Chuyên đề hàm số Mũ và Logarit – Bùi Quỹ - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARÍT

BÙI QUỸ

(2)

MỤC LỤC

1 Kiến thức cơ bản 3

1.1 Luỹ thừa . . . 3

1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên . . . 3

1.1.2 Căn bậc n . . . 3

1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ . . . 3

1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ . . . 3

1.1.5 Các tính chất . . . 4

1.2 Hàm số luỹ thừa . . . 4

1.2.1 Định nghĩa . . . 4

1.2.2 Tập xác định . . . 4

1.2.3 Đạo hàm . . . 4

1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y=x^α trên khoảng (0; +∞) . . . 4

1.2.5 Đồ thị . . . 5

1.3 Lôgarit . . . 5

1.3.1 Định nghĩa . . . 5

1.3.2 Các tính chất . . . 5

1.3.3 Các quy tắc tính . . . 5

1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên . . . 6

1.4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . 6

1.4.1 Hàm số mũ . . . 6

1.4.2 Hàm số lôgarit . . . 6

1.5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit . . . 7

1.5.1 Phương trình mũ . . . 7

1.5.2 Phương trình lôgarit . . . 7

1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit . . . 7

1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgarit . . . 7

2 Các dạng bài tập và phương pháp giải 8 2.1 Bài tập về luỹ thừa . . . 8

2.2 Bài tập về hàm số luỹ thừa . . . 11

2.3 Bài tập về lôgarit . . . 13

2.4 Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . 19

2.5 Bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit . . . 22

2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản . . . 23

2.5.2 Phương pháp đồ thị . . . 34

2.5.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . 35

2.5.4 Các phương pháp khác . . . 37

2.6 Bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit . . . 43

2.7 Bài tập về hệ phương trình mũ và hệ phương trình lôgarit . . . 46

(3)

§ 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 LUỸ THỪA

1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên Định nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:

Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương. Luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, được xác định như sau

aⁿ =a.a. . . . .a

| {z }

nthừa số

a∈R, n∈N^∗,

trong đó a gọi là cơ số,n gọi là số mũ.

• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:

Cho a >0, n∈N^∗. Khi đó

a⁰ = 1; a⁻ⁿ= 1 aⁿ. Chú ý. 0⁰ và 0⁻ⁿ không có nghĩa.

1.1.2 Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương n≥2. Số a được gọi là căn bậc n của số b, kí hiệu √ⁿ b nếu aⁿ=b.

Khi n lẻ, b ∈Rthì tồn tại duy nhất √ⁿ b;

Khi n chẵn thì

• với b <0: không tồn tại căn bậc n của b;

• với b= 0: có một căn là √ⁿ 0 = 0;

• với b >0: có hai căn là √ⁿ

b (dương) và −√ⁿ

b (âm).

1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a và số hữu tỉ r= m

n, trong đó m∈Z, b∈N^∗ và m

n là phân số tối giản. Khi đó, nếu

√n

a^m có nghĩa thì

a^r=a^mⁿ = √ⁿ a^m.

1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho số dương a, α là một số vô tỉ và (r_n) là một dãy số hửu tỉ sao cho lim

n→+∞r_n =α. Khi đó a^α = lim

n→+∞a^rⁿ.

(4)

1.1.5 Các tính chất Cho a, b >0;α, β ∈R. Khi đó

• a^α.a^β =a^α+β; (a^α)^β =a^αβ;

• (ab)^α =a^αb^α; a^α >0;

• a b

α

= a^α b^α; a^α

a^β =a^α⁻^β;

• Nếua >1 thì α > β khi và chỉ khi a^α > a^β;

• Nếu0< a < 1thì α > β khi và chỉ khi a^α < a^β.

1.2 HÀM SỐ LUỸ THỪA

1.2.1 Định nghĩa

Hàm số y=x^α, với α∈R, được gọi là hàm số luỹ thừa.

1.2.2 Tập xác định

Tập xác định D của hàm số luỹ thừa y =x^α tuỳ thuộc vào giá trị của α, cụ thể như sau:

• Nếuα nguyên dương thì D=R;

• Nếuα nguyên âm thì D=R\{0};

• Nếuα không nguyên thì (0; +∞

1.2.3 Đạo hàm

Hàm số y=x^α (α∈R) có đạo hàm với mọi x >0và (x^α)⁰ =αx^α⁻¹. Đối với hàm số hợp y=u^α, u=u(x), ta có (u^α)⁰ =αu^α⁻¹u⁰.

1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y=x^α trên khoảng (0; +∞) Ta có các tính chất sau

• Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1);

• Khi α >0hàm số luôn đồng biến, khi α <0 hàm số luôn nghịch biến;

• Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α <0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy.

(5)

1.2.5 Đồ thị

Đồ thị của hàm số luỹ thừa y=x^α trên khoảng(0; +∞)ứng với các giá trị khác nhau củaα(hình vẽ).

O y

1 x 1

α >1

α= 1

0< α <1 α = 1

α <0

1.3 LÔGARIT

1.3.1 Định nghĩa

Cho hai số a, b với a 6= 1. Số α thoả mãn đẳng thức a^α =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab. Như vậy

α= log_ab⇔ a^α =b (a, b >0, a6= 1). 1.3.2 Các tính chất

Với a >0, a6= 1, b >0, α∈R ta có

log_a1 = 0; log_aa= 1;

a^log^a^b =b; log_a(a^α) = α.

