Phương Pháp Giải Toán 9 Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai

Bài 7

. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

 Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax⁴ bx² c 0(a0).

 Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.

 Bước 1. Đặt tx t²( 0);

 Bước 2. Giải phương trình bậc hai at²  bt c 0 và tìm nghiệm của phương trình trùng phương.

2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

 Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0.

n n

f x f x f x

g x g x   g x 

 Cách giải:

 Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;

 Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;

 Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;

 Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.

3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

 Phương trình tích là phương trình có dạng f x f x¹( ) ²( ) f x_n( ) 0.

 Cách giải:

1 2

1 2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0.

n

n

f x f x f x f x f x

f x

 

 

    



 



Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc đưa về dạng phương trình tích.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Giải phương trình trùng phương

 Bước 1: Đặt t=x t²( ³ 0).

 Bước 2: Giải phương trình bậc hai at²+ + =bt c 0.

 Bước 3: Với mỗi t ³ 0, giải phương trình x²=t. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) x⁴2x² 1 0; ĐS: ^{S  }

 

b) 4x⁴3x² 1 0; ĐS:

1 S   2

 .

c) 3x⁴10x² 3 0; ĐS: S  . d) (x1)⁴4(x1)² 3 0. ĐS: ^{S }





Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) x⁴2x² 1 0; ĐS: S  .

b) 2x⁴6x² 8 0; ĐS: ^{S  }

 

c) 3x⁴10x² 7 0; ĐS:

1; 7 S    3

 

 .

d) (x1)⁴4(x1)² 3 0. ĐS: ^{S }





Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) x⁴ 1 2x²; ĐS: ^{S  }

 

b) x⁴2x² 3; ĐS: ^{S  }

 

c) 2x⁴3x² 4x²5; ĐS:

1; 5 S    2

 

 .

d) (x1)⁴ 4(x1)²3. ĐS: ^{S }





Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) x⁴3x² x²1; ĐS: S  .

b) x⁴3x² 4; ĐS: ^{S  }

 

c) 3x⁴5x² 5x²7; ĐS:

1; 7 S    3

 

 .

d) (x1)⁴ 4(x1)²3. ĐS: ^{S  }





Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 ; ĐS: S  .

b) x⁴6,3x²7,3 0 ; ĐS: ^{S  }





c) 3x⁴4,1x²1,1 0 ; ĐS:

1; 11

S    30

 

 .

d)

2 2

7 8

x  x 

. ĐS: ^{S   }





Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

a) 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 ; ĐS: ^{S  }





b) x⁴6,9x²7,9 0 ; ĐS: ^{S  }

 

c) 3,3x⁴4, 4x²1,1 0 ; ĐS: S  .

d)

2 2

6 5

x  x 

. ĐS: ^{S   }





Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

 Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

 Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.

 Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:

a)

2 2 2

1 1

x x x

x x

 

  ; ĐS: ^{S }

 

b)

3 14

2 1 1

x

x x

  

  ; ĐS:

3;9 S   2

 .

c)

2 3 1

1 ( 1)( 3)

x x x

x x x

  

    . ĐS: S  .

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

a)

2 4 3

1 1

x x x

x x

 

  ; ĐS: ^{S  }





b)

4 16

2 1 1

x

x x

  

  ; ĐS: ^{S }

 

c)

3 2 9 14

1 ( 1)( 2)

x x x

x x x

 

    . ĐS:

7 S    2

 . Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

a)

1 2

1 1 1

x  x 

  ; ĐS: ^{S }

 

b)

2 7

1 2 4 x

x  x 

  ; ĐS: S  .

c)

2 2 8 1

( 2)( 3) 3

x x

x x x

 

    ; ĐS: S  .

d)

2 1 2 3

1 3 ( 1)( 3)

x x

x x x x

  

    . ĐS: ^{S  }





Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:

a)

1 4

2 1 1

x x 

  ; ĐS: ^{S }

 

b)

1 3

2 1 2

x

x  x 

  ; ĐS:

