50 bài tập về rút gọn phân thức đại số (có đáp án 2022) – Toán 8

(1)

Rút gọn phân thức đại số I. Lý thuyết

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau

Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức.

Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

Nhắc lại các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A.M

B = B.M (với A

Blà phân thức; B, M  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A : N

B = B : N(với N là nhân tử chung của A và B)

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

A A

B B

= −

− (với B0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A A

B B B

= −− = −

− (với B0) II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

(2)

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau:

3 2

2x x 2x 1 x 3x x 3

− − +

+ − − với x −3;x 1 Lời giải:

3 2

2x x 2x 1 x 3x x 3

− − + + − −

( ) ( )

2 2

x 2x 1 2x 1 x x 3 x 3

− − −

= + − +

( ) ( )

2 2

2x 1 x 1

x 3 x 1

− −

= + −

2x 1 x 3

= −

+ với x −3;x 1

Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau

2 2 2

5 3

9x y 3x 12xy 4xy

+

+ với x, y0 Lời giải:

2 2 2

5 3

9x y 3x 12xy 4xy

+ +

( )

2 2

3 2

3x 3y 1 4xy 3y 1

= +

+

2 3

3x

=4xy

3

3x

= 4y với x, y0

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

(3)

Phương pháp giải: Chọn 1 trong ba cách biến đổi sau Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái Cách 3: Biến đổi đồng thời cả hai vế

Chú ý: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi, rút gọn.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:

2 2

3 2 2 3

2x 3xy y 1

2x x y 2xy y x y

+ +

+ − − = − với y −2x; y x Lời giải:

Đặt

2 2

3 2 2 3

2x 3xy y

VT 2x x y 2xy y

+ +

= + − −

VP 1

x y

= −

Ta biến đổi vế trái

2 2

3 2 2 3

2x 3xy y

VT 2x x y 2xy y

+ +

= + − −

2 2

3 2 2 3

2x 2xy xy y

VT 2x x y 2xy y

+ + +

 =

+ − −

( ) ( )

2 2

2x x y y x y

VT x 2x y y 2x y

+ + +

 =

+ − +

( )( )

(

^2x² ²^{y x}

) ( y )

VT x y 2x y

+ +

 =

− +

(

^x

)(

^y

)

VT x y x y

 = +

+ −

VT 1 VP

x y

 = =

− (điều phải chứng minh)

(4)

Ví dụ 2: Cho

2 2 3

3 2

4xy 4x y x

P 4x 8x y

− +

= − và

2 2

2xy x 2y x

Q 4x 4x

− − +

= −

Với x0; x 1; x2y Chứng minh P = Q

Lời giải:

Ta có:

2 2 3

3 2

4xy 4x y x

P 4x 8x y

− +

= −

( )

2 2

2

x 4y 4xy x

P 4x x 2y

− +

= −

( )

2 2

x x 2y P 4x x 2y

= −

− x 2y

P 4x

= − (1) Ta lại có

2 2

2xy x 2y x

Q 4x 4x

− − +

= −

( ) ( 2)

2

2xy 2y x x

Q 4x 4x

− + −

= −

( ) ( )

( )

2y x 1 x x 1

Q 4x x 1

− − −

= − −

( )( )

( )

x 1 2y x

Q 4x x 1

− −

= − −

2y x

Q 4x

= −

−

(5)

x 2y

Q 4x

= − (2)

Từ (1) và (2)  =P Q(điểu phải chứng minh)

Dạng 3: Chứng minh một phân thức là phân thức tối giản

Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức và mẫu thức có ước chung lớn nhất là 1 hoặc -1

Bước 1: Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d Bước 2: Chứng minh d=  1

Chú ý: Cần vận dụng các kiến thức liên quan đến ước và bội, tính chất chia hết…

+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

+ Tính chất chia hết của một tổng(hiệu): ^{a m}

(

^a ^b

)

^m

b m

 

 + Tính chất chia hết của một tích: a mka m.

Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) 3n 1 5n 2

+ + b) 2n 1₂

4n 2

−

Lời giải:

a) 3n 1 5n 2

+ +

Gọi ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 5n + 2 là d

( )

3n 1 d 5n 2 d

 +

  +

( )

5. 3n 1 d 3. 5n 2 d

 +

  +

(6)

( )

15n 5 d 15n 6 d

 +

  +

(

¹⁵ⁿ ⁶

) (

¹⁵ⁿ ⁵

)

^d

 + − +  (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)

(

¹⁵ⁿ ^{6 15n} ^{5 d}

)

 + − −

1 d

 =d 1hoặc d = -1 Vậy 3n 1

5n 2 +

+ là phân số tối giản với n  b) 2n 1₂

4n 2

−

Gọi ước chung của 2n – 1 và 4n² −2là d

( )

(

²

)

2n 1 d 4n 2 d

 −

  −

( )

(

²

)

2n 2n 1 d 4n 2 d

 −

  − (áp dụng tính chất chia hết của một tích)

( )

2 2

4n 2n d 4n 2 d

 −

 

 −

(

⁴ⁿ² ²ⁿ

) (

⁴ⁿ² ²

)

^d

 

 − − −  (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu).

