Tìm điều kiện của x để bất phương trình mũ - lôgarit đúng với y thỏa mãn điều kiện - TOANMATH.com

BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT ĐÚNG VỚI y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng

          

^;

   

^;

  

f a  f b f a  f b f a  f b f a  f b

Bước 2 : Xét hàm số ^{y f x}

 

, chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến Bước 3 : Do tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số

+^{f a}

 

^{ f b}

 

^{ a b} nếu hàm số đồng biến . +^{f a}

 

^{ f b}

 

^{ a b} nếu hàm số nghịch biến .

Câu 1. Có bao nhiêu bộ

 

^{x y; với ,x y} nguyên và 1x y, 2020 thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ^?

A. 2017. B. 4034. C. 2 . D. 2017 2020 . Lời giải

Chọn B + Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

  

   

 

  

     

 

  



 

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

.

BPT đã cho có dạng

  

2

  

3 ^{ *}

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            ^. Do y0, y nguyên dương nên:

+ Xét y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            . Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ

   

^{x y;  x;1 với 4 x 2020,x}.

+ Xét y 2 thì thành 4



x4 log 1 0



3  , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp

 

^{x y;} nữa.

+ Với y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số

 

^{x y;} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

 

^{x y;} thỏa mãn điều kiện x2020 và

 

³

^{ }

³

3 9^y2y  x log x1 2?

A. 4 . B. 2 . C. 3772. D. 3774.

Lời giải Chọn D

Ta có 3 9



^y2y



 x log3

^

x1

^

³ 2 3.9^y6y x 3log3

^

x 1

^

2

     

2 1

3^y 3 2y 1 x 1 3log3 x 1

       . (*)

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 3t 3t có} f t

 

3 .ln 3 3 0, ^t   t. Suy ra hàm số ^{f t}

 

^{ 3t 3t} đồng biến trên .

Do đó

 

*  f



2y 1



f



log3



x1

 

2y 1 log3

^

x 1

^

3^2y1 1 x. Vì x2020 nên ^{2 1} log 2021 1³

3 1 2020 2,9

2

y^ y 

     .

Với giả thiết y nguyên dương suy ra y

 

1; 2 .

Với y1 có 26 x 2020 suy ra có 1995 cặp số

 

^{x y;} thỏa mãn . Với y2 có 242 x 2020 suy ra có 1779 cặp số

 

^{x y;} thỏa mãn . Vậy có tất cả 3774 cặp số

 

^{x y;} thỏa mãn đề bài.

Câu 3. Cho các số nguyên dương x, y không lớn hơn 4022. Biết mỗi giá trị của y luôn có ít nhất 2021 giá trị của x thỏa mãn bất phương trình



^{32x y} ^{3 .logy}



x y^3x2y ^3x. Hỏi có bao nhiêu giá trị của y?

A. 2000. B. 2001. C. 2021. D. 2022. Lời giải

Chọn A

Do x, y nguyên dương nên ĐKXĐ là x2.

Ta có:



^{32x y} ^{3 .logy}



x y^3x2y ^3x 



^3x^3x



^.logx y^3y^3y

^{ }

¹ + Nếu y 1: Không thỏa mãn.

+ Nếu y2:

 

^{1  3 3 3 3}

 

²

ln ln

x x y y

x y

 

   .

Xét hàm số

 

^{3 3}

ln

t t

f t t

 

 trên



^{2; }



^.

     

 

₂

 

₂

 

₂

 

3 3 ln 3.ln 3 3 2.3 .ln 2 3 3 .ln 4 3

0 2;

ln ln ln

t t t t t t t t

t t

f t t

t t t t t t

 

    

         .

Hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên trên



^{2; }



^.

Do đó

 

2  f x

 

 f y

 

 x y 2   y x 1 4021

 2

4021 1 2021 y

y

 

   

 2 y 2001.

Vậy có 2000 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên x để không có quá 25 giá trị nguyên của y thỏa mãn bất phương trình log³₂xlog₂x y⁶y⁴2 y²1?

A. 4215. B. 4214. C. 8413. D. 8412. Lời giải

Chọn C ĐKXĐ: x1.

