SBT Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 35 trang 11 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Em hãy chọn khẳng định đúng trong hai khẳng định sau đây:

a) Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác định.

b) Hai phương trình có cùng điều kiện xác định có thể không tương đương với nhau.

Lời giải:

Hai phương trình tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm. Vì vậy điều kiện xác định của phương trình không ảnh hưởng đến quan hệ tương đương của hai phương trình.

Phát biểu trong câu b là đúng.

Bài 36 trang 11 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Khi giải phương trình 2 3x 3x 2

2x 3 2x 1

− = +

− − + , bạn Hà làm như sau:

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có:

2 3x 3x 2

2x 3 2x 1

− = +

− − +

⇔ (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(– 2x – 3)

⇔ – 6x² + x + 2 = – 6x² – 13x – 6

⇔ 14x = – 8

⇔ 4

x 7

=−

Vậy phương trình có nghiệm 4

x 7

=− .

Em hãy nhận xét về bài làm của bạn Hà.

Lời giải:

Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ.

Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm.

Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là:

x 3 2

 − và 1

x 2

 − .

So sánh với điều kiện xác định thì giá trị 4

x 7

=− thỏa mãn.

Vậy 4

x 7

=− là nghiệm của phương trình.

Bài 37 trang 11 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a) Phương trình 4x 8 (4 2x)₂ x 1 0

− + − =

+ có nghiệm x = 2.

b) Phương trình (x 2)(2x 1)₂ x 2 x x 1 0

+ − − −

− + = có tập nghiệm S = {– 2; 1}.

c) Phương trình

x2 2x 1 x 1 0 + + =

+ có nghiệm x = – 1.

d) Phương trình

x (x2 3) x 0

− = có tập nghiệm S = {0; 3}.

Lời giải:

a) Đúng.

Vì x² + 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

4x – 8 + (4 – 2x) = 0

⇔ 2x – 4 = 0

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) Đúng

Vì x² – x + 1 =

1 2 3

x 0

2 4

 −  + 

 

  với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x + 2)(2x – 1) – x – 2 = 0

⇔ (x + 2)(2x – 2) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0 Nếu x + 2 = 0 thì x = – 2.

Nếu 2x – 2 = 0 thì x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {– 2; 1}.

c) Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 1 Do vậy phương trình

x2 2x 1 x 1 0 + + =

+ không thể có nghiệm x = – 1.

d) Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 0 Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

x (x2 3) x 0

− = .

Bài 38 trang 12 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a)1 x 2x 3

x 1 3 x 1

− + = +

+ + ;

b)

2 2

(x 2) x 10 2x 3 1 2x 3

+ − = +

− − ;

c)

5x 2 2x 1 x2 x 3

2 2x 2 1 1 x

− + − = − + −

− − ;

d)5 2x (x 1)(x 1) (x 2)(1 3x)

3 3x 1 9x 3

− + + − = + −

− − .

Lời giải:

a)1 x 2x 3

x 1 3 x 1

− + = +

+ + (Điều kiện xác định: x −1) 1 x 3(x 1) 2x 3

x 1 x 1 x 1

− + +

 + =

+ + +

 1 – x + 3(x + 1) = 2x + 3

⇔ 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0

⇔ 0x = – 1 vô lí.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b)

2 2

(x 2) x 10 2x 3 1 2x 3

+ − = +

− − (ĐKXĐ: 3

x 2)

2 2

(x 2) 2x 3 x 10 2x 3 2x 3 2x 3

+ − +

 − =

− − −

 (x + 2)² – (2x – 3) = x² + 10

⇔ x² + 4x + 4 – 2x + 3 – x² – 10 = 0

⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3

2 (loại) Phương trình vô nghiệm.

c)

5x 2 2x 1 x2 x 3

2 2x 2 1 1 x

− + − = − + −

− − (ĐKXĐ:x1)

5x 2 (2x 1)(1 x) 2(1 x) 2(x2 x 3)

