Bài giảng phương trình lôgarit và bất phương trình lôgarit - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOANMATH.com Trang 1

 Kiến thức

1. Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit.

2. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit.

 Kĩ năng

1. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số.

2. Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình lôgarit

Dạng 1:

       

0 1

log log

a a 0

f x g x a

f x g x

  

    

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện ^{f x}

 

^{0 hoặc g x}

 

^0 tùy thuộc vào độ phức tạp của ^{f x}

 

^{0 và g x}

 

^0

Dạng 2: ^{loga f x}

 

^{  b }_^{f x0}

 

^{ aa1b.}

2. Bất phương trình lôgarit y^logax



⁰ a ¹



.

Dạng 1:

       

   

1

log log 0

0 1

0

a a

a

f x g x

f x g x

a f x g x

 

  

     

Dạng 2:

   

 

1 log 0

0 1

b a

b

a f x a f x b

a f x a

 

  

       

Dạng 3:

   

 

1

log 0 1

0

b a

b

a f x a f x b

a f x a

  

  

     

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

   

log_a f x log_ag x

   

   

1 0

0 1

0 a

f x g x a f x g x

 

  

   

  





 

log_a f x b

 

 

1 0

0 1

b

b

a

f x a

a

f x a

 

  

    

  

 

   

log_a f x log_ag x

 

^{0 a}

 

^{1 0}

f x g x

  

   

 

log_a f x b

 

0 1

b

a f x a

  

  

 

log

_a

f x  b

 

 

1

0 1

0

b

b

a f x a

a f x a

  

  

    

TOANMATH.com Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Phương trình lôgarit

Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3



²



1

 

3

log x    x 1 log 2x1 là

A. 0 B. 2 C. 6 D. 3

Hướng dẫn giải Ta có:



²

  

3 3 2

1

2 1 0 2

log 1 log 2 1 1 2 1 0 3

3 x x

x x x x x x x x

x

 

   

               Nên phương trình chỉ có một nghiệm là x3.

Chọn D.

Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3.

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình log₂xlog₃xlog₄xlog₂₀x là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải

Ta có: log₂xlog 2.log_{3 2}xlog 2.log_{4 2}xlog 2.log_{20 2}x

 

2 3 4 20 2

log . 1 log 2 log 2 log 2x 0 log x 0 x 1

        

Nên phương trình có duy nhất một nghiệm.

Chọn A.

Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2.

3 3 2

log xlog 2.log x

20 20 2

log xlog 2.log x

Ví dụ 3: Cho phương trình log4



x1



² 2 log 2 4 x log 48



x



³. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là

A. 2 6 4 B. 2 C. 4 D. 2 6

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

 

 

2

3

1 0 1

4 4

4 0 4

4 1

4 0

x x

x x x

x x x

     

   

     

    

     



Ta có: log2 x 1 log 4 log 42  2



 x



log 42



x



4x 1 16x²

2

2

1

4 4 16 2 2 6

1 2

4 4 16

x

x x x

x x

x x

 

       

         

(thỏa mãn điều kiện).

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là x2 6 4 . Chọn A.

Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2.

2

log_a x2log_a x

Ví dụ 4: Cho phương trình log log log2



3



2x

 

1. Gọi a là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau đây là đúng?

A. log₂a10 B. log₂a8

C. log₂a7 D. log₂a9

Hướng dẫn giải

Điều kiện x0;log2x0;log log3



2x



0 suy ra x2 Khi đó log log log2



3



2x

 

  1 x 2⁹ a 2⁹log2a9 Chọn D.

Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình log x  logx .

A.^{S }



^1;



^B.S



^0;



C.^{S }

 

^{1;10 D.S  }



^1;



Hướng dẫn giải Điều kiện 0

0 0

x x

x

   

 

 (*).

Khi đó ^{log x  logx logx logx logx}     ^{0 x 1 x}



^1;



Kết hợp với (*) ta được ^{x }



^1;



thỏa mãn.

Vậy ^{S }



^1;



Chọn D.

Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số lôgarit

 Phương pháp giải

Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về lôgarit cùng cơ số

Bước 2. Áp dụng phương pháp giải dạng 1.

Ví dụ: Phương trình ² _{2 2 1}

2

log x3log xlog x2 có hai nghiệm x x₁, ₂. Khi đó x₁x₂ bằng

A. 2 1

2 B. 5

C.

