Hàm số lũy thừa – mũ và logarit -Trần Sĩ Tùng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TRẦN SĨ TÙNG

---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 2

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

1. Định nghĩa luỹ thừa

Số mũ a Cơ số a Luỹ thừa a^a

N*

nỴ

=

a a Ỵ R a^a=aⁿ =a a. ...a(n thừa số a)

=0

a a¹0 a^a =a⁰ =1

) (n N^* n Ỵ -

=

a _a¹0 ⁿ _n

a a

a 1

=

= ^-

a

) ,

(m Z n N^* n

m Ỵ Ỵ

=

a _a>0 a a^{n n} a^m (ⁿ a b bⁿ a)

m

= Û

=

=

a = )

, (

limr_n r_nỴQ nỴN^*

=

a _a>0 a^a =lima^rn

2. Tính chất của luỹ thừa

· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a a a a

a a b

a b a b

a b b a

a b a

b a b

b a a ab a

a a a

a a a

a ÷ =

ø ç ư è

= ỉ

=

=

= ⁺ ; ^- ; ( ) ; ( ) . ;

. ^.

· a > 1 : a^a >a^b Û >a b; 0 < a < 1 : a^a >a^b Û <a b

· Với 0 < a < b ta có:

m m 0

a <b Ûm> ; a^m >b^m Û <m 0

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức

· Căn bậc n của a là số b sao cho bⁿ =a.

· Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có:

nab=na b.n ; ⁿ a ⁿ_na b( 0)

b = b > ; ^{n p}a =

( )

ⁿa ^p(a>0); ^{m n}a =^mna ( 0)

n p m q

p q

Nếu thì a a a

n m= = > ; Đặc biệt ⁿa =^mna^m

· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì ⁿa <ⁿb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì ⁿa<ⁿb. Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu ⁿa .

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4. Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A= (1 )+r ^N

CHƯƠNG II

HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I. LUỸ THỪA

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau::

a) ^{A= -}

( )

^{1 3ỉ}ç^-7₈^{ư ỉ}÷ ç^{3. -2}₇^ư÷^{2. 7 .}

( )

^{- ỉ}ç^-₁₄^{7 ư}÷

è ø è ø è ø b)

( ) ( )

( ) ( )

2 6 4

6 4

2

3 . 15 .8 9 . 5 . 6

B - -

=

- -

c)

3 2

2 3

4 8

C= + d) _D=

( )

₃₂^{32 -25}

e)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

7 4 3

4 5 2

18 .2 . 50 25 . 4 . 27

E - -

=

- - - f)

( ) ( )

( )

3 3

6

2 4 3

125 . 16 . 2

25 5

F - -

= éêë - ùúû

g)

( )

( ) ( )

3 1 3 4 2 2

0 3

3 2 2

2 .2 5 .5 0,01 .10

10 :10 0,25 10 0,01

G

- - - -

- - - -

+ -

=

- +

h) _{H =}

(

₄¹³_-10¹³ ₊₂₅¹³

)(

₂¹³₊₅¹³

)

i)

3 4 5 4

3

4. 64. 2 I 32

ỉ ư

ç ÷

è ø

= k) ⁵ ₂^{5 5}

3 5

81. 3. 9. 12 3 . 18 27. 6 K =

ỉ ư

ç ÷

è ø

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) ^{4 2 3}_{x x ,}(_x³0) _b) ⁵ b a a b³ , ,

(

0

)

a b ¹ c) ^{5 3}2 2 2 d) ³ 2 3 2³

3 2 3 e) ^{4 3 8}a f) ^{5 2}

3

b b b b Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

a)

1,5 1,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

2

a b a b

a b b

a b a b

+ -

+ +

- + b) ^0,5_0,52 ^0,5 2 . ^0,5_0,51

2 1 1

a a a

a a a a

ỉ + - - ư +

ç ÷

ç + + - ÷

è ø

c)

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

. 2

x y x y x y y

x y x y xy x y xy x y

ỉ ư

ç - + + ÷ -

ç ÷ + -

ç ÷

+ -

è ø

d)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 2

2 2

3 3 .