11 21 S   10 

 

 .

c)

2 1 1

( 2)( 3) 3

x x

x x x

  

   ; ĐS: ^{S }

 

d)

1 4

1 2 ( 1)( 2)

x x

x x x x

  

    . ĐS: ^{S  }





Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:

a)

3 2 2

3 2

3 4 2 2 3

1 1

x x x x x

x x x

   

    ; ĐS: ^{S  }





b)

2

4 3 2

3 4 1

1 1

x x

x x x x

  

    . ĐS: ^{S  }

 

Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:

a)

3 2 2

3 2

1

1 1

x x x x x

x x x

    

   ; ĐS:

1 S   3

 .

b)

2 2

4 3 2

2

1 1

x x x

x x x x

  

    . ĐS: ^{S }

 

Dạng 3: Giải phương trình tích

 Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng f x f x¹( )×¹( )L f x_n( )=0.

 Bước 2: Giải phương trình

1 2

1 2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

n

n

f x f x f x f x f x

f x

é =

êê =

× = Û êê

êê = êë

L M

. Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:

a) (x1)(x2)(x 3) 0; ĐS: ^{S }





b) x³6x²11x 6 0; ĐS: ^{S }





c) x³3x²3x 1 0; ĐS: ^{S }

 

d) x³3x²2x 6 0. ĐS: ^{S   }





Ví dụ 14. Giải các phương trình sau:

a) (x x1)(x4) 0 ; ĐS: ^{S }





b) x³x²  x 1 0; ĐS: ^{S }

 

c) x³5x²4x0; ĐS: ^{S }





d) x³3x² 2x 6 0. ĐS: ^{S }

 

Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:

a) (x² x 4)(x²3 ) 0x  ; ĐS: ^{S }

 

b) (x²  x 2)² (2x2)² 0; ĐS: ^{S }

 

c) (x²4 )x ² 4(x²4 )x ; ĐS: ^{S }





d) (x² 3)²5x³15x0; ĐS:

5 37 3; 2 S    

 

 .

e) (x2)³  x 1 (x1)(x1). ĐS: ^{S  }

 

Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:

a) (x²2x1)(x²4 ) 0x  ; ĐS: ^{S }





b) (x² 1)²4x² 0; ĐS: ^{S  }

 

c) (x²5 )x ² 6(x² 5 )x ; ĐS: ^{S   }





d) (2x²3)²10x³15x0; ĐS:

1;3 S   2

 . e) (x1)³  x 1 (x1)(x2). ĐS: ^{S }

 

Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).

 Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được.

 Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và kết luận.

Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì có thể không cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.

Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:

a) (x1)²3(x  1) 2 0; ĐS: ^{S }

 

b) (x² 2x3)²5(x²2x  3) 6 0; ĐS: ^{S }





c) (2x² x 2)²10x²5x16 0 ; ĐS:

3;1 S   2 

 .

d) (x1)⁴4(x1)² 3 0; ĐS: ^{S }





e) (x²2x1)(x²2x2) 2 ; ĐS: ^{S   }





f)

2 2

3 2 0

( 1) 1

x x

x  x  

  ; ĐS: ^{S  }

 

g)

3 1

3 10 0

1

x x

x x

    

 . ĐS:

1 3

4; 4 S    

 . Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:

a) (x2)²3(x  2) 2 0; ĐS: ^{S  }





b) (x² 2 )x ²5(x²2 ) 6 0x   ; ĐS: ^{S  }





c) (x² x 2)²2x²2x 4 0; ĐS: ^{S   }





d) (2x1)⁴4(2x1)² 3 0; ĐS:

1 3

1;0; 2 S     

 

 .

e) (x² x 1)(x²  x 1) 3; ĐS: ^{S  }





f)

2

2 2 0

( 1) 1

x x

x  x  

  ; ĐS:

2 S   3

 .

g)

2 1

2 5 0

1

x x

x x

    

