Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 8

Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Câu hỏi 1 trang 19 SGK Toán lớp 8 Tập 2: Giá trị x = 1 có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Vì sao ?

Lời giải

Giá trị x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

Vì tại x = 1 thì ¹

x 1− có mẫu bằng 0,vô lí.

Câu hỏi 2 trang 20 SGK Toán lớp 8 Tập 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

x x 4

a)x 1 x 1

= +

− + ; 3 2x 1

b) x

x 2 x 2

= − −

− − .

Lời giải

a) Phương trình x x 4

x 1 x 1

= +

− + xác định:

x 1 0 x 1

x 1 0 x 1

−  

 

 +    −

 

Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ ±1.

b) Phương trình ^{3 2x 1} x x 2 x 2

= − −

− − xác định khi:

x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2

Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2.

Câu hỏi 3 trang 22 SGK Toán lớp 8 Tập2: Giải các phương trình trong câu hỏi 2

Lời giải

x x 4

a)x 1 x 1

= +

− + ;

Điều kiện xác định: x 1

x x 4

x 1 x 1

= +

− +

x(x 1) (x 1)(x 4) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ − +

 =

− + + −

Suy ra x(x + 1) = (x - 1)(x + 4) Ta có:

x(x + 1) = (x - 1)(x + 4)

⇔ x² + x = x² + 4x - x – 4

2 2

x x x 4x x 4 0

 + − − + + =

(

) ⁽

⁾

 − + − + + =

2x 4 0

 − + =

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {2}

b) Điều kiện xác định : x ≠ 2 . 3 2x 1

x 2 x 2 x

= − −

− −

3 2x 1 x(x 2)

x 2 x 2 x 2

− −

 = −

− − −

Suy ra 3 = 2x - 1 - x(x - 2)

⇔ 3 = 2x – 1 - (x² - 2x)

⇔ 3 = 2x - 1 - x² + 2x

⇔ 3 = 4x - 1 - x²

⇔ x² – 4x + 4 = 0

⇔ (x - 2)² = 0

⇔ x - 2= 0

⇔ x = 2 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = ∅ Bài tập

Bài 27 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2: Giải các phương trình:

a)2x 5 x 5 3

− = + ; b)

x2 6 3

x x 2

− = + ;

c)

(x2 2x) (3x 6) x 3 0

+ − + =

− ;

d) 5

3x 2=2x 1−

+ .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ -5.

2x 5 x 5 3

− = +

2x 5 3(x 5)

x 5 x 5

− +

 =

+ +

Suy ra: 2x – 5 = 3(x + 5)

⇔ 2x – 5 = 3x + 15

⇔ 2x – 3x = 15 + 5

⇔ -x = 20 nên x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

x2 6 3

x x 2

− = +

2 2

2(x 6) 2x 3x

2x 2x

− +

 =

Suy ra: 2(x² – 6) = 2x² + 3x

⇔ 2x² – 12 – 2x² – 3x = 0

⇔ - 12 - 3x = 0

⇔ -3x = 12

⇔ x = -4 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.

c) Điều kiện xác định: x ≠ 3.

(x2 2x) (3x 6) x 3 0

+ − + =

− ;

Suy ra: (x² + 2x) – (3x + 6) = 0

⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x – 3)(x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 2 = 0

+ Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ) + Nếu x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

d) Điều kiện xác định: 2 x −3

5 2x 1

3x 2= −

+ .

5 (2x 1).(3x 2)

3x 2 3x 2

− +

 =

+ +

Suy ra: 5 = (2x – 1)(3x + 2) hay (2x – 1)(3x + 2) = 5

⇔ 2x.3x + 2x.2 – 1.3x – 1.2 = 5

⇔ 6x² + 4x – 3x – 2 – 5 = 0

⇔ 6x² + x – 7 = 0.

⇔ 6x² – 6x + 7x – 7 = 0 (Tách để phân tích vế trái thành nhân tử)

⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0

⇔ (6x + 7)(x – 1) = 0

⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x – 1 = 0

+Nếu 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = - 7 ⇔ 7

x 6

= − (thỏa mãn đkxđ)

+Nếu x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm 7

S ; 1

6

 

= − 

 .

Bài 28 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2: Giải các phương trình:

a)^{2x 1} 1 ¹

x 1 x 1

− + =

− − ;

b) 5x 6

2x 2 1 x 1

+ = −

+ + ; c)x ¹ x^{2 1}₂

x x

+ = + ;

d)x 3 x 2 x 1 x 2

+ + − =

+ .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 1.

