Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Cao Tuấn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan LŨY THỪA. HÀM SỐ LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

Cho n ^*và a . Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: . ...

' ˆ

n ..

n s a a o a a a

Trong đó: a gọi là cơ số và n là số mũ.

Với a0 thì

0 1

n 1

n

a

a a



 

 

 (Chú ý là 0 và 0^{0 n} không có nghĩa).

b) Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên Định lí 1: Cho a0, b0 và ,m n , ta có:

+) a a^m. ⁿ a^{m n} +)

m

m n n

a a a

 

+)

 

^{am n am n. +)}

 

^{a b. n a bn. n +) a n an}_n

b b

  

   Định lí 2 [Tính chất bất đẳng thức]:

Cho ,m n . Khi đó:

 Với a1 thì a^m aⁿ m n.

 Với 0 a 1 thì a^m aⁿ m n. Hệ quả 1: Với 0 a b, n thì:

 aⁿ bⁿ  n 0.

 aⁿ bⁿ  n 0.

Hệ quả 2: Với n là số tự nhiên lẻ thì a b aⁿbⁿ. 2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Căn bậc n

Định nghĩa: Cho a và n ^*, ta có: b là căn bậc n của a bⁿ a. Nhận xét:

 Nếu a thì a có duy nhất một căn bậc n lẻ là ⁿa.

 Nếu a0 thì a có đúng 2 căn bậc n chẵn là ⁿa và ⁿa (trong đó ⁿa 0 và

n 0

 a  ).

Tính chất: Cho ,a b0, m n,  ^* và ,p q . Khi đó:

 ⁿabⁿa b.^{n n n}

n

a a

b  b,



^b0



 ^{nap }

 

^{na p,}



^a0



^{m n a mna}

 Nếu ^{p q}

n m thì ⁿa^p ^ma^q ,



^a0



^{. Đặc biệt na mnam.}

1

CHỦ ĐỀ

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

Chú ý:

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a b thì ⁿaⁿb.

 Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 a b thì ⁿaⁿb. b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Định nghĩa: Cho a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ có dạng r ^m

 n , trong đó , *

m n . Lũy thừa của avới số mũ rlà số xác định bởi:

m

r n n m

a a  a

Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

3. Lũy thừa với số mũ thực

a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực

Cho a0 là một số thực dương và  là một số vô tỉ.

Xét dãy số hữu tỉ r r₁, ,.... ,...₂ r_n mà limr_n. Khi đó người ta chứng minh được rằng dãy số thực a a^r1, ^r2,....a^rn,... có giới hạn xác định.

Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a^. Vậy lim ^rn .

x a

a^

 

b) Công thức lãi kép

Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước.

Công thức: Giả sử số tiền gốc là A; lãi suất r%/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).

 Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là ^A



^1r



^n.

 Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là ^A



^1r



^{n A A}_



^1r



^{n1 .}_

Ví dụ: Ông Tuấn gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm.

Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

Lời giải:

Số tiền lãi ông Tuấn thu về sau 10 năm là:



¹



^{n 100}



^{1 0,08}



^{10 1 115,892 .}

A r  A tr     tr GHI NHỚ (về cơ số của luỹ thừa 0)

 Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

 Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

II. HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Định nghĩa: Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng yx^, trong đó là một hằng số tuỳ ý.

Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta có:

Hàm số Số mũ lũy thừa Tập xác định

yx^  nguyên dương _D

yx^  nguyên âm hoặc n0 ^{D \ 0}

 

yx^  không nguyên ^D



^0;



Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan

Chú ý: Theo định nghĩa, đẳng thức

1

n xxn chỉ xảy ra nếu x0. Do đó, hàm số

1

yxn

không đồng nhất với hàm số yⁿx



^{n *}



. Chẳng hạn, hàm số y³ x là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi x ; còn hàm số luỹ thừa

1

yx3 chỉ xác định với mọi x0. 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Định lí:

 Hàm số luỹ thừa ^yx,



^



có đạo hàm tại mọi điểm x0 và

 

^{x  x1 .}

 Nếu hàm số ^{u u x}

 

nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số ^{y u }

 

^x

cũng có đạo hàm trên J và ^_^u

 

^{x }_^{.u1}

   

^{x u x.  .}

Hệ quả:



 

^nx _n¹_{n 1}

n x ^

  (với mọi x0 nếu n chẵn, với mọi x0 nếu n lẻ).