2(1 x) 2(1 x) 2(1 x) 2(1 x)

− − − − + −

 + = −

− − − −

 5x – 2 + (2x – 1)(1 – x) = 2(1 – x) – 2(x² + x – 3)

⇔ 5x – 2 + 2x – 2x² – 1 + x – 2 + 2x + 2x² + 2x – 6 = 0

⇔ 12x – 11 = 0

⇔ x = 11

12 (thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm x = 11 12. d) 5 2x (x 1)(x 1) (x 2)(1 3x)

3 3x 1 9x 3

− + + − = + −

− − (ĐKXĐ: 1

x 3) (5 2x)(3x 1) 3.(x 1)(x 1) (x 2)(1 3x)

3(3x 1) 3(3x 1) 3(3x 1)

− − + − + −

 + =

− − −

 (5 – 2x)(3x – 1) + 3(x + 1)(x – 1) = (x + 2)(1 – 3x)

⇔ 15x – 5 – 6x² + 2x + 3x² – 3 = x – 3x² + 2 – 6x

⇔ – 6x² + 3x² + 3x² + 15x + 2x – x + 6x = 2 + 5 + 3

⇔ 22x = 10

⇔ 10 5

x= 22 11= (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm 5 x=11 . Bài 39 trang 12 SBT Toán lớp 8 Tập 2:

a) Tìm x sao cho biểu thức

2 2

2x 3x 2 x 4

− −

− bằng 2.

b) Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức 6x 1

3x 2

−

+ và 2x 5 x 3

+

− bằng nhau.

c) Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức y 5 y 1

y 1 y 3 + − +

− − và ⁸ (y 1)(y 3)

−

− − bằng nhau.

Lời giải:

a)Ta có:

2 2

2x 3x 2 x 4 2

− − =

− (1)

ĐKXĐ: x ≠ 2 hoặc x ≠ – 2 (1)  2x² – 3x – 2 = 2(x² – 4)

⇔ 2x² – 3x – 2 = 2x² – 8

⇔ 2x² – 2x² – 3x = – 8 + 2

⇔ – 3x = – 6 ⇔ x = 2 (loại)

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

b)Ta có: 6x 1 3x 2

− = +

2x 5 x 3

+

− (ĐKXĐ: 2

x ; x 3

3

 −  )

(6x 1)(x 3) (2x 5)(3x 2) (3x 2)(x 3) (x 3)(3x 2)

− − + +

 =

+ − − +

 (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)

⇔ 6x² – 18x – x + 3 = 6x² + 4x + 15x + 10

⇔ 6x² – 6x² – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3

⇔ – 38x = 7

⇔ 7 x 38

=− (thỏa mãn)

Vậy khi 7 x 38

=− thì giá trị của hai biểu thức 6x 1 3x 2

−

+ và 2x 5 x 3

+

− bằng nhau.

c)Ta có: ^{y 5 y 1} y 1 y 3 + − +

− − = ⁸

(y 1)(y 3)

−

− − (ĐKXĐ: y1; y3) (y 5)(y 3) (y 1)(y 1) 8

(y 1)(y 3) (y 3)(y 1) (y 1)(y 3)

+ − + − −

 − =

− − − − − −

 (y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = – 8

⇔ y² – 3y + 5y – 15 – y² + 1 = – 8

⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 40 trang 12 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 1 6x 9x 4 x(3x₂ 2) 1

x 2 x 2 x 4

− + + = − +

− + − ;

b) x 5x 2

1+ 3 x = (x 2).(3 x) + x 2

− + − + ;

c) 2 ₂2x 3 (2x 1)(2x 1)₃

x 1 x x 1 x 1

+ − +

+ =

− + + − ;

d)

3 3

x (x 1) 7x 1 x (4x 3)(x 5) 4x 3 x 5

− − = − −

+ − + − .