1.3.3 Các quy tắc tính

• Với a, b₁, b₂ >0, a6= 1, ta có

log_a(b₁b₂) = log_ab₁+ log_ab₂; log_ab₁

b₂ = log_ab₁−log_ab₂. Chú ý. Ta có log_a(b1b₂) = log_a|b₁|+ log_a|b₂|, nếu b₁, b₂ <0.

(6)

• Với a, b >0, a6= 1, α, β ∈R, n∈N^∗, ta có log_a1

b =−log_ab;

log_ab^α =αlog_ab; log_ab^2β = 2β.log_a|b|; log_a√ⁿ

b = 1

nlog_ab.

• Với a, b, c > 0, a6= 1, c6= 1, ta có log_ab = log_cb

log_ca; log_ab= 1

log_ba (b6= 1); log_ab = 0 (b= 1);

log_a^αb = 1

αlog_ab (α6= 0).

1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số10 được gọi là lôgarit thập phân. Ta thường viếtlog₁₀b làlgb hoặclogb. Lôgarit cơ sốe được gọi là lôgarit tự nhiên. Ta thường viết log_eb là lnb.

1.4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1.4.1 Hàm số mũ

• Hàm số y=a^x (a >0, a6= 1) được gọi là hàm sô mũ cơ số a.

• Hàm số y=a^x có đạo hàm tại mọix và (a^x)⁰ =a^xlna. Đặc biệt,(e^x)⁰ =e^x.

• Các tính chất

a) Tập xác định của hàm số mũ là R. b) Khia >1 hàm số luôn đồng biến.

Khi 0< a < 1hàm số luôn nghịch biến.

c) Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1),(1;a) và nằm phía trên trục hoành.

1.4.2 Hàm số lôgarit

• Hàm số y= log_ax(a >0, a6= 1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

• Hàm số lôgarit có đạo hàm tại mọix >0 và (log_ax)⁰ = 1 xlna. Đặc biệt,(lnx)⁰ = 1

x.

• Các tính chất

a) Tập xác định của hàm số lôgarit là(0; +∞);

(7)

b) Khi a >1thì hàm số luôn đồng biến;

Khi 0< a <1 thì hàm số luôn nghịch biến.

c) Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0),(a; 1)và nằm phía bên phải trục tung.

1.5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1.5.1 Phương trình mũ

• Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa.

• Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a^x =b (a >0, a6= 1). Nếu b≤0, phương trình vô nghiệm;

Nếu b >0, phương trình có nghiệm duy nhất x= log_ab.

1.5.2 Phương trình lôgarit

• Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.

• Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng log_ax=b (a >0, a6= 1).

Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x=a^b. 1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit

Hệ phương trình mũ là hệ phương trình có chứa ít nhất một phương trình mũ.

Hệ phương trình lôgarit là hệ phương trình có chưa ít nhất một phương trình lôgarit.

1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgarit

Bất phương trình mũ cơ bản có một trong các dạng

a^x > b; a^x ≥b; a^x < b; a^x ≤b, trong đó a >0, a6= 1.

Để giải bất phương trình mũ cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số mũ. Chẳng hạn giải bất phương trình a^x > b ta làm như sau:

Nếu b≤0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vìa^x >0 ∀x ∈R. Xét b >0, khi đó

Với a >1 thì a^x > b⇔a^x > a^log^a^b ⇔x >log_ab; Với 0< a <1thì a^x> b ⇔a^x > a^log^a^b ⇔x <log_ab.

Bất phương trình lôgarit cơ bản có một trong các dạng:

log_ax > b; log_ax≥b; log_ax < b; log_ax≤ b,

(8)

trong đó a >0, a6= 1.

Để giải bất phương trình lôgarit cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số lôgarit. Chẳng hạn giải bất phương trìnhlog_ax > b, ta làm như sau:

Với a >1, ta có log_ax > b⇔log_ax >log_aa^b ⇔x > a^b;

Với 0< a <1, ta có log_ax > b⇔log_ax >log_aa^b ⇔0< x < a^b.

§ 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 BÀI TẬP VỀ LUỸ THỪA

Đối với luỹ thừa, các dạng bài tập chủ yếu là: tính toán, rút gọn biểu thức, so sánh các số,...

Phương pháp giải. Đây đều là các bài tập đơn giản, để giải các bài tập này ta chỉ cần sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của luỹ thừa đã nêu ở mục trước.

Chú ý. Để so sánh các căn thức, ta thường đưa chúng về cùng một căn bậcn nào đó để so sánh (thông thườngn này là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số của các căn thức đó). Sau đây là các ví dụ.

Ví dụ 2.1. Rút gọn các biểu thức sau

a)A= (0,04)⁻^1,5−(0,125)⁻²³ ; b) B = 6⁻²⁷ ₋7

+

(0,2)^0,75₋4

; c)C = a^√⁵⁺³.a^√⁵⁽^√⁵⁻¹⁾

(a²^√²⁻¹)²^√²⁺¹ ; d) D=

a¹² −b¹²2

: b−2b

rb a + b²

a

(a, b > 0).

Lời giải. Ta có a)A= 1

5 2⁻₂³

− 2⁻³⁻₃²

= 5³−2² = 121.

b)B = 6²+ 1 5

³₄₋4

= 6²+ 5³ = 161.

c)C = a^√⁵⁺³.a^√⁵⁽^√⁵⁻¹⁾

(a²^√²⁻¹)²^√²⁺¹ = a^√⁵⁺³.a⁵⁻^√⁵

a⁽²^√²⁾²⁻¹² = a^√⁵⁺³⁺⁵⁻^√⁵ a⁸⁻¹ = a⁸

a⁷ =a.

d) Ta có

D=

a¹² −b¹²2

: b−2b

rb a +b²

a

= (√ a−√

b)² :bh 1−2

rb

a +r b a

2i

= (√ a−√

b)² :b

1−√ ba

2

= (√a−√ b)² b.√a−√

√ b a

2

= (√ a−√

b)² b.(√

a−√ b)² a

= a b.