1 5 1 5

2 2

2 2

   

 D. 1 2

2 Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 2

4 log x3log xlog x 2 0

2

2 2

4log x 2 log x 2 0

   

2

2

log 1 1 1 2

log 2 2

x x

x x



    

     Khi đó _{1 2} 2 1

x x  2 Chọn A.

 Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 5 Ví dụ 1: Phương trình ^{log 33}



^{x 1 .log 3}



³



^x13



^{6 có}

A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương

C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép Hướng dẫn giải

Ta có: ^{log 33}



^{x1 .log 3}



³



^x13



^{ 6 log 33}



^{x1 .log 3.3}



³



^x3



^6

       

3 3 3 3

log 3^x 1 .log 3. 3 ^x 1  6 log 3^x 1 . 1 log 3 ^x 1  6

          

     

 

2 3

3 3

3

log 3 1 2 log 3 1 log 3 1 6 0

log 3 1 3

x

x x

x

  

  

          

3

3

log 10

3 1 9 3 10

1 28 log 28

3 1 3

27 27 27

x x

x x

x x

      

  

      

Chọn A.

Chú ý: Biến đổi về phương trình có ẩn là ^{log 33}



^x1



Bài toán 3. Phương pháp hàm số

 Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Tính chất 1. Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

 

^{a b;} thì số nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^{k trên}

 

^{a b;} không nhiều hơn một và ^{f u}

 

^{ f v}

 

^{  u v u v, , }

 

^{a b; .}

 Tính chất 2. Nếu hàm số ^{y f x}

 

liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số ^{y g x}

 

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

không nhiều hơn một.

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình log3



x2



log 37



x4



2 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải Điều kiện 4

x 3. Ta có: log3



x 2



log 37



x  4



2 0. Đặt f x

 

log3



x2



log 37



x4



2

   

^{2 .ln 31}



^{3 14 .ln 7}



^{0, 43}

f x x

x x

      

 

Nên phương trình ^{f x}

 

^0có tối đa một nghiệm.

Mà ^f

 

^{1 0} nên phương trình có duy nhất một nghiệm x1. Chọn A.

Ví dụ 2: Phương trình ^ln



^{x2  x 1}

 

^{ln 2x2 1}



^x2x có tổng bình phương các nghiệm bằng

A. 5 B. 25 C. 9 D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có: ^ln



^{x2  x 1}

 

^{ln 2x2 1}



^x2x



²

 

²

 

²

 

²



ln x x 1 x x 1 ln 2x 1 2x 1

         

Xét hàm số ^{f t}

 

^{lnt t trên}



^0;



^{, ta có f t}

 

^{1 1 0, t}



^0;



     t 

Mà ^{f x}



^{2  x 1}

 

^{f 2x2 1}



^{x2  x 1 2x2 1 x2}   ^{x 0 }^x_x^₁⁰ Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1.

Chọn D.

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình ^ln



¹



¹

x 2

  x

 là

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

Hướng dẫn giải

PT

 

1, 2

ln 1 1 0

2

x x

x x

 



      Xét hàm số ^ln



¹



¹

y x 2

  x



 

2

   

1 1

0, 1; 2

1 2 \

y x

x x

      

 

Lập bảng biến thiên của hàm số trên ^D

  

^{1; 2  2;}



^.

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình ^{log3 x2 2x log5}



^{x2 2x2}



^là

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4

Hướng dẫn giải Điều kiện: x0;x 2

Đặt t x ² 2xx² 2x   2 t 2 log3 t log5



t2



Đặt log3 t log5



t2



u

 

3 5

log 3 5 2 3 5 3 2

5 2 3

log 2 2 5 5 2 3 3 2 5

u u u u u

u u

u u u u

u

t u t

t u t

         

      

            

   



5 3 2 (1)

3 1

2 1 (2)

5 5

u u

u u

  

          

+ Xét (1): 5^u3^u 2

Ta thấy u0 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm 0

u là duy nhất.

Với u    0 t 1 x² 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm.

+ Xét (2): 3 1

2 1

5 5

u u

     

   

   

Ta thấy u1 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm 1

u là duy nhất.