Lời giải:

a) 1 6x 9x 4 x(3x₂ 2) 1

x 2 x 2 x 4

− + + = − +

− + − (ĐKXĐ: x 2) (1 6x)(x 2) (9x 4)(x 2) x(3x 2) 1

(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

− + + − − +

 + =

− + + − + −

 (1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2) = x(3x – 2) + 1

⇔ x + 2 – 6x² – 12x + 9x² – 18x + 4x – 8 = 3x² – 2x + 1

⇔ – 6x² + 9x² – 3x² + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8

⇔ – 23x = 7 ⇔ 7 x 23

=− (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm 7 x 23

=− .

b) x 5x 2

1+ 3 x = (x 2).(3 x) + x 2

− + − + (ĐKXĐ: x−2;x3)

(x 2)(3 x) x(x 2) 5x 2(3 x)

(x 2)(3 x) (3 x)(x 2) (x 2).(3 x) (x 2)(3 x)

+ − + −

 + = +

+ − − + + − + − .

 (x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x)

⇔ 3x – x² + 6 – 2x + x² + 2x = 5x + 6 – 2x

⇔ x² – x² + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6

⇔ 0x = 0 luôn đúng với mọi x.

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x và x ≠ 3 và x ≠ – 2.

c) 2 ₂2x 3 (2x 1)(2x 1)₃

x 1 x x 1 x 1

+ − +

+ =

− + + − (ĐKXĐ:x1)

( ) ( )

2

2 2 2

2(x x 1) (2x 3)(x 1) (2x 1)(2x 1) (x 1)(x x 1) (x x 1)(x 1) x 1 x x 1

+ + + − − +

 + =

− + + + + − − + +

 2(x² + x + 1) + (2x + 3)(x – 1) = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ 2x² + 2x + 2 + 2x² – 2x + 3x – 3 = 4x² – 1

⇔ 2x² + 2x² – 4x² + 2x – 2x + 3x = – 1 – 2 + 3

⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

d)

3 3

x (x 1) 7x 1 x (4x 3)(x 5) 4x 3 x 5

− − = − −

+ − + − (ĐKXĐ: 3

x ; x 5

4

 −  )

3 3 2

x (x 3x 3x 1) (7x 1)(x 5) x(4x 3) (4x 3)(x 5) (4x 3)(x 3) (x 5)(4x 3)

− − + − − − +

 = −

+ − + − − +

 x³ – (x³ – 3x² + 3x – 1) = (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3)

⇔ x³ – x³ + 3x² – 3x + 1 = 7x² – 35x – x + 5 – 4x² – 3x

⇔ 3x² – 7x² + 4x² – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1

⇔ 36x = 4 ⇔ 4 1

x =36 = 9 (thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm 1 x =9.

Bài 41 trang 13 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 2x 1 5(x 1)

x 1 x 1

+ −

− = + ;

b) x 3 x 2 x 2 x 4 1

− + − = −

− − ;

c)

2

3 2

1 2x 5 4

x 1 x 1 x x 1

+ − =

− − + + ;

d) 13 1 ₂6

(x 3)(2x 7) +2x 7 =x 9

− + + − .

Lời giải:

a) 2x 1 5(x 1)

x 1 x 1

+ = −

− + (ĐKXĐ:x 1) (2x 1)(x 1) 5(x 1)(x 1)

(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + − −

 =

− + + −

 (2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1)

⇔ 2x² + 2x + x + 1 = 5x² – 10x + 5

⇔ 2x² – 5x² + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0

⇔ – 3x² + 13x – 4 = 0

⇔ 3x² – x – 12x + 4 = 0

⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = 0

⇔ (x – 4)(3x – 1) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

Nếu x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn) Nếu 3x – 1 = 0 ⇔ 1

x =3 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 4; 1

x =3. b) x 3 x 2

x 2 x 4 1

− −

+ = −

− − (ĐKXĐ:x2; x4)

(x 3)(x 4) (x 2)(x 2) (x 4)(x 2) (x 2)(x 4) (x 4)(x 2) (x 4)(x 2)

