Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Hoạt động 1 trang 80 Toán lớp 10 Đại số: Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này.

Lời giải:

Ví dụ một bất phương trình: 3x² – 2x + 1 > 0 Vế trái của bất phương trình là: 3x² – 2x + 1.

Vế phải của bất phương trình là: 0.

Hoạt động 2 trang 81 Toán lớp 10 Đại số: Cho bất phương trình 2x3. a) Trong các số 1

2;2 ; ; 10

− 2  số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Lời giải:

a) Với x = −2 thì 2.(−2) = −4 ≤ 3 đúng nên x = −2 là nghiệm của bất phương trình.

Với 1 5

x 2

2 2

= = thì 2. ⁵ 5 3

  = 2

   là mệnh đề sai nên 1

x 2

= 2 không là nghiệm của bất phương trình.

Với x=  thì 2 3 là mệnh đề sai nên x =  không là nghiệm của bất phương trình.

Với x= 10, ta có:

(

)

Vậy trong các giá trị đã cho chỉ có x = −2 là nghiệm.

b) Ta có: 1 1 3

2x 3 .2x .3 x

2 2 2

    

Vậy bất phương trình có nghiệm là 3 x 2.

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Hoạt động 3 trang 82 Toán lớp 10 Đại số: Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không? Vì sao?

Lời giải:

Hai bất phương trình trong ví dụ 1 là:

( ) ( )

3 x 0 1 x 1 0 2

 − 

 + 



Ta có:

( )

( )

Vậy hai bất phương trình trong ví dụ 1 không tương đương vì chúng không có cùng tập nghiệm.

Bài tập

Bài 1 trang 87 Toán lớp 10 Đại số: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau

a) ¹ 1 ¹ x  − x 1

+ ; b) ₂1 ₂ 2x

x 4 x 4x 3

− − + ; c) 2 x 1 ³ x 1 ^2x

− + −  x 1

+ ; d) 2 1 x 3x ¹

x 4

−  +

+ . Lời giải:

a) ¹ 1 ¹ x  − x 1

+

Điều kiện: x 0 x 0

x 1 0 x 1

   

 +    −



Vậy tập xác định của bất phương trình là D = R\{0; – 1}.

b) ₂1 ₂ 2x

x 4 x 4x 3

− − + Điều kiện:

2 2

(x 2)(x 2) 0 x 2

x 4 0

(x 1)(x 3) 0 x 1, x 3

x 4x 3 0

− +   

 −   

 

 − +   − −    



Vậy tập xác định của bất phương trình là D = R\{–2; 1; 2; 3}.

c) 2 x 1 ³ x 1 ^2x

− + −  x 1

+ Điều kiện:

Vậy tập xác định của bất phương trình là D = R\{–1}.

d) 2 1 x 3x ¹ x 4

−  +

+

Điều kiện: 1 x 0 x 1

x 4 0 x 4

 −   

 +    −



Vậy tập xác định của bất phương trình là D= − −  −( ; 4) ( 4;1] hoặc D= −( ;1] \ { 4}− .

Bài 2 trang 88 Toán lớp 10 Đại số: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm

a) x² + x+  −8 3;

b) ^{1 2 x}

(

)

+ − + − +  2; x 1 0+    −x 1

c) 1 x+ ² − 7+x² 1. Lời giải:

a) Điều kiện: x+    −8 0 x 8 Ta thấy:

2

x 0 2

x x 8 0, x 8 x 8 0

   + +    −

 + 



Suy ra x² + x+  −   −8 3, x 8

Vậy bất phương trình x² + x+  −8 3vô nghiệm trên tập xác định của nó.

b) ^{1 2 x}

(

)

+ − + − +  2 Điều kiện:

( )

2

1 2 x 3 0 5 4x x 0

 + − 



− + 



Vì

(

)

(

)

Ta có:

( )

2 2 2

2 2

1 2(x 3) 1 1 2(x 3) 1

5 4x x x 2 1 1 5 4x x 1

+ −  

 + − 



= − 



 

− +

  − + 

 + 

Cộng vế với vế, ta được: ^{2 2} 3

1 2(x 3) 5 4x x 1 1 2

+ − + − +  + =  2

Hay ^{2 2} 3

1 2(x 3) 5 4x x

+ − + − +  2  x . Vậy bất phương đã cho trình vô nghiệm.

c) 1 x+ ² − 7+x² 1 Tập xác định: D = R

Ta có: 1 7  +1 x²  +7 x² (cộng cả hai vế với x²).

