50 bài tập về tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước (có đáp án 2022) – Toán 8

Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Lý thuyết

1. Phân thức nhận giá trị âm, phân thức nhận giá trị dương

Phân thức

 

 

A x 0

B x  khi A(x); B(x) cùng dấu Phân thức

 

 

A x 0

B x  khi A(x); B(x) trái dấu

2. Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên

       

A x m

B x C x B x (B(x) 0)

Phân thức

 

 

A x

B x chỉ nguyên khi C(x) nguyên và m chia hết cho B(x) với m là một số.

3. Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn một giá trị cho trước

Phân thức

 

 

A x m

B x  (B(x) 0)

   

A x m.B x

 

4. Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Cho phân thức

 

 

A x

B x (B(x) 0)

+ M là giá trị lớn nhất của phân thức

 

 

A x

B x nếu

 

 

A x M

B x  với mọi x thỏa mãn điều kiện

Tồn tại x₀sao cho

 

 

A x M

B x  .

+ m là giá trị nhỏ nhất của phân thức

 

 

A x

B x nếu

 

 

A x m

B x  với mọi x thỏa mãn điều kiện

Tồn tại x₀sao cho

 

 

A x m

B x  . II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm x để phân thức nhận giá trị âm, giá trị dương Phương pháp giải:

Ta có:

Xét phân thức

 

 

A x

B x (B0)

*

 

 

A x 0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 

 

 

 



 



*

 

 

A x 0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 

 

 

 



 



*

 

 

A x 0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 

 

 

 



 



*

 

 

A x 0

B x 

 

 

 

 

A x 0

B x 0

A x 0

B x 0

 

 

 

 



 



Ví dụ 1: Tìm x để phân thức sau

a) x 3 x 1



 < 0 b) ^{2x 4} 0

x 3

 



c) ^{2x 3} 0 x 5

  



Lời giải:

a) x 3 x 1 0

 



x 3 0 TH1: x 1 0

  

  



x 3 x 1

  

   (vô lí) x 3 0 TH2 :

x 1 0

  

  

 x 3

3 x 1 x 1

  

     

Vậy x 3 x 1 0

 

 thì   3 x 1. b) ^{2x 4} 0

x 3

 



2x 4 0 TH1: x 3 0

  

  



2x 4 x 3

  

  

x 2 x 3

  

   (vô lí) 2x 4 0 TH2 :

x 3 0

  

  



2x 4 x 3

  

  

x 2 x 3

  

      2 x 3 Vậy ^{2x 4} 0

x 3

 

 thì   2 x 3. c) ^{2x 3} 0

x 5

  



TH1: 2x 3 0 x 5 0

  

  



2x 3 x 5

  

   

x 3 3

5 x

2 2

x 5

 

    

  



2x 3 0 TH2 :

x 5 0

  

  



2x 3 x 5

  

   

x 3 2 x 5

 

   

(vô lí)

Vậy ^{2x 3} 0 x 5

  

 khi 3

5 x

   2. Ví dụ 2: Chứng minh

a)

2 2

x 2x 5

P x 4x 6

 

   luôn dương với mọi x .

b)

2 2

x 2x 5

Q 2x 20x 60

  

   luôn âm với mọi x . Lời giải:

a)

2 2

x 2x 5

P x 4x 6

 

   Ta có:

2 2

x 2x 5 x 2x 1 4  ^









2 2

x 4x 6 x 4x 4 2^









Từ (1) và (2) ta có mẫu thức và tử thức luôn dương nên P luôn dương.

b)

2 2

x 2x 5

Q 2x 20x 60

  

  

Ta có:

 

2 2

x 2x 5 x 2x 5

       ^{ }













 

            ( vì ^{ }





 

2 2

2x 20x602 x 10x30 ^{2 x}





 

2 x 5 5

     ^{2 x}









Vì mẫu thức luôn dương và tử thức luôn âm với mọi x nên Q < 0.

Dạng 2: Tìm x nguyên để phân thức là một số nguyên

Phương pháp giải: Phân thức

 

 

A x B x

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được

 

     

A x m

B x C x B x Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên Bước 2: Để

 

 

A x

B x nguyên thì m

 

B x nguyên hay B(x) Ư(m) Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để các phân thức sau đây nguyên

a) A ⁴ 2x 3

  b) B ^{4x 1}

x 3

 

 c)

x2 x 2

C x 3

  



Lời giải:

a) Với 3 x 2 A 4

2x 3

  nguyên khi và chỉ khi ^{4 2x}









Ư(4) =





2x - 3 -4 -2 -1 1 2 4

2x -1 1 2 4 5 7

x 1

2

 (ktm) 1

2 (ktm) 1 (tm) 2 (tm) 5

2 (ktm) 7

2(ktm) Vậy ^x

 

b) Với x  3 B 4x 1

x 3

 



   

4 x 3 13 4 x 3

4x 12 13 13

x 3 x 3 x 3 x 3

  

 

   

   

4 13

x 3

   Để B nguyên thì 4 ¹³

x 3

  hay ¹³

x3nguyên.