+ Nếu x1: không có giá trị y thỏa mãn BPT đã cho nên y1 thỏa mãn.

+ Nếu x2:

Ta có: log³₂xlog₂x y⁶y⁴2 y²1  ^{log32xlog2x}



^y21



^{3 y21 1}

^{ }

^.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t3 t trên}



^{1; }



^.

 

^{32 1 0}



^1;



f t  t      t Hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên trên



^{1; }



^.

Do đó

 

^{2  f}



^log2x



^{ f}



^y21



^{ log2x y21   log22x  1 y log22x1.}

 log²₂x 1 13log²₂x170log₂x 170  x2 ¹⁷⁰ x84131 x 8413. Vậy có 8413 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để bất phương trình

     

2 2 2 2

3 2 3

log 2 x 2xy y 2 x y  1 log y 2 .log y 2y4 thỏa mãn với mọi y?

A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.

Lời giải Chọn D

ĐK: ^{2x22xy y 22}



^{x y}



^{  0; y} _ ^{ y22}



^x1



^{y2x22x  0; y} _

 ^{ }



^x1



^2



^2x22x



^{0 x21 }_{  }^x_x^1₁

 ^.

ĐK cần: Với y0: Bất phương trình có dạng: log 23



x²2x



 1 log 43

 log 23



x²2x



log 123  2x²2x12    2 x 3

 ^{x }



^2;2;3



^.

ĐK đủ:

+ Với x 2: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 6y12  1 log y 2 .log y 2y4 . Do log3



y²6y12



log 33



y²6y12



 1 log3



y²2y4







²

 

²



2 3

1 log y 2 .log y 2y 4 y

      

nên bất phương trình thỏa mãn với mọi y.

 x 2 thỏa mãn.

+ Với x2: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 2y4  1 log y 2 .log y 2y4 . Do log3



y²2y4



log 33



y²6y12



 1 log3



y²2y4







²

 

²



2 3

1 log y 2 .log y 2y 4 y

      

nên bất phương trình thỏa mãn với mọi y.

x2 thỏa mãn.

+ Với x3: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 4y12  1 log y 2 .log y 2y4 . Do y1 không thỏa mãn bất phương trình nên x3 không thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Cho ,a b là những số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a b 2. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại 10

1; 3

y  để 3 .3 .9 2

y

ax by^ a xb ?

A. 4. B. 2. C. 7. D. 6.

Lời giải Chọn A

Ta có 2a b    2 b 2 2a.

^{2 2} 

 

^{ 2  2}

3 .3 .9 3 .3 1 .9 3 .3 1 0

2

y ax a y a x y

ax by^ a xb  ^{ } a x a y  ^ a x^ y  a

Đặt ^{t x 2y f t}

 

^{3ata.3t  a 1 0,t}_.

 

^{.3 ln 3at .3 ln 3t .ln 3. 3}



^{at 3t}



^{0 0}

f t a a a    t . Ta có bảng biến thiên:

Suy ra

 

^{0 2 2;20}

f t   x y 3 . Vậy có 4 số nguyên x là ^x



^3;4;5;6



^.

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của y sao cho tồn tại số thực ^x



^7;



thỏa mãn:

 

log11

11 7

log log x 7

y y x

   ?

A. 10. B. 9. C. 8. D. 11.

Lời giải Chọn A

Ta có: log¹¹ log ^log11x 7



7

 

^log11 7



^log11 7

x y

y y _ x  y   x

Đặt ^{ylog11x 7 t t}



^7



Phương trình trở thành: t^log11y    x 7 x t^log11y7.

Ta có hệ phương trình ^{11 11}

11 11

log log

log log

7 7

7 7

x x

y t

t y t y

x t x y

     

     

  .

TH1: Xét thấy y1 thì x8 {thỏa mãn}.

TH2: Xét y1.

Suy ra: t x y^log11xy^log11t t y^log11t  x y^log11x Xét hàm đặc trưng ^{f u}

 

^{ ylog11uu trên}



^0;



^.

