LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT LẦN 2 MÔN TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ, NĂM 2020
- 2021
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 5x+ 4
trên R\ ß
−4 5
™ . A.
Z
f(x) dx = 1 5
ln|5x+ 4|+C. B. Z
f(x) dx = 1 ln 5
ln|5x+ 4|+C. C.
Z
f(x) dx = ln|5x+ 4|+C. D. Z
f(x) dx = 1 5
ln(5x+ 4) +C.
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sốy =f(x) trên D nếu
A. f(x)≤ M, ∀x ∈D.
B. f(x)≤ M, ∀x ∈D và ∃x0 ∈D sao cho f(x0) =M. C. f(x)≥ M, ∀x ∈D.
D. f(x)≥ M, ∀x ∈D và ∃x
0 ∈D sao cho f(x
0) =M. Câu 3. Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau
x f0(x)
f(x)
−∞ −1 3 +∞
+ 0 −
0 +
−∞
−∞
5 5
1 1
+∞ +∞
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−1; 3). B. (1; 5). C. (3; +∞). D. (0; 4).
Câu 4. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R?
A. y =
3x+ 1 x+ 2
. B. y =x3−2x2+ 6x −1.
C. y = tanx+ 2. D. y =
√x3+ 2x. Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y = 3
x −log x2+ 1
. A. y0 = 3
x
ln 3−2xln 10 x2+ 1
. B. y0 = 3
x
ln 3− 2x (x2+ 1) ln 10
. C. y0 =
3
x
ln 3
− x2+ 1 ln 10
. D. y0 =
3
x
ln 3
− 1
(x2+ 1) ln 10 .
Câu 6. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
√x, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 4 quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây?
A. V =π Z4
1
√xdx. B. V = Z4 1
√x
dx. C. V =π2 Z4
1
xdx. D. V =π Z4
1
xdx.
Câu 7. Tính thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng 5 cm và diện tích đáy bằng 12 cm
2
.
A. V = 40 cm
3
. B. V = 60 cm
3
. C. V = 20 cm
3
. D. V = 30 cm
3
. Câu 8. Tìm tập nghiệm của phương trình sinx = 0.
A. S ={k2π, k ∈Z}. B. S ={π+k2π, k ∈Z}. C. S ={kπ, k ∈Z}. D. S ={π
2
+kπ, k ∈Z}. Câu 9. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f0(x) = x2(2x −1)
2
(x + 1). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 10. Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(−2; 0; 0),B(0; 3; 0) vàC(0; 0; 4). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
A. x 2
+ y 3
+ z
−4
= 1. B. x 2
+ y 3
+ z 4
= 1. C. x 2
+ y
−3 +
z 4
= 1. D. x
−2 +
y 3
+ z 4
= 1.
Câu 11. Cho khối trụ có bán kính đáy là r = 5 và chiều cao là h = 3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 75π. B. 30π. C. 25π. D. 5π. Câu 12. Tìm tập xác định của hàm sốy = x2−1
−3
. A. (−∞;−1)∪(1; +∞). B. (1; +∞).
C. R\ {±1}. D. (−∞;−1).
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho
#»a = (2; 3; 2) và
#»b = (1; 1;−1). Véc-tơ
a −#» #»b có tọa độ là
A. (−1;−2; 3). B. (3; 5; 1). C. (1; 2; 3). D. (3; 4; 1).
Câu 14. Số phức liên hợp của số phứcz= 3 + 5i là
A. z = 5−3i. B. z= 3−5i. C. z=−3−5i. D. z=−3 + 5i. Câu 15. Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x+ 3z −1 = 0. Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của (α)?
A.
#»n = (−2; 0;−3). B.
n#»= (2; 3;−1). C.
n#»= (2; 3; 0). D.
n#»= (2; 0;−3).
Câu 16. Cắt hình trụ (T) bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 10. Diện tích xung quanh của (T) bằng
A. 150π. B. 50π. C. 200π. D. 100π. Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho
#»u = (1; 2; 3),
#»v = (0;−1; 1). Tìm tọa độ của véc-tơ [
u ,#» #»v].
A. (5;−1;−1). B. (−1;−1; 5). C. (5; 1;−1). D. (−1;−1;−1).
Câu 18.
Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y = ax, y = bx, y = cx được cho trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. c < a < b. B. b < c < a. C. a < c < b. D. a < b < c.
x y
O y=ax
y=bx
y=cx
1
Câu 19. Cho khối nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón bằng
A.
2πa3 3
. B.
πa3 3
. C. 2πa3. D.
4πa3 3
.