 Nếu ^{u u x}

 

là hàm số có đạo hàm trên J và thoả mãn điều kiện ^{u x}

 

^{0 với}

mọi xJ khi n chẵn, ^{u x}

 

^{0 với mọi xJ} khi n lẻ thì:

     1  n

n n

u x u x

n u ^ x

 

 .

3. Sự biến thiên của hàm số lũy thừa

Xét hàm số lũy thừa yx^ có tập xác định luôn chứa khoảng



^0;



^{với mọi 0}. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số yx^ trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).

yx^ với 0 yx^ với 0 1. Tập khảo sát:



^0;



2. Sự biến thiên

1 0

y x^  với  x 0.

Hàm số đồng biến.

Giới hạn:

0

lim 0

x _y

  và lim

x y

  

3. Bảng biến thiên

x 0 

y +

y



0

1. Tập khảo sát:



^0;



2. Sự biến thiên

1 0

y x^  với  x 0.

Hàm số nghịch biến.

Giới hạn:

0

lim

x _y

   và lim 0

x y

 

3. Bảng biến thiên

x 0 

y 

y



0 4. Đồ thị:

Nhận xét: Do 1^ 1 với  nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm ^{I 1;1 .}

 

Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm đó trên toàn bộ tập xác định.

α = 0

1 x

y

1 O

α = 1

0 < α < 1 α > 1

α < 0

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

B. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ SỬ DỤNG KỸ THUẬT GIẢI NHANH

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

4 1 1

3 3 2

3 3

2 2

3 3 3

8 . 1 2

2 4

a a b b

A a

a ab b a

 

       

(giả thiết biểu thức có nghĩa) được kết quả là

A.1. B. a b . C. 0. D. 2a b .

Lời giải:

Cách 1 [Theo phương pháp tự luận]:

Ta có: ¹³

 

^{13 2}₃ ^{13 13}

 

²₃

2 1 1 2 1 1 1 3 1 3

3 3 3 3 3 3 3 3

8 . 8

.

2 4 2 2

a a b a a a a b

A a a

a a b b a b a b

 

   

   

      

   

 

2

2 2 2

3

3 3 3

8 0

8 a a b

a a a a b

      

 Chọn đáp án C.

Cách 2 [Phương pháp chuẩn hóa số liệu]: Ta sẽ gán cho a và b những giá trị cụ thể (chú ý sao cho thỏa mãn điều kiện có nghĩa của biểu thức A).

Cụ thể, ở đây gán 1 1 a b

  

 , khi đó:

 

4 1 1

3 3 2

3 3

2 2

3 3 3

1 8.1 .1 1 1 8

. 1 2 1 . 1 2 1 0.

1 7

1 2 1.1 4.1 A

 

 

        

 

 

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho M a²³ a b^{4 2}  b²³ a b^{2 4} và ^N



^{3 a2 3b2}



³ . Ta có kết luận A. MN. B. M N 0. C. M N . D. MN.

Lời giải:

Nhập ^{a23 a b4 2  b23 a b2 4 }



^{3a2 3b2}



³  ^{CALC a1; b1 0 M}^N

 Chọn đáp án D.