TOANMATH.com Trang 7 Với u   0 t 3 x² 2x 3 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x0;x 2. Chọn B.

Ví dụ 5: Biết rằng phương trình ^{log 12}



^x1009



^{2018 log3x} có nghiệm duy nhất x₀. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

1 1

1008 1006

3 x03 B.

2 0 31009

x  C.

1 0 1008

1x 3 D.

1

1007 0

3 x 1 Hướng dẫn giải

Điều kiện: x0

Đặt ^{tlog 12}



^x1009



^{2018log3x. Khi đó t0.}

1009 2018

1 2

3

t t

x x

  

 

 



^{2 1t}



^{2 3t 2 1t}

   

^{3 t 3 t 1 2t } ₂^{3  t 1}₂ ^{t 1}

                 (*)

Ta thấy hàm số

 

^{3 1}

2 2

t t

f t          luôn nghịch biến và liên tục trên



^0;



^{và f}

 

^{2 1} nên phương trình (*) có duy nhất một nghiệm t2.

1009 3

x  hay

1 0 31009

x 

Mà 0 1 1

1009 1008

  nên

1 0 1008

1x 3 Chọn C.

Ví dụ 6: Xét các số nguyên dương ,a bsao cho phương trình aln²x b lnx 5 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ và phương trình 5log²x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x x₃, ₄ thỏa mãn x x_{1 2}x x_{3 4}. Tính giá trị nhỏ nhất S_min của S2a3b.

A. S_min 30 B. S_min 25

C. S_min 33 D. S_min 17

Hướng dẫn giải Điều kiện: x0

Đặt tlnx, ulogx. Khi đó ta được at²  bt 5 0 (1), 5u²bu a 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt    0 b²20a 0 b²20a.

Với ln _{1 2} ¹. ^{2 1 2}

b

t t t t

t a

t x  x e x x e e e ^ e^

Với log 10 _{3 4} 10 .10^{1 2} 10^{1 2} 10 ⁵

b

u u u u

u x x u x x   ^  ^ Ta có: _{1 2 3 4} 10 ⁵

b b

x x x x e^a  ^ Lấy lôgarit cơ số e hai vế ta được

ln10 ln10 5 ln10 5 5

5 5 ln10

b b ab b a a

         (do ,a b nguyên dương).

min min, min

S a b . Mà a_min  3 b² 60b_min 8.

2 3 2.3 3.8 30

S a b

     

Chọn A.

Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế

 Phương pháp giải Các lí thuyết được sử dụng

+ ^{ }

 

0 1, 0

log

f x

a

a b

a b

f x b

  

   

+ a^{f x } b^{g x }log_aa^{f x }log_ab^{g x }

   

^.loga

f x g x b

 

Hoặc ^logba^{f x }^logbb^{g x } f x

 

^.logba g x

 

^.

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình ^8log2 ^{x28 }



^x2



³ có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: ² 2 2

8 0 2 2

x x

x

  

   

  Điều kiện có nghiệm là x   2 0 x 2

Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn x2 2 Ta có: 8^log2 ^x28 



x2



³log2



x² 8



log8



x2



³



²

  

²

2 2

log 8 log 2 8 2 2

3

x x x x x

x

  

           So với điều kiện, ta nhận x3 là nghiệm của phương trình.

Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình 5x²22.x^{log 155} 5.3^{log 55 x2} 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Hướng dẫn giải Điều kiện x0 Ta có:

5 5 5 5

1 log 3 1 2log 1 log 3 2log

2 2

5x 22.x^ 5.3^{ x}  0 5x 22.x^ 5.3.3 ^x 0 Vì x^{log 155} x^1loc53x x. ^loc53 x.3^log5x. Đặt tlog₅x x 5^t. Phương trình trở thành: ^{5. 5}

 

^{t 2}22.5 .3 15. 3^{t t}

 

^{t 2}0

2

5 3

3 5

5 5

5. 22. 15 0 1

3 3 5

3 5

t

t t

t t

  

  

    

                  

Nên ₅ 1

log 1

x   x 5 Chọn C.

TOANMATH.com Trang 9 Bài toán 5. Đặt ẩn phụ

 Phương pháp giải

Bước 1: Đặt t^loga f x

 

 f x

 

a^t

 

_{ } ¹

logⁿ_a f x tⁿ,log_{f x} a ,t 0

  t 

Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình ẩn t

Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện.

Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn để giải phương trình.

Ví dụ: Biết phương trình log₂xlog 64 1_x  có hai nghiệm phân biệt. Khi đó tích hai nghiệm này bằng

A. 2 B. 1

C. 1

4 D. 1

2 Hướng dẫn giải

Điều kiện 0 1 x x

 

 

Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành

2 2

2

log 6 log 2 1 log 6 1

x log

x x

    x



log2x



² log2x 6 0

   

Đặt tlog₂x, phương trình trở thành

2 6 0

t   t 3

2 t t

 

   

2 2

log 3

log 2

x x

 

    8

1 4 x x

 



  Chọn A.

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 log₃xlog 3₃ x 1 0 bằng

A. 35 B. 84 C. 65 D. 28

Hướng dẫn giải Điều kiện

3

0 0

log 0 1 1

x x

x x x

 

 

  

   



Phương trình 3 log₃xlog 3₃ x  1 0 3 log₃xlog 3 log₃  ₃x 1 0

3 3

log x 3 log x 2 0

   

Đặt t log ;3x t



0



. Phương trình trở thành:

3 1

2

1 2

3 2

log 1 3

3 2 0 1 84

2 log 4 81

x x

t t t x x

t x x

 

  

             Chọn B.

Ví dụ 2: Phương trình log3²x



x12 log



3x  11 x 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải

Điều kiện: x0

Phương trình log²3x



x12 log



3x  11 x 0 là phương trình bậc hai theo ẩn log₃x và tham sốx. Giải phương trình tham số x, ta được: ³

3

log 1

log 11 (*) x

x x

 

  

 Giải phương trình (*), ta có: log₃x x  11 0

Đặt f x

 

log3x x 11 trên



^0;



, ta có:

 

^{1 1 0}

f x ln 3

  x   nên hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^0;



^.

Do đó, phương trình ^{f x}

 

^0 có tối đa một nghiệm. Mà ^f

 

^{9 0 nên x9} là nghiệm duy nhất của (*) Tóm lại phương trình có hai nghiệm:x3, x9.

Chọn B.

Bài toán 6. Phương trình tích

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 2log²xlnx2 ln .logx xlogx là một số có dạng a b

b

 với ,a b là các số nguyên dương. Giá trị của a b là

A. 11 B. 13 C. 3 D. 5

Hướng dẫn giải

Ta có: ^{2 log2xlogxlnx2ln .logx xlogx}



^{2logx 1}



^lnx



^{2logx 1}



⁰



^{2 log 1 log}



^ln



^{0 log 1}2 ¹10

log ln 0 log .ln ln 0

x x

x x x

x x e x x

    

          

1 1

10 10

ln 0 1

x x

x x

   

 

 

 

 

 

Nên tổng các nghiệm của phương trình là 1 1 10 1

1 11

10 10 10

a a b

b

 

        Chọn A.

Bài toán 7. Phương trình lôgarit chứa tham số

 Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tlog ;2x x



0;  



t  Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập m. Xét hàm ^{f t}

 

, lập bảng biến thiên để tìm m.

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số



^10;10



m  để phương trình

2

3 3

log xlog x m 0 có nghiệm?

A. 11 B. 10

C. 12 D. 5

Hướng dẫn giải

Tập xác định ^D



^0;



^{. Đặt} log3x t . Khi đó phương trình trở thành t²  t m 0 (*)

TOANMATH.com Trang 11 Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình

(*) có nghiệm: 1 4 0 1

m m 4

     

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì 1 m 4 Chọn B.

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để phương trình

   

2 4

log 5^x 1 log 2.5^x2 m có nghiệm x1?

A. 6 B. 8 C. 9 D. 7

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 5^x   1 0 x 0

         

2 4 2 2

log 5 1 log 2.5 2 log 5 1 1log 2 5 1

2

x x   m x x m

     

²

   

2 2 2 2

log 5^x 1 1 log 5^x 1 2m log 5^x 1 log 5^x 1 2m

         

Đặt ^{log 52}



^{x 1}



^t . Khi đó phương trình đã cho trở thành t² t 2m0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm x1 khi phương trình (*) có nghiệm t2

1 2

1 2

2 (**) 2 (***) t t

t t

  

   

(Loại (**) vì nếu   1 8m0 thì (*) có nghiệm ¹

2

1 1 8 2,

2

1 1 8

2

t m m

t m

      



    

 Ta có (***) ^af

 

^{2   0 6 2m  0 m 3}

Vậy phương trình có nghiệm thực x1 thì m3 Chọn D.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để phương trình

 

 

log 2

log 1

mx

x 

 có

nghiệm thực duy nhất?