Câu 20. Có bao nhiêu cách chọn ra k đồ vật từ n đồ vật phân biệt cho trước (k, n ∈ N∗, 0≤ k ≤ n)?
A. k(k+ 1)· · · n. B. C
kn. C. A
kn. D. (n − k)!.
Câu 21. Đồ thị hàm sốy =
x2−3x x2−6x+ 9
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 22. Có bao nhiêu số phức z có mô-đun bằng 2 và thỏa mãn |z −3 + 4i|= 3.
A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.
Câu 23.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = 2x2, y2 = 4x có đồ thị được minh họa trong hình bên.
A. S = 4 3
. B. S = 2 3
. C. S = 2π
3
. D. S = 4π
3 .
x y
O 1
2
Câu 24. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có O, O0 lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A0B0C0D0. Góc giữa hai mặt phẳng (A0BD) và (ABCD) bằng
A. A’0OA. B. OA’0A. C. A’0DA. D. A÷0OC.
Câu 25. Cho dãy số (un) với un= 3n −1, n ∈N∗. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
A. 15200. B. 14750. C. −4750. D. 15050.
Câu 26. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0. Số đo của góc giữa hai mặt phẳng (BA0C) và (DA0C) bằng
A. 90
◦
. B. 60
◦
. C. 30
◦
. D. 45
◦
.
Câu 27. Gọi (C) là đường cong trong mặt phẳng phức Oxy biểu diễn số phứcz thỏa mãn z · z+|z − z|2 = 1 và H là hình phẳng giới hạn bởi (C). Diện tích hình phẳngH bằng
A.
√
5π. B. 2
√
5π. C.
√π 5
. D.
2π
√ 5
.
Câu 28. Biết rằng đồ thị của hàm số y =−x3+ 3x2+ 5 có hai điểm cực trị A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB = 10
√
2. B. AB= 2
√
5. C. AB= 3
√
2. D. AB = 2
√ 3.
Câu 29. Dãy số (un) nào sau đây là dãy số giảm?
A. un = sinn. B. un =
−1 2n+ 1
. C. un= 1
n −1. D. un=
n2−1 n . Câu 30. Cho sin 2α=−4
√ 5 9
. Tính P = sin
4α+ cos
4α. A.
121 81
. B.
1 81
. C.
161 81
. D.
41 81 .
Câu 31. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB =a, cạnh bên bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnhBC. Tính thể tích của khối lăng trụABC.A0B0C0.
A. a3√
14 12
. B.
a3√ 2 2
. C.
a3√ 2 6
. D.
a3√ 14 4
.
Câu 32. Trong không gianOxyz, mặt cầu tâmI(1; 2;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : 2x−
2y − z −8 = 0 có phương trình là A. (S) : (x −1)
2
+ (y −2)
2
+ (z+ 1)
2
= 9. B. (S) : (x+ 1)
2
+ (y+ 2)
2
+ (z −1)
2
= 3.
C. (S) : (x −1)
2
+ (y −2)
2
+ (z+ 1)
2
= 3. D. (S) : (x+ 1)
2
+ (y+ 2)
2
+ (z −1)
2
= 9.
Câu 33. Cho tích phân I =
π
Z2 0
√
2 + cosx ·sinxdx. Nếu đặt t = 2 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng?
A. I = Z3
2
√
tdt. B. I = 2 Z3
2
√
tdt. C. I =
π
Z2 0
√
tdt. D. I = Z2 3
√ tdt. Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình log
2
2x −5 log2x + 6 ≤ 0 là S = [a;b]. Tính 2a+b.
A. 16. B. 7. C. −8. D. 8.
Câu 35. Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng số tiền gốc và tiền lãi của tháng trước đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn.
A. 24 tháng. B. 22 tháng. C. 30 tháng. D. 21 tháng.
Câu 36. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích V. Gọi G là trọng tâm tam giác A0B0C0,M là tâm của mặt bên ABB0A0. Tính thể tích khối tứ diện GMBC theo V.
A. 1 6
V. B.
2 9
V. C.
1 9
V. D.
1 3
V.
Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1;−2), B(3;−1; 0) và đường thẳng d:
x+ 1 1
= y 1
= z −1
−1
. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc d và (S) đi qua hai điểmA,B. Giả sửI(a;b;c), tính a2+b2− c.
A. 3. B. 1. C. 9. D. 7.
Câu 38. Cho số phức z =x+yi (x, y ∈ R) thỏa mãn |x+y| ≤ 2 và |2x − y| ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất củaP = 2020x −2021y.