 

^{log11 . ln 1}

.ln11

u y

f u y

  u 

Xét: y1. Hàm số ^{f u}

 

đồng biến và liên tục trên



0;



. Do đó, ^{f x}

 

^{ f t}

 

^{ x t.}

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: x y^log11x  7 x x^log11y   7 x 7 x^log11y

  

^log11

 ^{ }

¹¹

^{   }

11 11 11 11 11 11

11

log 7

log 7 log log 7 log .log log *

log

y x

x x x x y y

x

        

Nhận xét: 11

 

11 ¹¹

  

11



11

log 7

log 7 log 1; 7 log 0

log

x x x x x

x

        suy ra:

log11y  1 y 11.

Xét hàm số

 

11

 

11

log 7

log g x x

x

  có

   

11 11

 

2 11

1 log 1 log 7

7 ln11 ln11

log

x x

x x

g x x

 

  

   

11 11

 

11

 

11

 

1 1

0 log log 7 0 log 7 log 7

7 ln11 ln11

g x x x x x x x

x x

         

 vô

nghiệm nên ^{g x}

 

^{  0, x 7.}

Từ bảng biến thiên của ^{g x}

 

ta thấy với 1 y 11 phương trình

 

^* luôn có nghiệm nên ta được y



2,3, 4...10



.

Kết luận: y



1, 2,3, 4...10



. Vậy có 10 giá trị y thỏa mãn.

Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại 1 ;2 y  2 

  thỏa mãn ^{8y2xy  }



^{1 2xy}



^.8y?

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho tương đương với 2^{3y23xy3y}  1 2xy.

Suy ra 1

1 2 0

xy x 2

     y, mà 1 1

2 2

y   x .

+ Nếu x0 thay vào phương trình ban đầu ta được 8^y2 8^y  y 1 (vì 1 ;2 y  2 

 ) (thỏa mãn).

+ Nếu x1 thay vào phương trình ban đầu ta được ^{8y2y  }



^{1 2 8y}



^{y 8y2  1 2y .}

Khảo sát hàm số ^{f y}

 

^{8y2 1 2y ta có}

 

^{2 12 1 1}

' 8 .ln 8.2 2 8 .ln 8.2. 2 0,

2 2

f y  y y     y

Do đó hàm số đồng biến trên 1 2;2

 

 

 . Khi đó

 

^{1 0}

f y  f 2 (pt vô nghiệm).

+) Nếu x2, xét phương trình tương đương là 2^{3y23xy3y}  1 2xy. Khi đó ^{3 2 3 3 3 2 3}



¹



^{3. 1 2 1}

y  xy y y  y x   2  .

Xét hàm ^{g t}

 

^{  2t t 1}. Khảo sát hàm số ta thấy ^{g t}

 

^{  0 t 1.}

Vì vậy 2^t   t 1 t 1. Áp dụng bất đẳng thức này với t3y²3xy3y1. ta có 2^{3y23xy3y} 3y²3xy3y1.

Mà



^{3y23xy3y 1}

 ^

^{2xy 1}

^

^{3y2xy3y3y2y x}

^

^{ 3}

^

^{3y2   y 0 y 1}₂^.

Suy ra 2^{3y23xy3y} 2xy1 nên phương trình ban đầu vô nghiệm.

Vậy chỉ có x0thỏa mãn đề bài.

Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi giá trị của y, bất phương trình



log3x x 11



ylog3x



0 có nghiệm nguyên x và có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn?

A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3.

Lời giải Chọn B

Điều kiện x0

Ta có



log3x x 11



ylog3x



0

 

 

3 3 3 3

log 11 0

log

log 11 0

log

x x I

x y

x x II

x y

   



 

    

 





Đặt f x

 

log3x x 11

 

^{1 1 0 0}

.ln 3

f x x

 x

     

Nên hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^{0; }



. Mặt khác ^f

 

^{9 0}. Khi đó ta có:

+ Hệ (I) : ³

3

log 11 0

log x x x y

  

 

  ^{0 9}

3^y x x

  

 



Hệ

 

^I có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn thì 3^y   9 y 2. Mà y nguyên dương nên y1.