A. 11 B. 16 C. 12 D. 15

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: 1 0 x x

  

 

       

log 2 log 2log 1

log 1

mx mx x

x    



   

²

 

²

log mx log x 1 mx x 1

     

 

2 2 1 0 (*)

x m x

    

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn 1 0 x x

  

  ^{(Ta thấy} (*) luôn có nghiệm khác 0)

+ Trường hợp 1:

Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn   1 x₁ x₂ khi

 

2 4 0 4

1 0 0 4

2 1 0

2 2

m m m

af m m

S m m

     

      

 

   

   



+ Trường hợp 2:

Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn x1  1 x af2;

 

   1 0 m 0 Các giá trị m cần tìm 4

0 m m

 

  Chọn D.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để phương trình

     

2 2 3

1 1

2 2

log 4 2 1 log 4 2 0

m x  m  x m   m có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng

 

^{4;6 ?}

A. 6 B. 8 C. 9 D. 7

Hướng dẫn giải Đặt 1

 

2

log x4 t. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

 

2 2 3

2 1 2 0

mt  m  t m   m (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt   1 t₁ t₂:

 

  

   

 

 

2

1 2 1 2

1 1 2

2 1 2 1 2

0 0

0

1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 2 0

m m

m

m m

t t t t

t t t

t t t t t

   

   

      

  

           

  

       

      

 

 

3 2 3 2

2 2

0 0

1 1

2 1

2 1 0 2 2 4 0

2 1 2 0 1 0

m m

m m

m m m m m m

m m m

m m

m m m

   

   

 

  

     

     

 

     

   



  

²



0

1 0

1 0 1

2 2

0 2

0 0 m

m m

m m

m m

m m m m

  

   

 

       

   

  

  



Vậy 0 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TOANMATH.com Trang 13 Chọn B.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để log₃²x log₃²x 1 2m 1 0 có nghiệm trong đoạn 1;3 ³^?

A. 6 B. 4 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải Điều kiện: x0 Đặt log₃²x 1 t

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2 2 2 0 2 2 2

t  t m    t t m (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

 

^{1; 2}

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t2 t trên đoạn}

 

^{1; 2 . Ta có f t}

 

^{   2t 1, t}

 

^{1;2 nên}

 

       

1;2

min f t  f 1 2; maxf t  f 2 6

Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

 

^{1; 2 thì 2 2 m    2 6 0 m 2}

Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình



²



^{2 1}

2

4 log x log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng

 

^{0;1 .}

A. 1

0;4

m  

  B. 1

;4

m   C. ^{m }



^;0



^{D. 1;}

m4   Hướng dẫn giải

Điều kiện: x0



²



^{2 1}



²



^{2 2}

2

4 log x log x m  0 log x log x m 0 Đặt tlog₂x, do ^x

 

^{0;1   t}



^;0



Phương trình trở thành t²   t m 0 m  t² t (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số ^{f t}

 

^{  t2 t} với đường thẳng y m Xét hàm số ^{f t}

 

^{  t2 t trên t }



^;0



Ta có:

 

^{2 1,}

 

^{0 1}

f t   t f t    t 2 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trong khoảng

 

^{0;1 khi 1}

m 4 Chọn B.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để phương trình



m4 log



²2x2



m2 log



2x m  1 0 có hai nghiệm thỏa mãn 1  x₁ 2 x₂?

A. 5 B. 4 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải

Đặt log₂x t 2^t x, khi đó phương trình đã cho trở thành



⁴



^{2 2}



²



^{1 0 2 1 2}

1

m t m t m m t

t

  

           (*) (do t1 không phải là nghiệm).

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0  t₁ 1 t₂

Xét hàm số

     

   

2

3

2 2 1

2 1 ; ; 0 1

1 1 2

t t

f t f t f t t

t t

 

    

        Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra m4 Chọn A.

 Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Nghiệm phương trình là log4



x 1



3

A. x63 B. x82 C. x80 D. x65

Câu 2: Tổng các nghiệm không âm của phương trình log 3xlog 23



x²4x3



0 là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 3: Phương trình ^{log 4 22}



^{ x}



^{ 2 x} tương đương với phương trình nào sau đây?

A. 4 2 ^x  2 x B. 4 2 ^x 2^2x

C.

 

^{2x 24.2x 4 0} D. Cả 3 đáp án đều sai

Câu 4: Cho phương trình ^loga



x²³x



^{log 2 ,}a x a



^0;a¹



, số nghiệm của phương trình trên là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 5: Phương trình log_a3_23 log 4_a3 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 6: Một học sinh giải phương trình log²₂xlog₂x² 1 0 theo các bước như sau:

TOANMATH.com Trang 15 Bước 1: Điều kiện ₂ 0 0

0 0 0

x x

x x x

 

   

   



Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:



log2x



²2 log2x  1 0 log2x1

Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là x2¹2 (nhận) Lời giải trên sai ở bước nào?

A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không sai bước nào

Câu 7: Nghiệm của phương trình log0,4



x  3



2 0 là

A. Vô nghiệm B. Có nghiệm  x 3

C. x2 D. 37

x 4

Câu 8: Phương trình



^lnx



^{27 lnx 6 0} có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 9: Nghiệm của phương trình



2

  

3

log_ log x3 0 là?

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 10: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log2_ 3



mx3



log2_ 3



m²1



có nghiệm là

1?

A. 1

1 m m

 

  

 ^B.

1 2 m m

 

  

 ^C. m3 D. m3

Câu 11: Phương trình 2

 

1

 

2

log 2x 1 log x 1 1 có nghiệm là

A.

3 17 4 3 17

4 x

x

  



  



B. 3 17

x 4 C. 3 17

x 4 D. x1 Câu 12: Tập nghiệm của phương trình log ₃ x 1 2 là

A.

 

^{3 B.}



^{3; 4}



^C.



^{ 2; 3}



^D.



^{4; 2}



Câu 13: Tất cả các giá trị x thỏa mãn x 2 3^{log3x2} là

A. x 2 B. x ^C. x 2 D. x 2

Câu 14: Với giá trị nào của m thì phương trình ^{log 42}



^x2m3



^x có hai nghiệm phân biệt?

A. 1

m2 B. ³ 4

2

x

m  C. 1

0 m 2 D. m0

Câu 15: Phương trình ^{log 33}



^{x1 .log 3}



³



^x13



^{6 có}

A. hai nghiệm dương B. một nghiệm dương

C. phương trình vô nghiệm D. một nghiệm kép Câu 16: Phương trình log _a 2 log₁ 0

a

a x  x có nghiệm là

A. x a B. x2a

C. x2a1 D. Phương trình vô nghiệm

Câu 17: Cho phương trình ^{log log3}



^{2 x25}



^1, tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là

A. 0 B. 244 C. 59 D. 118

Câu 18: Phương trình ^log3



^x2



^log7x có nghiệm là

A. x4 B. x49 C. x25 D. Đáp án khác

Câu 19: Với giá trị nào của m thì phương trình log²₃x log₃²x 1 3m có nghiệm trên

 

^{1;3 ?}

A. ^{m }



^{1 2;1}



^{B. m 1 1}₃^{; }₃ ^2

 

C. 1

;3

m   D. 1 2

3 ;1

m   

 

Câu 20: Tìm tổng các nghiệm của phương trình log2_x1



2x²  x 1



log_x1



2x1



²4

A. 2 B. 5

2 C. 15

4 D. 13

4 Câu 21: Tập nghiệm của phương trình log4



x2



log2x là

A. ^S



^{2; 1}



^{B. S}

 

^{2; C. S}

 

^{4 D. S}



^{4; 1}



Câu 22: Giải phương trình log3xlog3



x2



1 ta được nghiệm A. x3 B. x3 và x 1 C. 1

x 2 D. x3 và x6 Câu 23: Tập nghiệm của phương trình ^log



¹⁰



^{1log 2 2 log 4}

x 2 x   là A. ^{S    }



^{5; 5 5 2}



^{B. S    }



^{5; 5 5 2}



C. S    



5; 5 5 2; 5 5 2 



D. S  



5 5 2; 5 5 2 



Câu 24: Tập nghiệm của phương trình log₂xlog₃xlog₄xlog₂₀x là

A. ^{S }

 