A. −2102. B. −5389. C. −2693. D. −3214.
Câu 39. Gọi S là tập hợp các giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x2+x − m)
2
trên đoạn [−2; 2] bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợpS bằng A.
23 2
. B. −23
4
. C.
41 4
. D.
23 4
.
Câu 40. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) = f(5 − x), ∀x ∈ R. Biết Z3
2
f(x) dx = 2. Tính I = Z3 2
xf(x) dx.
A. 15. B. 5. C. 20. D. 10.
Câu 41. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có bán kính 1 (hình trụ nội tiếp trong mặt cầu là hình trụ có hai đường tròn đáy thuộc mặt cầu).
A.
√ 3 9
π. B.
4
√ 3 9
π. C.
2
√ 3 9
π. D.
2
√ 3 3
π. Câu 42. Cho hàm số y =
x2+mx −1 x −1
có đồ thị (C) (m là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị của m để đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao
cho OA ⊥ OB bằng
A. 5. B. 4. C. 3. D. 12.
Câu 43. Cho hàm số y = −x3+ 3x2 có đồ thị (C). Gọi d
1, d
2 là hai tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳngx −9y+ 2021 = 0. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1, d
2. A. 4
√
2. B. 8
√
2. C.
√32 82
. D.
√16 82
.
Câu 44. Hộp thứ nhất chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp thứ hai chứa 2 bi đỏ và 5 bi xanh.
Chuyển ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai ra. Tính xác suất để viên bi được lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ.
A. 3 7
. B.
17 56
. C.
2 7
. D.
9 56
. Câu 45. Giả sửx
0 là nghiệm thực của phương trình 2021·2
−cosx
= logπx2021+ logxπ2021. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. x0 ∈(2π; 4π). B. x0 ∈(0; 2π). C. x0 ∈(4π; 6π). D. x0 ∈(−2π; 0).
Câu 46. GọiS là tập hợp các cặp số thực (x;y) thỏa mãn đẳng thức sau đây 2
2x−y+1
+ 2
−2x+y+1
+ 3
2x−y+1
+ 3
−2x+y+1
= 5
2x−y+1
+ 5
−2x+y+1
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y2 + 2021x −3 với (x;y) ∈ S đạt được tại (x
0;y
0). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x0 ∈(0; 100). B. x0 ∈(−200;−100).
C. x
0 ∈(−100; 0). D. x
0 ∈(−300;−200).
Câu 47. Cho hàm sốf(x) có đạo hàm liên tục trênRthỏa mãnf0(x) =f(x) + e
x·cos 2021x và f(0) = 0. Đồ thị hàm số y =f(x) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn [−1; 1]?
A. 4043. B. 3. C. 1. D. 1287.
Câu 48. Cho hàm số y =
x2−2m(m+ 1)x+ 2m3+m2+ 1
x − m có đồ thị (Cm) (m là tham số thực). Gọi A là điểm thỏa mãn vừa là điểm cực đại của (Cm) ứng với một giá trị m vừa là điểm cực tiểu của (Cm) ứng với giá trị khác của m. Giá trị củaa để khoảng cách từ Ađến đường thẳng (d) : x −(a+ 1)y+a = 0 đạt giá trị lớn nhất là
A. a =−3. B. a= 10
3
. C. a=−10
3
. D. a = 3.
Câu 49. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có mặt bênABB0A0 là hình thoi cạnh a, A’0AB = 120
◦
và A0C = BC = a√
3, AC =
√ 10 2
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0B và AC.
A.
√ 10 10
a. B.
3
√ 10 10
a. C.
√ 10 20
a. D.
3
√ 10 20
a.
Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;−2; 4), B(−2; 6; 4) và đường thẳng d:
x= 5 y =−1 z=t
. Gọi M là điểm di động thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho AMB’ = 90
◦
và N là điểm di động thuộcd. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.
A. 2. B. 8. C.
√
73. D. 5
√ 3.
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. C 13. C 14. B 15. A 16. D 17. A 18. C 19. A 20. B 21. D 22. A 23. B 24. A 25. D 26. B 27. C 28. B 29. C 30. B 31. D 32. A 33. A 34. A 35. D 36. C 37. A 38. B 39. D 40. B 41. B 42. C 43. C 44. B 45. B 46. D 47. D 48. C 49. D 50. A
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Ta có
Z
f(x) dx = 1 5
ln|5x+ 4|+C.
Chọn đáp án A
Câu 2.
Chọn đáp án B
Câu 3. Hàm số nghịch biến trên (−1; 3).