− − − − − −

 + = −

− − − − − −

 (x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2) = – (x – 2)(x – 4)

⇔ x² – 4x – 3x + 12 + x² – 2x – 2x + 4 = – x² + 4x + 2x – 8

⇔ 3x² – 17x + 24 = 0

⇔ 3x² – 9x – 8x + 24 = 0

⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0

⇔ (3x – 8)(x – 3) = 0

⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0 Nếu 3x – 8 = 0 ⇔ 8

x=3 (thỏa mãn) Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm 8

x= 3; x = 3.

c)

2

3 2

1 2x 5 4

x 1 x 1 x x 1

+ − =

− − + + (ĐKXĐ:x 1 )

2 2

2 2 2

1(x x 1) 2x 5 4(x 1)

(x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) (x x 1)(x 1)

+ + − −

 + =

− + + − + + + + −

 x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4(x – 1)

⇔ x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4x – 4

⇔ 3x² – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0

⇔ x = 0 (thỏa mãn) hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

d) 13 1 ₂6 (x 3)(2x 7) +2x 7 =x 9

− + + − (ĐKXĐ: 7

x 3; x 2

  − )

13(x 3) 1(x 3)(x 3) 6(2x 7)

(x 3)(2x 7)(x 3) (2x 7)(x 3)(x 3) (x 3)(x 3)

+ + − +

 + =

− + + + + − + −

 13(x + 3) + x² – 9 = 6(2x + 7)

⇔ 13x + 39 + x² – 9 = 12x + 42

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ x² – 3x + 4x – 12 = 0

⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = 0

⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

Nếu x + 4 = 0 ⇔ x = – 4 (thỏa mãn) Nếu x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = – 4.

Bài 42 trang 13 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho phương trình ẩn x:

2 2

x a x a a(3a 1)

a x a x a x

+ + − = +

− + − .

a) Giải phương trình khi a = – 3;

b) Giải phương trình khi a = 1;

c) Giải phương trình khi a = 0;

d) Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận 1

x= 2 là nghiệm.

Lời giải:

a) Khi a = – 3, ta có phương trình:

 

2 2

3 3.( 3) 1 x 3 x 3

3 x 3 x ( 3) x

− − +

− + + =

− − − + − − (ĐKXĐ: x 3)

2

2

3 x x 3 24

x 3 x 3 9 x

3 x x 3 24

x 3 x 3 x 9

(3 x)(x 3) (x 3)(x 3) 24

(x 3)(x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3)

− +

 + =

+ − −

− + −

 + =

+ − −

− − + + −

 + =

+ − − + + −

 (3 – x)(x – 3) + (x + 3)² = – 24

⇔ 3x – 9 – x² + 3x + x² + 6x + 9 = – 24

⇔ 12x = – 24

⇔ x = – 2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = – 2.

b) Khi a = 1, ta có phương trình:

2 2

x 1 x 1 1(3.1 1)

1 x 1 x 1 x

+ + − = +

− + − (ĐKXĐ:x 1) (x 1)(1 x) (x 1)(1 x) 4 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) (1 x)(1 x)

+ + − −

 + =

− + + − + −

 (x + 1)² + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ x² + 2x + 1 + x – x² – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại) Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Khi a = 0, ta có phương trình:

2

x x 0

x + =x x

− − (ĐKXĐ:x 0 )

2 2

2 2 2

2 2

2

x x 0

x x x

x x 0

0x 0

 − + =

 − + =

 =

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0.

