Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình trùng phương
• Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4bx2 c 0
a0 1
• Để giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ.
Đặt x2 t 0, đưa về phương trình at2 bt c 0 2
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
3. Phương trình tích
• Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
• Giải phương trình tích
4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp
- Phương trình bậc bốn dạng
x a
x b
x c
x d
m với a b c d- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng: ax4bx3cx2bx a 0
a0
- Phương trình hồi quy có dạng ax4bx3cx2dx e 0
a0
trong đó e d 2a b
- Phương trình bậc bốn dạng
xa
4 x b
4 c- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:
• 2 mx 2 nx
ax bx d ax cx d p
•ax22 mx c ax22 px c ax nx c ax qx c d
•ax22 mx c 2 px ax nx c ax qx c d
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình x43x32x26x 4 0
(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2009 - 2010) Giải
Tìm cách giải. Đây là phương trình bậc 4. Suy luận rất tự nhiên là phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. Tuy nhiên quan sát các hệ số của vế trái: 1; 3; 2; 6; 4 , ta phát hiện ra :
4 6 2
1 3
do vậy bài toán có dạng ax4bx3cx2dx e 0
a0
trong đóe d 2
a b
Cách giải của phương trình dạng này là:
• Bước 1. Xét x0 , hai vế không bằng nhau nênx0không phải là nghiệm của phương trình.
• Bước 2. Xét x0 chia cả hai vế của phương trình cho x2 . Sau đó đặt ẩn phụ. Bài toán có hai cách giải sau:
Trình bày lời giải Cách 1
• x0không phải là nghiệm của phương trình.
• Vớix0chia hai vế cho x2 ta được:
2 2
2 2
6 4 4 2
3 2 0 3 2 0
x x x x
x x x x
Đặt 2 2 2 42 2 42 2
4 4
y x y x x y
x x x
Phương trình có dạng y2 4 3y 2 0 y23y 2 0 Giải ra ta được y1 1;y2 2
- Với y 1 ta có 2 2
1 2 0
x x x
x Giải ra ta được x1;x 2
- Với y 2 ta được 2 2
2 2 2 0
x x x
x Giải ra ta được x 1 3;x 1 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là s
1; 2; 1 3; 1 3
Cách 2:
4 2 3 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
4 4 3 6 2 0
2 3 2 2 0
2 2 2 2 2 0
2 2 2 2 0
2 2 2 0
2 0 1 2 2 0 2
x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
• Giải phương trình (1): x2 x 2 0 ta được x11;x2 2
• Giải phương trình (2): x22x 2 0 ta được x3 1 3;x4 1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là s
1; 2; 1 3; 1 3
Ví dụ 2: Giải phương trình
x23x2
x215x56
8 0(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2008 - 2009) Giải
Tìm cách giải. Khi khai triển, bài toán này có dạng phương trình bậc 4, nên cách giải chung là phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên vế trái có hai ngoặc chứa ẩn, có thể phân tích trực tiếp thành nhân tử. Sau khi phân tích xong ta thấy phương trình có dạng phương trình bậc bốn dạng:
x a
x b
x c
x d
m với a b c dVì vậy ta có lời giải thứ hai cho dạng toán này như sau:
• Bước 1. Viết phương trình dưới dạng:x2
ab x
ab x2
cd x
cdm• Bước 2. Đặt x2
a b x ab
y . Giải phương trình ẩn y Trình bày lời giảiCách 1:
2 2
4 3 2
4 3 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 15 56 8 0
12 13 138 120 0
6 15 6 36 90 8 48 120 0
6 15 6 6 15 8 6 15 0
6 15 6 8 0
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
• Giải phương trình x26x150 ta được x1 3 2 6;x2 3 2 6
• Giải phương trình x26x 8 0 ta được x3 3 17;x4 3 17
Vậy tập nghiệm của phương trình là: s
3 2 6; 3 2 6; 3 17; 3 17
Cách 2:Ta có thể viết:
x1
x2
x7
x8
8 0
x1
x7
x2
x8
8 0
x26x7
x26x16
8 0
Đặt x26x 7 y phương trình có dạng y y
9
8 0 y29y 8 0 Giải ra ta đượcy11;y28• Với y1 ta được x26x 7 1 x26x 8 0 Giải ra ta được x3 3 17;x4 3 17
• Với y8 ta được x26x 7 8 x26x150 Giải ra ta được x1 3 2 6;x2 3 2 6
Vậy tập nghiệm của phương trình là:s
3 2 6; 3 2 6; 3 17; 3 17
Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2 2133 5 2 3 2 6
x x
x x x
Giải
Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, bài toán có
dạng 2 mx 2 nx
ax bx d ax cx d p
Nên bài toán có hai cách giải khác:
- Cách 1. Đặt ax2 d t Ta được phương trình chứa cả x và t , rồi phân tích đa thức thành nhân tử. Cách này gọi là đổi biến không hoàn toàn.