Ví dụ 2.2. So sánh các cặp số sau a) √⁴

6 và √³5; b) √

10và √³30;

c) π 5

^√10−3

và1; d) e^√³⁺¹ và e^√⁷.

(9)

Lời giải. a) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 12, ta có

√4

6 = ¹²√

6³ = ¹²√ 216;

√3

5 = ¹²√

5⁴ = ¹²√ 625. Mà 216<625 nên √⁴

6<√³ 5.

b) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 6, ta có

√10 =√⁶

10³ =√⁶ 1000;

√3

30 =√⁶

30² =√⁶ 900.

Mà 1000>900 nên √

10>√³ 30.

c) Ta có

π 5

^√10−3

= π

5 ^√10

π 5

3 .

Lại có 0< π <5nên 0< π

5 <1và √

10>3, do đó π 5

^√10

<π 5

3

. Mà π

5 3

>0 nên

π 5

^√10−3

= π

5 ^√10

π 5

3 <1. d) So sánh √

3 + 1 và √

7, ta có (√

3 + 1)²−(√

7)² = 3 + 1 + 2√

3−7 = 2√ 3−3.

Hơn nữa

(2√

3)²−3² = 4.3−9 = 3>0.

Do đó √

3 + 1>√

7, mà e >1 nên e^√³⁺¹ > e^√⁷. Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức

a) A= a⁵² a¹² −a⁻²³

a¹² a⁻²¹ −a³², với a=π−3√ 2;

b) B = (√³ a+√³

b)

a²³ +b²³ −(ab)¹³

, với a= 7−√

2, b=√ 2 + 3.

Lời giải. a) Rút gọn A, ta có

A= a⁵²⁺¹² −a⁵²⁺⁻²³

a¹²⁺⁻¹² −a¹²⁺³² = a³−a

1−a² =−a.

Do đó

A=−(π−3√

2) = 3√ 2−π.

(10)

b) Rút gọn B, ta có

B = a¹³ +b¹³) a¹³2

−a¹³b¹³ + b¹³2

= a¹³3

+ b¹³3

=a+b.

Do đó

B = (7−√

2) + (√

2 + 3) = 10.

Bài tập tương tự.

Bài tập 2.1. Tính giá trị các biểu thức a) A= 4³⁺^√².2¹⁻^√².2⁻³⁻^√²;

b) B = 12³⁺^√⁵ 4²⁺^√⁵.3¹⁺^√⁵; c) C = 49¹⁺^√²−7²^√²

.7⁻¹⁻²^√². Đáp số. a)A = 16; b) B = 36; c) C= 48

7 . Bài tập 2.2. Đơn giản các biểu thức

a) A= ³ q

ap³

a√a, (a >0);

b) B = ⁷ s

a b

5

rb

a, (a, b6= 0);

c) C = a⁻³¹ +a²³

.a²³. a²³ −a⁻³¹

;

d) D= 1 + (a−1)(√a−√⁴ a+ 1)(√a+√⁴a+ 1)(a−√a+ 1), (a≥0).

Hướng dẫn. a)A =a¹³.a¹⁹.a¹⁶ =a¹¹¹⁸; b) B = a

b ¹₇

. b a

₃₅¹

= a b

¹₇ . a

b ⁻¹₃₅

= a b

¹₇₋₃₅¹

= a b

₃₅⁴

; c) C =a²³.h

a²³2

− a⁻³¹2i

=a²³. a⁴³ −a⁻³²

=a²−1;

d) Ta có

D= 1 + (a−1)[(√

a+ 1)²−(√⁴

a)²](a−√ a+ 1)

= 1 + (a−1)(a+√

a+ 1)(a−√ a+ 1)

= 1 + (a−1)[(a+ 1)²−(√ a)²]

= 1 + (a−1)(a²+a+ 1) = 1 + (a³−1) = a³. Bài tập 2.3. Tính giá trị các biểu thức

a) A=a¹³.a¹⁴.¹²√

a⁵ với a= 3,14;

(11)

b) B = a¹⁴ −a⁹⁴

a¹⁴ −a⁵⁴ −b⁻²¹ −b³²

b¹² +b⁻²¹ với a = 3−√

2, b=√ 2−2.

Đáp số. a) A=a= 3,14; b) B =a+b= 1.

Bài tập 2.4. So sánh các cặp số a) √³

10và √⁵

20; b) 1 e

^√8−3

và1;

c) 1 8

π

và 1 8

3,14

; d) 1 π

1,4

và π⁻^√². Hướng dẫn. a) √³

10 = ¹⁵√

10⁵ > ¹⁵√

20³ =√⁵ 20.

b) Vì 1

e <1 và √

8−3<0nên 1 e

^√8−3

>1.

c) Vì 1

8 <1 và π >3,14nên 1 8

π

<1 8

3,14

. d) Vì 1

π <1và 1,4<√

2 nên 1 π

1,4

> π⁻^√².

2.2 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA

Bài tập về hàm số luỹ thừa bao gồm các dạng như tìm tập xác định, tính đạo hàm, khảo sát vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa, so sánh các số dựa vào tính đơn điệu của hàm số luỹ thừa. Sau đây là các ví dụ.