 . ĐS:

2 1

3; 3 S    

 . Ví dụ 19. Giải các phương trình sau:

a) x2 x  x2; ĐS: ^{S }

 

b) 2x x  3 7 0. ĐS: ^{S }

 

Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:

a) x2 x  x6; ĐS: ^{S }

 

b) x x  1 7 0. ĐS: ^{S }

 

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x⁴x² 2 0; ĐS: ^{S  }

 

b) x⁴3x² 2 0; ĐS: ^{S   }





c) 2x⁴5x² 2 0; ĐS:

2; 1 S    2

 .

d) (x2)⁴6(x2)² 5 0. ĐS: ^{S     }





Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 3x⁴x² x²1; ĐS: ^{S  }

 

b) x⁴x² 2; ĐS: ^{S  }

 

c) x⁴4x² x² 6; ĐS: ^{S   }





d) (x2)⁴ 3(x2)²2. ĐS: ^{S   }





Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) 0,1x⁴0,8x²0,7 0 ; ĐS: ^{S   }





b) 3x⁴ 4, 4x²1, 4 0 ; ĐS: S  .

c) x⁴3,3x²4,3 0 ; ĐS: ^{S  }

 

d)

2 2

1 2

x  x 

. ĐS: ^{S  }

 

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a)

2 4 2

2 1 2 1

x x x

x x

 

  ; ĐS: ^{S  }





b)

1 3

2 2 1

x

x x

  

  ; ĐS:

1;5 S   4

 .

c)

2 2 3 4 1 ( 1)( 3)

x x x

x x x

 

    . ĐS: ^{S  }

 

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a)

1 3

3 1 1

x x 

  ; ĐS: ^{S  }

 

b)

2 1

2 1 2 3 x

x  x 

  ; ĐS:

1;5 S   4

 .

c)

2 1 1

( 2)( 5) 5

x x

x x x

  

   ; ĐS: ^{S  }





d)

1 1 3 4

1 2 ( 1)( 2)

x x

x x x x

   

    . ĐS:

3 37 S   2 

 

 . Bài 6. Giải các phương trình sau:

a)

3 2 2

3 2

1

1 1

x x x x x

x x x

   

    ; ĐS: ^{S  }

 

b)

2

4 3 2

2 1

1 1

x x

x x x x

  

    ; ĐS: S  .

Bài 7. Giải các phương trình sau:

a) (x x3)(x 5) 0; ĐS: ^{S }





b) x³8x²15x0; ĐS: ^{S }





c) x³6x² 12x 8 0; ĐS: ^{S }

 

d) x³4x²3x 2 0. ĐS:

5 17 1; 2 S     

 

 .

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) (x²x x)( ²3 ) 0x  ; ĐS: ^{S }





b) (x² 2 )x ² (x 2)² 0; ĐS:

3 17 S   2 

 

 . c) (x²2 )x ² 3(x²2 )x ; ĐS: ^{S  }





d) (x² 1)²5x³5x0; ĐS:

5 21 S   2 

 

 . e) (x1)³  x 1 (x1)(2x1). ĐS: ^{S  }

 

Bài 9. Giải các phương trình sau:

a) (3x1)²3(3x  1) 2 0; ĐS:

0;1 S   3

 . b) (x² x)²5(x²  x) 6 0; ĐS: S  .

c) (x²x)²2x²2x 3 0; ĐS:

1 5

S   2 

 

 .

d) (x4)⁴7(x4)² 6 0; ĐS: ^{S     }





e) (x²2x1)(x²2x2) 2 ; ĐS: ^{S  }





f)

2 2

3 2 0

( 1) 1

x x

x  x  

  ; ĐS: ^{S  }

 

g)

2 1

1 2 2 0

x x

x x

   

 ; ĐS: ^{S }

 

Bài 10. Giải các phương trình sau:

a) x2 x 2 x3; ĐS: ^{S }

 

b) x2 x  2 2 0. ĐS: ^{S }

 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ví dụ 1. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). x⁴2x² 1 0; Đáp số^{S  }