Chọn đáp án A
Câu 4.
• Các hàm số y =
3x+ 1 x+ 2
, y = tanx+ 2, y =
√x3+ 2x có tập xác định đều khác tập R nên không thể đồng biến trên R.
• Hàm số y =x3−2x2+ 6x −1 xác định trên R và y0 = 3x2−4x+ 6, có ∆
0
= 4−18 =
−14<0 nên y0 >0 với mọi x ∈R. Do đó hàm số đồng biến trên R.
Chọn đáp án B
Câu 5. Ta có y0 = 3
x
ln 3− 2x (x2+ 1) ln 10
.
Chọn đáp án B
Câu 6. V =π
b
Z
a
f2(x) dx =π Z4
1
xdx.
Chọn đáp án D
Câu 7. V = 1 3
· h · S
đáy = 1 3
·5·12 = 20 cm
3
.
Chọn đáp án C
Câu 8. Ta có sinx = 0⇔ x =kπ, k ∈Z.
Chọn đáp án C
Câu 9. Ta cóx2(2x −1)
2 ≥0, ∀x ∈R, nên f0(x) chỉ đổi dấu khi qua x=−1. Do đó hàm số chỉ có 1 điểm cực trị x=−1.
Chọn đáp án B
Câu 10. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là x
−2 +
y 3
+ z 4
= 1.
Chọn đáp án D
Câu 11. V
trụ =h · S
đáy = 3· π ·5
2
= 75π.
Chọn đáp án A
Câu 12. Điều kiện xác định x2−1 6= 0⇔ x 6=±1.
Chọn đáp án C
Câu 13. #»a − #»b = (2−1; 3−1; 2 + 1) = (1; 2; 3).
Chọn đáp án C
Câu 14. Số phức liên hợp của số phức z= 3 + 5i là z = 3−5i.
Chọn đáp án B
Câu 15. #»v = (2; 0; 3) là một véc-tơ pháp tuyến của (α) nên
n#» = (−2; 0;−3) =−#»v cũng là một véc-tơ pháp tuyến của (α).
Chọn đáp án A
Câu 16.
Ta cóh= 10, r= 10
2
= 5 nên S
xq =h ·2π · r = 100π.
r h
Chọn đáp án D
Câu 17. [
#»u;
#»v] = (5;−1;−1).
Chọn đáp án A
Câu 18.
Từ đồ thị suy ra hàm sốy =ax nghịch biếnÑ0< a < 1 và hàm số y =bx, y =cx đồng biến Ñ b, c >1.
Đường thẳng x = 1 cắt đồ thị y =ax, y = bx, y =cx lần lượt tại các điểm có tung độ là a, b, c.
Từ đồ thị suy ra 0< a < 1< c < b.
x y
O y=ax
y=bx
y=cx
1 a c b
1
Chọn đáp án C
Câu 19. V = 1 3
· h · S
đáy = 1 3
·2a · π · a2 = 2πa3
3 .
Chọn đáp án A
Câu 20. Có C
kn cách chọn ra k đồ vật từ nđồ vật phân biệt cho trước.
Chọn đáp án B
Câu 21. Tập xác định D =R\ {3}. Ta có lim
x→+∞y = lim
x→−∞y = 1 nên đồ thị có một đường tiệm cận ngang y = 1.
Lại có lim
x→3+
y = lim
x→3+
x x −3
= +∞, lim
x→3
−y = lim
x→3
−
x x −3
= −∞. Do đó đồ thị có một đường tiệm cận đứngx = 3.
Chọn đáp án D
Câu 22.
Gọi M là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng phứcOxy.
Ta có số phức z có mô-đun bằng 2 nên M nằm trên đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R= 2.
Lại có|z −3 + 4i|= 3 nên M cũng nằm trên đường tròn tâmI(3;−4) bán kính R0 = 3.
MàOI = 5 =R+R0 nên hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài.
O R
M R0
I
Nghĩa là có duy nhất một điểmM nằm trên cả hai đường tròn, tức là có đúng một số phức z thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án A
Câu 23. Ta có đường parabol có bề lõm hướng lên là đồ thị của hàm sốy = 2x2 và đường parabol có bề lõm hướng sang phải là đồ thị của y2 = 4x, trong đó nhánh phía trên là đồ thị hàm số y = 2
√x.
Do đó diện tích cần tính là S = Z1
0
2
√x −2x2 dx =
2 3 .
Chọn đáp án B
Câu 24.