+ Hệ (II): ³

3

log 11 0

log x x x y

  

 

  ⁹

3^y x x

 

 



Hệ

 

II có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn thì

9 3 ^y 202 y log 20 2,7₃  . Mà y nguyên dương nên không có giá trị y thỏa mãn.

Vậy có đúng một nguyên dương y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dươngyđể bất phương trình



^{2x x 2021}



^{2x y}



^{0 có đúng 5}

nghiệm nguyên dương của

x

?

A. 35. B. 32. C. 40. D. 45.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{f x}

 

^{2x x 2021 với x1}

 

^{2 ln 2 1 0x}



¹



f x     x . Hàm số đồng biến trên



^1;



^.

Do đó

  x 1

^{ f x}

 

^{ f}

 

^{1 2022 0}

Khi đó bất phương trình:



^{2x x 2021}



^2xy



^0

2^x y 0 2^x  y x log2y

      (doynguyên dương).

Để bất phương trình có đúng5nghiệm nguyên dương của x



^x



^{1; 2;3;4;5}

 

thì ta cần

 

 

5 6

5 log2 6 2 2 32 64

33;34;...;64

y y y y

y

         

 

 Vậy có 32 giá trị y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên y sao cho bất phương trình

log2

2

1 4 1 2log

3 9

y x

x y

     

   

    có nghiệm

đúng với mọi x3.

A. 64. B. 65. C. 63. D. 66.

Lời giải Chọn C

ĐK: y0.

log2

2

1 1

4 2log

3 9

y x

x y

     

   

   

log2

2

1 1

2log 4

3 9

y x

y x

   

        .

log2 2

2

1 1

2log 2.2

3 3

y x

y x

   

        . Xét hàm số:

 

^{1 2}

3

t

f t      t

 

^{1 ln1 2 0}

3 3

t

f t   t

       .

 

 f t là hàm số nghịch biến trên .

log2 2

2

1 1

2log 3.2

3 3

y x

y x

   

       

2

log2y 2x y 2 ^x y 4^x

      .

Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi x3  y 4³  y 64.



1; 2;...;63



 y .

Vậy có 63 số nguyên y thỏa mãn bài toán.

Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn



²



4 3

log x  y log (x y )?

A. 59. B. 58. C. 116. D. 115.

Lời giải Chọn C

Bất phương trình đã cho tương đương log (3 x y ) log 4



x²y



0(1) Xét hàm số f y( ) log ( 3 x y ) log 4



x²y



.

Tập xác định D  ( ;x ). Với mọi x ^{ta có} x²x nên



²



1 1

( ) 0,

( ) ln 3 ln 4

f y x D

x y x y

     

 

( )

 f y đồng biến trên khoảng ( x; ).

Do y là số nguyên thuộc ( x; ) nên y  x k k, ^.

Giả sử y  x k là nghiệm của bất phương trình (1) thì f y( ) f( x k) 0 . Mà         x 1 x 2 ... x k và f y( ) đồng biến trên khoảng ( x; ), suy ra

( 1) ( 2) ... ( ) 0

f   x f    x f  x k  , nên các số nguyên    x 1, x 2, ...,  x k đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có k số nguyên y thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi x.

Để có không quá 728 số nguyên y thì f( x 729) 0 log 729 log3  4



x² x 729



0

2 1 13469 1 13469

3367 0

2 2

x x  x 

      

Mà x ^nên x 



57, 56, ..., 58



.

Vậy có 116 số nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 13. Tích các giá trị của a để bất phương trình

 

^{ }

2 2 1 3 log2 2 3 1 log22

2 2

a x x

x a

 

   có nghiệm đúng với mọi x thực dương là

A. 3

2. B. 1. C. 1

2. D. 0.

Lời giải Chọn C

Logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho, ta được bất phương trình tương đương:

  

2



²

2 2

2

3 1 log 3 log

1 1 log

2 2

a x x

a  x 

     

 

  (1).

Đặt: tlog₂x; t thì (1) trở thành:

   

²

 

²

  ^{ }

2 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 2 1 0

2 2

a t t

a  t  t a a t t

             

 

  (2).

