Bài 2. Hàm số lũy thừa A. Lý thuyết
I. Khái niệm
– Hàm số y x, với , được gọi là hàm số lũy thừa.
Ví dụ 1. Các hàm số 3 1 12 5 3
y x ; y ; y x ; y x
x
là những hàm số lũy
thừa.
– Chú ý:
Tập xác định của hàm số lũy thừa y x tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:
+ Với α nguyên dương, tập xác định là .
+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là \{0}.
+ Với α không nguyên, tập xác định là (0;). II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
– Hàm số lũy thừa y x ( ) có đạo hàm với mọi x > 0 và
x ' .x1.– Ví dụ 2.
a)
2 3
5 2 5
x .x
5
b)
x 7 7. x 7 1 .– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:
u ' .u1.u '– Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số
1
2 3
y(2x 3x2) . Lời giải:
Ta có:
2
2 3 2
2
2 3
y ' 1.(2x 3x 2) .(2x 3x 2) ' 3
1.(2x 3x 2) .(4x 3).
3
III. Khảo sát hàm số lũy thừa y = xα
Tập xác định của hàm số lũy thừa yx luôn chứa khoảng (0;) với . Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y x trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).
yx ; 0 y x ; 0
1. Tập khảo sát: (0;) 2. Sự biến thiên
y' .x1 0; x 0. Giới hạn đặc biệt:
xlim x0 0; lim xx
Tiệm cận: Không có
3. Bảng biến thiên
4. Đồ thị (với α > 0)
1. Tập khảo sát: (0;) 2. Sự biến thiên
y' .x1 0; x 0 Giới hạn đặc biệt:
xlim x0 ; lim xx 0
Tiệm cận:
Trục Ox là tiệm cận ngang.
Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.
3. Bảng biến thiên.
4. Đồ thị (với α < 0)
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm (1; 1).
– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
y x 5
. Lời giải:
1. Tập xác định: D
0;
2. Sự biến thiên.
Chiều biến thiên
7
2 5
y ' x
5
Ta có: y’ < 0 trên khoảng D
0;
nên hàm số đã cho nghịch biến.Tiệm cận:
xlim y0 ; lim yx 0
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.
Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa yx trên khoảng (0;).
α > 0 0
Đạo hàm y' .x1 y' .x1
Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang là trục Ox;
Tiệm cận đứng là trục Oy Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1).
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các hàm số a)
4
y (2x 8)9
;
b) y(x25x 6) 2 1 ; c) y(4x )2 5.
Lời giải:
a) Vì 4 9
là số hữu tỉ nên điều kiện của hàm số là:
2x – 8 > 0 hay x > 4.
b) Vì 21là số vô tỉ nên điều kiện của hàm số là:
x2 – 5x + 6 > 0 x 3 x 2
c) Vì – 5 là số nguyên âm nên điều kiện của hàm số là 4 – x2 > 0 hay – 2 < x <
2.
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số a)
1
y x3; b)
2
y(42x)7; c) y(x32x21) 3 d) y(x2 4x 2) 4. Lời giải:
a)
1 2
3 1 3
1 1
y' .x .x
3 3
b)
2 5 5
7 1 7 7
2 2 4
y' . (4 2x) . (4 2x)' . (4 2x) . ( 2) . (4 2x)
7 7 7
;
c)
3 2 3 1 3 2
3 2 3 1 2
y' 3 (x 2x 1) .(x 2x 1)'
3 (x 2x 1) . (3x 4x)
d) y’ = – 4.(x2 – 4x + 2)–4 – 1 . (x2 – 4x + 2)’ = – 4.(x2 – 4x + 2)–5. (2x – 4).
Bài 3. Hãy so sánh các cặp số sau : a) (3,5)2,1 và (3,5)3,4;
b) ( 2 1) 2,3 và ( 2 1) 3,1 c) (0,7) 3 2 và 1.
Lời giải:
a) Ta có: 3,5 > 1 và 2,1 < 3,4 Do đó; (3,5)2,1 < (3,5)3,4.
b) Vì 0 2 1 1 và 2,3 < 3,1 Suy ra: ( 2 1) 2,3 > ( 2 1) 3,1
c) Ta có: (0,7) 3 2 1 3 2 (vì 0,7 < 1) Nên (0,7) 3 2 < 1.
Bài 4. Tìm điều điện của a để các biểu thức sau có nghĩa.
a)
2
(a 1) 3
b) (2 – a)– 3. c) (2a 2)1. Lời giải:
a) Ta có: 2
3 là số hữu tỉ nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì a + 1 > 0 hay a > – 1.
b) Vì – 3 là số nguyên âm nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì 2 – a ≠ 0 hay a ≠ 2.
c) Vì 1là số vô tỉ nên để biểu thức đã cho có nghĩa thì 2a – 2 > 0 hay a > 1.