Ví dụ 2.4. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số

a)y= (x³−8)^π³; b) y= (x² +x−6)⁻³¹.

Chú ý. Tập xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào cả số mũ và biểu thức chứa biến (cơ số) của hàm số đó, cụ thể

• Nếu số mũ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi cơ số là số thực;

• Nếu số mũ là 0hoặc số nguyên âm thì hàm số xác định khi cơ số khác 0;

• Nếu số mũ là hữu tỉ hoặc số thực thì hàm số xác định khi cơ số dương.

Trên cơ sở đó, ta dễ dàng có lời giải cho bài toán.

Lời giải. a) Hàm số y= (x³ −8)^π³ xác định khi và chỉ khi x⁸−8>0

⇔(x−2)(x²+ 2x+ 4)>0⇔x−2>0⇔x >2.

Vậy tập xác định của hàm số là (2; +∞).

Đạo hàm của hàm số là y⁰ = π

3.(x³−8)⁰.(x³−8)^π³⁻¹ = π

3.3x².(x³−8)^π³⁻¹ =x²(x³ −8)^π³⁻¹.

(12)

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x²+x−6>0⇔x <−3, hoặc x >= 2.

Vậy tập xác định của hàm số là (−∞;−3)∪(2; +∞).

Đạo hàm của hàm số là y⁰ = −1

3 .(x²+x−6)⁰.(x²+x−6)⁻¹³ ⁻¹ = −(2x+ 1)(x²+x−6)⁻³⁴

3 .

Ví dụ 2.5. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần a) 0,3^π; 0,3^0,5; 0,3²³; 0,3^3,15;

b) √

2^π; 1,8^π; 1

√2 π

;π^π.

Lời giải. a) Ta có cơ số a= 0,3<1 và 3,15> π > 2

3 >0,5nên thứ tự tăng dần là 0,3^3,15; 0,3^π; 0,3²³; 0,3^0,5.

b) Vì số mũπ > 0nên hàm số luỹ thừa y=x^π luôn đồng biến. Mặt khác

√1 2 <√

2<1,8< π, nên thứ tự tăng dần là

1

√2 π

;√

2^π; 1,8^π;π^π.

Bài tập tương tự.

Bài tập 2.5. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số a)y= (x² −3x−4)¹⁴; b) y= (2−x²)³⁵; c)y= (3x² −1)⁻²; d)y=√³

1−x.

Bài tập 2.6. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số y =x⁵ và y =x⁻⁵ trên cùng một hệ tọa độ.

Từ các đồ thị trên hãy suy ra các đồ thị hàm số

a) y=|x|⁵; b)y =|x⁻⁵|. Bài tập 2.7. Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần

a) 0,5⁻²³ ; 1,3⁻²³ ;π⁻²³ ;1 e

⁻₃²

; b) 5⁻²; 5⁻^0,7; 5¹³;1 5

2,2

.

Hướng dẫn. a)y =x⁻³² luôn nghịch biến; b) y= 5^x luôn đồng biến.

(13)

2.3 BÀI TẬP VỀ LÔGARIT

Bài tập về lôgarit bao gồm các dạng như tính toán các biểu thức lôgarit, so sánh các biểu thức chứa lôgarit, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức mũ, lôgarit,... Để giải các bài tập này, chúng ta chỉ cần sử dụng các qui tắc tính toán của lôgarit.

Ví dụ 2.6. Tính toán các biểu thức a) A= log¹

255√⁴

5; b) B = 9¹²^log³²⁻^{2 log}²⁷³; c) C = log₃log₂8; d) D= 2 log¹

3 6− 1 2log¹

3 400 + 3 log¹

3

√3 45.

Lời giải. a) A= log₅−25⁵⁴ =−1 2.5

4.log₅5 =−5 8. b) B = 9¹²^log³²⁻^{2 log}²⁷³ = 3^log³²⁻⁴³^log³³ = 2

3⁴³ = 2 3√³

3. c) C = log₃log₂8 = log₃log₂2³ = log₃3 = 1.

d) Ta có

D= log¹

3 6²−log¹

3 400¹² + log¹

3(√³ 45)³

= log¹

3 36−log¹

3 20 + log¹

3 45

= log¹

3

36.45

20 = log₃−181 =−log₃3⁴ =−4.

Ví dụ 2.7. (Tính toán biểu thức có điều kiện) a) Tính A= log₆16biết log₁₂27 =a;

b) Tính B = log₁₂₅30 biết lg 3 =a và lg 2 = b;

c) Tính C = log₆35 biết log₂₇5 =a,log₈7 =b,log₂3 =c; d) Tính D= log^√b

a

√3

√b

a biết log_ab =√3.

Nhận xét. Đối với các bài tập dạng này, chúng ta thường phân tích các lôgarit cần tính và các lôgarit đã cho về dạng lôgarit cơ số nguyên tố. Thông thường, các lôgarit đó có mối liên hệ với nhau.

Lời giải. a) Chọn 2làm cơ số, ta có

A= log₆16 = log₂16

log₂6 = 4 1 = log₂3. Mặt khác

x= log₁₂27 = log₂27

log₂12 = 3 log₂3 2 + log₂3.

(14)

Do đólog₂3 = 2x

3−x và suy ra A= 4(3−x) 3 +x . b) Ta có

B = lg 30

lg 125 = lg 10 + lg 3 3 lg10

2

= 1 + lg 3

3(1−lg 2) = 1 +a 3(1−b). c) Ta có

C = log₆5 + log₆7 = 1 1

log₂5 + 1 log₃5

+ 1

1

log₂7 + 1 log₃7

.