2

x y x y x y

x y

x y

ỉ ư

ç + + - ÷ -

ç - ÷

çỉ ư ÷

ç ÷

çè - ø ÷

è ø

e)

(

_a¹³_-b²³

) (

_{. a}²³ _{+a b}^{1 23 3}_{. +b}⁴³

)

_f)

(

_a¹⁴_-b¹⁴

) (

_{. a}¹⁴ _+b¹⁴

) (

_{. a}¹²_+b¹²

)

g)

( )

( )

¹

( )

1 2 2 2 2

1 1. 1 .

2

a b c b c a a b c

a b c bc

- -

- - -

ỉ ư

+ + + -

+ + +

ç ÷

ç ÷

- + è ø h)

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

2 2 (. 1)

2 1 1

a a a

a a a a

ỉ ư

ç + - ÷ +

ç - ÷

ç - ÷

ç + + ÷

è ø

Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:

a) ³₆a ₆³b

a b

-

- b) ab ab : ⁴ab b

a ab a b

ỉ - ư -

ç + ÷ -

è ø

c)

2 4 4

2

4 2

a x x a a x a x

a x ax

ỉ + - + + ư

ç ÷

ç + ÷

è ø d)

3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 3 3 2 6

6 6 2

a x ax a x

a x a ax x x

a x

+ + -

- - + -

-

e)

3

4 3 4 3

4 4

1 1

1 1

x x x

x x x x

x x

é - ù

ê ú

ỉ ưỉ ư

êç - - ÷ç + - ÷ú

êç - ÷ç + ÷ú

êè øè øú

ë û

f) ^{3 3 3 2 2 3} ₃^{2 3}₃ ^{2 3}

3 2 3

2 :

a a a b a b a b ab a

a b

a ab

é - + - ù

ê + ú

ê - - ú

ë û

g) ^{3 2 3 2}

(

^{6 6}

)

^{1 6}

3 2 3 3 2 3 2 3 2 .

2

a b ab a b a b a

a ab b a b

é - + ù -

ê - ú - +

ê - + - ú

ë û

Bài 5. So sánh các cặp số sau:

a)

(

0,01

)

^{- 2} và 10^{( )- 2} b)

2 6

4 và 4

ỉ ư ỉ ư

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p c) 5^{-2 3}và 5^{-3 2} d) 5³⁰⁰ và 8²⁰⁰ e)

(

0,001

)

^-0,3 và 100³ f) 4 ² và 0,125

( )

^{- 2}

g)

( )

2 ^-3 và

( )

2 ^-5 h)

4 5

4 5

5 và 4

ỉ ư- ỉ ư

ç ÷ ç ÷

è ø è ø i) 0,02^-10 và50¹¹ k)

(

3 1-

)

¹⁴ và

(

3 1-

)

²² l)

2 2

3 và 2

5 2

- -

ỉ ư ỉ ư

ç ÷ ç ÷

è ø è ø m)

5 10

2 3

2 và 2

ỉ ư ỉ ư

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p p

Bài 6. So sánh hai số m, n nếu:

a) 3,2^m<3,2ⁿ b)

( ) ( )

₂ ^m > ₂ ⁿ c) 1 1

9 9

m n

ỉ ư >ỉ ư ç ÷ ç ÷ è ø è ø

d) 3 3

2 2

m n

ỉ ư ỉ ư

ç ÷ >ç ÷

è ø è ø e)

(

_{5 1}-

) (

^m < _{5 1}-

)

ⁿ f)

(

_{2 1}-

) (

^m< _{2 1}-

)

ⁿ

Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu:

a) (a-1)^-23 <(a-1)^-13 b) (_2a+1)^-3_>(_2a+1)^-1 _c) ^{1 0,2} _a² a

ỉ ư-

ç ÷ <

è ø d) (1-a)^-13 > -(1 a)^-12 e) (2-a)³4 >(2-a)² f)