Bình luận: Trong bài toán này việc nhập biểu thức mất khá nhiều thời gian (do có nhiều loại căn và lũy thừa) nên ta nên tính tay luôn cho nhanh (vì a1; b1 nên việc tính tay khá đơn giản). Cụ thể:

 1; 1 ^{2 3 4 2 2 3 2 4}

1 1 .1 1 1 .1 2 2 2 2.

a b

  M

       

 ^{a1; b1 N}



^{312 312}



^{3 }



^{1 1}



^{3  8 2 2.}

Vậy MN2 2 Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức ^C



^{x4 x1}



^{x4 x1}



^{x x1 ,}

 

^x0



^{ta được}

A. x²1. B. x² x 1. C. x² x 1. D. x²1.

Lời giải:

Cách 1 [Theo phương pháp tự luận]:

Ta có: ^M



^{x 1}



^{4 x }  



^{x 1}



^{4 x}



^{x x1}





^{x 1}



^{2 x}



^{x x 1}

 

^{x x 1}



^{x x 1}



 

          



^{x 1}



^x



^{x 1}



^x



^{x 1}



^{2 x x2 x 1}

   

              Chọn đáp án B.

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan

Cách 2:

Nhập



^{X4X 1}



^{X4 X1}



^{X X} ¹



^{CALC X100 10101}

Ta có: ² 100 ²

10101 100 100 1 x 1

x x

       Chọn đáp án B.

Cách 3:

Thử lần lượt với 4 đáp án. Cơ sở lí thuyết: ^{A B A 1,}



^{B 0}



  B  

Lần 1: Nhập



^X4X1



^X4X1



^{X X 1 :}

 

^{X2  1}



^CALC_X1 ³₂ ^{loại A.}

Lần 2: Bấm ! để sửa biểu thức thành:



^{X4 X1}



^{X4 X1}



^{X X1 :}

 

^X2   ^{X 1}



^CALC_{X 1} ¹

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức ^{D x12 y12 2 1 2 y y 1,}



^{x y, 0, x y}



x x

 

 

          ta được

A. x. B. 2 .x C. x1. D. x1.

Lời giải:

Cách 1 [Theo phương pháp tự luận]:

 

^{2 1 y 2}

 

^{2 x y 2 1 2}

D x y x y x

x x x

   

    

 

             Chọn đáp án A.

Cách 2: Thử lần lượt với 4 đáp án.

Nhập

2 1

1 1

2 2 1 2 : 1

1; 2

Y Y CALC

D X Y X

X Y

X X

 

 

            Chọn đáp án A.

Để chính xác hơn nên thử với cả 4 đáp án.

Ví dụ 5: Cho ^{f x}

 

^{x23 x2 . Khi đó f}

 

^{1 bằng}

A. ³.

8 B. ⁸.

3 C.2. D.4.

Lời giải:

Nhập vào MTCT: _dx^d



^{x23 x2}



_x1 và bấm = ta được kết quả:

2,666666667 8

 3 Chọn đáp án B.

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

C. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số ^y



^x327



^{2 là}

A. ^{D \ 2 .}

 

^{B. D . C. D  }_^3;



^{. D. D}



^3;



^.

Lời giải:

Áp dụng lý thuyết: “Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương”.

Do đó hàm số ^y



^x327



^2 xác định khi ^{x327 0    x 3 D}



^{3; }



Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số ^y



^{3x2 2}



^{2 là}

A. 2 2

; ; .

3 3

D    

        B. 2 2

; ; .

3 3

D    

       

C. 2 2

; .

3 3

D  

  

 

  D. 2

\ .

D  3

 

 

Lời giải:

Áp dụng lý thuyết: “Lũy thừa với số mũ không và nguyên âm thì cơ số phải khác 0”.

Do đó hàm số ^y



^{3x2 2}



^2 xác định khi ² 2 2

3 2 0 \ .

3 3

x     x D  

 

 

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tập xác định của hàm số ^{y  }



^{x2 3x2}



^{e là}

A. ^{D  }



^{; 2 .}



^{B. D  }



^1;



^{. C. D  }



^{2; 1 .}



^{D. D   }_ ^{2; 1 .}_

Lời giải:

Áp dụng lý thuyết: “Luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương”.