Ta đi tínhlog₂5; log₃5; log₂7; log₃7 theo a, b, c. Từ a= log₂₇5 = log₃³5 = 1

3log₃5, suy ra log₃5 = 3a, do đó

log₂5 = log₂3.log 35 = 3ac.

Mặt khác b= log₈7 = log₂³7 = 1

3log₂7nên log₂7 = 3b. Do đó log₃7 = log₂7

log₂3 = 3b c . Vậy

C= 1

1 3ac + 1

3a

+ 1

1 3b + c

3b

= 3(ac+b) 1 +c . d) Điều kiệna >0, a6= 1, b > 0.

Từ giả thiếtlog_ab =√

3suy ra b =a^√³. Do đó

√b a =a

√3 2 −1;

√3

√b a =a

√3

3 −¹₂ =a⁻

√3 3

√3 2 −1

.

Từ đó ta tính được

A= log_a^αa⁻

√3 3 α

= log_a^α(a^α)⁻

√3

3 =−

√3

3 (với α =

√3 2 −1). Ví dụ 2.8. Tính

a) A= 1

log₂x + 1

log₃x +· · ·+ 1

log₂₀₀₇x với x= 2007!;

b) B = lg tan 1⁰+ lg tan 2⁰+· · ·+ lg tan 89⁰. Lời giải. a) Sử dụng công thức 1

log_ba = log_ab, hơn nữa x= 2007!>1nên ta có A= log_x2 + log_x3 +· · ·+ log_x2007

= log_x(2.3. . .2007)

= log_xx= 1.

(15)

b) Nhận thấy

lg tan 1⁰+ lg tan 89⁰ = lg(tan 1⁰.tan 89⁰) = lg 1 = 0.

Tương tự, ta có

lg tan 2⁰+ lg tan 88⁰ = 0;

...

lg tan 44⁰+ lg tan 46⁰ = 0;

lg tan 45⁰ = lg 1 = 0. Do đó

B = (lg tan 1⁰+ lg tan 89⁰) + (lg tan 2⁰+ lg tan 88⁰) +· · ·+ lg tan 45⁰ = 0.

Nhận xét. Đây là bài tập không khó, nhưng khi giải phải sử dụng kĩ năng biến đổi, do đó có thể kích thích được sự tư duy, sáng tạo của học sinh.

Ví dụ 2.9. (Chứng minh đẳng thức lôgarit)

a) Cho các số dương a, bthoả mãn a²+ 4b² = 12ab. Chứng minh rằng lg(a+ 2b)−2 lg 2 = 1

2(lga+ lgb);

b) Cho a= 10¹⁻¹^lg^b;b= 10¹⁻¹^lg^c. Chứng minh rằng c= 10¹⁻¹^lg^a; Lời giải. a) Ta có

a²+ 4b² = 12ab⇔(a+ 2b)² = 16ab.

Do a, b dương nên a+ 2b = 4√

ab. Khi đó, lấy lôgarit cơ số 10hai vế ta được lg(a+ 2b) = lg 4 +1

2lg(ab) hay

lg(a+ 2b)−2 lg 2 = 1

2(lga+ lgb).

b) Giả sử a, b, c đều dương và khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức a = 10¹⁻¹^lg^b và thế vào biểu thức b = 10¹⁻¹^lgc (sau khi lấy lôgarit cơ số 10hai vế). Ta có

a = 10^1−lgb¹ ⇒lga= 1

1−lgb ⇒lgb= 1− 1 lga. Mặt khác, từ b= 10¹⁻¹^lg^c suy ra lgb = 1

1−lgc. Do đó 1− 1

lga = 1 1−lgc

⇒1−lgc= lga

lga−1 = 1 + 1 lga−1

⇒ lgc= 1 1−lga. Từ đó suy ra c= 10^1−lga¹ .

(16)

Ví dụ 2.10. So sánh

a)log₃2 và log₂3; b) log₂3và log₃11;

c) 1

2 + lg 3 và lg 19−lg 2; d) lg5 +√ 7

2 và lg 5 + lg√ 7

2 .

Nhận xét. Thông thường, để so sánh các lôgarit, chúng ta so sánh chúng với một số nguyên nào đó.Lời giải. a) Ta có

log₃2<log₃3 = 1 = log₂2<log₂3.

b) Ta có

log₂3<log₂4 = 2 = log₃9<log₃11.

c) Đưa về cùng một lôgarit cơ số10, ta có 1

2 + lg 3 = 1

2lg 10 + lg 3 = lg 3√ 10;

lg 19−lg 2 = lg19 2 . Ta so sánh hai số 3√

10và 19

2 . Ta có (3√

10)² = 9.10 = 90 = 360

4 < 361

4 = 19 2

2

,

vì vậy 3√

10< 19

2 . Từ đó suy ra 1

2+ lg 3 <lg 19−lg 2.

d) Ta có

lg 5 + lg√ 7

2 = lg(5√

7)¹² = lg q

5√ 7.

Ta đi so sánh hai số p 5√

7 và 5 +√ 7

2 . Ta có q

5√ 7

2

= 5√ 7;

5 +√ 7 2

2

= 32 + 10√ 7

4 = 8 + 5 2

√7.

Xét hiệu

8 + 5 2

√7−5√

7 = 8− 5 2

√7 = 16−5√ 7

2 =

√256−√ 175 2 >0.