1 1

2 2

1 1

a a

ỉ ư ỉ ư-

ç ÷ >ç ÷ è ø è ø

g) a ³ <a ⁷ h)

1 1

17 8

a^- <a^- i) a^-0,25<a^{- 3} Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) 4^x =⁵1024 b)

5 2 1 8

2 5 125

ỉ ưx+

ç ÷ =

è ø c) 8^{1 3} 1

32

- x =

d)

(

_{3 3}

)

^{2 1 2}

9

x x-

= ç ÷ỉ ư

è ø e) 2 . 8 27

9 27 64

x -x

ỉ ư ỉ ư ç ÷ = ç ÷ è ø

è ø f)

2 5 6

3 1

2

x - +x

ỉ ư =

ç ÷è ø g) 1 .32^{2 8} 0,25

0,125 8

x -x

- ỉ ư

= ç ÷

è ø h) 0,2^x = 0,008 i)

3 7 7 3

9 7

49 3

x- x-

ỉ ư ỉ ư

= ç ÷

ç ÷ è ø

è ø k) 5 .2^{x x} =0,001 l)

(

_{12 . 3}

) ( )

¹

6

x x

= m) 7 .4^{1 1} 1 28

x x

- - =

Bài 9. Giải các bất phương trình sau:

a) 0,1^x >100 b) 1 ³0,04

5 ỉ ưx

ç ÷ >

è ø c) 0,3 100

9

x >

d) 7 . 49 343^x+2 ³ e)

1 2 1 9

3 27

ỉ ưx+

ç ÷ <

è ø f) 3 1

9 3

x <

g)

( )

3 .3 ¹ 27

x > h) 27 .3¹ 1

3

x -x < i) 1 . 2 1³

64 ỉ ưx

ç ÷ >

è ø Bài 10. Giải các phương trình sau:

a) 2^x +2^x+2 =20 b) 3^x +3^x+1=12 c) 5^x+5^x-1=30 d) 4^x-1+4^x +4^x+1=84 e) 4^2x-24.4^x+128 0= f) 4^x+1+2^{2 1x+} =48 g) 3.9^x -2.9^-x + =5 0 h) 3^{x2- +5 6x} =1 i) 4^x +2^x+1-24 0=

1. Định nghĩa

· Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: log_ab= Ûa a^a =b Chú ý: log_ab có nghĩa khi 0, 1

a 0 a ì >b ¹ í >

ỵ

· Logarit thập phân: lgb=logb=log₁₀b

· Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=log_eb (với lim 1 1 2,718281

n

e n

ỉ ư

= çè + ÷ø » ) 2. Tính chất

· log 1 0_a = ; log_aa=1; log_aa^b =b; a^logab =b b( >0)

· Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log_ab>log_acÛ >b c + Nếu 0 < a < 1 thì log_ab>log_acÛ <b c 3. Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có:

· log ( ) log_a bc = _ab+log_ac · log_a b log_ab log_ac c

ỉ ư= -

ç ÷è ø · log_ab^a =alog_ab 4. Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có:

· log

log^b log^a_a c c

= b hay log .log_ab _bc=log_ac

· log 1

a log

b

b= a · log_aa c= 1log_ac(a ¹0) a

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) _{2 1}

4

log 4.log 2 b) log₅ 1 .log 9₂₇

25 c) log_a³ a

d) 4^{log 32} +9^{log 23} e) log_{2 2}8 f) 27^{log 29} +4^{log 278}

g) ^{3 4}

1/3 1 7

log .log log

a a

a

a a

a h) log 6.log 9.log 2 _{3 8 6} i) 92 log 2 4 log 5^{3 + 81}

k) 81^{log 53} +27^{log 369} +3^{4log 79} l) 25^{log 65} +49^{log 87} m) 5^{3 2 log 4- 5}

n) ^{6 8}

1 1

log 3 log 2

9 +4 o) 3^{1 log 4+ 9} +4^{2 log 3- 2} +5^{log 27125} p) log 3.log 36 _{6 3} q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) ... lg(tan89 )⁰ + ⁰ + + ⁰

r) log log (log 16) .log log (log 64)₈éë _{4 2} ùû ₂éë _{3 4} ùû

II. LOGARIT

Bài 2. Cho a > 0, a ¹ 1. Chứng minh: log (_a a+ >1) log (_a+1 a+2)