Do đó hàm số ^{y  }



^{x2 3x2}



^e xác định khi ^{ x2 3x}         ^{2 0 x}



^{2; 1}



^D



^{2; 1 .}



 Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Với , a b là những số dương, biểu thức

4

4 4 4 4

a ab a b

a b a b

  

  bằng

A. 2⁴ a⁴b. B. ⁴b. C. ⁴b. D. ⁴a. Lời giải:

Ta có: ⁴

 

^{4 2 4}

   

^{4 2 4 2}

4 4 4 4 4 4 4 4

a ab a b

a ab a b

a b a b a b a b

 

 

  

   

      

4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

a a b a b a b

a a b b

a b a b

  

       

  Chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Cho m0. Biểu thức

3 2

3 1

m m

  

   bằng

A. m². B. m^{2 3 3} . C. m^2. D. m^{2 3 2} .

Lời giải:

Ta có: 3 ^{3 2 3 3}  ^{3 2} 2

3 2

1 m

m m m

m m

  



     

   Chọn đáp án A.

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan

Ví dụ 6: Với giá trị nào của a thì ^{3 4 24 5}

1

. . 2 . 1 2 a a a

  ?

A. a1. B. a2. C. a0. D. a3.

Lời giải:

Ta có:

1 1 2

1 3 5 1 17 17

3 4 24 5 4 24 2 24 24

1

. . 2 . 1 . . 2 .2 2 2

2

a a a a a a a a



 

 

 

          

Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Cho a b, 0 thỏa mãn

1 2

1 3

3 3

2 , 4

a a b b . Khi đó

A. a1, b1. B. a1, 0 b 1. C. 0 a 1, b1. D. 0 a 1, 0 b 1.

Lời giải:

Áp dụng lý thuyết: Cho m n,  . Khi đó:

 Với a1 thì a^m aⁿ  m n.

 Với 0 a 1 thì a^m aⁿ  m n. Ta có:

 ^{12 13}

1 1

2 3 1.

a a a

   

 ^{23 34}

2 3

3 4 0 1.

b b b

    

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Tập tất cả các giá trị của a để ¹⁵a⁷  ⁵ a² là:

A. a0. B. a0. C. a1. D. 0 a 1.

Lời giải:

Ta có

7 2 6

15a7  5a2 a15 a5 a15   a 1 Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Với điều kiện nào của a thì



^a1



^{23  }



^{a 1}



^13?

A. a2. B. a1. C. 1 a 2. D. 0 a 1.

Lời giải:

Ta có:

 

²³

 

¹³

2 1

3 3

1 1 1 1 2

a ^ a ^ a a

  

         Chọn đáp án A.

Ví dụ 10: Nếu



^{2 1}

 

^{m  2 1}



ⁿ thì ta kết luận gì về m và n?

A. m n . B. m n . C. m n . D. m n . Lời giải:

Ta có:



^{2 1}

 

^{m  2 1}



^{n2 1 }

 

^{0;1  m n} Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2%

một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.210 triệu. B.220 triệu. C.212 triệu. D.216 triệu.

Lời giải:

Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là ^{100 1 2%}



^



⁴ triệu đồng và số tiền nhận về

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là ^{100 1 2%}



^



² triệu đồng.

Vậy tổng số tiền là ^{100 1 2%}



^



^{4100 1 2%}



^



^{2 212,283216}



^212,283



triệu đồng.

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 12: Đạo hàm của hàm số ^y



^x2x



^{ là}

A. ^2



^x2x



^{1. B. }



^2x1

 

^x2x



^1.

C. ^



^2x1

 

^x2x



^{1. D. }



^x2x



^1.

Lời giải:

Ta có: ^{y }_



^x2x



^_^



^x2x

 

^{1 x2 x}



^



^2x1

 

^x2x



^1 Chọn đáp án C.