 

b). 4x⁴3x²  1 0; Đáp số

1 S   2

 

c). 3x⁴10x² 3 0; Đáp sốS  

d). (x1)⁴4(x1)² 3 0. Đáp số^S





Lời giải.

a). x⁴2x² 1 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 2

2 1 0 ( 1) 0

1(th?a di?u ki?n).

t t

t t

  

  

 

• Với t 1 x²    1 x 1. Vậy ^{S  }

 

b). 4x⁴3x²  1 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(không th?a dk)

4 3 1 0 1

(th?a dk).

4 t

t t

t

  

   

 

• Với

1 2 1 1

4 4 2

t x    x .

Vậy

1 S   2

 .

c). 3x⁴10x² 3 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(không th?a dk)

3 10 3 0 3

3(không th?a dk).

t t t

t

  

   

  



Vậy S  .

d). (x1)⁴4(x1)² 3 0.

Đặt t(x1)² (t0). Phương trình trở thành

2 1(th?a dk)

4 3 0

3(th?a dk).

t t t

t

 

     

• Với

2 1 1

[ ] 1 ( 1) 1

1 1

2 0.

t t x x

x x

x

  

        

 

  

• Với

2 1 3

[ ] 3 ( 1) 3

1 3

1 3

1 3.

t t x x

x x

x

  

     

  



  

   

Vậy ^{S }





Ví dụ 2. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). x⁴2x² 1 0; Đáp sốS   b). 2x⁴6x² 8 0; Đáp số^{S  }

 

c). 3x⁴10x² 7 0; Đáp số

1; 7 S    3

 

 

d). (x1)⁴4(x1)² 3 0. Đáp số^{S }





Lời giải.

a). x⁴2x² 1 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 2 1 0 ( 1)2 0 1

t     t t    t (không thỏa đk).

Vậy S  .

b). 2x⁴6x² 8 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 1(không th?a dk)

2 6 8 0

4(th?a dk) t t t

t

  

      .

• Với t 4 x²    4 x 2. Vậy ^{S  }

 

c). 3x⁴10x² 7 0.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(th?a dk)

3 10 7 0 7

(th?a dk) 3

t

t t

t

 

    

  .

• Với t 1 x²    1 x 1.

• Với

7 2 7 7

3 3 3

t x    x .

Vậy

1; 7 S    3

 

 .

d). (x1)⁴4(x1)² 3 0.

Đặt t(x1)² (t0). Phương trình trở thành

2 1(th?a dk)

4 3 0

3(th?a dk) t t t

t

 

      .

• Với

2 1 1 0

1 ( 1) 1

1 1 2.

x x

t x

x x

  

 

           .

• Với

2 1 3 3 1

3 ( 1) 3

1 3 3 1.

x x

t x

x x

     

      

     

 

 

Vậy ^{S }





Ví dụ 3. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). x⁴ 1 2x²; Đáp số^{S  }

 

b). x⁴2x² 3; Đáp số^{S  }

 

c). 2x⁴3x² 4x²5; Đáp số

1; 5 S    2

 

 

d). (x1)⁴ 4(x1)²3. Đáp số^{S }





Lời giải.

a). x⁴ 1 2x².

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 1 2 2 2 1 0 ( 1)2 0 1

t   t     t t t   t (thỏa đk).

• Với t 1 x²    1 x 1. Vậy ^{S  }

 

b). x⁴2x² 3.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 2 1(không th?a dk)

2 3 2 3 0

3(th?a dk).

t t t t t

t

  

        

• Với t 3 x²    3 x 3. Vậy ^{S  }

 

c). 2x⁴3x² 4x² 5 2x⁴7x² 5 0. Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(th?a dk)

2 7 5 0 5

(th?a dk).

2 t

t t

t

 

   

 

• Với t 1 x²    1 x 1.

