Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu A. Lý thuyết
1. Điều kiện xác định
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.
Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình 3x 2 x 4 1
− =
− . Lời giải:
Vì x – 4 = 0 x = 4 nên ĐKXĐ của phương trình 3x 2 x 4 1
− =
− là x ≠ 4.
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình tìm được.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 3x 3x 2
2x 3 2x 1
− = +
− − + . Lời giải:
ĐKXĐ: x ≠ 3 2
− và x ≠ 1 2
−
2 3x 3x 2
2x 3 2x 1
− = +
− − +
(2 3x)(2x 1) (3x 2)( 2x 3) ( 2x 3)(2x 1) (2x 1)( 2x 3)
− + + − −
=
− − + + − −
Suy ra: (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(– 2 – 3)
– 6x2 + x + 2 = – 6x2 – 13x – 6
– 6x2 + x + 2 + 6x2 + 13x + 6 = 0
14x + 8 = 0
14x = – 8 x 4
= −7 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 4 7
−
. B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải phương trình:
2 2
(x 3) x 10
2x 3 1 2x 3 + − = +
− − .
Lời giải:
ĐKXĐ: x ≠ 3 2
− .
2 2
(x 3) x 10
2x 3 1 2x 3 + − = +
− −
2 2
(x 3) (2x 3) x 10
2x 3 2x 3
+ − − +
=
− −
Suy ra: (x + 3)2 – (2x – 3) = x2 + 10
x2 + 6x + 9 – 2x + 3 = x2 + 10
x2 + 4x + 12 = x2 + 10
x2 + 4x – x2 = 10 – 12
4x = – 2 x 1
= −2 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1 2
−
.
Bài 2. Giải phương trình: 6x 1 2x 5
3x 2 x 3
− = + + − . Lời giải:
ĐKXĐ: x ≠ 2 3
− và x ≠ 3.
6x 1 2x 5
3x 2 x 3
− +
+ = −
(6x 1)(x 3) (2x 5)(3x 2) (3x 2)(x 3) (x 3)(3x 2)
− − + +
=
+ − − +
Suy ra: (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)
6x2 – 19x + 3 = 6x2 + 19x + 10
6x2 – 6x2 – 19 x – 19x = 10 – 3
– 38x = 7 x 7
= −38 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 7 38
−
.
Bài 3. Tìm các giá trị của x sao cho biểu thức x 3 x 2
x 2 x 4
− + −
− − có giá trị bằng – 1.
Lời giải:
Ta có: x 3 x 2 x 2 x 4 1
− + − = −
− − .
ĐKXĐ: x ≠ 2 và x ≠ 4.
x 3 x 2
x 2 x 4 1
− + − = −
− −
(x 3)(x 4) (x 2)2 (x 2)(x 4)
(x 2)(x 4) (x 2)(x 4)
− − + − − −
= −
− − − −
Suy ra: (x – 3)(x – 4) + (x – 2)2 = – (x – 2)(x – 4)
(x2 – 7x + 12) + (x2 – 4x + 4) = −(x2 – 6x + 8)
2x2 – 11x + 16 = −x2 + 6x – 8
2x2 – 11x + 16 + x2 – 6x + 8 = 0
3x2 – 17x + 24 = 0
3x2 – 9x – 8x + 24 = 0
(3x2 – 9x) – (8x – 24) = 0
3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0
(x – 3)(3x – 8) = 0
x – 3 = 0 hoặc 3x – 8 = 0.
+ x – 3 = 0 x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ);
+ 3x – 8 = 0 3x = 8 8
x 3
= (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy các giá trị của x thỏa mãn bài toán là x = 3 và 8 x= 3.