Ví dụ 13: Trên đồ thị

 

^C của hàm số y x²



 lấy điểm M₀ có hoành độ x₀ 1. Tiếp tuyến của

 

^{C tại điểm} M0 có phương trình là

A. 1.

y 2x

  B. 1.

2 2

y  x 

   C. yx  1. D. 1.

2 2

y  x 

    Lời giải:

Áp dụng lý thuyết: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm ^{M x y}



₀^, ₀



^{có dạng:}

 

0 0

  

0

y f x x x  f x Ta có: . ^{2 1}.

y 2 x

 ^

  Tiếp tuyến của

 

^{C tại điểm} M0 có phương trình là:

 

^{1 1}

  

^{1 .12 1}



¹



^{12 1}

2 2 2

y y x y y x y x

 

 ^  

             Chọn đáp án B.

Ví dụ 14 [THPT Ngô Quyền – 2017] : Cho hàm số

   

 

2

3 2 3

3 1

8 3 8 1

8

a a a

f a

a a a





 



với a0,a1. Giá trị



^20172018



M f bằng

A. 2017²⁰¹⁸1. B. 2017¹⁰⁰⁹. C. 2017¹⁰⁰⁹1. D. 2017¹⁰⁰⁹1.

Lời giải:

Ta có:

 

2 2 1

3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 1

3 3 3 3 3 3 3 3 0

1 3 1 1 1 3 1 1 1

1 3 1

8 8 8 8 8 8 8 8 2 0

8 8 8

1 1.

1 a a a

a a a a a a a a a

f a a

a a a

a a a a a a

a a a



  

   

 

  

     

 

        

        

 

 

Suy ra: ^{M f}



^20172018



^{  20172018   1 20171009 1} Chọn đáp án D.

Ví dụ 15: Đường thẳng x ( là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số ^{y f x}

 

^{x14 và}

 

¹⁵

yg x x lần lượt tại hai điểm A và B. Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0  1. B. 1. C. ¹ 4.

5  D. ¹ 5.

4 

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan

Lời giải:

Vì tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B nên

   

^{14 15}

1 1

4 5 0 1.

f  g    ^   

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 16: Cho hàm số ^yx41



^{10x x}



^{, 0}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

^{0; 2 .}

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng



^5;



^.

C.Hàm số đồng biến trên khoảng



^2;



^.

D.Hàm số không có điểm cực trị nào.

Lời giải:

Ta có: ¹₄ ⁵₄ ³₄ ¹₄

 

3 4

1 5 5 2

10 10. .

4 4

4

y x x y x x x

x

 

     

Khi đó:

 

3 4

5 2 0 2.

4

y x x

x

      Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng



^2;



^.

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng



^{5; }



Chọn đáp án B.

Ví dụ 17: Tìm các điểm cực trị của hàm số

3 1

4 2 4, 0.

yx  x x

A. x1. B. ².

x3 C. ⁴.

x9 C. ².

x 3 Lời giải:

Ta có:

1 3 3 1

4 4 4 2

4 3

3 2 1 3 2

3 2 .

4 4 4 4

y x x x x x

x

     

      

 

Khi đó: 0 3 2 0 ⁴.

y   x   x 9 Vì y đổi dấu khi đi qua điểm ⁴

x 9 nên hàm số có một điểm cực trị là ⁴

x 9 Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y ⁴1 x ⁴1x. A. maxy2 2; miny⁴ 2. B. maxy2; miny0.

C. maxy2 2; miny0. D. maxy2; miny⁴ 2.

Lời giải:

TXĐ: D  1;1 .

Ta có: ^{y 41 x 41  x}



^{1 x}

 

^{41 1 x}



^14.

Đạo hàm:

     

     

3 3

4 4

3 3

4 4

1 1 1 1

1 . 1 1 , 1;1 .

4 4 4 1 4 1

y x x x

x x

  

         

 

Khi đó: ^{y  0 4}



^1x



^{3 44}



^1x



^{3  }



^{1 x}

 

^{3  1 x}



³      ^{1 x 1 x x 0.}

Ta lại có:

   

^{1 1 4 2;}

 

^{0 2 max} ₄²

min 2

y y y y

y

 

     

  Chọn đáp án D.