• Với

5 2 5 5

2 2 2

t x    x .

Vậy

1; 5 S    2

 

 .

d). (x1)⁴ 4(x1)²3.

Đặt t(x1)² (t0). Phương trình trở thành

2 2 1(th?a dk)

4 3 4 3 0

3(th?a dk).

t t t t t

t

 

        

• Với t 1 (x1)²   1 x 0,x2.

• Với ^{t 3 (x1)2     3 x 1 3}. Vậy ^{S }





Ví dụ 4. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). x⁴3x² x²1; Đáp sốS   b). x⁴3x² 4; Đáp số^{S  }

 

c). 3x⁴5x² 5x²7; Đáp số

1; 7 S    3

 

 

d). (x1)⁴ 4(x1)²3.Đáp số^{S  }





Lời giải.

a). x⁴3x² x² 1 x⁴2x² 1 0. Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 2 1 0 ( 1)2 0 1

t     t t    t (không thỏa đk).

Vậy S  . b). x⁴3x² 4.

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 2 1(không th?a dk)

3 4 0

4(th?a dk).

t t t

t

  

     

• Với t 4 x²    4 x 2. Vậy ^{S  }

 

c). 3x⁴5x² 5x²  7 3x⁴10x² 7 0. Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(th?a dk)

3 10 7 0 7

(th?a dk).

3 t

t t

t

 

    

 

• Với t 1 x²    1 x 1.

• Với

7 2 7 7

3 3 3

t x    x .

Vậy

1; 7 S    3

 

 .

d). (x1)⁴ 4(x1)²3.

Đặt t(x1)² (t0). Phương trình trở thành

2 1(th?a dk)

4 3 0

3(th?a dk).

t t t

t

 

     

• Với

2 1 1 0

1 ( 1) 1

1 1 2

x x

t x

x x

  

 

           .

• Với

2 1 3 1 3

3 ( 1) 3

1 3 1 3.

x x

t x

x x

      

      

     

 

 

Vậy ^{S  }





Ví dụ 5. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 ; Đáp sốS   b). x⁴6,3x² 7,3 0 ; Đáp số^{S }





c). 3x⁴4,1x²1,1 0 ; Đáp số

1; 11 S    30

 

 

d).

2 2

7 8

x  x 

. Đáp số^{S   }





Lời giải.

a). 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành 0,1t20, 2t0,1 0   t 1 (không thỏa đk).

Vậy S  .

b). x⁴6,3x² 7,3 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 1(không th?a dk)

6,3 7,3 0

7,3(th?a dk).

t t t

t

  

     

• Với t7,3x² 7,3  x 7,3.

Vậy ^{S  }





c). 3x⁴4,1x²1,1 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(th?a dk)

3 4,1 1,1 0 11

(th?a dk).

30 t

t t

t

 

   

 

• Với t 1 x²    1 x 1.

• Với

11 2 11 11

30 30 30

t x    x .

Vậy

1; 11

S    30

 

 .

d).

2 2

7 8

x  x  .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

0 0 1 (th?a dk)

7 8 1

7(th?a dk).

8 7 0

7

t t t

t t

t

t t t

t

 

 

  

           _• Với t 1 x²    1 x 1.

• Với t 7 x²    7 x 7 . Vậy ^{S   }





Ví dụ 6. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 ; Đáp số^{S  }





b). x⁴6,9x²7,9 0 ; Đáp số^{S  }

 

c). 3,3x⁴4, 4x²1,1 0 ;Đáp sốS  

d).

2 2

6 5

x  x 

. Đáp số^{S   }





Lời giải.

a). 0,1x⁴0, 2x²0,1 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành 0,1t20, 2t0,1 0  t 0,1 (thỏa đk).

