Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

(1)

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Hoạt động 1 trang 80 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình 6^{2x – 3} = 1 bằng cách đưa về dạng a^A(x) = a^B(x) và giải phương trình A(x) = B(x).

Lời giải:

Ta có: 6^{(2x - 3)} = 1  6^{(2x - 3)} = 6⁰  2x – 3 = 0 x = 3 2. Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

2.

Hoạt động 2 trang 81 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình ¹

5 . 5^2x + 5 . 5^x = 250 bằng cách đặt ẩn phụ t = 5^x.

Lời giải:

Đặt t = 5^x (t > 0), ta có:

¹

5 . 5^2x + 5 . 5^x = 250

 ¹

5.t² + 5t = 250

 t² + 25t – 1250 = 0

 t = 25 hoặc t = – 50 (loại)

Khi đó 5^x = 25  5^x = 5²  x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Hoạt động 3 trang 81 Toán lớp 12 Giải tích: Tính x, biết log3x = 1 4. Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0

Theo định nghĩa logarit ta có:

log3x = 1

4  x =

1

34 (t/m)

(2)

Vậy x =

1

34.

Hoạt động 4 trang 82 Toán lớp 12 Giải tích: Cho phương trình log3x + log9x

= 6. Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số.

Lời giải:

Ta có:

log9x = log x = 32 1

2 log3x.

Vây phương trình đã cho tương đương với phương trình:

log3x + 1

2 log3x = 6.

Hoạt động 5 trang 83 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình

2

2 2

log x3log x 2 0 bằng cách đặt ẩn phụ t = log2x.

Lời giải:

Đặt t = log2x.

Ta có: log x²₂ 3log x₂  2 0

t² – 3t + 2 = 0 t 1 t 2

 

  

Với t = 1 thì log x 1₂  x = 2¹ = 2 Với t = 2 thì log x₂   2 x 2² 4

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2, x = 4.

Hoạt động 6 trang 83 Toán lớp 12 Giải tích: Giải phương trình

2

1 2

2

log xlog x2 Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0

2

1 2

2

log xlog x2

(3)

 

1

2 2 2

log  x log x 2

  

 

²

2 2

log x log x 2

    (*)

Đặt tlog x₂

Khi đó (*) – t + t² = 2  t² – t – 2 = 0 t 2

t 1

 

   

Với t = 2 thì log x₂   2 x 2² 4 (t/m)

Với t = -1 thì ₂ ¹ 1

log x 1 x 2

2

     

Vậy x = 4, x = 1

2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập

Bài 1 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình mũ:

a)

 

^0,3 ^{3x 2}^ ^¹^;

b) 1 x

5 25

  

   ; c) 2^x²^{ }^{3x 2} 4;

d)

   

^0,5 ^{x 7}^ ^{. 0,5} ^{1 2x}^ ^²^.

Lời giải:

a)

 

^0,3 ^{3x 2}^ ^¹

 

^0,3 ^{3x 2}^

 

^0,3 ⁰

 

3x 2 0

   x 2

  3

(4)

Vậy phương trình có nghiệm là x ².

 3 b)

1 x

5 25

  

  

 

⁵^¹ ^x ⁵²

 

x 2

5^ 5

 

 - x = 2 x = -2

Vậy phương trình có nghiệm là x = - 2.

c) 2^x²^{ }^{3x 2} 4

x2 3x 2 2

2 ^{ } 2

 

 x² 3x 2 2

 x² – 3x = 0

 x(x – 3) = 0 x 0

x 3

 

  

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; 3}.

d)

   

^0,5 ^{x 7}^ ^{. 0,5} ^{1 2x}^ ^²

 

^0,5 ^{x 7 1 2x}^{  } ²

 

1 8 x

2 2

  

   



 

²^¹ ^{8 x}^ ^²

x 8 1

2 ^ 2

 

x – 8 = 1

x = 9

(5)

Vậy phương trình có nghiệm x = 9.

Bài 2 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình mũ : a) 3^{2x – 1} + 3^2x = 108;

b) 2^x+1 + 2^{x – 1} + 2^x = 28;

c) 64^x – 8^x– 56 = 0;

d) 3.4^x – 2.6^x = 9^x. Lời giải:

a) 3^{2x – 1} + 3^2x = 108

3^{2x – 1} + 3^{2x – 1}. 3 = 108

3^{2x – 1}. (1 + 3) = 108

 3^{2x – 1} = 108 : 4

 3^{2x – 1}= 27

3^{2x – 1}= 3³

 2x – 1 = 3

 2x = 4  x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 2^x+1 + 2^{x – 1} + 2^x = 28

 2^{x – 1}. 2² + 2^{x – 1}+ 2^{x – 1}. 2 = 28

 2^{x – 1}.(4 + 1 + 2) = 28

 2^{x – 1}= 28 : 7

 2^{x – 1}= 4

 2^{x – 1} = 2²

x – 1 = 2

 x = 3

(6)

c) 64^x – 8^x– 56 = 0

 (8²)^x – 8^x– 56 = 0

(8^x)² – 8^x – 56 = 0 (*)