Đặt: ^{f t}

  

^{3 1t}



^2



^{2a23a 2 t}

 ^

^1t

^

^{, ta có: }^{f t}_f

^{ } _{ }

 ₁^{  0,}₀ ^t

.

Suy ra t 1 là điểm cực tiểu của hàm số ^{f t}

 

. Do đó: ^{f  }

 

^{1 0}.

  

^{6 1}

 

¹

 

^{2 2 3 2}



f x     t t a  a t ;

 

¹



^{2 2 3 1}



^{0 1}1 2 a

f a a

a

 

       

  .

Thử lại: với 1

1 2 a a

 

 



thì (2) trở thành ²



^t1



^{20 đúng với  t} ^. Vậy a₁1 và ₂ 1

a 2 là các giá trị thỏa mãn ycbt. Do đó: _{1 2} 1

. 2

a a  .

Câu 14. Có bao nhiêu bộ

 

^{x y; với x y,} nguyên và 1x y, 2020 thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ^?

A. 2017. B. 4034. C. 2 . D. 2017 2020 . Lời giải

Chọn B + Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

  

   

 

  

     

 

  



 

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

.

BPT cho có dạng

  

2

  

3

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            ^.

+ Xét y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            ^. Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ

   

^{x y;  x;1 với 4 x 2020,x}^.

+ Xét y2 thì thành 4



x4 log 1 0



3  , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x^.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp

 

^{x y; nữa.}

+ Với y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số

 

^{x y;} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15. Gọi Slà tập tất cả các giá trị nguyên của y để bất phương trình

 

^log32

2 2 2

3 3

log 3 ^y log

xy  xy   y. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để tập hợp S có đúng 9 phần tử?

A. 6. B. 3.

C. Không tồn tại giá trị x. D. 9. Lời giải Chọn C

Điều kiện: x0;y0.

Bất phương trình tương đương với:

 

^{log23 log23}

   

^log23

^{ }

2 2 2

3 3

log 3 ^y log 3 ^y 3 ^y 1

xy  xy    f xy  f

Xét hàm đặc trưng f t

 

 t log3t, t0. Ta có:

 

^{1 1 0}

f t ln 3

  t  với t0 nên hàm số

 

f t đồng biến trên



^{0; }



. Khi đó ta được:

(1)xy²3^log23y log3x2log3 ylog3²ylog3xlog²3 y2log3y g y

 

Ta có:

 

3



3



2 2 2

log log 1

ln 3 ln 3 ln 3

g y y y

y y y

     .

 

0 log3 1 3

g y   y  y (nhận).

Để S có đúng 9 nghiệm nguyên (gồm các nghiệm là:1; 2;3;...;9) thì

32 3

log 10 2log 10 2

3 3 3

0 log xlog 10 2log 10   1 x 3 ^ 1,247. Do x nên không tồn tại giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x sao cho x2022 và ứng với mỗi giá trị của x có đúng 6 giá trị nguyên của y để



^{2y22y8 3}



^y2x



^0.

A. 2021. B. 4040.

C. Không tồn tại giá trị x. D. 2022. Lời giải Chọn C

+ Trường hợp 1: x0

Ta có: 3^y2 x 0 nên bất phương trình tương đương với

2 2 2

2^{y  y}  8 y 2y     3 0 1 y 3.

Do y nên ta chọn ^{y }



^{1;0;1; 2;3}



, có 5 giá trị nguyên của y (không thỏa đề bài).

+ Trường hợp 2: x1 (do x⁾

2 2 2 1

2 8 0 2 3

3

y y y

y y

y

           ^.

2 2

3^y   1 0 y   0 y 0. Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy các giá trị nguyên của y thỏa mãn bất phương trình là ^{y }



^{1;0;1; 2;3}



, có 5 giá trị nguyên của y (không thỏa đề bài).