• Với t0,1x² 0,1  x 0,1. Vậy ^{S  }





b). x⁴6,9x²7,9 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2 1(th?a dk)

6,9 7,9 0

7,9(không th?a dk).

t t t

t

 

      

• Với t 1 x²    1 x 1. Vậy ^{S  }

 

c). 3,3x⁴4, 4x²1,1 0 .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

1(không th?a dk)

3,3 4, 4 1,1 0 1

(không th?a dk).

3 t

t t

t

  

   

  

 Vậy S  .

d).

2 2

6 5

x  x  .

Đặt t x ² (t0). Phương trình trở thành

2

0 0 1(th?a dk)

6 5 1

6(th?a dk).

5 6 0

6

t t t

t t

t t t t

t

 

 

  

           • Với t 1 x²    1 x 1.

• Với t 6 x²    6 x 6. Vậy ^{S   }





Ví dụ 7. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a).

2 2 2

1 1

x x x

x x

 

  ; Đáp số^{S }

 

b).

3 14

2 1 1

x

x x

  

  ; Đáp số

3;9 S   2

 

c).

2 3 1

1 ( 1)( 3)

x x x

x x x

  

    . Đáp sốS  

Lời giải.

a).

2 2 2

1 1 (1)

x x x

x x

 

  .

• Điều kiện x 1.

• Phương trình (1) tương đương với

2 2

[ ] 2 2 4 0

0(th?a dk) ( 4) 0

4(th?a dk).

t x x x x x

x x x

x

    

 

      _• Vậy ^S

 

b).

3 14

1 (1)

2 1

x

x x

  

  .

• Điều kiện x1,x2.

• Phương trình (1) tương đương với ( 3)( 1) ( 1)( 2) 14( 2)

[ ] ( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x x

t x x x x

      

   

(x 3)(x 1) (x 1)(x 2) 14(x 2)

       

2x2 15x 27 0

   

3(th?a dk) 9(th?a dk).

x x 2

  

• Vậy

3;9 S   2

 .

c).

2 3 1

1 ( 1)( 3) (1)

x x x

x x x

  

    .

• Điều kiện x 1,x 3.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2 2

( 3) 3 1

[ ] ( 1)( 3) ( 1)( 3)

( 3) 3 1

2 1 0(vô nghi?m).

x x x x

t x x x x

x x x x

x

    

   

     

  

• Vậy S  .

Ví dụ 8. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a).

2 4 3

1 1

x x x

x x

 

  ; Đáp số^{S  }





b).

4 16

2 1 1

x

x x

  

  ; Đáp số^{S }

 

c).

3 2 9 14

1 ( 1)( 2)

x x x

x x x

 

    . Đáp số

7 S    2

 

Lời giải.

a).

2 4 3

1 1 (1)

x x x

x x

 

  .

• Điều kiện x1.

• Phương trình (1) tương đương với

2 2

[ ] 4 3 0

0(th?a dk) ( 1) 0

1(th?a dk).

t x x x x x

x x x

x

    

 

       • Vậy ^{S  }





b).

4 16

1 (1)

2 1

x

x x

  

  .

• Điều kiện x1,x2.

• Phương trình (1) tương đương với

2

( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2)

[ ] ( 1)( 2) ( 1)( 2)

( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2) 3(th?a dk)

2 16 30 0

5(th?a dk).

x x x x x

t x x x x

x x x x x

x x x

x

     

    

       

 

       _• Vậy ^{S }

 

c).

3 2 9 14

1 ( 1)( 2) (1)

x x x

x x x

 

    .

• Điều kiện x 1,x 2.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2

2

3 ( 2) 9 14

[ ] ( 1)( 2) ( 1)( 2)

3 ( 2) 9 14

7(th?a dk)

2 3 14 0 2

2(không th?a dk).

x x x x

t x x x x

x x x x

x x x

x

   

   

    

 

    

  

 • Vậy

7 S    2

 . Ví dụ 9. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a).

1 2

1 1 1

x  x 

  ; Đáp số^{S }

 

b).

2 7

1 2 4 x

x  x 

  ; Đáp sốS  

c).