2x 1 1

x 1 1 x 1

− + =

− −

2x 1 1(x 1) 1

x 1 x 1

− + −

 =

− −

Suy ra: 2x – 1 + x – 1 = 1

⇔ 3x – 2 = 1

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -1.

5x 6

2x 2 1 x 1

+ = −

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 x 1 6 .2 5x

2 x 1 2 x 1 2 x 1

+ −

 + =

+ + +

5x 2(x 1) 6.2 2(x 1) 2(x 1)

+ + −

 =

+ +

Suy ra: 5x + 2(x + 1) = -12

⇔ 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

2 2

1 1

x x

x x

+ = + ;

3 4

2 2

x x x 1

x x

+ +

 =

Suy ra: x³ + x = x⁴ + 1

⇔ x⁴ + 1 – x – x³ = 0

⇔ (x⁴ – x³) + (1 – x) = 0

⇔ x³(x – 1) – (x – 1) = 0

⇔ (x³ – 1)(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x² + x + 1)(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)². (x² + x + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0 (vì

2

2 2 1 3 1 3

x x 1 x x x 0 x

4 4 2 4

 

+ + = + + + = +  +   ).

⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

x 3 x 2

x 1 x 2 + + − = +

(x 3).x (x 2)(x 1) 2x(x 1)

(x 1).x x(x 1) x(x 1)

+ − + +

 + =

+ + +

Suy ra: (x + 3)x + (x - 2)(x + 1) = 2.x(x + 1)

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0

⇔ x² + 3x + x² – 2x + x – 2 – (2x² + 2x) = 0

⇔ x² + 3x + x² – 2x + x – 2 – 2x² - 2x = 0

⇔ (x² + x² – 2x²) + (3x + x – 2x – 2x) – 2 = 0

⇔ 0x – 2 = 0

⇔ 0x = 2 vô lí

Vậy phương trình vô nghiệm.

Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2)

Bài 29 trang 22-23 SGK Toán lớp 8 tập 2: Bạn Sơn giải phương trình x2 5x

x 5 5

− =

− (1) như sau:

(1)⇔ x² – 5x = 5(x – 5)

⇔ x² – 5x = 5x – 25

⇔ x² – 10x + 25 =0

⇔ (x - 5)² = 0

⇔ x = 5

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

x(x 5)

(1) 5 x 5

x 5

 − =  =

−

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.

Lời giải:

+) Cách làm của bạn Sơn sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã nhân cả hai vế với ( x- 5).

+) Cách làm của bạn Hà sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã rút gọn cả hai vế cho biểu thức (x- 5) phụ thuộc biến x.

+) Cách giải đúng

Điều kiện xác định: x ≠ 5 Ta có:

x2 5x x 5 5

− =

−

x2 5x 5(x 5)

x 5 x 5

− −

 =

− −

Suy ra: x² – 5x = 5( x - 5)

⇔ x( x - 5) – 5(x – 5) = 0

⇔ ( x - 5).( x - 5) =0

⇔ (x - 5)² = 0

⇔ x – 5= 0

⇔ x = 5 ( không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 30 (trang 23 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) ¹ 3 ^{x 3}

x 2 2 x

+ = −

− − ;

b)

2x2 4x 2 2x− x 3 = x 3+7

+ + ;

c)x 1 x 1 ₂4

x 1 x 1 x 1

+ − − =

− + − ;

d)3x 2 6x 1

x 7 2x 3

− = + + − .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 2.

1 x 3

x 2 3 2 x + = −

− −

1 3(x 2) (x 3)

x 2 x 2

+ − − −

 =

− −

Suy ra: 1 + 3(x – 2) = -(x – 3)

⇔ 1 + 3x – 6 = -x + 3

⇔ 3x + x = 3 + 6 – 1

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -3.

2x2 4x 2 2x− x 3 = x 3+7

+ +

7.2x(x 3) 7.2x2 7.4x 2(x 3) 7(x 3) 7.(x 3) 7(x 3)

+ − +

 = +

+ + +

Suy ra: 14x(x + 3) – 14x² = 28x + 2(x + 3)

⇔ 14x² + 42x – 14x² = 28x + 2x + 6

⇔ 42x – 28x – 2x = 6

⇔ 12x = 6

⇔ x = ¹

2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1 2

  

 . c) Điều kiện xác định: x ≠ ±1.