Suy ra 8 + 5 2

√7>5√

7. Do đó 5 +√ 7 2 >p

5√ 7, và lg5 +√

7

2 > lg 5 + lg√ 7

2 .

Ví dụ 2.11. (Chứng minh các bất đẳng thức lôgarit)

(17)

a) Không dùng máy tính, chứng minh rằng 2<log₂3 + log₃2< 5 2; b) Cho a≥1, b≥1. Chứng minh rằng

√lna+√ lnb

2 ≤

r

lna+b 2 ;

c) Chứng minh rằng log₂₀₀₆2007 > log₂₀₀₇2008. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát?

Lời giải. a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có log₂3 + log₃2>2p

log₂3.log₃2 = 2√ 1 = 2 (không xảy ra dấu ” = ” vì log₂36= log₃2).

Mặt khác, ta lại có

log₂3 + log₃2< 5

2 ⇔log₂3 + 1 log₂3− 5

2 <0

⇔2 log²₂3−5 log₂3 + 2<0

⇔(2 log₂3−1)(log₂3−2)<0. (∗) Hơn nữa, 2 log₂3>2 log₂2>1nên 2 log₂3−1>0. Mà

log₂3<log₂4 = 2 nên log₂3−2<0.

Từ đó suy ra (∗) luôn đúng. Vậy 2<log₂3 + log₃2< 5 2. b) Vì a, b≥1 nên lna,lnb,lna+b

2 không âm. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có lna+ lnb ≥2√

lna.lnb.

Suy ra

2(lna+ lnb)≥lna+ lnb+ 2√

lna.lnb= (√

lna+√ lnb)². Mặt khác

a+b 2 ≥√

ab⇒ lna+b 2 ≥ 1

2(lna+ lnb). Từ đó ta có lna+b

2 ≥ 1 4(√

lna+√

lnb)² hay

√lna+√ lnb

2 ≤

r

lna+b 2 . c) Ta chứng minh bài toán tổng quát

log_n(n+ 1) >log_n+1(n+ 2), ∀n >1.

Thật vậy, từ (n+ 1)² =n(n+ 2) + 1> n(n+ 2)>1suy ra log_(n+1)²n(n+ 2)<1⇔ 1

2log_n+1n(n+ 2)<1

⇔ log_n+1n+ log_n+1(n+ 2) <2.

(18)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

2>log_n+1n+ log_n+1(n+ 2)>2q

log_n+1n.log_n+1(n+ 2).

Do đó ta có1>log_n+1n.log_n+1(n+ 2), và

log_n(n+ 1)>log_n+1(n+ 2), ∀n >1.

Bài tập tương tự.

Bài tập 2.8. Tính giá trị các biểu thức a)A = log¹

3 5.log₂₅ 1

27; b) B = (√³

9)^{5 log5 3}³ ; c) C= log_aa².p⁴

a³√⁵ a; d) D= lg log¹

a3

p5

a√a. Đáp số. a)A = 3

2; b) B =√⁵

25; c) C = 14

5 ; d) D= lg 9−1.

Bài tập 2.9. Tính

a) A= log₂₅15theo a= log₃15;

b) B = log^√³₇ 121

8 theo a= log₄₉11, b= log₂7;

c) C = log₁₄₀63theo a= log₂3, b = log₃5, c= log₂7;

d) D= log^√_ab b

√a biết log_ab =√ 5.

Đáp số. a)A = a

2(a−1); b) B = 12a− 9

b; c) C = 2ac+ 1

abc+ 2c+ 1; d) D= 11−3√ 5

4 .

Bài tập 2.10. (Chứng minh các đẳng thức có điều kiện)

a) Cho các số dương a, b, c (c6= 1). Chứng minh rằng a^log^c^b =b^log^c^a; b) Cho a= log₁₂18, b = log₂₄54. Chứng minh rằng ab+ 5(a−b) = 1;

c) Cho các số dương a, b thoả mãn a²+b² = 7ab. Chứng minh rằng log₇ a+b

3 = 1

2(log₇a+ log₇b);

d) Cho các số dương a, b và 4a²+ 9b² = 4ab. Chứng minh rằng lg2a+ 3b

4 = lga+ lgb

2 .

(19)

Hướng dẫn. a) Đặt x= log_cb thì b=c^x nên

b^log^câ= (c^x)^log^câ = c^log^câx

=a^x =a^log^c^b. b) Tính log₂3 theo a và theo b ta được log₂3 = 2a−1

2−a ; log₂3 = 3b−1 3−b . (chú ý rằng a 6= 2, b6= 3).

Từ hệ thức 2a−1

2−a = 3b−1

3−b suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ giả thiết suy ra a+b 3

2

=ab. Lấy lôgarit cơ số 7 hai vế, ta được điều phải chứng minh.

d) Từ giả thiết suy ra 2a+ 3b

4 =√

ab. Lôgarit hai vế với cơ số10.

Bài tập 2.11. So sánh

a)log₃5 và log₇4; b)log_0,32và log₅3;

c) log₂10 và log₅50; d) 1 6

log₆2−¹₂log^√₆5

và √³ 18.

Hướng dẫn. a) log₃5>log₃3 = 1 = log₇7>log₇4.

b) log_0,32 =−log₃2<0<log₅3.

c) log₂10>log₂8 = 3 = log₅125 >log₅50.

d) 1 6

log₆2−¹₂log^√₆5

= (6⁻¹)^log⁶²⁻^log⁶⁵ = 5 2 = ³

r125 8 <√³

18.