HD: Xét A = log (¹ 2) _{1 1} log ¹ log (¹ 2)

log .log ( 2)

log (^a_a 1) ^{a a a} 2 ^a

a a a

a a

+ a + +

+ +

+ + +

= + £

+ =

= log ¹ ( 2) log (¹ 1)²

2 2 1

a₊ a a+ a₊ a+

< =

Bài 3. So sánh các cặp số sau:

a) log 4 và log_{3 4}1

3 b) log_0,1³2 và log 0,34 c) _{0,2 3 5}

4 2

2 3

log và log

5 4

d) _{1 1}

3 2

1 1

log log

80 và 15 2

+ e) log 150₁₃ vàlog 290₁₇ f) ^{6 6}

log 1

log 3 2

2 và 3 g) log 10₇ vàlog 13₁₁ h) log 3₂ vàlog 4₃ i) log 10₉ vàlog 11₁₀

HD: d) Chứng minh: _{1 1}

3 2

1 1

log 4 log

80< < 15 2 + e) Chứng minh: log 150 2 log 290₁₃ < < ₁₇

g) Xét A = _{7 11} ^{7 7 7}

7

log 10.log 11 log 13 log 10 log 13

log 11

- = -

= _{7 7 7}

7

1 log 10.11.7 log 10.log 11

log 11 7.7.13 7 7

ỉ ư

ç + ÷

è ø > 0

h, i) Sử dụng bài 2.

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14₂ =a. Tính log 32 theo a. ₄₉ b) Cho log 3₁₅ =a. Tính log 15 theo a. ₂₅

c) Cho lg3 0,477= . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ;

81

1 log 100. d) Cho log 2₇ =a. Tính ₁

2

log 28 theo a.

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7₂₅ =a ; log 5₂ =b. Tính 35

log 49

8 theo a, b.

b) Cho log 3₃₀ =a; log 5₃₀ =b. Tính log 1350 theo a, b. ₃₀ c) Cho log 7₁₄ =a; log 5₁₄ =b. Tính log 28 theo a, b. ₃₅

d) Cho log 3₂ =a; log 5₃ =b; log 2₇ =c. Tính log₁₄₀63 theo a, b, c.

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

a) b^logac =c^logab b) log log log ( )

1 log^{a a}

ax a

b x

bx x

= +

+ c) log

1 log

log_ab^{a a}

c b

c = +

d) log 1(log log )

3 2

c a b+ = ca+ cb , với a²+b² =7ab. e) log ( 2 ) 2 log 2 1(log log )

a x+ y - a =2 ax+ ay , với x²+4y²=12xy.

f) log_{b c+} a+log_{c b-} a=2 log_{c b+} a.log_{c b-} a, với a²+b² =c². g)

2 3 4

1 1 1 1 ... 1 ( 1)

loga loga loga loga logak 2 loga

k k

x x x x x x

+ + + + + = + .

h) log .log .log

log .log log .log log .log

a log b c

a b b c c a

abc

N N N

N N N N N N

+ + = N .

i)

1

101 lg^z

x= ^- , nếu

1 1

1 lg 1 lg

10 ^x 10 ^y

y= ^- và z= ^- . k)

2 3 2009 2009!

1 1 ... 1 1

log N +log N + +log N = log N .

l) log log log

log^a_b log^b_c log^a_c

N N N

N N N

- =

- , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

1. Khái niệm

a) Hàm số luỹ thừa y x= ^a (a là hằng số)

Số mũ a Hàm số y x= ^a Tập xác định D

a = n (n nguyên dương) y x= ⁿ D = R

a = n (n nguyên âm hoặc n = 0) y x= ⁿ D = R \ {0}

a là số thực không nguyên y x= ^a D = (0; +¥) Chú ý: Hàm số

1

y x= n không đồng nhất với hàm số y=ⁿx n N( Ỵ *). b) Hàm số mũ y a= ^x (a > 0, a ¹ 1).