Ta có (A0BD)∩(ABCD) =BD,BD ⊥(AA0O),4A0AOvuông tại A nên A’0OA < 90
◦
. Do đó góc giữa hai mặt phẳng (A0BD) và (ABCD) bằng A’0OA.
A B
O
A0
D0 C0
D C
B0
Chọn đáp án A
Câu 25. Ta có
S100 = 3(1 + 2 + 3 +· · ·+ 100)−100
= 3· (1 + 100)·100 2
−100
= 15050.
Chọn đáp án D
Câu 26.
Ta cóAD0 vuông góc với DA0 và DC nên AD0 vuông góc với (DA0C). Tương tự cũng có AB0 vuông góc với (BA0C).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (BA0C) và (DA0C) bằng góc giữa AD0 và AB0. Mà4AB0D0 đều nên D÷0AB0 = 60
◦
.
A B
D0 C0
A0
D C
B0
Chọn đáp án B
Câu 27. Giả sử z=x+yi, x, y ∈R. Ta có
z · z+|z − z|2 = 1
⇔ x2+y2+ 4y2 = 1
⇔ x2+ 5y2 = 1
⇔ x2 1
+ y2
1 5
= 1.
Do đó (C) là đường e-líp có trục lớn là 2a = 2·√
1 = 2, độ dài trục bé là 2b= 2·
… 1 5
=
√2 5
. Do đó diện tích hình (H) làS =a · b · π = 1· √1
5
· π=
√π 5
.
Chọn đáp án C
Câu 28. Ta có y0 =−3x2+ 6x, y0 = 0⇔
ñx= 0 Ñ y = 5 x= 2 Ñ y = 9. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(0; 5),B(2; 9).
Suy ra
# »
AB = (2; 4)Ñ AB= 2
√ 5.
Chọn đáp án B
Câu 29. Xét dãy số un = 1
n −1, với mọi n ∈N∗ ta có un
+1− un= 1 n+ 1
−1− 1
n + 1 =
−1 n(n+ 1)
<0.
Suy ra dãy un= 1
n −1 là dãy số giảm.
Chọn đáp án C
Câu 30. Ta có
P = sin
4α+ cos
4α
= Ä
sin
2α+ cos
2αä2
−2 sin
2αcos
2α
= 1− 1 2
sin
2
2α= 1− Ç
−4
√ 5 9
å2
= 1 81
.
Chọn đáp án B
Câu 31.
GọiH là trung điêm BC.
Ta có4ABC vuông cân tại A, AB=a nên BC =a√ 2, AH =
a√ 2 2
.
MàA0H ⊥(ABC) nên A0H =
√AA02− AH2 = a√
14 2
. VậyVlăng trụ =A0H · SABC =
a√ 14 2
·a2 2
= a3√
14 4
.
B0 C0
A
H A0
B C
Chọn đáp án D
Câu 32. Vì (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là R = d(I,(P)) =
|2−4 + 1−8| 3
= 3.
Do đó phương trình của (S) là (x −1)
2
+ (y −2)
2
+ (z+ 1)
2
= 9.
Chọn đáp án A
Câu 33. Đặt t = 2 + cosx Ñ dt =−sinxdx Ñsinxdx =−dt. Mà với x= 0 thì t = 3, vớix =
π 2
thì t = 2. Do đó
I =− Z2
3
√tdt = Z3
2
√tdt.
Chọn đáp án A
Câu 34. Bất phương trình tương đương với 2 ≤log2x ≤3 ⇔2
2 ≤ x ≤2
3 ⇔ x ∈[4; 8]. Do đóa = 4, b= 8 và 2a+b = 16.
Chọn đáp án A
Câu 35. Giả sử saux tháng người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, ta có
225≤200·(1 + 0,58%)
x ⇔ x ≥ log(1+0,58%)
225 200
≈20,37.
Mà ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn, nên cần tối thiểu 21 tháng.
Chọn đáp án D
Câu 36.
GọiN là trung điểm B0C0. Ta có
VG.MBC =
1 2
VG.A0BC = 1 2
VA0.BCG
= 1 2
· 2 3
VA0.BCN = 1 3
· 1 2
VA0.BCC0B0
= 1 6
(VABC.A0B0C0 − VA0.ABC)
= 1 6
· 2 3
VA0B0C0.ABC = 1 9
V .
A0
A M
B0
G N
B
C0
C
Chọn đáp án C
Câu 37. Phương trình tham số đường thẳng d:
x=−1 +t y =t z= 1− t.