2.4 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Các dạng bài tập cơ bản, bao gồm tìm tập xác định, vẽ đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ và hàm số lôgarit dựa vào tính đơn điệu của chúng.

Ví dụ 2.12. Tìm tập xác định của các hàm số

a) y= log₃(x²−2x); b) y=q log¹

3(x−3)−1.

Lời giải. a) Hàm số xác định khi và chỉ khi

x² −2x > 0⇔x <0∨x >2.

Vậy tập xác định của hàm số là D= (−∞; 0)∪(2; +∞).

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi (x−3>0,

log¹

3(x−3)−1≥0 ⇔





 x >3, x= 3≤ 1

3

⇔3< x≤ 10 3 . Vậy tập xác định của hàm số là D=

3;10 3

i.

(20)

Ví dụ 2.13. Vẽ đồ thị các hàm số

a)y = 2,5^x; b) y= 0,5^x; c) y= lgx; d)y= log¹

π x.

Lời giải. a) Hàm số y = 2,5^x là hàm số mũ có cơ số lớn hơn 1 nên luôn đồng biến. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1),(1; 2,5). Ta có đồ thị

y

x 2,5

1

1 O

y= 2,5^x y

x 2,5

1

1 O

y= 2,5^x

O y

1 x 0,5

1

y= 0,5^x

b) Hàm số y= 0,5^x là hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi qua các điểm(0; 1),(1; 0,4)(hình vẽ trên). c) Hàm số y= lgxlà hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn1nên luôn đồng biến. Đồ thị đi qua các điểm(1; 0),(10; 1). Đồ thị như sau

y y

1 x

O O

y

x 10 1

1

y= lgx 1

y= log¹

πx

1 3

d) Hàm sốy= log¹

πx là hàm số lôgarit có cơ số là 1

π <1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0),1

π; 1

(hình vẽ trên).

Ví dụ 2.14. Cho f(x) = 4^x

4^x+ 2, tính S=f 1

2007

+f 2 2007

+· · ·+f2006 2007

. Lời giải. Ta có nhận xét rằng nếu a+b= 1 thì

f(a) +f(b) = 4^a

4^a+ 2 + 4^b

4^b+ 2 = 4â(4â+ 2) + 4^b(4^b + 2) (4â+ 2)(4^b+ 2)

= 4â+b+ 2.4â+ 4â+b + 2.4^b

4â+b+ 2.4â+ 2.4^b+ 4 = 2.4â+ 2.4^b+ 8 2.4â+ 2.4^b+ 8 = 1.

(21)

Áp dụng kết quả trên ta có S =h

f 1

2007

+f2006 2007

i+h f 2

2007

+f2005 2007

i+· · ·+h

f1003 2007

+f1004 2007

i . Vậy

S= 1 + 1 +· · ·+ 1

| {z }

1003 số hạng

= 1003.

Bài tập tương tự.

Bài tập 2.12. Tìm tập xác định của các hàm số a)y = log_0,3 x−4

x+ 4; b) y= log_π(2^x−2);

c) y= q

log₃(√

x²−3x+ 2 + 4−x); d) y = 2√

|x−3|−|8−x|+

s−log_0,5(x−1)

√x²−2x−8 . Đáp số. a) D= (−∞;−4)∪(4; +∞); b) D= (1; +∞);

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

(x²−3x+ 2≥0,

√x²−3x+ 2 + 4−x≥1 ⇔x≤1∨x≥2.

Tập xác định là D= (−∞; 1]∪[2; +∞).

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi











|x−3| − |8−x| ≥0, x−1>0,

log_0,5(x−1)≤0, x²−2x−8>0

⇔











(x−3)² ≥(8−x)², x >1,

x−1≥1, x <−2∨x >4

⇔x≥ 11 2 .

Tập xác định là D=h11

2 ; +∞ .

Bài tập 2.13. Hình dưới đây là đồ thị của 4 hàm số y= log^√₂x; y= log¹

e x;

y= log^√₅x; y= log¹

3 x.

Hãy chỉ rõ đồ thị tương ứng của mỗi hàm số và giải thích.

y y

1 x

O O

y

x 1

C₁

C₂

C₄ C₃

(22)

Hướng dẫn. Ta thấy C₁, C₂ là đồ thị của các hàm đồng biến, tức là đồ thị ứng với hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1. Mặt khác, khi x >1 thì log^√₂x > log^√₅x và khi x < 1 thì log^√₂x <log^√₅x.

Do đóC₁ là đồ thị của hàm số y= log^√₂x và C₂ là đồ thị của hàm số log^√₅x. Tương tự thìC₃ là đồ thị của hàm số y= log¹

e x và C₄ là đồ thị của hàm số y= log¹

3 x.

Bài tập 2.14. Từ đồ thị hàm sốy= 3^x, hãy vẽ đồ thị các hàm số a) y= 3^x−2; b)y= 3^x+ 3;

c) y=|3^x−2|; d) y= 2−3^x.

Hướng dẫn. a) Đồ thị hàm sốy = 3^x−2 nhận được từ đồ thị hàm số y= 3^x bằng phép tịnh tiến song song với trục tung xuống dưới2 đơn vị.

b) Tương tự câu a).

c) Ta cóy =|3^x−2|=

(3^x−2, khi3^x−2≥0

−3^x+ 2, khi3^x−2<0.