· Tập xác định: D = R.

· Tập giá trị: T = (0; +¥).

· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

· Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

· Đồ thị:

c) Hàm số logarit y=log_ax (a > 0, a ¹ 1) · Tập xác định: D = (0; +¥).

· Tập giá trị: T = R.

· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

· Đồ thị:

0<a<1

y=logax

1 x

y

O

a>1

y=logax

1 y

O x

0<a<1

y=a^{x y}

1 x

a>1

y=a^x

y

1 x

III. HÀM SỐ LUỸ THỪA

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

2. Giới hạn đặc biệt

·

1 0

lim (1 ) lim 1 1

x x

x x x e

x

® ®±¥

ỉ ư

+ = çè + ÷ø = ·

0

ln(1 )

lim 1

x

x x

®

+ = ·

0

lim ^x 1 1

x

e x

®

- =

3. Đạo hàm

·

( )

_x^{a ¢} _=ax^a-1 _(x>0);

( )

_u^{a ¢}=a_u^a-1_.u¢ Chú ý:

( )

1

1 0

0

n

n n

với x nếu n chẵn x n x ^- với x nếu n lẻ

¢ = ỉçè >< ư÷ø.

( )

1 n

n n

u u

n u ^-

¢ = ¢

·

( )

_a^{x ¢} _=a^x_lna;

( )

_a^{u ¢}_=a^u_{ln .a u¢}

( )

_e^{x ¢} _=e^x_;

( )

_e^{u ¢} _{=e u}^u_{. ¢}

·

(

^loga x

)

_ln¹

¢ = x a ;

(

^loga u

)

_lnu u a

¢ = ¢

(

ln x

)

¹

¢ = x (x > 0);

(

ln u

)

u u

¢ = ¢

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) lim 1

x x

x x

®+¥

ỉ ư

ç + ÷

è ø b)

1 1

lim 1

x x

x x

+

®+¥

ỉ ư

ç + ÷

è ø c)

1 2 1

lim 2

x x

x x

-

®+¥

ỉ + ư ç - ÷

è ø

d)

1

3 4 3

lim 3 2

x

x

x x

+

®+¥

ỉ - ư ç + ÷

è ø e) lim 1

2 1

x x

x x

®+¥

ỉ + ư ç - ÷

è ø f) lim 2 1

1

x x

x x

®+¥

ỉ + ư ç - ÷

è ø

g) lim ln 1

x e

x x e

®

-

- h) ²

0

lim 1 3

x x

e x

®

- i)

lim1

1

x x

e e

x

®

- - k)

lim0

sin

x x

x

e e

x

-

®

- l) ^{sin2 sin}

lim0 ^{x x}

x

e e

x

®

- m) _lim

( )

^1x ₁

x x e

®+¥ -

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=^{3 2}x + +x 1 b) ⁴ 1

1 y x

x

= +

- c) ^{5 2} ₂ 2

1

x x

y x

= + - + d) y=³sin(2x+1) e) y=cot 1³ +x² f) 1 ³₃2

1 2

y x

x

= - + g) ³sin 3

4

y= x+ h) y=¹¹9 6+ ^{5 9}x i) ^{4 2}₂ 1 1

x x

y x x

= + + - + Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ^y=

(

^x2-2x+2

)

^{ex b) y=}

(

^{x2+2x e}

)

^{-x c) y e= -2x.sinx}

d) y e= ^{2x x+ 2} e)

1

. ^x 3^x

y x e= ^- f) y e²₂^x_x e^x_x

e e

= + - g) y=2 .^xe^cosx h) ₂ 3

1 y x

x x

= - + i) y=cos .x e^cotx

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ^{y=ln 2}

(

^{x2+ +x 3}

)

