HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa Cho số thực dương a1. Hàm số y a ^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

* Chú ý: cơ số a là số dương khác 1.

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? Cơ số là bao nhiêu?

A. ^y

 

^{3 x. B. yx13. C. yx4. D. y4x.}

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Định lí 1. Hàm số y e ^x có đạo hàm tại mọi x và

 

^{ex  ex} Tổng quát ta có

 

^{eu  u e. u}

Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y e ^{2 1x} b)

1 2 3



 ^xx

y e c) y3^x

Giải

Ta sử dụng công thức a^x e^x.lna và công thức đạo hàm của hàm e^u để tính đạo hàm của hàm y a ^x a) Ta có y(e^{2 1x} )(2x1)e^2x12e^2x1

b) Ta có

 

1 1

2 3 2 3

2

1 5

. .

2 3 2 3

 

     

      

x x

x x x

y e e

x x

Định lí 2. Hàm số y a ^x(0 a 1) có đạo hàm tại mọi điểm x và

 

^{ax  ax.lna.}

 

^{ax  ax.lna} Tổng quát ta có

 

^{au a uu. .ln a}

Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y8^x b) y3^{2x2 x 1} c) y5^2sinx4

Giải

a) y8^x y8 .ln8^x

b) ^{y32x2 x1 y}



^{4x1 .3}



^{2x2 x1.ln3}

c) y' 5 ^2sinx4.ln 5.2cosx

Nhắc lại các bước khảo sát hàm số ^{y f x}

 

3. Khảo sát hàm số mũ

Hàm số y a ^x (0 a 1). 1

a 0 a 1

1. Tập xác định  1. Tập xác định 

2. Sự biến thiên y a^x.lna  0, x  hàm số đồng biến trên 

Giới hạn: lim ^x 0

x a

  , lim ^x

x a

  

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

2. Sự biến thiên y a^x.lna  0, x  hàm số nghịch biến trên  Giới hạn: lim ^x 0

x a

  , lim ^x

x a

  

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên Bảng biến thiên

Đồ thị Đồ thị

Củng cố kiến thức, Hoàn thành vào bảng sau

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y a ^x (0 a 1). Tập xác định ( ; ).

Đạo hàm y'a^xln .a

Chiều biến thiên a1: hàm số luôn đồng biến;

0 a 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục Ox là tiệm cận ngang.

Đồ thị Đi qua các điểm

 

^{0;1 và}

 

^1;a , nằm phía trên trục hoành (y a ^x   0, x ).

II. Hàm số logarit 1. Định nghĩa

Cho số thực dương

a

khác 1. Hàm số

y  log

_a

x

được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Chú ý: Hàm số

y  log

_a

x

với điều kiện

0   a 1

có tập xác định

D   0;  

^.

Ví dụ. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số logarit? Cơ số bao nhiêu?

A. y2^x. B. lnx. C. y1

x. D. y x.

Lời giải Đáp án B, cơ số là e

Ví dụ. Tìm tập xác định của các hàm số:

a)

y  log 2

2

 x  1 

b)

y  log (

₃

x

²

 3 x  2)

c)

1

ln 1

y x

x

  



d)

y  log  x

²

  x 1 

Lời giải

a) điều kiện

1

2 1 0

x      x 2

. Vậy tập xác định

1 2 ; D        

 

b) điều kiện ²

2

3 2 0

1 x x x

x

 

      

. Vậy tập xác định

D     ;1   2;   

^.

c) điều kiện

1

0 1 1

1

x x

x

      



. Vậy tập xác định

D    1;1 

^.

d) Do

x

²

     x 1 0, x

. Vậy tập xác định D^. 2. Đạo hàm của hàm số logarit

Định lí 3. Hàm số

y  log

_a

x

,

(0   a 1)

có đạo hàm tại mọi

x  0

và

 log  1 .

a

x ln

  x a

Đặc biệt

  ln x 1 .

  x

Tổng quát ta có

 log  .

a

ln u u

u a

     lnu   u  .

u

Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

y  ln( x

²

  x 1)

b)

y  log (

₃

x

²

 2 ). x

c)

y  5 x

²

 2 log . x

₂

x

Lời giải

a) ² ₂

2 1

ln( 1)

1

y x x y x

x x

 

    

 

b) ₃ ² ₂

2 2

log ( 2 ) .