- Cách 2.
Vì x0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả tử và mẫu mỗi phân thức ở vế trái cho x, ta được: m n
d d p
ax b ax c
x x
Sau đó đặt ẩn phụ rồi giải
Trình bày lời giải
Cách 1. Đặt t3x22 phương trình có dạng 2 13 5 6
x x
t xt x
Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 2t213t11x2 0
t x
2t11x
0Trường hợp 1 Xét t x 0 3x2 2 x 0 vô nghiệm Trường hợp 2.
Xét 2t11x 0 2 3
x22
11x 0 6x211x 4 0Giải ra ta được 1 1 2 4 2; 3 x x
Vậy tập nghiệm của phương trinh là: 1 4 2 3;
s
Cách 2. Xét x0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được 2 13
2 2 6
3x 5 3x 1
x x
Đặt 2
3x 2 t
x phương trình có dạng 2 13 3 3 6
t t
Quy đồng, khử mẫu và thu gọn ta được: 6t215t210 Giải ra ta được 1 2 7 1; 2 t t
* Trường hợp 1. Xét t 1 suy ra 2 2
3x 2 1 3x x 2 0
x vô nghiệm
* Trường hợp 2. Xét 7
t 2 suy ra 2 7 2
3 2 6 11 4 0
x 2 x x
x Giải ta ta được 1 1 2 4
2; 3 x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 4 2 3;
s
Ví dụ 4: Giải phương trình
2 2
2 2
3 3 6 3 53
4 3 5 3 12
x x x x
x x x x
(Thi học sinh giỏi, Tinh Trà Vinh, năm học 2009 - 2010) Giải
Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu quy đồng ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, Bài toán có dạng
2 2
2 2
ax mx c ax px c ax nx c ax qx c d
Cách giải thông thường cho dạng toán này là:
- Bước 1. Xét x0 hai vế không bằng nhau nên x0không phải là nghiệm của phương trình.
- Bước 2. Xét x0 chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức chox. Sau đó đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được.
Trình bày lời giải
• Vì x0không phải là nghiệm của phương trình.
• Điều kiện x0mỗi phân thức ở vế trái ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được:
3 3
3 6
53 2
3 3 12
4 5
x x
x x
x x
x x
Đặt 3
3 y x
x , phương trình (2) trở thành 3 53
7 2 12
y y
y y
Suy ra
2
12 2 12 3 7 53 2 7
29 241 490 0
y y y y y y
y y
Giải ra ta được 1 2 49
10; 29
y y
• Với y10 ta được 3 2
7 7 3 0
x x x
x Giải ra ta được 1 7 37 2 7 37
2 ; 2
x x
• Với 49
y 29 ta được 3 136 2
29 87 136 0
x 29 x x
x Giải ra ta được 1 68 2101 2 68 2101
29 ; 29
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 7 37 7 37 68 2101 68 2101
; ; ;
2 2 29 29
s
Ví dụ 5: Giải phương trình
x2
x1
x8
x4
4x2Giải
Tìm cách giải. Cũng như các ví dụ trên, nếu khai triển vế trái, ta được phương trình bậc 4, nên cũng phân tích đa thức thành nhân tử và giải được. Song trong ví dụ này, phương trình bậc 4 dạng
x a
x b
x c
x d
mx2 với abcd . Chúng ta có hai cách giải:• Cách 1. Viết đa thức dưới dạng:x2
ab x
ab x2
cd x
cdmx2Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: x2
ab x
ab x2
cd x
cdmx2Bước 2. Xétx0 , hai vế không bằng nhau nên x0không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x2. Sau đó đặt ẩn phụ, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức vừa tìm được.