^{1 B. S  C. S}

 

^{1; 2 D. S }

 

²

Câu 25: Tập nghiệm của phương trình log 1 x 3log 1  x 2 log 1x² là A. ^{S }

 

^{1 B. S  C. S}

 

^{1; 2 D. S}

 

²

Câu 26: Phương trình ¹₃^{log 32}



^{x4 .log}



^{6 2x38 log}



^{2 x}



^2



^{log 32}



^x4



²



² có tập nghiệm là A. 1; 2;16

S  9 

  

  B. ^S

 

^{1; 2 C. 1;16}

S  9 

  

  D. 2;16

S  9 

  

 

Câu 27: Tập nghiệm của phương trình ^log_{2 3}



^{x 1}



^log_{2 3}



^x2



^là

A. 3 5

S   2 

 

  B. 3 5; 3 5

2 2

S      

 

 

C. 3 5

S  2 

  

 

  D. 3 5

S  2 

  

 

 

Câu 28: Tập nghiệm của phương trình 1

 

² 1

 

³ 1

 

³

4 4 4

3log 2 3 log 4 log 6

2 x   x  x là

TOANMATH.com Trang 17 A. ^{S }

 

^{2 B. S }



^{1 33}



^{C. S }



^{2;1 33}



^{D. S }



^{2;1 33}



Câu 29: Tìm số nghiệm của phương trình log²₂x3log₂x 2 0

A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. Vô nghiệm D. 3 nghiệm

Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình ^log22



^{x2 1}



^log2



^{x 1}



^log2



^{x  1}



^{2 0}

A. 4 nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm

Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình log2



x 1



log 16_x1

A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm

Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình ₄ 7

log 2 log 0

x  x 6

A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. 4 nghiệm D. 3 nghiệm

Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình log²₃x5 log²₃x  1 7 0

A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm

Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình log²₂x log²₂x 1 1

A. Vô nghiệm B. 2 nghiệm C. 1 nghiệm D. 3 nghiệm

Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình log²2x



x12 log



2x  11 x 0

A. Vô nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. 2 nghiệm

Câu 36: Phương trình ^logx



^x24x4



^3 có số nghiệm là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 37: Giải phương trình log 2 log 1 log 1 3log⁴



^{3 2}



²

 

¹

x 2

  

 

  ta được nghiệm x a . Khi đó giá trị a thuộc khoảng nào sau đây?

A.

 

^{0;3 B.}

 

^{2;5 C.}

 

^{5;6 D.}



^6;



Câu 38: Phương trình ^log3



^x24x12



^2. Chọn phương án đúng.

A. Có hai nghiệm cùng dương B. Có hai nghiệm trái dấu C. Có hai nghiệm cùng âm D. Vô nghiệm

Câu 39: Phương trình ^xlog2



^{9 2 x}



^3 có nghiệm nguyên dương là a. Tính giá trị của biểu thức

3

2

5 9

T a a

  a

A. T  7 B. T 12 C. T 11 D. T6

Câu 40: Tập nghiệm của phương trình ^{log 22}



^{x  1}



^{2 là}

A.



2 log 5 2



B.



2 log 5 2



C.



log 52



D.



 2 log 52



Câu 41: Số nghiệm của phương trình log3



x1



² 2 là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 42: Tìm m để phương trình ^log2



^x33x



^m có ba nghiệm thực phân biệt.

A. m1 B. 0 m 1 C. m0 D. m1

Câu 43: Tìm m để phương trình ^{log 42}



^xm



^{ x 1} có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. 0 m 1 B. 0 m 2 C.   1 m 0 D.   2 m 0 Câu 44: Nghiệm của phương trình x2.3^log2x 3 là

A. x1 B. x 3;x1 C. x3;x1 D. x3

Câu 45: Tìm tích các nghiệm của phương trình log3



x1



³3



x1



²3x42log2



x1



A. 1 B. 7 C. 7 D. 11

Câu 46: Cho phương trình ^log2



^x3log6x



^log6x có nghiệm a xb với a

b là phân số tối giản. Khi đó tổng a b bằng?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

Câu 47: Phương trình 2^{log5x3} x có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm

Câu 48: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình ²_{1 3}

3

log x5log x 6 0. Tính T

A. T36 B. T  3 C. T 5 D. 1

T 243 Câu 49: Phương trình ^log3



^{x23x  2 2}



^{  }_{ }¹₅ ^{3x x 2 12} có tổng các nghiệm bằng?