( 2 )ln 3

y x x y x

x x

 

   



c) ² _{2 2}

1

5 2 log 10 2 log .

y  x  x x  y   x    x  ln 2  

 

3. Khảo sát hàm số logarit

Hàm số

y  log

_a

x (0   a 1)

.

1

a  0   a 1

1. Tập xác định

 0;  

1. Tập xác định

 0;  

2. Sự biến thiên

 

1 0, 0;

y ln x

  x a    

hàm số đồng biến trên

 0;  

Giới hạn:

lim log0 _a

x _ x

  , lim log_a

x x

  

Tiệm cận: Trục

Oy

là tiệm cận đứng.

2. Sự biến thiên

1 0,  0; 

y ln x

  x a    

hàm số nghịch biến trên

 0;  

Giới hạn:

lim log

0 _a

x _

x



 

, lim log_a

x x

  

Tiệm cận: Trục

Oy

là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên Bảng biến thiên

Đồ thị Đồ thị

Củng cố kiến thức, Hoàn thành vào bảng sau

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số

y  log

_a

x (0   a 1)

. Tập xác định (0;).

Đạo hàm

1

y ln

  x a

Chiều biến thiên a 1: hàm số luôn đồng biến;

0 a 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục

Oy

là tiệm cận đứng.

Đồ thị Đi qua các điểm

 

^{1;0 và}

 

^a;1 , nằm phía bên phải trục tung.

Tóm tắt bảng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit

Hàm sơ cấp Hàm hợp

 

 

1

2

.

1 1

1 2

x x

x x

x x



  

^

    

   

 

 

 

.

1

. 1

' 2

u u u

u

u u

u u

u



  

^



 

   

   

 

 

  .ln

x x

x x

e e

a a a

 

 

 

 

. . .ln

u u

u u

e u e

a u a a

  

  

 

 

ln 1 log ' 1

a

.ln

x x

x x a

 



 

 

ln

log

^a

.ln u u

u u u

u a

  

  

LUYỆN TẬP

Bài tập SGK

Bài 2 /77. Tính đạo hàm của các hàm số a) y2xe^x3sin 2x b) y5x²2 cos^x x

c) 1

3^x y x



Lời giải a) y2xe^x3sin 2x y 2e^x2xe^x6cos 2x

b) y5x²2 cos^x x y'10x( .ln .cos2^x 2 xsin . )x2^x 10x2^x(sinxln .cos )2 x

c) 1

3^x y x

  .ln .( )

'

x x

x

y 3 3 ₂3 x1 3

ln .( )

x

 x

1 3 1 3

Bài 3/ 77. Tìm tập xác định của các hàm số sau (giao nhiệm vụ cho các nhóm) a) log 5 22



 x



b)

log

³

 x

²

 2 x 

c) 1



²



5

log x 4x3 d) _0,4

3 2 log 1

x x





Lời giải

a) ĐK:

5 2 0 5

 x    x 2 5

; 2

 

 D      

b) ĐK:

x

²

 2 x     0 x ( ;0) (2;   )      D ( ;0) (2; )

c) ĐK:

x

²

 4 x       3 0 x ( ;1) (3;  )      D ( ;1) (3; )

d) ĐK:

3 2 1 0

 

 x

x

2 ;1 3

 

   x     2 3 ;1

 

 D      

Bài 5 /78. Tính đạo hàm của các hàm số

a)

y  3 x

²

 ln x  4sin x

b)

y  log( x

²

  x 1)

c)

log

³

x

y  x

Lời giải

a) ²

1

3 ln 4sin 6 4cos

y x x x y x x

 x

      

b)

 

   

2 2

2 2

1 2 1

log( 1)

1 .ln10 1 .ln10

x x x

y x x y

x x x x

   

      

   

c)

log

³

x

y  x 

₂ ³ ₂ ³ ₂ ³ ₂

1 1

. log log 1 ln 3.log 1 ln

.ln 3 ln 3

' .ln 3 .ln 3

x x x x x

y x

x x x x

   

   

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y5^x là

A. _. B.



^{0; }



^{. C.}



^{0; }



^{. D.} ^{\ 0}

 

. Lời giải

Chọn A.

Hàm số y5^x có tập xác định D .

Câu 2. [Mức độ 2] Hàm số ^{f x}

 

^{22x x2} có đạo hàm là

A. f x

  

 2x2 .2



^{2x x2}.ln 2. B.