Vậy phương trình có nghiệm x và x ≠ 0.

d) Thay 1

x=2 vào phương trình, ta có:

2 2

1 1

a a a(3a 1)

2 2

1 1 1

a a a

2 2 2

+ + − = +

− + −   

(ĐKXĐ: 1 a  2)

2

1 2a 1 2a 4a(3a 1)

2a 1 2a 1 4a 1

(1 2a)(2a 1) (1 2a)(2a 1) 4a(3a 1) (2a 1)(2a 1) (2a 1)(2a 1) (2a 1)(2a 1)

+ − +

 + =

− + −

+ + − − +

 + =

− + + − + −

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4a² + 2a + 2a – 1 – 4a² + 2a = 12a² + 4a

⇔ 12a² – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0

⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc 1

a = 3 (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc 1

a= 3 thì phương trình x a x a a(3a 1)_{2 2}

a x a x a x

+ + − = +

− + − có nghiệm

x 1

=2.

Bài tập bổ sung

Bài 5.1 trang 13 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 2 6

1 3x 1

x x 1

1 x 2

= − + + +

−

;

b)

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 2(x 1) 1 x 1

+ − −

−

− + =

+ +

+ −

;

c) 5 4 3 2

x + x 1=x 2+x 3 + + + . Lời giải:

a) Ta có:

2 2

1 1 x 2 x(2x 1) x 2 2x 2 2(x 1)

x x x

x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1

1 x 2 x 2

− − + − − −

+ + + = + − = + − = − = − = −

− −

(

)

2 2 2x 1

1 2 x 1 x 1

x x 1

1 2x 1 x 2

 = = −

− −

+ + + −

+

ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2; x ≠ 1

2; x ≠ 1; x ≠ –1; x ≠ 1 3.

Ta biến đổi phương trình đã cho thành 2x 1₂ 6

x 1 3x 1

− =

− − Khử mẫu và rút gọn ta được:

(2x − 1)(3x − 1) = 6(x² − 1)

 6x² – 2x – 3x + 1 = 6x² – 6

⇔ −5x + 1 = −6

⇔ 7 x = 5. Giá trị 7

x = 5 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm là 7 x = 5. b) ĐKXĐ: x≠ ± 1.

Ta có:

x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

x 1 2(x 1) 1 x 1

+ − −

−+ ++ = −+

−

Biến đổi vế trái thành x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1

VT : 1

x 1 x 1 x 1 x 1

1 x 1 + − −

 + −  +

− +  

= + + = − − +    + − 

−

2 2

(x 1) (x 1) x 1 x 1 (x 1)(x 1) : x 1

+ − − − + +

= − + −

2 2

x 2x 1 x 2x 1 2x (x 1)(x 1) : x 1 + + − + −

= − + −

4x x 1 2 (x 1)(x 1). 2x x 1

= − =

− + +

Ta đưa phương trình đã cho về dạng 2 x 1 x 1 2(x 1)

= −

+ + . Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

4(x + 1) = (x − 1)(x + 1)

⇔ (x + 1)(4 – x + 1) = 0

⇔x = −1 hoặc x = 5

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

c) ĐKXĐ: x ≠ {0; −1; −2; −3}. Ta biến đổi phương trình như sau:

5 4 3 2

x + x 1=x 2+x 3

+ + +

5 4 3 2

1 1 1 1

x x 1 x 2 x 3

     

 

 + +   + +   = + +   + + + 

5 x 5 x 5 x 5 x

x x 1 x 2 x 3

+ + + +

 + = +

+ + +

5 x 5 x 5 x 5 x

x x 1 x 2 x 3 0

+ + + +

 + − − =

+ + +

1 1 1 1

(5 x). 0

x x 1 x 2 x 3

 

 +  + + − + − + =

5 x 0

 + = hoặc 1 1 1 1 x+ x 1 x 2− − x 3 =0

+ + +

Ta có: 5 + x = 0 khi x = − 5.

Và 1 1 1 1 x+ x 1 x 2− − x 3 =0

+ + +

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

1 1 1 1

xx 2 x 1;  x 3

+ + +

Do đó, 1 1 1 1

0; 0

x−x 2 x 1 x− 3 

+ + +

1 1 1 1

x x 1 x 2 x 3 0

 + − − 

+ + + . Do đó, phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {− 5}.