ĐiểmI(−1 +t;t; 1− t)∈ d. Ta có
IA# » = (2−t; 1−t;−3 +t)Ñ IA = p
(2− t)2+ (1− t)2+ (−3 +t)2 Ñ IA2 = 3t2−12t+ 14.
IB# »= (4− t;−1− t;−1 +t)Ñ IB= p
(4− t)2+ (−1− t)2+ (−1 +t)2 Ñ IB2 = 3t2−8t+ 18.
Mặt cầu (S) đi qua hai điểmA, B nênIA =IB ⇔3t2−12t+ 14 = 3t2−8t + 18⇔ t =−1.
Suy raI(−2;−1; 2). Vậy a2+b2− c = (−2)
2
+ (−1)
2−2 = 3.
Chọn đáp án A
Câu 38. Ta có
®|x+y| ≤2
|2x − y| ≤ 3
⇔
®−2≤ x+y ≤2
−3≤2x − y ≤3. Cách 1:
Ta tìmm, nthỏa P = 2020x −2021y =m(x+y) +n(2x − y), ∀x, y ∈R.
Ta có
m(x+y) +n(2x − y) = 2020x −2021y
⇔ (m+ 2n)x+ (m − n)y = 2020x −2021y
⇔
®m+ 2n= 2020 m − n=−2021
⇔
®m=−674 n= 1347.
Khi đó P =−674(x+y) + 1347(2x − y).
Nhận xét
®x+y ≤2 2x − y ≥ −3
⇔
®−674(x+y)≥ −1348 1347(2x − y)≥ −4041.
Suy raP =−674(x+y) + 1347(2x − y)≥ −1348−4041 ⇔ P ≥ −5389.
Dấu “=” xảy ra khi
®x+y = 2 2x − y =−3
⇔
x=−1 3 y =
7 3 . Vậy minP =−5389.
Cách 2:
Vẽ các đường thẳng d
1: x+y = 2, d
2: x+y =−2,
d3: 2x − y= 3, d4: 2x − y =−3 trên cùng hệ trục tọa độ.
GọiA là giao điểm của d1 và d3. Suy raA Å
5 3
; 1 3
ã . GọiB là giao điểm của d
1 và d
4. Suy raB Å
−1 3
; 7 3
ã . GọiC là giao điểm củad
2 và d
3. Suy ra C Å
1 3
;−7 3
ã . GọiD là giao điểm của d
2 và d
4. Suy ra D Å
−5 3
;−1 3
ã .
d
1
d
2 d3
d4 A B
C
D x
y
−2 O 1 2
−2 1
Lần lượt thay tọa độA, B,C,D vào biểu thứcP = 2020x −2021y ta được
• Với A Å
5 3
; 1 3
ã
thì P = 2020·5 3
−2021·1 3
= 2693.
• Với B Å
−1 3
; 7 3
ã
thì P = 2020· −1 3
−2021·7 3
=−5389.
• Với C Å
1 3
;−7 3
ã
thì P = 2020· 1 3
+ 2021· 7 3
= 5389.
• Với D Å
−5 3
;−1 3
ã
thì P = 2020· −5 3
+ 2021· 1 3
=−2693.
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là −5389 xảy ra khi x =−1 3
, y = 7 3 .
Chọn đáp án B
Câu 39. Hàm số y xác định và liên tục trên [−2; 2].
Đặt t =x2+x Ñ t0 = 2x+ 1 vàt0 = 0⇔ x =−1 2 . Bảng biến thiên
x t0
t
−2 −1
2
2
− 0 +
2 2
−1 4
−1 4
6 6
Khi đó ta cóy =g(t) = (t − m)
2
vớit ∈ ï
−1 4
; 6 ò
, ïmin
−1 4
;6
òg(t) = 4.
Ta xét các trường hợp sau
• Với m ∈ ï
−1 4
; 6 ò
.
Bảng biến thiên của hàm g(t)
t g0(t)
g(t)
−1 4
m 6
− 0 +
g Å
−1 4 ã g
Å
−1 4 ã
g(m) g(m)
g(6) g(6)
Khi đó ïmin
−1 4
;6
òg(t) =g(m) = 0. (loại)
• Với m < −1 4 .
Bảng biến thiên của hàm g(t)
t g0(t)
g(t)
−1 4
6 +
g Å
−1 4 ã g
Å
−1 4 ã
g(6) g(6)
Khi đó ïmin
−1 4
;6
òg(t) =g Å
−1 4
ã
⇔ Å
−1 4
− m ã2
= 4⇔
m =
7 4
(loại) m =−9
4
. (nhận)
• Với m >6.