2 2 8 1

( 2)( 3) 3

x x

x x x

  

   ; Đáp sốS  

d).

2 1 2 3

1 3 ( 1)( 3)

x x

x x x x

  

    . Đáp số^{S  }





Lời giải.

a).

1 2

1 (1)

1 1

x  x 

  .

• Điều kiện x 1.

• Phương trình (1) tương đương với

2 2

( 1) 2( 1) ( 1)( 1) [ ] ( 1)( 1) ( 1)( 1)

3 1 1 3 0

0(th?a dk) ( 3) 0

3(th?a dk).

x x x x

t x x x x

x x x x

x x x

x

     

   

      

 

      _• Vậy ^{S }

 

b).

2 7

4 (1) 1 2

x

x  x 

  .

• Điều kiện x1,x2.

• Phương trình tương đương với

2

2 (2 ) 7( 1) 4( 1)(2 )

[ ] ( 1)(2 ) ( 1)(2 )

2 1 0(Vô nghi?m vì 0)

x x x x x

t x x x x

x x

     

   

      _• Vậy S  .

c).

2 2 8 1

( 2)( 3) 3 (1)

x x

x x x

  

   .

• Điều kiện x 3,x2.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2

2 8 ( 2)

[ ] ( 2)( 3) ( 2)( 3)

2(không th?a dk) 6 0 3(không th?a dk).

x x x

t x x x x

x x x

x

  

    

 

        _• Vậy S  .

d).

2 1 2 3

1 3 ( 1)( 3) (1)

x x

x x x x

  

    .

• Điều kiện x 1,x3.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2 ( 3) ( 1) (2 3)

[ ] ( 1)( 3) ( 1)( 3)

7 65

(th?a dk)

2 7 2 0 4

7 65

(th?a dk).

4

x x x x

t x x x x

x

x x

x

    

   

 

 

    

 

 

 _• Vậy

7 65 S   4 

 

 .

Ví dụ 10. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a).

1 4

2 1 1

x  x 

  ; Đáp số^S

 

b).

1 3

2 1 2

x

x  x 

  ; Đáp số

11 21 S  10 

  

 

 

c).

2 1 1

( 2)( 3) 3

x x

x x x

  

   ; Đáp số^{S }

 

d).

1 4

1 2 ( 1)( 2)

x x

x x x x

  

    . Đáp số^{S  }





Lời giải.

a).

1 4

1 (1)

2 1

x  x 

  .

• Điều kiện x 1,x2.

• Phương trình (1) tương đương với

2

1 4( 2) ( 2)( 1) [ ] ( 2)( 1) ( 2)( 1)

1(th?a dk)

6 5 0

5(th?a dk).

x x x x

t x x x x

x x x

x

     

   

 

       _• Vậy ^S

 

b).

1 3 (1)

2 1 2

x

x  x 

  .

• Điều kiện

1, 2 x2 x

.

• Phương trình tương đương với

2

(2 ) (2 1) 3(2 )(2 1) [ ] (2 )(2 1) (2 )(2 1)

11 21

(th?a dk) 5 11 5 0 10

11 21

(th?a dk).

10

x x x x x

t x x x x

x

x x

x

     

   

  



    

 

 

 _• Vậy

11 21 S   10 

 

 .

c).

1 3 (1)

2 1 2

x

x  x 

  .

• Điều kiện x2,x3.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2

1 2

[ ] ( 2)( 3) ( 2)( 3) 2 1 1(th?a dk).

x x x

t x x x x

x x x

  

    

     _• Vậy ^{S }

 

d).

1 4

1 2 ( 1)( 2) (1)

x x

x x x x

  

    .

• Điều kiện x 2,x 1.

• Phương trình (1) tương đương với

2

( 2) ( 1) 4

[ ] ( 1)( 2) ( 1)( 2)

1(th?a dk)

2 3 0

3(th?a dk).

x x x x

t x x x x

x x x

x

    

   

 

       

• Vậy ^{S  }





Ví dụ 11. [9D4K7]

Giải các phương trình sau:

a).