 

13 x 3

  hay





Ư(13) =





x + 3 -13 -1 1 13

x -16 (tm) -4 (tm) -2 (tm) 10 (tm) Vậy ^x 





c)

x2 x 2

C x 3

  



   

2 x x 3 2 x 3 8

x 3x 2x 6 8

x 3 x 3

   

   

 

 

   

x x 3 2 x 3 8

x 3 x 3 x 3

 

  

  

x 2 8

x 3

  

 ( với x 3)

Để C nguyên thì x 2 ⁸ x 3

   nguyên hay ⁸

x3nguyên (do x nguyên nên x + 2 cũng nguyên)

8

x3nguyên khi và chỉ khi ^{8 x}









Ư(8) =





x-3 -8 -4 -2 -1 1 2 4 8

x -5 (tm) -1 (tm) 1 (tm) 2 (tm) 4 (tm) 5 (tm) 7 (tm) 11 (tm) Vậy ^x  





Ví dụ 2: Cho biểu thức

2 2 2

2 3 5

A :

a 5a 4 a 16 a 3a 4

 

        với a 1;a  4 a) Rút gọn A.

b) Tìm a nguyên để A nguyên,

Lời giải:

a) ₂ 2 ₂ 3 ₂ 5

A :

a 5a 4 a 16 a 3a 4

 

       

 

  

  



A :

a 4 a 1 a 4 a 4 a 4 a 1

 

         

 

     

      

2 a 4 3 a 1 5

A :

a 4 a 1 a 4 a 4 a 1 a 4 a 4 a 1

   

           

 

   

   



A :

a 4 a 1 a 4 a 4 a 1 a 4 a 4 a 1

   

           







  



A :

a 4 a 1 a 4 a 4 a 1

    

        

 

  

 

A .

a 4 a 1 a 4 5

 

  

  

   

   

5 a 1 a 4 a 1 A 5 a 4 a 1 a 4

  

    

A a 1 a 4

  

 .

b) Ta có: A ^{a 1 a 4 5 a 4 5} 1 ⁵

a 4 a 4 a 4 a 4 a 4

   

     

    

Để A nguyên thì ⁵

a4nguyên hay ^{5 a}









  Ư(5) Ư(5) =





a - 4 -5 -1 1 5

a -1 (tm) 3 (tm) 5 (tm) 9 (tm) Vậy để A nguyên thì ^{a }





Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước

Phương pháp giải: Giả sử tìm x để phân thức

 

 

A x

B x = m (với m là một giá trị cho trước)

Bước 1: Tìm điều kiện để ^{B x}

 

Bước 2: Giải A(x) = m.B(x) để tìm x.

Bước 3: So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Ví dụ 1:

a) Cho A = 3x 3 4x 1



 . Tìm x để A = 4.

b) Cho B =

x2 x 2 x 3

 

 . Tìm x để B = ⁴ 5

 .

Lời giải:

a) Điều kiện : 1

x 4

 

A = 4 3x 3 4x 1 4

  



 

3x 3 4 4x 1

   

3x 3 16x 4

   

16x 3x 3 4

     13x 7

   x 7

13

  

Vậy để A = 4 thì x ⁷ 13

 .

b) Điều kiện: x3 B = ⁴

5

 x² x 2 4

x 3 5

  

 





  

5 x x 2 4 x 3

     

5x2 5x 10 4x 12

      5x2 5x 4x 10 12 0

     

5x2 9x 2 0

   

5x2 10x x 2 0

    

   

5x x 2 x 2 0

    



 

   

x 2 0 5x 1 0

  

    x 2 (tm) x 1 (tm)

5

  



 

Vậy để B = ⁴ 5

 thì x = -2 hoặc x = ¹ 5. Ví dụ 2: Cho biểu thức

 

x2 2x x 6 108 6x

P 2x 12 x 2x x 6

  

  

 

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = 3 2. d) Tìm x để P = 1.

Lời giải:

a) P có nghĩa

 

2x 12 0 x 0

2x x 6 0

  

 

  



2x 12

x 0

x 0; x 6

  

 

   



x 0 x 6

 

   

Vậy để P có nghĩa thì x0 và x 6.

b)

 

x2 2x x 6 108 6x

P 2x 12 x 2x x 6

  

  

 

   

x2 2x x 6 108 6x

P 2 x 6 x 2x x 6

  

   

 

 

     

   

x x2 2x x 6 .2 x 6 108 6x

P 2x x 6 2x x 6 2x x 6

   

   

  

     

3 2 2

x 2x 2x 72 108 6x

P 2x x 6 2x x 6 2x x 6

  

   

  

     

 

3 2 2

x 2x 2x 72 108 6x

P 2x x 6

    

  

 

3 2 2

x 2x 2x 72 108 6x

P 2x x 6

    

  

 

3 2

x 4x 6x 36

P 2x x 6

  

  

 

3 2

x 216 4x 6x 36 216

P 2x x 6

    

  

   

 

3 2

x 216 4x 6x 180

P 2x x 6

   

  

      

 

x 6 x2 6x 36 x 6 4x 30

P 2x x 6

     

  

     

 

x 6 x2 6x 36 4x 30

P 2x x 6

 

