Bài 3. Bất phương trình một ẩn
A. Lý thuyết
1. Bất phương trình một ẩn
- Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x).
Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B(x) gọi là vế phải.
Ví dụ 1.
7x – 1 > 3x là bất phương trình với ẩn x;
2 – 6y = 3(y + 2) – 1 là bất phương trình với ẩn y;
2t – 9 = 2 + 5(t + 6) là bất phương trình với ẩn t.
- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.
Ví dụ 2. Cho bất phương trình 4 + 3x > 2(x + 1) – 7 (1).
Với x = 1, ta có:
VT(1) = 4 + 3 . 1 = 7;
VP(1) = 2 . (1 + 1) – 7 = 2 . 2 – 7 = – 3.
Nhận thấy x = 1 thỏa mãn bất phương trình (1) nên x = 1 là nghiệm (hay nghiệm đúng) của bất phương trình (1).
2. Tập nghiệm của bất phương trình
- Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
- Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình x < −3 là tập hợp các số nhỏ hơn −3, tức là tập hợp {x | x < −3}.
Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:
Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 5 là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 5 tức là tập hợp {x | x ≥ 5}.
Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:
3. Bất phương trình tương đương
- Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
- Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu “” (đọc là tương đương).
Ví dụ 5. Hai phương trình x – 4 > 0 và x > 4 được gọi là tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là {x | x > 4}. Khi đó ta viết: x – 4 > 0 x > 4.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Kiểm tra xem giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
a) 2x – 5 < 10 b) −4x > 3x + 7 c) 5 – 2x > 4x – 6 Lời giải:
Thay x = 2 lần lượt vào từng vế của mỗi bất phương trình, ta được:
a) 2x – 5 = 2 . 2 – 5 = –1 < 10.
Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình 2x + 3 < 9.
b) – 4x = – 4 . 2 = – 8;
3x + 7 = 3 . 2 + 7 = 13
Vì – 8 < 13 nên x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình −4x > 3x + 7.
c) 5 – 2x > 4x – 6
5 – 2x = 5 – 2 . 2 = 1;
4x – 6 = 4 . 2 – 6 = 2.
Vì 1 < 2 nên x = 2 không phải là nghiệm của bất phương trình 5 – x > 3x – 12.
Bài 2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số bất phương trình x ≤ −6.
Lời giải:
Tập nghiệm của bất phương trình x ≤ −6 là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng −6, tức là tập hợp {x | x ≤ −6}.
Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:
Bài 3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ nêu một bất phương trình).
a)
b)
c)
Lời giải:
a) Hình a) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 4;
b) Hình b) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < −5;
c) Hình c) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 2.