Bảng biến thiên của hàm g(t)
t g0(t)
g(t)
−1 4
6
− g
Å
−1 4 ã g
Å
−1 4 ã
g(6) g(6)
Khi đó ïmin
−1 4
;6
òg(t) =g(6)⇔
(6− m)
2
= 4 ⇔
ñm= 4 (loại) m= 8. (nhận)
Do đóS = ß
−9 4
; 8
™ . Vậy−9
4
+ 8 = 23
4 .
Chọn đáp án D
Câu 40. Đặt t = 5− x Ñ
®x = 5− t dx =−dt.
Đổi cận: x= 2Ñ t = 3, x= 3 Ñ t = 2.
Khi đó
I = Z3
2
xf(x) dx =− Z2 3
(5− t)f(5− t) dt = Z3 2
(5− t)f(t) dt
= 5 Z3
2
f(t) dt − Z3
2
tf(t) dt = 5·2− I
Suy ra 2I = 10⇔ I = 5.
Chọn đáp án B
Câu 41.
GọiI là tâm mặt cầu bán kính R = 1.
Xét hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là H, H0; AB là đường kính đáy dưới hình trụ.
Hình trụ có bán kínhr =AH, chiều cao h=HH0. Đặt x =IH, (0< x <1).
Ta có r=AH =
√IA2− IH2 =
√
1− x2.
Thể tích khối trụ làVtrụ =πr2h=π(1− x2)·2x =πf(x).
Ta có f(x) =−2x3+ 2x,f0(x) =−6x2+ 2 và f0(x) = 0⇔ x =
√1 3
(vìx >0).
I H0
A0 B0
A B
H
Bảng biến thiên
x f0(x)
f(x) 0
√1 3
1
+ 0 −
0 0
4
√ 3 9 4
√ 3 9
0 0
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong mặt cầu bán kính 1 là V = 4
√ 3 9
π.
Chọn đáp án B
Câu 42. Điều kiện x 6= 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) x2+mx −1
x −1
=m ⇔ x2 = 1− m (1)
(C) cắt (d) tại hai điểm A, Bkhi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔1− m > 0⇔ m <1. Khi đó A(
√
1− m;m), B(−√
1− m;m) nên
# » OA = (
√
1− m;m),
# »
OB= (−√
1− m;m).
Ta có
OA ⊥ OB ⇔ # » OA · # »
OB= 0⇔ −(1− m) +m2 = 0 ⇔ m2+m −1 = 0⇔
m=
−1 +
√ 5 2 m=
−1−√ 5 2
.
Vậy
Ç−1 +
√ 5 2
å2
+
Ç−1−√ 5 2
å2
= 3.
Chọn đáp án C
Câu 43. Ta có y0 =−3x2+ 6x. Gọi (x
0;y
0) là tọa độ tiếp điểm.
Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳngx −9y+ 2021 = 0⇔ y = 1 9
x+ 2021
9 nên có hệ số góc là−9.
Do đóy0(x
0) =−9⇔ −3x2
0 + 6x
0 =−9 ⇔ ñx
0 = 3 x0 =−1.
• x0 = 3Ñ y
0 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (3; 0) d1: y =−9(x −3) + 0⇔ y =−9x+ 27.
• x0 =−1Ñ y
0 = 4. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (−1; 2) d2: y =−9(x+ 1) + 4⇔ y =−9x −5.
Khoảng cách giữa hai đường d
1 và d
2 là d(d
1, d
2) =
|27−(−5)|
√
92+ 12
=
√32 82
.
Chọn đáp án C
Câu 44. Ta có 2 trường hợp sau
• Trường hợp: 1 viên bi đỏ được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai.
Có 3 cách chuyển 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai. Lúc này hộp thứ hai có 3 bi đỏ và 5 bi xanh.
Xác suất để viên bi được lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ là 3 7
·3 8
= 9 56
.
• Trường hợp: 1 viên bi xanh được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai.
Có 4 cách chuyển 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai. Lúc này hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 6 bi xanh.
Xác suất để viên bi được lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ là 4 7
·2 8
= 1 7 . Vậy xác suất cần tìm là
9 56
+ 1 7
= 17 56 .
Chọn đáp án B
Câu 45. Điều kiện
®x >0 x 6= 1. Ta có 2021·2
−cosx
= logπx2021+ logxπ2021 ⇔2
−cosx
= logπx+ logxπ (1).
Vì 2
−cosx >0 nên logπx+ logxπ >0.
Lại có logπx và logxπ cùng dấu nên logπx >0, logxπ >0.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương logπx, logxπ ta được logπx+ logxπ ≥2
p
logπx ·logxπ= 2 Mặt khác 2
−cosx ≤2.