A. 5 B. 3 C. 3 D.  5

Câu 50: Hiệu của nghiệm lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phương trình 7^x12 log 67



x5



³1 là

A. 1 B. 2 C. 1 D. 2

Câu 51: Phương trình

 

²

3 2

2 1

log 4

1

x x x

x

  

 có nghiệm là

A. x0 B. x0;x4 C. Vô nghiệm D. x4

Câu 52: Phương trình ^{2x 2 3m3x }



^{x36x29x m}



^{2x22x11} có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

^;

m a b , đặt T b²a² thì

A. T36 B. T 64 C. T 48 D. T72

Câu 53: Nghiệm của phương trình ³ log2



1



11 3

x  x  là

A. Vô nghiệm B. x2 C. 2

3 x x

 

  ^D. x3

Câu 54: Cho phương trình e^mcosxsinxe^{2 1 sin x}  2 sinx m cosx với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng



^;a

 

^{ b;}



^{. Tính T10a20b}

A. T 1 B. T 0 C. T 10 3 D. T 3 10

Câu 55: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x.log2



x  1



m m.log2



x 1



x có hai nghiệm thực phân biệt thuộc



^1;3



A. m3 B. 1 m 3 C. m3 D. Không có m

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log²3x



m2 log



3x3m 1 0 có 2 nghiệm x x₁, ₂ sao cho x x_{1 2} 27

A. 4

m 3 B. m25 C. 28

m 3 D. m1

Câu 57: Định điều kiện cho tham số m để log_xmlog_mxmlog_{m x}2 m0 có nghiệm.

TOANMATH.com Trang 19

A. m0 B. 0

1 m m

 

  ^C. m1 D. m1 Câu 58: Số nghiệm của phương trình log₄x² log 2₂ là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 59: Nghiệm phương trình log 34



x4 .log 2 1



_x  là

A. x 2 B. x4 C. 1

4 x x

  

  D. Vô nghiệm

Câu 60: Biết rằng phương trình

 

2 2

1 3

3

log 9 log 7 0

81 x x

 

  

 

  có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂. Tính

1 2

P x x A. 1₃

P9 B. P3⁶ C. P9³ D. P3⁸

Câu 61: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2

 

1

 

2

log x 1 log x 1 1.

A. 3 13

S   2 

 

  B. ^S

 

³

C. ^{S }



^{2 5; 2 5}



^{D. S}



^{2 5}



Câu 62: Biết rằng phương trình ³



¹



¹

3

log 3^x  1 2xlog 2 có hai nghiệm x₁ và x₂. Hãy tính tổng

1 2

27^x 27^x

S 

A. S180 B. S45 C. S9 D. S252

Câu 63: Số nghiệm của phương trình

 

3 5 2 6 0

ln 1

x x x

x

  

 là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 64: Biết rằng phương trình ^{2 1}

 

2

 

2

2 log log 1 1log 2 2

x  x 2 x x có nghiệm duy nhất dạng 3

a b với ,a b. Tính tổng S a b 

A. S6 B. S2 C. S 2 D. S 6

Câu 65: Phương trình

2 2

3

2 1

log x x 1 3

x x

x

     có tổng các nghiệm bằng:

A. 3 B. 5 C. 5 D. 2

Câu 66: Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình



^{2 2 2}



4 2

log 2 ^x2^x 2 log m2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng

A. S6 B. S8 C. S10 D. S12

Câu 67: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình

 

 

log 2

log 1 1 mx

x

 

 có nghiệm duy nhất A. 0 m 100 B. m0;m100 C. m1 D. Không tồn tại m Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log²₃x m log ₃x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1.

A. m2 B. m 2 C. m 2 D. m0

Câu 69: Gọi m₀ là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình

 

²1

   

1

 

2 2

1 log 2 5 log 2 1 0

m x  m x   m có nghi