  

^{2 2 .2}



^{2 2}

ln 2 x x x

f x

 

  .

C. ^{f x}

  

^{ 1 x}



^{.21 2 x x2.ln 2. D.}

  

¹



^{.22 2}

ln 2 x x x

f x

 

  .

Lời giải Chọn C.

Ta có: ^{f x}

  

^{ 2 2 .2x}



^{2x x 2.ln 2 }



^{1 x}



^{.2.22x x2.ln 2 }



^{1 x}



^{.21 2 x x2.ln 2.}

Câu 3. [Mức độ 1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên _?

A. 1

5

x

y  

    ^{. B.} y2^x. C. 1 10

x

y  

    ^{. D.}

1 2

x

y  

    ^. Lời giải

Chọn B.

Hàm số y a ^x đồng biến trên _ khi a1. Câu 4. [Mức độ 2] Hàm số ^{f x}

 

^



^{x2 2 ex}



^x có đạo hàm

A. ^{f x}

 

^



^{x24x2 e}



^{x. B. f x}

  

^{ 2x2 e}



^x.

C. ^f

  

^{x  2x2 e}



^{x. D. f x}

 

^{  }



^{x2 2 e}



^x.

Lời giải Chọn D

^{f x}

 

^{ }_



^{x22 ex}



^x_^



^x22x



^{ex }



^x22x

 

^{ex }

^



^{2x2 e}



^x



^{x2 2x}

  

^{ex   x2 2 e}



^x.

Câu 5. [Mức độ 3] Hình bên là đồ thị hàm số ^{ya y b y cx,  x,  x}



^{0a b c, , 1}



được vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a b c  . B. c b a  . C. a c b  . D. b a c  . Lời giải

Chọn D

Do y a y b ^x,  ^x có đồ thị tăng nên ,a b1 và y c ^x có đồ thị giảm nên 0 c 1. Với x1, ta thấy b a . Vậy b a c  .

Câu 6. [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số ylog5



x2



là

A.



^2;



^{. B.}

 2;  

^{. C.}. D.



^{; 2}



^.

Lời giải Chọn A.

Hàm số ylog5



x2



xác định khi

x     2 0 x 2

. Vậy tập xác định của hàm số là ^D



^2;



Câu 7. [Mức độ 2] Tìm tập xác định D của hàm số

y  ln x

²

 3 x  2

. A.

D   

^{1; 2} . B.

D  

^2;



.

C.

D  

^;1



^{. D.}

D  

^;1

 

^{ 2;}



^.

Lời giải Chọn D.

ĐKXĐ của hàm số là :

x

²

 3 x       2 0 x  ;1   2;  

. Vậy tập xác định của hàm số là D 



;1

 

 2;



Câu 8. [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

y  ln  x

²

 2021 

^là

A. ₂

2

' .

2021 y x

 x



^B.

'

²

.

2021 y x

 x



C. ₂

1

' .

y 2021

 x



^{D. y'}



^{x22021 log2x}



^e.

Lời giải Chọn A.

Áp dụng công thức

  ln u ' u ' ,

 u

ta có ₂

2

' .

2021 y x

 x



Câu 9. [Mức độ 2] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

y  ln  x

²

 mx  1 

có tập xác định là  ?

A.

5

. B. 4 . C. 2 . D.

3

.

Lời giải Chọn D.

ĐK để hàm số có tập xác định là :

x

²

 mx   1 0 ,   x

^.



   m

²

   4 0    2 m 2

. Mà ^{m   } ^m



^1;0;1



^.

Vậy có

3

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10. [Mức độ 3] Cho các số

a b c , ,  0

và

a b c , ,  1

. Đồ thị của các hàm số

log

_a

, log

_b

y  x y  x

và

y  log

_c

x

được cho bởi hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng

A.

c b a  

. B.

b a c  

. C.

c a b  

. D.

a b c  

. Lời giải

Chọn C.

Từ đồ thị ta thấy hàm số

y  log

_a

x y ,  log

_b

x

đồng biến và hàm số

y  log

_c

x

nghịch biến nên

a  1, b  1

và

0   c 1

.

Mặt khác, với

x  1

ta thấy

log

_a

x  log

_b

x  log

_x

a  log

_x

b   a b

. Vậy

c a b  

.