Đặt 8^x = t (t > 0, do 8^x > 0 với mọi x) Khi đó (*)  t² – t – 56 = 0

 t 8 (tm) t 7 (ktm)

 

  



Với t = 8 thì 8^x = 8 = 8¹ Suy ra x = 1.

d) 3.4^x – 2.6^x = 9^x

 3.4^x – 2.6^x – 9^x = 0

x x

4 6

3. 2. 1 0

9 9

    (do 9^x > 0)

x x

4 6

3. 2. 1 0

9 9

   

         

2 x x

2 2

3. 2. 1 0

3 3

    

          

x 2 x

2 2

3. 2. 1 0

3 3

    

           (*)

Đặt ² ^x ^{t t}



⁰



  3 

  

(7)

(*) 3t² – 2t – 1 = 0

 

t 1 tm

t 1 ktm

3

 

   



Với t = 1 thì 2 x

1 x 0

    3

  

Bài 3 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình lôgarit:

a) log 5x3



 3



log 7x3



5



; b) ^{log x 1}



^{ }



^{log 2x 11}



^



^^{log 2}^;

c) log2



x 5



log2



x2



3; d) ^{log x}



² ^^6x^⁷



^^{log x}



^³



^.

Lời giải:

a) log 5x3



 3



log 7x3



5



(1)

ĐKXĐ: ^5x ³ ⁰ 7x 5 0

  

  



x 3

5 x 3

5 5

x 7

  

     



Khi đó: (1) 5x + 3 = 7x + 5

 7x – 5x = 3 – 5

 2x = - 2

 x = -1 (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ^{log x 1}



^{ }



^{log 2x 11}



^



^^{log 2} ⁽²⁾

ĐKXĐ: ^{x 1 0} 2x 11 0

  

  



x 1

x 11

11 2

x 2

 

  

 

(8)

Khi đó: (2)  x 1

log log 2

2x 11

 



x 1 2

2x 11

  



 

x 1 2 2x 11

   

 x – 1 = 4x – 22

 4x – x = - 1 + 22

 3x = 21

 x = 7 (t/m)

c) log2



x 5



log2



x2



3 (3)

ĐKXĐ: ^x ⁵ ⁰ ^x ⁵

x 2 0 x 2

  

 

     

   x 5

Khi đó: (3) log2

 

x5 x



2

 

3

 (x – 5)(x + 2) = 2³

 x² – 5x + 2x – 10 = 8

 x² – 3x – 18 = 0

 

x 6 tm x 3 ktm



 

  

d) ^{log x}



² ^^6x^⁷



^^{log x}



^³



⁽⁴⁾

ĐKXĐ:

2 x 3 2

x 6x 7 0

x 3 2

x 3 0

x 3

  

    

     

 

 

x 3 2

  

Khi đó: (4) x² – 6x + 7 = x – 3

(9)

x² – 7x + 10 = 0

 

x 5 tm x 2 ktm



 

 

Bài 4 trang 85 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình lôgarit:

a) ¹^{log x}



² ^x ⁵



^{log 5x} ^log ¹

2     5x;

b) ¹^{log x}



² ^{4x 1}



^log8x ^{log 4x;}

2    

c) log ₂ x4log x₄ log x 13₈  . Lời giải:

a) ¹^{log x}



² ^x ⁵



^{log 5x} ^log ¹

2     5x (1)

ĐKXĐ:

x2 x 5 0 5x 0

1 0

5x

   

 



 



1 21

x 2

1 21

x 2

x 0

  

 



    

 

1 21

x 2

   

Khi đó: (1) ² 1

log x x 5 log 5x.

5x

 

      log x2 x 5 log1

   

x2 x 5 1

   

x² + x – 5 = 1

 x² + x – 6 = 0

 

x 2 tm x 3 ktm



 

  

(10)

b) ¹^{log x}



² ^{4x 1}



^log8x ^{log 4x}

2     (2)

ĐKXĐ:

x2 4x 1 0 8x 0

4x 0

   

 

 



x 2 5

x 0

  

   

 



x 2 5

  

Khi đó: (2) ² 8x

log x 4x 1 log

    4x log x2 4x 1 log 2

   

x2 4x 1 2

   

 x² – 4x – 1 = 4

x² – 4x – 5 = 0

 

x 5 tm x 1 ktm



 

  

c) ₄ ₈

log 2 x4log xlog x 13 (3) ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (3) 1 2 3

2 2 2

2

log x 4log x log x 13

   

2 2 2

1 1

2log x 4. log x log x 13

2 3

   

2

4 1

2 log x 13

2 3

 

    

2

13log x 13

 3  log x2 3

 

 x = 2³

(11)

 x = 8 (t/m)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.