3 2 2

3 2

3 4 2 2 3

1 1

x x x x x

x x x

    

   ; Đáp số^{S  }





b).

2

4 3 2

3 4 1

1 1

x x

x x x x

 

     . Đáp số^{S  }

 

Lời giải.

a).

3 2 2

3 2

3 2 2

2 2

3 4 2 2 3

[ ] 1 1

3 4 2 2 3

( 1)( 1) 1(1).

x x x x x

t x x x

x x x x x

x x x x x

   

   

   

 

     _• Điều kiện x1.

• Phương trình (1) tương đương với

3 2 2

2 2

3 4 2 (2 3 )( 1)

[ ]( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x x

t x x x x x x

     

     

3 2 2 2 0

x x x

    

2( 2) ( 2) 0

x x x

    

(x 2)(x2 1) 0

   

2 0 2 1 0

x x

    



     _• Vậy ^{S }





b).

2 2

4 3 2 2 2

3 4 1 3 4 1

1 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)(1)

x x x x

x x x x x x x x x

      

         .

• Điều kiện x 1.

• Phương trình (1) tương đương với

2

2 2

2

3 4 ( 1)

[ ] ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) 1(không th?a dk)

2 3 0

3(th?a dk).

x x x

t x x x x x x

x x x

x

  

      

 

        _• Vậy ^{S  }

 

Ví dụ 12. [9D4K7]

Giải các phương trình sau:

a).

3 2 2

3 2

1

1 1

x x x x x

x x x

    

   ; Đáp số

1 S   3

 

b).

2 2

4 3 2

2

1 1

x x x

x x x x

  

    . Đáp số^{S }

 

Lời giải.

a).

3 2 2

3 2

3 2 2

2 2

[ ] 1

1 1

1 (1).

( 1)( 1) 1

x x x x x

t x x x

x x x x x

x x x x x

   

   

   

 

     _• Điều kiện x1.

• Phương trình (1) tương đương với

3 2 2

2 2

2

1 ( )( 1)

[ ] ( 1)( 1) ( 1)( 1)

1(không th?a dk)

3 2 1 0 1

(th?a dk).

3

x x x x x x

t x x x x x x

x

x x

x

     

     

 

    

  

 _• Vậy

1 S   3

 .

b).

2 2

4 3 2

2 2

2 2

[ ] 2

1 1

2

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x

t x x x x

x x x

x x x x x

  

   

   

     _• Điều kiện x 1.

• Phương trình (1) tương đương với

2 2

2 2

2 ( 1)

[ ]( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

x x x x

t x x x x x x

  

      

3 2 2 2 0

x x x

    

2( 2) ( 2) 0

x x x

    

(x 2)(x2 1) 0

   



    

^• Vậy ^{S }

 

Ví dụ 13. [9D4B7]

Giải các phương trình sau:

a). (x1)(x2)(x 3) 0; Đáp số^{S }





b). x³6x²11x 6 0; Đáp số^{S }





c). x³3x²3x 1 0; Đáp số^{S }

 

d). x³3x² 2x 6 0. Đáp số^{S   }





Lời giải.

a).

[ ] ( 1)( 2)( 3) 0

1 0 1

2 0 2

3 0 3.

t x x x

x x

x x

x x

   

  

 

 

     

    

  Vậy ^S





b).

3 2

2

2

[ ] 6 11 6 0

( 1)( 5 6 0) 0

1 0 1 5 6 0 2

3.

t x x x

x x x

x x x x x

x

   

     

 

   

        Vậy ^S





c). x³3x²3x  1 0 (x1)³   0 x 1 Vậy ^{S }

 

d).

3 2 2 2

2

[ ] 3 2 6 0 ( 3) 2( 3) 0 ( 3)( 2) 0

3 0 3

2 0 2.

t