+ Trường hợp 3: x2 (do x⁾

2 2 3

3

3

3 0 log log

log

y y x

x y x

y x

  

    

 

Do số giá trị nguyên của y thỏa mãn bất phương trình là 6 nên ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, để bất phương trình có 6 giá trị nguyên của y thỏa mãn bất phương trình thì 4 log₃x 5 16 log ₃x253¹⁶ x 3²⁵

Do x ^và x2022 nên không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn ln 1 ln

, 0, 1

1 1

y y

y y

y y

x

y y

     

  ^?

A. 5. B. 3. C. 1. D. Vô số.

Lời giải Chọn D

Bất phương trình đã cho tương đương với 2 ln₂

1, 0, 1

1 y y

x y

y y

     

 ^.

 

¹

Xét hàm số

 

2

2 ln , 0, 1

1 y y

f y y  y y

 ^.

Ta có:

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 ln 1 2[( 1) ln 1] 1

( ) ( 1) ( 1)( 1)

y y y y

f y y y y

y y

   

  

    

  

   .

Xét hàm số

2 2

( ) ln 1, 0

g y y 1

y   y  y

 .

Ta có:

2 2

2 2

( 1)

( ) 0, 0, 1

( 1)

g y y y y

y y

      

 ^{. ( ) 0g y   y 1.} Suy ra ( )g y g(1) 0 khi y1 và ( )g y g(1) 0 khi y1. Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra (1)     x 1 1 x 0.

Vậy có vô số giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Cho các số , ,x y a thoả mãn 1 x 2048, y1,a và

 

¹

 

2

log2 1 ^x 2^a 2^a 1

x xy x y  ^ x a  y  a . Có bao nhiêu giá trị của a100 để luôn có 2048 cặp số nguyên

 

^{x y; ?}

A. 89. B. 90. C. 11. D. 10.

Lời giải Chọn B

Ta có: x²xylog2



x y 1



^x1x



2^aa



 y 2^a a 1

 

¹



x 1



x y 1

 

x 1 log



2



x y 1

 

x 1 2

 

^a a



          

 

 

log2 1

2 ^{x y } log2 x y 1 2^a a

      (do x 1 2,  x 1).

 

^*

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 2t t t}



^0



.

Vì f t

 

2 .ln 2 1 0,^t    t 0 nên hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên



^0;).

 

* log2



x y      1



a x y 1 2^a  x 2^a y 1.

Mà 1 x 2048 nên suy ra: 1 2 ^a  y 1 20482^a2047 y 2^a.

Do y1, mỗi giá trị của y có một giá trị của x và trong đoạn 2 ^a2047; 2^a có 2048 số nguyên nên để có 2048 cặp số nguyên

 

^{x y; thoả mãn}

 

^{1 thì 2a2047 1  a 11.}

Mà a100,a nên a



11;12;...;100



.

Vậy có 90 giá trị của a thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

 

^{x y;} thỏa mãn 1 x 10⁶ và



²



^{2 2 2}

log 10x 20x20 10^y y x 2x1?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Điều kiện:10x²20x20 0 , luôn đúng  x ^. Ta có ^{log 10}



^{x220x20}



^{10y2y2x22x1}



^{x2 2x 1}



^{log 10}



^{x2 2x 2}



^{ 10y2 y2}

         ^



^x22x2



^log



^x22x2



^10y2y2

 ² 

 

²

log 2 2 2 2

10 ^{x  x} log x 2x 2 10^y y

      (1)

Xét hàm số ^{f t}

 

^10tt trên .

Ta có f t

 

10 .ln10 1 0^t   ,  t ^{. Do đó f t}

 

đồng biến trên . Khi đó (1)^{ f }_^log



^x22x2



^_^{ f y}

 

^{2 log}



^x22x2



^{ y2}

2 2 2 10^y2

x x

    ^



^x1



^{2 1 10y2.}

Vì 1 x 10⁶ nên ^1



^x1



^{2 1 10y2 }



^1061



^{21 0 y2log 10}_



^61



^21_^.

Vì y^ nên ^y



^1;2;3



^.

Với y1 x²2x 2 10  x²2x 8 0 2 4 x x

  

   ^{. Ta được}

   

^{x y;  4;1} thỏa mãn.

Với y2 x²2x 2 10⁴ x²2x9998 0 (không có x nguyên nào thỏa mãn).