Do đó (1) ⇔
®
logπx+ logxπ = 2 2
−cosx
= 2
⇔
®
logπx = logxπ cosx=−1
⇔
®
logπx= 1
x =π+k2π ⇔ x = π ∈ (0; 2π).
Chọn đáp án B
Câu 46. Đặt a= 2x − y, phương trình trở thành 2(2
a
+ 2
−a
) + 3(3
a
+ 3
−a
) = 5(5
a
+ 5
−a
) (1).
Nhận xét: Nếu a là nghiệm của phương trình thì −a cũng là nghiệm của phương trình.
Do đó không mất tính tổng quát giả sử a ≥0.
Xét hàm số f(x) =x(xt +x−t) với x >1, t ≥0.
Ta có
f0(x) = (xt +x−t) +x(txt−1− tx−t−1) =xt +x−t+t(xt − x−t)
= xt +x−t+t
Åx2t −1 xt
ã
>0, ∀x >1.
Suy ra hàm sốf(x) đồng biến trên (1; +∞).
Do đó 2(2
a
+ 2
−a
)≤3(3
a
+ 3
−a
)≤5(5
a
+ 5
−a
)⇔ f(2)≤ f(3)≤ f(5).
Xét hàm h(t) =f(2) +f(3)− f(5) = 2(2
t
+ 2
−t
) + 3(3
t
+ 3
−t
)−5(5
t
+ 5
−t
) với t ≥0.
Ta cóh0(t) = 2(2
t −2
−t
) ln 2 + 3(3
t −3
−t
) ln 3−5(5
t −5
−t
) ln 5 và h00(t) = 2(2
t
+ 2
−t
) ln
2
2 + 3(3
t
+ 3
−t
) ln
2
3−5(5
t
+ 5
−t
) ln
2
5
= f(2) ln
2
2 +f(3) ln
2
3− f(5) ln
2
5
≤ f(5)(ln
2
2 + ln
2
3−ln
2
5)<0. Suy rah0(t) nghịch biến trên [0; +∞)
Ñ h0(t)≤ h0(0)⇔ h0(t)≤0. Do đó h(t) nghịch biến trên [0; +∞).
Suy rah(t)≤ h(0)⇔ h(t)≤0.
Khi đó h(t) = 0⇔ t = 0 ⇔ y= 2x.
Ta có P=y2−2021x −3 = 4x2+ 2021x −3 = 4 Å
x+ 2021
8 ã2
− 4084489 16
≥ −4084489 16
. VậyP nhỏ nhất khi x=−2021
8
∈(−300;−200).
Chọn đáp án D
Câu 47. Ta có
f0(x) =f(x) + e
x·cos 2021x
⇔ f0(x)− f(x) e
x = cos 2021x
⇔ (e
−x
)(f0(x)− f(x)) = cos 2021x
⇔ (e
−xf(x))
0
= cos 2021x
⇔ e
−xf(x) = Z
cos 2021x+C
⇔ e
−xf(x) = 1 2021
sin 2021x+C
Lại cóf(0) = 0⇔ 1 1021
sin(2021·0) +C= 0 ⇔ C= 0.
Do đóf(x) = 1 2021
e
x
sin 2021x.
Ta cóf(x) = 0⇔sin 2021x = 0⇔2021x =kπ ⇔ x = kπ 2021
. (k ∈Z) Mặt khác x ∈[−1; 1] nên −1≤ kπ
2021
≤1⇔ −2021
π ≤ k ≤ 2021 π . Do k ∈Z nênk ∈ {−643;−642;. . .; 642; 643}.
Vậy đồ thị hàm số y =f(x) cắt trục hoành tại 1287 điểm có hoành độ thuộc đoạn [−1; 1].
Chọn đáp án D
Câu 48. Tập xác định D =R\ {m}4.
Ta có y0 =
x2−2mx+ 2m2(m+ 1)−2m3− m2−1 (x − m)2
=
x2−2mx+m2−1 (x − m)2
=
g(x) (x − m)2
. Ta cóy0 = 0⇔ g(x) = 0⇔
ñx =m −1 x =m+ 1
⇔
ñm =x+ 1 m =x −1
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (Cm) có phương trình ∆ : y = 2x −2m(m+ 1).
Bảng biến thiên
![[ET] ĐỀ-THI-THỬ-TN12-LẦN-1-THPT-CHUYÊN-QUỐC-HỌC-HUẾ-2020-2021-GV.docx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)