Căn bậc hai hai vế, ta được: 1 x+ ²  7+x²

2 2

1 x 7 x 0 1

 + − +  

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3 trang 88 Toán lớp 10 Đại số: Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) – 4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0;

b) 2x² + 5 2x 1− và 2x² −2x+ 6 0; c) x + 1 > 0 và x 1 ₂¹ ₂¹

x 1 x 1

+ + 

+ + ;

d) x 1− x và

(

)

(

)

Lời giải:

a) Ta có: ^{−4x 1 0+   −}

( ) (

) ( )

 − 

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương.

b) Xét bất đẳng thức 2x² + 5 2x 1− , cộng cả hai vế với –2x + 1, ta được:

2x2 + −5 2x 1 2x 1 2x 1+  − − + 2x2 2x 6 0

 − + 

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương.

c) Ta có: x + 1 > 0 nên x 1 ₂¹ ₂¹ x 1 x 1

+ + 

+ + (cộng cả hai vế với ₂¹ x +1).

Vậy hai bất phương trình tương đương.

d) Điều kiện: x 1 0−   x 1 Khi đó, 2x + 1 > 0.

Do đó: ^{x 1−  x}

(

)

(

)

Bài 4 trang 88 Toán lớp 10 Đại số: Giải các bất phương trình sau:

a) 3x 1 x 2 1 2x

2 3 4

+ − −  − ;

b)

(

)(

)

(

)(

)

Lời giải:

a) 3x 1 x 2 1 2x

2 3 4

+ − −

− 

3x 1 x 2 1 2x

2 3 4 0

+ − −

 − − 

6(3x 1) 4(x 2) 3(1 2x)

12 12 12 0

+ − −

 − − 

6(3x 1) 4(x 2) 3(1 2x) 0.12 0

 + − − − −  =

18x 6 4x 8 3 6x 0

 + − + − +  20x 11 0

 + 

20x 11

  − x 11

  −20

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T ; ¹¹ 20

 

= − − . b) (2x 1)(x− + −3) 3x 1 (x 1)(x+  − + +3) x² −5

2 2 2

2x 5x 3 3x 1 x 2x 3 x 5

 + − − +  + − + −

2 2

2x 2x 2 2x 2x 8

 + −  + −

2 2

2x 2x 2x 2x 8 2

 + − −  − +

0x 6

  − (vô lí).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Bài 5 trang 88 Toán lớp 10 Đại số: Giải các hệ bất phương trình

a)

6x 5 4x 7 7

8x 3

2x 5 2

 +  +

 +

  +



;

b)

( )

15x 2 2x 1 5 3x 14 2 x 4

2

 −  +

 −

 − 



.

Lời giải:

a)

+ Xét 5 5

6x 4x 7 6x 4x 7

7 7

+  +  −  − 2x 44

  7 x 22

  7 (1)

+ Xét ^{8x 3} 2x 5 4x ³ 2x 5

2 2

+  +  +  +

4x 2x 5 3

 −  − 2 2x 7

  2 x 7

  4 (2) + Từ (1) và (2), ta có:

5 x

6x 4x 7

7

8x 3 7

2x 5 x

2 4

22 7

 +  + 

 

 

 + 

  +  





 

Suy ra nghiệm của hệ bất phương trình là ;²² ;⁷ ;⁷

7 4 4

−   −  = − 

     

     .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là

T 74

− ; 

=  . b)

+ Xét 1 1

15x 2 2x 15x 2x 2

3 3

−  +  −  + 13x 7

  3 x 7

  39 (1)

+ Xét 2(x 4) ^{3x 14} 2x 8 ³x 7

2 2

−  −  −  −

2x 3x 8 7

 −2  − 1x 1

 2  x 2

  (2) + Từ (1) và (2), ta có:

( )

15x 2 2x 1 5 3x 14 2 x 4

2

x 7 39 x 2

 −  + 

 

 − 

 



−   



Suy ra nghiệm của hệ bất phương trình là ⁷ ; ( ;2) ⁷ ;2

39 39

 +  − = 

   

   

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là T ⁷ ;2 39

 

=  .