Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit (năm 2022 + Bài Tập)– Toán 12

Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số logarit A. Lý thuyết

I. Hàm số mũ 1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; ^{y }  ¹₂ ^{x; y}

 

2. Đạo hàm của hàm số mũ Ta thừa nhận công thức:

t t 0

e 1

lim 1

 t

 

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x)) là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a – Chú ý: Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số y 2^{ x2 2x 10} có đạo hàm là:

2 2

x 2x 10 2 x 2x 10

y' 2^{  } . ( x 2x 10)'.ln 2 2^{  } .( 2x 2)ln 2  3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

y = a^x ; a > 1 y = a^x ; 0 < a < 1

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên

y’ = a^x.ln a > 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt:

x x

xlim a 0; lim ax

    

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên

y’ = a^x.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt:

x x

xlim a ; lim ax 0

    

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên:

4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

Tập xác định





Đạo hàm y’ = a^x. lna

Chiều biến thiên a > 1: Hàm số luôn đồng biến.

0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Trục Ox là tiệm cận ngang

Đồ thị Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = a^x > 0 x  ).

II. Hàm số logarit 1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log5 x; _{2 3}

3

ylog x; ylog x; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là 2

5; ; 3 3 và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = loga x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và

a

(log x)' 1

x ln a



– Đặc biệt: 1

(ln x)'

 x. – Chú ý:

Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có: _a u ' (log u)'

u ln a



– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

2 2

4 2 2

(x 2x 7)' 2x 2

(log (x 2x 7))'

(x 2x 7)ln 4 (x 2x 7)ln 4

  

   

    .

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

y = loga x ; a > 1 y = logax ; 0 < a < 1 1. Tập xác định: (0;)

2. Sự biến thiên

1. Tập xác định: (0;) 2. Sự biến thiên

y' 1 0; x 0 x ln a

   

Giới hạn đặc biệt:

x 0 a x a

lim log x ;

lim log x .

 

 





Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị

y' 1 0; x 0

x ln a

   

Giới hạn đặc biệt:

x 0 a x a

lim log x ;

lim log x .

 

 

 



Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = logax (a > 0; a ≠ 1 ).

Tập xác định





Đạo hàm 1

y 'x ln a

Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a< 1: hàm số luôn nghịch biến Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng

Đồ thị Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung

Nhận xét:

Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

Hàm sơ cấp Hàm hợp

 

 

1 '

2

x ' x

1 1

x x

x ' 1

2 x

  

  

  



 

 

1 '

2

u ' u .u '

1 u '

u u

u ' u '

2 u

  

  

  



( e^x)’ = e^x ( a^x)’ = a^x. ln a

( e^u)’ = e^u. u’

( a^u)’ = a^u. ln a. u’

 





ln x ' 1 x log x ' 1

x ln a





 





ln u ' u ' u log u ' u '

u ln a





B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số a) y = x.e^x + 2^x

b) y = 2^x. sinx + 4^{x + 2} c) y 5 ^{(x2 2x 3)}.x² Lời giải:

a) y’ = x’.e^x + x. (e^x)’ + 2^x.ln2 y’ = e^x + xe^x + 2^x.ln2

b) y’ = (2^x)’. sinx + 2^x. (sinx)’ + 4^{x+ 2}.ln4 . (x + 2)’

= 2^x. ln2.sinx + 2^x.cosx + 4^{x + 2}.ln4 c)

2 2

2 2

(x 2x 3) 2 2 (x 2x 3) 2

(x 2x 3) 2 (x 2x 3)

y' 5 .ln 5.(x 2x 3)'.x 5 .(x )'

5 .ln 5.(2x 2).x 2x.5

   

   

   

  

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:

a) y = log₄ (x² – 4);

b) y = log3 (2x – x²);

c) ylog ₃ x² x. Lời giải:

a) Điều kiện: x² – 4 > 0 ^{x 2}

x 2

 

   

b) Điều kiện: 2x – x² > 0 hay 0 < x < 2 . c) Điều kiện: x² – x > 0 ^{x 1}

x 0

 

   .

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ₂ x 2

y log

x 1

 

 ; b) ylog₇ x² 8x; c) yx log (x² ₂ ² 4). Lời giải:

a) 1 x 2 x 1 3 ₂

y ' . ' .

x 2.ln2 x 1 (x 2)ln 2 (x 1) x 1

  

 

       

 b)





2

2

2 2

2 2

y ' 1 . x 8x '

x 8x. ln 7

1 1

. . (x 8x) '

x 8x. ln 7 2 x 8x

1 x 4

.(2x 8)

2(x 8x).ln 7 (x 8x).ln 7

 



 

 

   

 

c)

2 2 2

2 2

3 2

2 2

y ' 2x log (x 4) x . 1 .(x 4)' (x 4).ln 2

2x log (x 4) 2x

(x 4).ln 2

   



  

