





 



 





 

  4

cos 5 4 2

sin 3 1 cos 2

1 



 ^x

x x

e) 3cosx(1cos2x)2sin2xsinxcos2x0

f) sin³x 3cos³xcos2xsinxcos²x 3sin²xcosx

Bài 6: a) Giải phương trình

 

) 3 cos 1 )(

cos 2 1 (

sin cos 2

1 







x x

x x

b) Giải phương trình : cos 2

2 cos

3 sin 3 cos

2 cos

2  ³   

x x

x x

x

c) Giải phương trình 3

cos

cos sin 4 3 cos

3 ²

  x

x x x