^{b) y=log cos2}

(

^x

)

^{c) y e= x.ln cos}

(

^x

)

d) ^y=

(

^{2x-1 ln 3}

) (

^x2+x

)

^{e) 1}

(

³

)

2

log cos

y= x - x f) y=log cos3

(

x

)

g) ^{ln 2}

(

¹

)

2 1

y x

x

= +

+ h) ^{ln 2}

(

¹

)

1 y x

x

= +

+ i) y=ln

(

x+ 1+x²

)

Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a) ^{y x e= . -x22; xy¢ = -}

( )

^{1 x y2 b) y=}

(

^x+1

)

^{ex; y y e¢ - = x}

c) y e= ^4x +2e^-x; y¢¢¢-13y¢ -12y=0 d) y a e= . ^-x +b e. ^-2x; y¢¢+ ¢ +3y 2y=0 g) y e= ^-x.sin ;x y¢¢+2y¢+2y=0 h) _{y e}= -^x_{.cos ;x y}( )⁴ +_4y=₀

i) y e= ^sinx; y¢cosx y- sinx y- ¢¢ = 0 k) y e= ^2x.sin 5 ;x y¢¢ - ¢ +4y 29y=0

l) 1 . ;² 2

2 ^{x x}

y= x e y¢¢ - ¢ + =y y e m) y e= ^4x+2e^-x; y¢¢¢-13y¢ -12y=0

n)

( )(

²

)

2

( )

²

1 2010 ; 2 1

1

x xy x

y x e y e x

= + + ¢ = x + +

+

Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a) ln 1 ; 1

1

y xy ey

x

ỉ ư

= çè + ÷ø ¢ + = b) 1 ; ln 1

1 ln

y xy y y x

x x é ù

= + + ¢ = ë - û

c) ^{y=sin ln}

( )

^{x +cos ln ;}

( )

^{x y xy x y+ ¢ + 2 ¢¢ =0 d) y=} _x

(

^{1 ln}_{1 ln}⁺_- ^x_x

)

^{; 2x y2 ¢ =}

(

^{x y2 2+1}

)

e) ² 1 ² 1 ln ² 1; 2 ln

2 2

y= x + x x + + x+ x + y= xy¢ + y¢ Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:

a) f x'( ) 2 ( ); ( )= f x f x =e x^x

(

²+3x+1

)

b) f x'( ) 1 f x( ) 0; f x( ) x³lnx

+ x = =

c) f x'( ) 0; ( )= f x =e^{2 1x-} +2.e^{1 2- x}+7x-5

d) '( )f x >g x f x'( ); ( )= +x ln(x-5); ( ) ln(g x = x-1) e) '( ) '( ); ( ) 1.5^{2 1}; ( ) 5 4 ln 5

2

x x

f x <g x f x = ⁺ g x = + x

1. Phương trình mũ cơ bản

Với a > 0, a ¹ 1: 0

x log

a

a b ì >bx b

= Û í =ỵ 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a ¹ 1: a^{f x( )} =a^{g x( )} Û f x( )=g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a^M =a^N Û(a-1)(M N- ) 0= b) Logarit hoá

a^{f x( ) =}b^{g x( ) Û} f x^{( )=}

(

^logab g x

)

^{. ( )}

c) Đặt ẩn phụ

· Dạng 1: P a( ^{f x( )}) 0= Û ^{( )}, 0 ( ) 0 t af x t ì =P t >

í =

ỵ , trong đó P(t) là đa thức theo t.

· Dạng 2: aa^{2 ( )f x} +b( )ab ^{f x( )}+gb^{2 ( )f x} =0 Chia 2 vế cho b^{2 ( )f x} , rồi đặt ẩn phụ

( )

a f x

t b

= ç ÷ỉ ưè ø

· Dạng 3: a^{f x( )}+b^{f x( )} =m, với ab=1. Đặt t a_{f x}^{( )} b_{f x}^{( )} 1

= Þ = t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) · Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:

( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).