2

x 1 x 1 4

x 1 x 1 x 1

+ − − =

− + − ;

(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 4

(x 1)(x 1) (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + − −

 − =

− + + − + −

Suy ra: x² + 2x + 1 – (x² – 2x + 1) = 4

⇔ x² + 2x + 1 – x² + 2x – 1 = 4

⇔ 4x = 4

⇔ x = 1 (không thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình vô nghiệm.

d) Điều kiện xác định: x ≠ -7; x ≠ ³ 2.

3x 2 6x 1

x 7 2x 3

− = +

+ −

(3x 2)(2x 3) (6x 1)(x 7) (x 7)(2x 3) (2x 3)(x 7)

− − + +

 =

+ − − +

Suy ra: (3x – 2)(2x – 3) = (6x + 1)(x + 7)

⇔ 6x² – 9x – 4x + 6 = 6x² + 42x + x + 7

⇔ - 4x - 9x - 42x - x = 7 - 6

⇔ - 56x = 1

⇔ x = 1 56

− (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1 56

 −

  .

Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2: Giải các phương trình:

a)

2

3 2

1 3x 2x

x 1− x 1=x x 1

− − + + ;

b) 3 2 1

(x 1)(x 2) + (x 3)(x 1) =(x 2)(x 3)

− − − − − − ;

c) 1 12 ₃

1+ x 2 = 8 x + + ;

d) 13 1 6

(x 3).(2x 7) + 2x 7 = (x 3)(x 3)

− + + − + .

Lời giải:

a) + Tìm điều kiện xác định : x² + x + 1 = ² 1

x x

4

 + + 

 

 

3 1 2 3

x 0

4 2 4

 

+ = +  +  với mọi x ∈ R.

Do đó x² + x + 1 ≠ 0 với mọi x ∈ .

x³ – 1 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x² + x + 1) ≠ 0 ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 1.

+ Giải phương trình:

2

3 2

1 3x 2x

x 1− x 1=x x 1

− − + +

2

2 2

1 3x 2x

x 1 (x 1)(x x 1) x x 1

 − =

− − + + + +

2 2

2 2 2

x x 1 3x 2x(x 1)

(x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) (x x 1)(x 1)

+ + −

 − =

− + + − + + + + −

⇒ x² + x + 1 – 3x² = 2x(x – 1)

⇔ -2x² + x + 1 = 2x² – 2x

2 2

2x x 1 2x 2x 0

 − + + − + =

⇔ -4x² + 3x + 1 = 0

⇔ -4x² + 4x - x + 1 = 0

⇔ -4x(x – 1) – ( x – 1) = 0

⇔ (-4x - 1)(x – 1) = 0

⇔ - 4x - 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

+) Nếu - 4x - 1 = 0 ⇔ - 4x = 1 ⇔ x = ¹ 4

− (thỏa mãn đkxđ)

+) Nếu x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (không thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = ¹ 4

 −

  . b) Điều kiện xác định: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3.

3 2 1 (x 1)(x 2) + (x 3)(x 1) =(x 2)(x 3)

− − − − − −

3(x 3) 2(x 2) 1.(x 1)

(x 1)(x 2)(x 3) (x 3)(x 1)(x 2) (x 2)(x 3)(x 1)

− − −

 + =

− − − − − − − − −

⇒ 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1

⇔ 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1

⇔ 3x + 2x – x = 9 + 4 – 1

⇔ 4x = 12

⇔ x = 3 (không thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình vô nghiệm.

c)

+) Ta có: 8 + x³ = (2 + x).( 4 - 2x+ x² )

Mà 4 - 2x + x² = (1 – 2x + x² ) + 3 = (1- x)² + 3 > 0 với mọi x.

Do đó: 8 + x³ ≠ 0 ⇔ 2 + x ≠ 0 ⇔ x ≠ -2 +) Điều kiện xác định: x ≠ -2.

3

1 12

1+ x 2 = 8 x

+ +

2

1 12

1 x 2 (2 x)(4 2x x )

 + =

+ + − +

2 2

2

(2 x).(4 2x x ) 1.(4 2x x ) 12

x 2 (2 x)(4 2x x )

+ − + + − +

 =

+ + − +

⇔ (2 + x). (4 – 2x + x²) + 4 – 2x + x² = 12

⇔ 8 + x³ + 4 – 2x + x² – 12 = 0

⇔ x³ + x² – 2x = 0

⇔ x(x² + x – 2) =0

Do đó, x = 0 hoặc x² + x – 2 = 0.

Giải phương trình x² + x – 2 = 0.

⇔ x² – 1 + x – 1 = 0.

⇔ (x + 1)(x - 1) + 1(x - 1) = 0

⇔(x - 1)(x + 1 + 1) = 0

⇔(x - 1)(x + 2) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc x + 2 = 0 Nếu x – 1 = 0 thì x = 1.