• Cách 2. Đặt x2
a b x ab
y , ta được phương trình hai ẩn. Phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa tìm được.Trình bày lời giải Cách 1
2 2
2 2 2
2 1 8 4 4 2 4 1 8 4
6 8 9 8 4
x x x x x x x x x x
x x x x x
Nhận xét. x0không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho x2ta được: 8 8
6 9 4
x x
x x
Đặt 8
6
x y
x phương trình có dạng y y
3
4 y23y 4 0Giải ra ta được y 1;y4
Trường hợp 1. Xét y 1 ta có 8 2
6 1 5 8 0
x x x
x Phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Xéty4 ta có 8 2
6 4 10 8 0
x x x
x Giải ra ta được x1 5 17;x2 5 17
Vậy tập nghiệm của phương trình làs
5 17;5 17
Cách 2
2 2
2 2 2
2 1 8 4 4 2 4 1 8 4
6 8 9 8 4
x x x x x x x x x x
x x x x x
Đặt x26x 8 y phương trình có dạng y y
3x
4x2
2 2
4x 3xy y 0 x y 4x y 0
- Trường hợp 1. x y 0 x x26x 8 0 x25x 8 0 Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2. 4x y 0 4xx26x 8 0 x210x 8 0 Giải ra ta được x1 5 17;x2 5 17
Vậy tập nghiệm của phương trình là s
5 17;5 17
Ví dụ 6. Giải phương trình 3 3
3
3 162
x x
x
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2011 - 2012) Giải
Áp dụng hằng đẳng thức a3b3
a b
33ab a
b
Ta có
3
3 2
2 2
3 3 3
3 3 3 3 16
2 2 2
3 3
3 16
2 2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
Đặt
3
22
x y
x
phương trình có dạng y33y216
3 2 2
3 16 0 4 4 0
y y y y y
• Trường hợp 1. Xét
3
2 24 0 4 0 2 1 0 1
2
y x x x x
x
• Trường hợp 2. Xét y2 y 4 0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là s
1Ví dụ 7. Giải phương trình:
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4
1 2 2 4
x x x x x x x x
x x x x
Giải Điều kiện : x
1; 2; 3; 4
Phương trình viết dưới dạng:
1 2 3 4
1 1 1 1
1 2 3 4
1 4 2 3
1 4 2 3 0
3 0
1 4 2 3
3 1
1 4 2 3 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x x
• Trường hợp 1. Xét x0 là nghiệm của phương trình.
• Trường hợp 2. Xét
3 1
1 4 2 3 0
x x x x
Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được4x220x220
Giải ra ta được 1 5 3 2 5 3
2 ; 2
x x thỏa mãn
Vậv tập nghiệm của phương trình là 5 3 5 3
0; ;
2 2
S
C. Bài tập vận dụng
18.1. Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ 2 482 4
3 10 3
x x
x x
(Thỉ học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 - 2010).
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt 4 2 2 8 162
3 9 3
x x
t t
x x
2 2
2 2
2 2
48 48
3 8 3 8
3 3
x x
t t
x x
Khi đó phương trình trở thành 3t2 8 10t3t210t 8 0 Giải ra ta được 1 2 4
2; 3 t t
• Với t2 ta được 4 2
2 6 12 0
3
x x x
x Giải ra ta được x1 3 21;x2 3 21
• Với 4
t 3 ta được 4 4 2
4 12 0
3 3
x x x
x Giải ra ta được x3 2;x46
Vậy tập nghiệm của phương trình là:S
3 21;3 21; 2; 6
18.2. Giải phương trình2 8
x7
2 4x3
x 1
7Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2008 - 2009 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:2 8
x7
2 4x3
x 1
7 2 64
x2112x49 4
x27x3
7Đặt y4x27x3 thì 64x2112x49 16 y1
Phương trình đã cho có dạng 2 16
y1
y 7 32y22y 7 0Giải ra ta được 1 7 2 1 16; 2
y y
• Với 7
y16 ta được 2 7 2
4 7 3 64 112 41 0
x x 16 x x
Giải ra ta được 1 7 2 2 2 7 2 2
8 ; 8
x x
• Với 1
y 2 ta được 2 1 2
4 7 3 8 14 7 0
x x 2 x x vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 7 2 2 7 2 2
8 ; 8
S
18.3. Giải phương trình
2 2
2 3
1 x x
x
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Bình Phước, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số
Phương trình tương đương với
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 3
1 1 1
2. 3
1 1
2 3 0
1 1
x x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
Đặt 2 1
x y
x
phương trình có dạng y22y 3 0 Giải ra ta được y11;y2 3
• Với y1 ta được
2