Với y3x²2x 2 10⁹x²2x999999998 0 (không có x nguyên nào thỏa mãn).

Vậy có một cặp nguyên dương

   

^{x y;  4;1} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



^{thỏa mãn 1x y, 2020 và}

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. 4034. B. 2017. C. 2020. D. 4040.

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết kết hợp điều kiện xác định, ta có: 1 y 2020 và 4 x 2020 với x y, ^.

Ta có

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           

  

3

  

2

2 2 1

4 2 log 3 2 log 0

2 3

y x

x y x y

y x

    

          

 

^*

Xét

 

2 2

 

2 1 7

log log 2 0, 4; 2020

3 3

f x x x

x x

    

         

 Với y1:

Thay vào

 

* , ta được

 

3

 

2

2 2 1

3 4 log 3 log 0

3 3

x x x

x

    

        luôn đúng ^{ x}



^{4; 2020}



 có 2017 bộ số nguyên



^{x y;}



^.

 Với y2:

Thay vào

 

* , ta thấy luôn đúng ^{ x}



^{4; 2020}



^{ có 2017} bộ số nguyên



^{x y;}



^.

 Với 3 y 2020: Ta có y 2 0.

Xét

 

3 3 3

2 2

log log log 0, 3

2 2 2

y y y y

g y y

y y y

       

            ^

 

^* vô nghiệm.

Vậy có 4034 bộ số nguyên



^{x y;}



^.

Câu 21. Có bao nhiêu cặp số thực



^{x y;}



^{thỏa mãn 3x2  2x 3 log 53 5 y 4 và 4 y   y 1}



^y3



^28?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có: 3^{x2  2x 3 log 53} 5^{ y 4}5^{ y 3}3^{x2 2x 3}

 

^*

Vì 3^{x2 2x 3} 3⁰5^{ y 3}       1 y 3 0 y 3.

Lại có ^{4 y   y 1}



^y3



^28

   

^{2 2}

4y y 1 y 3 8 y 3y 0 3 y 0

              Vậy y 3.

Thế y 3 vào

 

* ta được: ^{2 2 3 2} 1

3 1 2 3 0

3

x x x

x x

x

           ^. Vậy các cặp số thực thỏa mãn là



^{ 1; 3}



^và



^{3; 3}



^.

Câu 22. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn



²

  

4 3

log x y log x y ?

A. 55. B. 28. C. 29. D. 56.

Lời giải Chọn D

Điều kiện ² 0

0 ,

x y x y x y

  

  

 

 

.

Khi đó log4



x²y



log3



x y



 x² y 4^{log3x y   x2 y}



^{x y}



^{log 43}

 

^{log 43}

 

x2 y x y x y

      .

 

¹

Đặt t   x y t 1 thì

 

¹ được viết lại là x² y t^{log 43} t

 

²

Với mỗi x nguyên cho trước có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình

 

¹

Tương đương với bất phương trình

 

² có không quá 242 nghiệm t.

Nhận thấy ^{f t}

 

^{tlog 43 t} đồng biến trên



^{1; }



^{nên nếu x2 y 243log 43 243 781 thì sẽ}

có ít nhất 243 nghiệm nguyên t1.

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với x² x 781 27 x 28. Mà x nguyên nên x nhận các giá trị 27, 26,..., 27, 28  .

Vậy có tất cả 56 số nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 23. Có bao nhiêu bộ

 

^{x y; với x y,} nguyên và 1x y, 2020 thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ^?

A. 2017. B. 4034. C. 2. D. 2017 2020 . Lời giải

Chọn B + Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

  

   

 

  

     

 

  



 

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

.

BPT cho có dạng

  

2

  

3

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            ^.

+ Xét y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            ^.

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ

   

^{x y;  x;1 với 4 x 2020,x}_^.

+ Xét y2 thì thành 4



x4 log 1 0



3  , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x^.

Trường hợp này cho ta 2017 cặp

 

^{x y; nữa.}

+ Với y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số

 

x y; thỏa mãn yêu cầu bài toán.

_______________ TOANMATH.com _______________