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

Ví dụ 19 [THPT Chuyên Sơn La – 2017]: Cho 4^x4^x 7. Biểu thức 5 2 2 8 4.2 4.2

x x

x x

P





 

   có giá trị bằng

A. ³.

P 2 B. ⁵.

P 2 C. P2. D. P 2.

Lời giải:

Ta có: ^{4x4x  7}

 

^{2x 2 2}

 

^{2x 2  9}

 

^{2x 22.2 .2x x}

 

^{2x 2 9}

^



^2x2x



^{2  9 2x 2x 2x 2x 3.}

Khi đó:

 

 

5 2 2

5 2 2 5 3

8 4.3 2

8 4.2 4.2 8 4 2 2

x x

x x

x x x x

P

 

 

 

  

     

     Chọn đáp án D.

Bài tập tương tự [THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2017]: Biết rằng 3^x3^x 4. Tính giá trị của biểu thức

27 3 3 4 9 9 .

x x

x x

T





 

 

A. T4. B. T 9. C. ¹⁵.

T 4 D. T4.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 20: Biết rằng biểu thức P^1.2.3a^2.3.4a^3.4.5a...^{n n 1 n2}a (trong đó n ^*,n3) được biểu diễn dưới dạng lũy thừa là

65

a264. Tính giá trị của n?

A. n100. B. n10. C. n90. D. n20.

Lời giải:

Ta có: P a ^k với ^{k1.2.31 2.3.41  ... n n}



^11



^n2



^.

Suy ra:

     

3 1 4 2 2 1 1

2 ...

1.2.3 2.3.4 1 2 1.2 1 2

n n

k n n n n n

   

     

   

Khi đó:

  

65

264 65 1 1 130

264 2 1.2 1 2 264

P ak a k k

n n

       

 

       

 

1 130 1 1 10

1 2 132 .

264 2 132

1 2 13

n tm

n n

n n n loai

   

         

    

Vậy n10 Chọn đáp án B.

Cách khác:

Ta có: P a ^k với

  

¹

  

1 1 1 1

... .

1.2.3 2.3.4 1 2 1 2

n

X

k n n n  X X X

    

 



 

 Nhập vào máy tính cầm tay:

  

100

1

1

1 2

X X X X



^{ta được}

kết quả: ²⁵⁷⁵ 10302

65

 264 Loại A.

 Bấm ! và sửa biểu thức lại thành:

  

100

1

1

1 2

X X X X



ta được kết quả: ⁶⁵

264 Chọn đáp án B.

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan

Ví dụ 21 [S D ĐT Hà Nội – Lần 1 – 2017]:

Cho

 

^{2  2}

1 1

1 x x 1

f x e

 

  . Biết rằng ^f

      

^{1 .f 2 .f 3 ...f 2017}



^{emn với m n,} là cá số tự nhiên và ^m n tối giản. Tính m n ².

A. m n ² 2018. B. m n ² 1. C. m n ²  2018. D. m n ²  1.

Lời giải:

Ta có:

 

 

   

   

2 2

2 2 2

2 2

1 1

1 1 1 1 1

1 1 .

1

1 1

1

x x x x x x

g x x x x x x x x x

     

       

  



Suy ra:

     

^{1 2 3 ...}



²⁰¹⁷



^{1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 2018 1 .}

2 2 2 3 2017 2018 2018

g g g  g            

Khi đó

       

     1 2 3 ... 2017 ²⁰¹⁸ 2018^{1 2018}2018^{2 1} 2018² 1

1 . 2 . 3 ... 2017 .

2018

m

g g g g n m

f f f f e e e e

n

 

      

     

  Vậy m n ² 2018² 1 2018²   1 Chọn đáp án D.

Ví dụ 22: Giả sử a và b là các số thực thỏa mãn 3.2^a2^b7 2 và 5.2^a2^b 9 2. Tính a b .