1 2 1 0
1
x x x
x
. Giải ra ta được 1 1 5 2 1 5
2 ; 2
x x
• Với y 3 ta được 2 3 2 3 3 0 1
x x x
x
vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là : 1 5 1 5 2 ; 2 S
18.4. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:x4
3m1
x3
3m2
x2
3m1
x 1 0(m là tham số)
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số
Nhận xét x0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai vế của phương trình cho x2 ta được
2
2
2 2
1 1
3 1 3 2 3 1 0
1 1
3 1 3 2 0 1
x m x m m
x x
x m x m
x x
Đặt 1
x y
x điều kiện y2 hoặc y2 tức là y 2
Khi đó phương trình có dạng y2 2
3m1
y
3m2
0 y2
3m1
y3m0 2
Giải ra ta được y11;y2 3mPhương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
2 3 2 2
y m m3 hoặc 2 m3 Vậy với 2
m 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm 18.5. Giải phương trình 4 22 16 23 25 27
6 1 3 5
x
x x x x
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải – đáp số
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
4 16 3 5 7
6 1 3 5
4 16 3 5 7
3 1 1 1 0
6 1 3 5
2 2 2 2
6 1 3 5 0
1 1 1 1
2 0
6 1 3 5
x
x x x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
Vì 21 21 21 21
6 1 3 5 0
x x x x
nên x2 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S
2; 2
18.6. Giải phương trình
x2 x 2
x22x2
2x2Hướng dẫn giải – đáp số
Nhận xét. x0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế cho x2 ta được:
2 2
1 2 2
x x
x x
Đặt 2 1
x y
x phương trình có dạng y y.( 1) 2
2 2 0
y y giải ra ta được y1;y 2 Trường hợp 1. Với y1 ta có 2 2
1 1 2 0
x x
x , phương trình vô nghiệm Trường hợp 1. Với y 2 ta có 2 2
1 2 3x 2 0
x x
x . Giải ra ta được 1; 2
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S
1; 2
18.7 Giải phương trình 3(x22x1)22(x23x1)25x2 0 Hướng dẫn giải – đáp số
Nhận xét. x0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của hai phương trình chox2ta được:
2 2
1 1
3 x 2 2 x 3 5 0
x x
Đặt 1
2
x y
x phương trình có dạng 3y22
y1
2 5 0 y24y 3 0 Giải ra ta được y1;y3Trường hợp 1. Với y1 ta có 1 2
2 1 1 0
x x x
x Giải ra ta được 1 1 5 2 1 5
2 ; 2
x x Trường hợp 2. Với y3 ta có 1 2
2 3 1 0
x x x
x Giải ra ta được 3 1 5 4 1 5
2 ; 2
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 5 1 5 1 5 1 5
; ; ;
2 2 2 2
S
18.8. Giải các phương trình:
4 4
4 2
) 24 32
) 4 1
) 2 12 8
a x x
b x x
c x x x
Hướng dẫn giải – đáp số
4 2 2
2 2 2
2
2
) 4 4 4 24 36
2 2 6
2 2 6
2 2 6
a x x x x
x x
x x
x x
• Giải phương trình x2 2 2x 6 x22x 4 0
Giải ra ta được x1 1 5;x2 1 5
Giải phương trình x2 2 2x 6 x22x 8 0 vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là:S
1 5;1 5
2
2 24 2 2 2
2
1 2. 2
) 2 1 2 4 2 1 2. 2
1 2 2
x x
b x x x x x x
x x
• Giải phương trình x2 1 2.x 2x2 2x 1 20 Giải ra ta được 1 2 4 2 2 2 2 4 2 2
2 ; 2
x x
• Giải phương trình x2 1 2x 2x2 2x 2 1 0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2 4 2 2 2 4 2 2
2 ; 2
S
2
2 24 2 2 2
2
1 2 3
) 2 1 4 12 9 1 2 3
1 2 3
x x
c x x x x x x
x x
• Giải phương trình x2 1 2x 3 x22x 4 0 . Vô nghiệm
• Giải phương trình x2 1 2x 3 x22x 2 0 Giải ra ta được x1 1 3;x2 1 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là:S
1 3;1 3
18.9 Giải phương trình 2 2 3
2 0
2 5 2
x x
x x x x
(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số
ĐKXĐ:
2 2
2 0 1
2
5 2 0
5 33 2 x x x
x
x x
x
Nhận thấy x0 không là nghiệm của phương trình Khi x0 thì phương trình đã cho 1 3
2 0
2 2
1 5
x x
x x
Đặt 2
t x
x ta được phương trình biểu thị theo t là 1 3 1 5 2
t t
2 5 6 0 2; 3
t t t t
Với 2 2
2 2 2 2 0 1 3
t x x x x
x (thỏa mãn)
Với 2 2 3 17
3 3 3 2 0
t x x x x 2
x
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 3 17 1 3;
S 2