(

⁴ⁿ² ²ⁿ ⁴ⁿ² ^{2 d}

)

 − − +

(

²ⁿ ^{2 d}

)

 − +

(

²ⁿ ²

) (

^{2n 1}

)

^d

 − + + −  (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)

(7)

(

²ⁿ ² ^{2n 1 d}

)

 − + + −

1 d =d 1hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với n 

Ví dụ 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào tối giản

a)

2 2

2n 1 n 1

+ + b) 2n 1

2n 3 + +

Lời giải:

a)

2 2

2n 1 n 1

+ +

Gọi d là ước chung lớn nhất của2n² +1và n² +1

( )

2 2

2n 1 d n 1 d

 +

 

 +

( )

2 2

2n 1 d 2 n 1 d

 +

 

 +

( )

2 2

2n 1 d 2n 2 d

 +

 

 +

(

²ⁿ² ¹

) (

²ⁿ² ²

)

^d

 

 + − + 

(

²ⁿ² ^{1 2n}² ^{2 d}

)

 + − −

 −1 d

 =d 1 hoặc d = -1 Vậy phân thức

2 2

2n 1 n 1

+

+ tối giản.

(8)

b) 2n 1 2n 3 + +

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d

( )

2n 1 d 2n 3 d

 +

  +

(

²ⁿ ¹

) (

²ⁿ ³

)

^d

 + − + 

(

^{2n 1 2n} ^{3 d}

)

 + − −

 −2 d

 Ngoài hai ước là 1 và – 1 thì tử thức và mẫu thức đã cho còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2.

Vậy phân thức 2n 1 2n 3 +

+ không là phân thức tối giản.

Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức đạt giá trị nguyên

Phương pháp giải: Phân thức

( ) ( )

A x B x

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được

( )

( ) ( ) ( )

A x m

B x =C x +B x Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên Bước 2: Để

( )

A x

B x nguyên thì m

( )

B x nguyên hay B(x) Ư(m) Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận.

Ví dụ: Tìm x nguyên để các phân thức sau nhận giá trị nguyên

a) 3 x 1+ b) 6x 4

2x 1 +

−

(9)

Lời giải:

a) Để phân thức 3

x 1+ nguyên thì

(

^{x 1}^{+ }

)

Ư(3) với điều kiện x-1 Ư(3) =



^{− −}^{3; 1;1;3}



x + 1 -3 -1 1 3

x -4 (thỏa mãn) -2 (thỏa mãn) 0 (thỏa mãn) 2 (thỏa mãn)

Vậy để phân thức 3

x 1+ nguyên thì ^x^{ − −}



^{4; 2;0;2}



b) ^6x ⁴ ^6x ^{3 7} ^{3 2x 1}

( )

⁷ ⁷

2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3 2x 1

+ − + −

= = + = +

− − − − − với x 1

 2 Để 6x 4

2x 1 +

− nguyên thì 7 3+ 2x 1

− nguyên hay 7 2x 1−

(

^{2x 1}

)

 − Ư(7)

Ư(7) =



^{− −}^{7; 1;1;7}



2x - 1 -7 -1 1 7

2x -6 0 2 8

x -3 (thỏa mãn) 0 (thỏa mãn) 1 (thỏa mãn) 4 (thỏa mãn)

Vậy để phân thức 6x 4 2x 1

+

− nguyên thì ^x^{ −}



^3;0;1;4



III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tối giản các phân thức sau

a)

3 3

4 4

x y

+

− b)

4 2 2

3 4 2

2x y x 4x y 2xy

+ +

Bài 2: Rút gọn phân thức sau:

(10)

4 3

4 3 2

x x x 1 B x x 3x 2x 2

− + + −

= + + + +

Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau:

a)

2 2 3 2

2 2

x y 2xy y xy y

2x xy y 2x y

− + = −

− − + với xy; y −2x b)

2

3 2 2

x xy y y x y

y 3y 3y 1 y 2y 1

− + − +

− + − = − + − với y1

Bài 4: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n

a) 8n 15 12n 22

+ + b) 3n 8

2n 5 + +

Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên

a) 6

A= x 2

− b) 2x 5

B 2x 1

= − + c)

x2 3x 1

C x 2

+ −

= −

d)

3 2

x 3x

D x 5

= −

−

Bài 6: Các phân thức sau đây phân thức nào tối giản?

a)

3

4 2

n 2n

n 3n 1

+

+ +

b) 4n 1 n 3

+

−

(11)

c) 7n 5 3n 2

−

Bài 7: Cho hai phân thức sau

2 2

3 2 2 3

4x 4xy y

A y 6y x 12yx 8x

− +

= − + − và 1

B 2x y

= −

− với y2x Hai phân thức trên có bằng nhau không?

Bài 8: Rút gọn phân thức

7 4 3

6 5 4 2

x x x 1

A x x x x x 1

− + −

= + + + + + . Bài 9: Rút gọn phân thức

4

10 8 6 4 2

B 1 x

x x 4x 4x 4x 4

= −

− + − + − với x 1. Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức ^ab ^cx ^ax ^bc

ay 2cx 2ax cy + + +

+ + + và x b 2x y

+

+ bằng nhau.

Với y2x;a c.