      

  

   

 

x 6 x2 6x 36 4x 30

P 2x x 6

    

  

   

 

x 6 x2 2x 6

P 2x x 6

  

  

x2 2x 6

P 2x

 

 

c) Để P = 3 2

x2 2x 6 3

2x 2

 

 





2 x 2x 6 2x.3

   

2x2 4x 12 6x

   

2x2 4x 12 6x 0

    

2x2 10x 12 0

   





2 x 5x 6 0

   





2 x 2x 3x 6 0

    

   

2 x x 2 3 x 2 0

     

  

2 x 2 x 3 0

   

x 2 0 x 3 0

  

    x 2 (tm) x 3 (tm)

 

   Vậy để P = 3

2thì x2hoặc x3. d) Để P = 1

x2 2x 6 2x 1

 

 

x2 2x 6 2x

   

x2 2x 2x 6 0

     x2 4x 6 0

    x2 4x 4 2 0

    





    (vô lí)

Ta có:









Vậy không tồn tại x để P = 1.

Dạng 4: Tìm x để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Cho phân thức

 

 

A x

B x (B(x) 0)

Bước 1: Đánh giá giá trị lớn nhất nhỏ nhất của A(x) và B(x) Bước 2: Đánh giá gá trị lớn nhất nhỏ nhất của

 

 

A x B x . Chú ý : Nếu a,b0; a, b cùng dấu thì a b ^{1 1} a b

  

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:

2 2

2x 8x 15

A x 4x 6

 

  

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

B 5

x 8x 20

 

 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

C 2x 1

x 2

 



Lời giải:

a) Ta có:

 

2 2

x 4x 6 x 4x  4 2 x2 2 Vì









Phân thức xác định với mọi x

2 2

2x 8x 15

A x 4x 6

 

  





2

2 x 4x 6 3

A x 4x 6

  

   





2 2

2 x 4x 6 3

A x 4x 6 x 4x 6

 

  

   

2

A 2 3

x 4x 6

  

 

2

A 2 3

x 4x 4 2

  

  

 

A 2 3

x 2 2

  

  Ta có:









   

 

1 1

x 2 2 2

 

 

 

3 3

x 2 2 2

 

 

 

3 3 7

A 2 2

2 2

x 2 2

     

 

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0x = 2 Vậy Amax = 7

2khi x = 2.

b) ^{x2 8x20x2 8x 16 4  }





Vì









Phân thức xác định với mọi x

2 2

5 5

B x 8x 20 x 2.x.4 16 4

 

 

    

 

5

x 4 4

 

  Ta có:









   

 

1 1

x 4 4 4

 

 

 

5 5

x 4 4 4

 

 

  B 5

4

  

Dấu “=” xảy ra khi x 4 0   x 4 Vậy Bmin = 5

4

 khi x = -4.

c) Vì x² 0 nên x² 2 2 Phân thức xác định với mọi x

2

C 2x 1

x 2

 



     

 

2 2

2 2

x 4x 4 x 2

4x 2

2 x 2 2 x 2

   

  

 

 

   

     

2 2 2

2 2 2

x 2

x 2 x 2 1

2 x 2 2 x 2 2 x 2 2

  

   

  

Vì x²  0 x²  2 0





 

 

2 2

x 2 2 x 2 0

  



 

 

2 2

x 2 1 1

C 0

2 2

2 x 2

     

 C 1

2

  

Dấu “=” xảy ra khi x + 2 = 0 x = -2 Vậy Cmin = 1

2

 khi x = -2.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm x để các phân thức sau thỏa mãn:

a) x₂ 2

A x 1

 

 . Tìm x để A > 0 b)

x2 2x 1

B x 3

 

  . Tìm x để B0

c)

2 2

2x 7x 6

C x 4x 6

 

   . Tìm x để C < 0

d)

2 2

x 3x 2

D x 5

 

  . Tìm x đểD0.

Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đây nguyên

a) ²

x5 với x 5 b)

3x2 2x 1 3x 1

 

 với x ¹ 3

 

c)

3 2

2x 4x 11x 7 x 4

  

 với x4 d) ₂^{5x 10}

x 3x 2



  với x2;x 1 . Bài 3: Cho phân thức

x2 10x 25

Q x 5

 

 

a) Tìm điều kiện xác định của Q b) Tìm x khi Q = 1.

Bài 4: Cho phân thức

x2 x 2

A x 5

  

 Tìm x để A < 0.

Bài 5:Cho biểu thức

3

2

x 2 x 8x 7

A . 2

x 1 x 1 x 1

 

 

      

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện.

Bài 6: Tìm x nguyên để phân thức

x2 x

N x 3

 

 nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Chứng minh rằng:

2

2 2

3x x 3x 3x 9 3x

M 0

x 3 2x 3 x 3x x 9

   

        

Với 3

x 0; x 3; x 2

     .

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

2 2

3x 2x 3

H x 1

 

  .

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức ₂ 6

M x x 1

 

  . Bài 10: Cho biểu thức





Q . 1

x x 2 x

    

     với x0;x 2

Tìm giá trị lớn nhất của Q.