Do đó đồ thị hàm sốy =|3^x−2| bao gồm:

− Phần đồ thị của hàm sốy= 3^x−2ứng với 3^x−2≥0 (nằm phía trên trục hoành);

− Phần đồ thị của hàm sốy= 3^x−2ứng với 3^x−2<0lấy đối xứng qua trục hoành.

d) Ta cóy= 2−3^x =−(3^x−2), do đó, đồ thị của hàm sốy= 2−3^x đối xứng với đồ thị của hàm sốy = 3^x−2qua trục hoành.

Bài tập 2.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2^|^x^|trên đoạn [−1; 1].

Hướng dẫn. Trên đoạn[−1; 1] ta có y= 2^|^x^|=

(2^x, khix∈[0; 1]

2⁻^x, khix∈[−1; 0].

Do đó trên đoạn[0; 1] hàm số đồng biến, trên đoạn [−1; 0] hàm số nghịch biến. Suy ra, các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại các đầu mút. Ta có

y(−1) = 2⁻⁽⁻¹⁾ = 2¹ = 1; y(0) = 2⁰ = 1; y(1) = 2¹ = 2.

Vậy giá trị lớn nhất lày(1) =y(−1) = 2, giá trị nhỏ nhất lày(0) = 1.

2.5 BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔ- GARIT

Phương trình mũ và phương trình lôgarit là nội dung rất quan trọng trong chương này. Các dạng bài tập cũng rất phong phú như giải phương trình, chứng minh nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện cho trước (tồn tại, tồn tại duy nhất, hữu hạn nghiệm,...), giải và biện luận phương trình theo tham số, chứng minh phương trình tương đương,...

Phương pháp giải. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ và phương trình lôgarit là

• Đưa về các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, bao gồm các cách

(23)

− Đưa về cùng một cơ số;

− Đặt ẩn phụ;

− Mũ hoá (hoặc lôgarit hoá).

• Phương pháp đồ thị.

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit.

Ngoài ra, còn một số phương pháp giải khác như phương pháp biến thiên hằng số, sử dụng định lí Lagrange, định lí Rolle, đánh giá, phương pháp hàm số,... Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội dung cụ thể.

2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản

Đây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng. Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá.

a) Đưa về cùng một cơ số

Ví dụ 2.15. Giải các phương trình mũ sau

a)3^x²⁻^4x+5 = 9; b)1,5^5x⁻⁷ =2 3

x+1

; c)2^2x⁻¹+ 4^x+2 = 10; d) 0,125.4^2x⁻³=√³

2 8

₋x

. Lời giải. a) Đưa về cùng cơ số 3, ta có phương trình tương đương với

3^x²⁻^4x+5 = 3² ⇔x²−4x+ 5 = 2⇔x= 1∨x= 3. Vậy 1; 3 là nghiệm của phương trình đã cho.

b) Ta có 2 3 =3

2 ₋1

= 1,5⁻¹ nên phương trình đã cho có dạng 1,5^5x⁻⁷ = 1,5⁻^x⁻¹. Vậy 5x−7 = −x−1 hay x= 1 là nghiệm của phương trình.

c) Phương trình đã cho tương đương với 1

2.4^x+ 16.4^x= 10⇔ 33

2 .4^x = 10⇔4^x = 20

33 ⇔x= log₄ 20 33. Vậy nghiệm của phương trình là x= log₄ 20

33. d) Đưa hai vế về cùng cơ số 2, ta được

2⁻³.2^4x⁻⁶ =

2⁻²⁵₋x

hay 2^4x⁻⁹ = 2⁵²^x. Do đó

4x−9 = 5 2x⇔ 3

2x= 9 ⇔x= 6.

(24)

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x= 6.

Chú ý. Muốn đưa các lôgarit về cùng một cơ số, ta thường xem mối liên hệ giữa các cơ số và thường sử dụng các tính chất sau của lôgarit:

a= log_bb^a; log_ab= log_cb log_ca. Ví dụ 2.16. Giải các phương trình lôgarit sau

a) lgx+ lg(x+ 9) = 1;

b) log₂x+ log₄x+ log₈x= 11;

c) log₅x³+ 3 log₂₅x+ log^√₁₂₅√

x³ = 11 2 ; d) log₂x+ log₃x+ log₄x= log₂₀x. Lời giải. a) Điều kiện

(x >0,

x+ 9>0 ⇔x >0. Phương trình đã cho tương đương với lgx(x+ 9) = lg 10 ⇔x(x+ 9) = 10⇔x= 1∨x=−10.

Vì x >0 nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất làx= 1.

b) Điều kiệnx >0. Đưa về cùng cơ số 2, ta có log₂x+ log₂2x+ log₂3x= 11⇔log₂x+1

2log₂x+1

3log₂x= 11⇔ 11

6 log₂x= 11.

Do đólog₂x= 6 và x= 2⁶ = 64.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 64.

c) Điều kiệnx >0. đưa về cùng cơ só 5, ta có log₅x³+ 3 log₂₅x+ log^√₁₂₅√

x³ = 11

2 ⇔ 3 log₅x+ 3 log₅²x+ log

5³² x³² = 11 2

⇔ 3 log₅x+ 3.1

2log₅x+3 2.2

3log₅x= 11 2

⇔ 11

2 log₅x= 11 2

⇔ log₅x= 1 ⇔x= 5¹ = 5 (thoả mãn). Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x= 5.

d) Điều kiệnx >0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có

log₂x+ log₃x+ log₄x= log₂₀x⇔ log₂x+log₂x

log₂3 +log₂x

log₂4 = log₂x log₂20

⇔ log₂x.

1 + 1

log₂3+ 1

2− 1 log₂20

= 0

⇔ log₂x.3

2 + log₃2−log₂₀2

= 0.