Nếu x + 2 = 0 thì x = -2.

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0; 1}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ ±3; x ≠ ⁷ 2

− .

13 1 6

(x 3).(2x 7) + 2x 7 = (x 3)(x 3)

− + + − +

13(x 3) 1.(x 3)(x 3) 6(2x 7) (x 3).(2x 7)(x 3) (x 3)(x 3)(2x 7)

+ + − + +

 =

− + + − + +

⇒ 13(x + 3) + (x – 3)(x + 3) = 6(2x + 7)

⇔ 13x + 39 + x² – 9 = 12x + 42

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ x² + 4x – 3x – 12 = 0

⇔ x(x + 4) – 3(x + 4) = 0

⇔ (x – 3)(x + 4) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 4 = 0

Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (không thỏa mãn đkxđ) Nếu x + 4 = 0 ⇔ x = -4 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.

Bài 32 (trang 23 SGK Toán 8 tập 2): Giải các phương trình:

a) 1 1 ²

2 2 (x 1)

x x

 

+ = +  + ;

b)

2 2

1 1

x 1 x 1

x x

 + +  = − − 

   

    .

Lời giải:

a) ĐKXĐ: x 0

1 1 2

2 2 (x 1)

x x

 

+ = +  +

1 1 2

2 2 (x 1) 0

x x

 

 + − +  + = 1 2

2 (1 x 1) 0 x

 

 +  − − = 1 2

2 ( x ) 0 x

 

 +  − =

2 2

1 1 1

2 0 2 x

x x 2

x 0 x 0 x 0

 + =  = −  =−

  

  

  

− = = =

  

Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

x 2

= − .

b)

2 2

1 1

x 1 x 1

x x

 + +  = − − 

   

   

ĐKXĐ: x 0 .

2 2

1 1

x 1 x 1

x x

 + +  = − − 

   

   

2 2

1 1

x 1 x 1 0

x x

   

 + +  −  − −  =

1 1 1 1

x 1 x 1 x 1 x 1 0

x x x x

  

 + + + − −  + + − + + =

2x 2 2 0

x

 

  + =

 

2x 0 x 0

x 0

2 2

x 1

2 0 2

x x

= =

   =

 

 + =  = −   = −

Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là x = -1.

Bài 33 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2: Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:

a)3a 1 a 3

3a 1 a 3

− + − + + ;

b)10 3a 1 7a 2 3 4a 12 6a 18

− +

− −

+ + .

Lời giải:

a) Biểu thức có giá trị bằng 2 thì:

3a 1 a 3

3a 1 a 3 2

− + − =

+ +

ĐKXĐ: 1

a 3;a

3

 −  − .

3a 1 a 3 3a 1 a 3 2

− + − =

+ +

(3a 1).(a 3) (a 3)(3a 1) 2(3a 1).(a 3)

(3a 1).(a 3) (3a 1).(a 3)

− + + − + + +

 =

+ + + +

Suy ra: (3a – 1).(a + 3) + (a – 3)(3a + 1) = 2(3a + 1). (a + 3)

3a² + 9a – a – 3 + 3a² + a – 9a – 3 = 2(3a² + 9a + a + 3)

6a² – 6 = 6a² + 18a + 2a + 6

6a² – 6 - 6a² - 18a - 2a – 6 = 0

-20a – 12 = 0

 -20a = 12 a 3

5

 =− ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy với 3

a 5

= − thì biểu thức đã cho có giá trị 2.

b) Để biểu thức có giá trị bằng 2 thì 10 3a 1 7a 2 3 4a 12 6a 18 2

− +

− − =

+ +

ĐKXĐ: a −3

Ta có: 10 3a 1 7a 2 3 4a 12 6a 18 2

− +

− − =

+ +

10 3a 1 7a 2

3 4(a 3) 6(a 3) 2

− +

 − − =

+ +

10.4(a 3) 3(3a 1) 2(7a 2) 2.12(a 3)

12(a 3) 12(a 3)

+ − − − + +

 =

+ +

Suy ra: 10.4(a + 3) – 3(3a – 1) – 2.(7a + 2) = 2.12(a + 3)

( ) ( ) ( ) ( )

40 a 3 3 3a 1 2 7a 2 24. a 3

 + − − − + = +

40a + 120 – 9a + 3 – 14a – 4 = 24a + 72

17a + 119 = 24a + 72

17a – 24a = 72 - 119

-7a = - 47 a 47

 = 7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với 47

a = 7 thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.