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Lời giải:

Đặt: ² 2

a b

x y

 

 



3 7 2 2 2

5 9 2 2

x y x

x y y

    

 

 

  

 

 

3

2 2 2 2 2

2 2 1

2

a b

a

a b b

 

  

 

     

  

 



Chọn đáp án B.

Ví dụ 23: Cho x y z, , là ba số thực khác 0 thỏa mãn 2^x 5^y 10^z. Tính A xy yz zx   .

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải:

Ta có: 2^x 5^y 10^z t.

1

1

1

2 5 10

x

y

z

t t

t^

 



 

 



. Và:

1 1 1

2.5 10 t t^x. ^y t^z 1 1 1

0 xy yz zx 0 x y z

        .

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 24: Cho hai số thực ,a b thỏa mãn a0, 0 b 2. Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức

 

 

²

2 2 2

2 . 2

a a a

a a a

b b

P b b

  



A. _min ⁹.

P 4 B. _min ⁷.

P 4 C. _min ¹³.

P  4 D. P_min 4.

Lời giải:

Đặt x2^a 1,y b ^ax khi đó ta có

 

^{2 22 1 2 12 1}

1

xy x y x x

P x y y y x y

y

   

       

     

  

 

.

Đặt x 1

y  t ta có

 

 

^{t1 2 2t 1}

P f t t

   

 và ta tìm được _min ¹³

P  4  Chọn đáp án C.

ht tps: //ww w .face b ook. com /Th ayCao T uan

Ví dụ 25: Cho các số thực ,a b thỏa mãn điều kiện: a²³ a b^{4 2}  b² ³ a b^{2 4} 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P a b  . Xác định tích Mm?

A. ¹.

2 B. 2. C. 1. D. ¹.

2 Lời giải:

Ta có: a²³a b^{4 2}  b²³a b^{2 4} 1

3 3 3 3

2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1

a a b b a b a b a a b b a b a b

        

 

²

3 3 3 3

2 4 2 2 2 4 4 2 2 4

3 3

2 4 2 2 2 4

2 1

3 3 1

a a b b a b a b a b

a a b b a b

      

    



^{3 a2 3b2}



^{3 1 3a2 3 b2 1}

     

2 2

1 x y

   với x³ a y; ³ b.

Khi đó: ^



^x2y2



^{   P a b x3y3 x2y2.}

Do đó 1

1 1

M Mm

m

 

   

  

 Chọn đáp án C.

ht tps: //ww w .faceb ook. com /Th ayCao T uan D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

Câu 1. [THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 1 – 2017] Cho các số thực ^{a, b,}



^{a b 0, 1}



^{. Mệnh đề}

nào sau đây đúng?

A. a a .

b b

 



  

   B.



^{a b}



^{ a b. C.}



^{a b}



^{ ab. D.}

 

^{ab  a b .}

Câu 2. [THPT Ngô ia Tự – Lần 1 – 2017] Cho a b, 0; m n,  ^*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. .

n

nam am B. . .

n

nabm a bm C. ⁿa^m a^{m n} . D.

1 1

. .

nam am n

Câu 3. [S DĐT Hà Nam – Lần 1 – 2017] Với các số thực , a b bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. e^abe e^a. .^b B. e^{a b}  e^a e^b. C. e^{a b} e e^a. .^b D. e^ab e^a e^b.

Câu 4. [THPT Ngô ia Tự – Lần 1 – 2017] Cho a b, 0;  ,  . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

 

^{a b.  a b. . B. a b.  }

 

^{ab   . C.}

 

^{a 1 a, 0.D. a a .}

a

  



 

Câu 5. [THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 4 – 2017] Cho , a b là các số thực dương và x y, là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a^{x y} a^x a^y. B. . .

x

x x

a a b b

   

   C. ^{a bx. y }

 

^{ab xy. D.}



^{a b}



^{x ax bx.}

Câu 6. [THPT Lạng iang – Lần 1 – 2017] Khẳng định nào sau đây đúng : A. a^<