( ) đơn điệu và ( ) hằng số

f x g x

f x g x c

éê =

ë

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( )f u = f v( )Û =u v e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

· Phương trình tích A.B = 0 Û 0 A 0 é =B

ê =ë · Phương trình A²+B²= Û í =0 ì =ỵAB 00 f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Nếu ta chứng minh được: ( )

f x( ) M

g x M

ì ³

í £

ỵ thì (1) ( )

f x( ) M

g x M

ì =

Û íỵ =

Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

a)9^{3 1x-} =3^{8 2x-} b)

10 5

10 15

16 0,125.8

x x

x x

+ +

- = -

c) 4^{x2- +3 2x} +4^{x2- -6 5x} =4^{2x2+ +3 7x} +1 d) 5^2x-7^x -5 .35 7 .35 0^2x + ^x = e) 2^x2-1+2^x2+2=3^x2 +3^x2-1 f) 5^{x- x2+4} =25

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

g)

2 2

1 24 3

2

x - x

ỉ ư = -

ç ÷è ø h)

7 1 2

1 . 1 2

2 2

x+ - x

ỉ ư ỉ ư =

ç ÷ ç ÷ è ø è ø

i)

(

3 2 2-

)

^2x = +3 2 2 k)

(

5 2

)

¹

(

5 2

)

¹¹

x x

x - -

+ = - +

l) 3 .2^{x x+1}=72 m) 5^x+1+ 6. 5 – 3. 5^{x x-1}=52 Bài 2. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a)4^x+2^x+1- =8 0 b) 4^x+1-6.2^x+1+ =8 0 c) 3^{4 8x+} -4.3^{2 5x+} +27 0= d) 16^x-17.4^x +16 0= e) 49^x +7^x+1- =8 0 f) 2^{x x2-} -2^{2+ -x x2} =3.

g)

(

^{7 4 3+}

) (

^{x+ +2 3}

)

^{x =6 h)4cos2x+4cos2x =3 i) 32 5x+ -36.3x+1+ =9 0}

k) 3^{2x2+ +2 1x} -28.3^{x x2+} + =9 0 l) 4^x2+2-9.2^x2+2+ =8 0 m) 3.5^{2 1x-} -2.5^x-1=0,2 Bài 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25^x -2(3-x).5^x+2x- =7 0 b) 3.25^x-2+(3x-10).5^x-2+ - =3 x 0 c) 3.4^x+(3x-10).2^x+ - =3 x 0 d) 9^x+2(x-2).3^x+2x- =5 0

e) 3.25^x-2 +(3x-10).5^x-2+ - =3 x 0 f) 4x²+3 ^x +3^{1+ x} =2.3 .^x x²+2x+6 g) 4 + – 8 2 +12 – 2^x

(

x

)

^x x=0 h)

(

^{x+4 .9}

)

^x-

(

^{x+5 .3}

)

^{x+ =1 0}

i) 4^x2 +(x²-7).2^x2 +12 4- x² =0 k) 9^-x- +(x 2).3^-x -2(x+4) 0= Bài 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9^x -84.12^x+27.16^x =0 b)

1 1 1

4^-x +6^-x =9^-x c) 3.16^x +2.81^x =5.36^x d) 25^x+10^x =2^{2 1x+} e) 27^x +12^x =2.8^x f) 6.9 13.6 6.4 0

1 1

1

= +

- ^{x x}

x

g) 6.3^2x-13.6^x+6.2^2x =0 h) 3.16^x+2.81^x =5.36^x i) 2.4^1x +6^1x =9^1x k) (7 5 2)+ ^x+( 2 5)(3 2 2)- + ^x+3(1+ 2)^x + -1 2 = 0.

Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụdạng 3):

a) (2- 3)^x + +(2 3)^x =14 b) ỉç 2+ 3ư÷^x+ỉç 2- 3ư÷^x = 4

è ø è ø

c) (2+ 3)^x+ +(7 4 3)(2- 3)^x = 4(2+ 3) d) (5- 21)^x +7(5+ 21)^x =2^x+3 e)

(

5+ 24

) (

^x + -5 24

)

^x =10 f) 7 3 5 7 3 5

7 8

2 2

x x

ỉ + ư ỉ - ư

+ =

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

g)

(

^{6- 35}

) (

^{x+ 6+ 35}

)

^{x =12 h)}

(

^{2+ 3}

)

^{(x-1)2+ -}

(

^{2 3}

)

^{x2- -2x1=} _2-⁴ ₃

i)

(

^{3+ 5}

)

^{x+16 3}

(

^{- 5}

)

^{x =2x+3 k)}

(

^{3+ 5}

) (

^{x+ -3 5}

)

^{x-7.2x =0}

l) (7 4 3)+ ^x-3(2- 3)^x+ =2 0 m) ỉçè³3+ 8ư÷ø^x +ỉçè³3- 8ư÷ø^x =6.

Bài 6. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)(2- 3)^x+ +(2 3)^x = 4^x b) ( 3- 2)^x +( 3+ 2)^x = ( 5)^x c)

(

3 2 2+

) (

^x+ -3 2 2

)

^x =6^x d)

(

3+ 5

)

^x+16. 3

(

- 5

)

^x =2^x+3

e) 3 7 5 5 2 ỉ ư + = ç ÷è ø

x

x f)

(

2+ 3

) (

^x+ 2- 3

)

^x =2^x

g) 2^x+3^x +5^x =10^x h) 2^x+3^x =5^x i) 2^x-1-2^{x x2-} =(x-1)² k) 3^x = -5 2x l) 2^x = -3 x m) 2^x+1-4^x = -x 1 n) 2 3² 1

x = x + o) 4^x +7^x =9x+2 p) 5^2x+1-5^3x-x+1=0 q) 3^x +8^x =4^x+7^x r) 6^x +2^x =5^x+3^x s) 9^x +15^x =10^x +14^x Bài 7. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) 8.3^x +3.2^x =24 6+ ^x b) 12.3^x +3.15^x -5^x+1=20 c) 8-x.2^x+ 2^3-x- =x 0 d) 2^x +3^x =1+6^x

e) 4^x2-3x+2 +4^x2+6x+5 =4^2.x2+3x+7 +1 f) 4^x2+x +2^1-x2 =2^(x+1)2 +1

g) x².3^x +3 (12 7 )^x - x = -x²+8x²-19x+12 h) x².3^x-1+x(3^x-2 ) 2(2^x = ^x-3 )^x-1 i) 4^sinx -2^{1 sin+ x}cos( ) 2xy + ^y =0 k) 2^{2(x x2+ )}+2^1-x2 -2^{2(x x2+ ) 1}.2^-x2 - =1 0 Bài 8. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2^x = cos ,x⁴ với x ³ 0 b) 3^{x2- +6 10x} = -x²+6x-6 c) 3^{sin x} = cosx

d) 2.cos^{2 3} 3 3

2 ^{x x}

x x _-

ỉ - ư = +

ç ÷

è ø e) p ^{sin x} = cosx f)

x

x x

x 1

2

2

2 ^{- 2} = +

g) 3^x2 =cos2x h) 5^x2 =cos3x Bài 9. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9^x +3^x+ =m 0 b) 9^x +m3^x - =1 0 c) 4^x -2^{x+ 1}=m

d) 3^2x +2.3^x-(m+3).2^x =0 e) 2^x+(m+1).2^-x + =m 0 f) 25^x -2.5^x- - =m 2 0 g) 16^x -(m-1).2^2x+ - =m 1 0 h) 25^x +m.5^x+ -1 2m=0 i) 81^sin2x +81^cos2x =m k) 3^{4 2- x2} -2.3^2-x2 +2m- =3 0 l) 4 ^x 1 3 ^{+ + -x} -14.2 ^x 1 3 ^{+ + -x} + =8 m m) 9^{x+ -1 x2} -8.3^{x+ -1 x2} + =4 m n) 9^{1 1+ -t2} -(m+2).3