50 bài tập về phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án 2022) – Toán 8

(1)

Phân thức đại số và các tính chất của phân thức đại số I. Lý thuyết

1. Khái niệm phân thức đại số

Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng A

B với A, B là các đa thức và B0.

A được gọi là tử thức (hay tử).

B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

2. Hai phân thức bằng nhau

+ Hai phân thức A

B và C

D (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

A C

B = D(B, D0) nếu A.D = B.C Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định.

3. Các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A.M

B = B.M (với A

Blà phân thức; B, M  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A : N

B = B : N(với N là nhân tử chung của A và B)

(2)

4. Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

A A

B B

= −

− (với B0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

A A A

B B B

= −− = −

− (với B0) II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Phương pháp giải: Phân thức A

Bcó nghĩa khi và chỉ khi B0.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) 4x 3 2 x

− + b) 5x 4

3x 2

−

− .

Lời giải:

a) Phân thức 4x 3 2 x

−

+ có nghĩa  2+ x 0  −x 2. b) Phân thức 5x 4

3x 2

−

− có nghĩa  3x− 2 03x2 2

x 3

  . Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) ₂3x 2

x 5x 6

+

− + b) ₂3x 4

2x 7x 3

−

− + .

(3)

Lời giải:

a) Phân thức ₂3x 2

x 5x 6

+

− + có nghĩa thì x² −5x+60 x2 3x 2x 6 0

 − − + 

( ) ( )

x x 3 2 x 3 0

 − − − 

(

^x ^{3 x}

)(

²

)

⁰

 − − 

x 3 0 x 2 0

 − 

  − 

x 3 x 2

 

  

Vậy để phân thức có nghĩa thì x3 và x2. b) Để phân thức ₂3x 4

2x 7x 3

−

− + có nghĩa thì 2x² −7x+ 3 0 2x2 6x x 3 0

 − − + 

( ) ( )

2x x 3 x 3 0

 − − − 

(

^{2x 1 x}

)(

³

)

⁰

 − − 

2x 1 0 x 3 0

 − 

  − 

2x 1 x 3

 

   x 1

2 x 3

 

  

Vậy để phân thức có nghĩa thì 1

x 2và x 3 .

(4)

Dạng 2: Tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của phân thức Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến với điều kiện

Bước 3: Tính giá trị phân thức bằng cách thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện tính toán biểu thức số.

Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức 3x 2 5x 6

+

+ tại điểm x = 3 Lời giải:

Điều kiện xác định:

5x+60 x 6

5

  −

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta được 3.3 2 11

5.3 6 21 + = +

Vậy giá trị phân thức là 11

21tại x =3.

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức ₂ x 2

x 6x 8

+

− + tại các điểm x = 2 và x = ⁶ 5

−

Lời giải:

x2 −6x+ 8 0

x2 4x 2x 8 0

 − − + 

( ) ( )

x x 4 2 x 4 0

 − − − 

(

^x ^{2 x}

)(

⁴

)

⁰

 − − 

(5)

x 2 0 x 4 0

 − 

  − 

x 2 x 4

 

  

Với x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định Với x = ⁶

5

− (thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta được

2

6 2 5

6 6

6. 8

5 5

− +

− −

  −  +

   

   

= 4 5 5

416 104 25

=

Vậy:

Với x = 2 ta không xác định được giá trị của phân thức Với x = ⁶

5

− phân thức có giá trị là ⁵ 104.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Cho biểu thức bằng với giá trị cho trước. Sau đó dùng các phương pháp tìm x thông thường để giải.

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức 3x 2 4x 1

+

− có giá trị bằng 2 Lời giải:

4x 1 0− 

4x 1 x 1

  4

(6)

Ta có: 3x 2 4x 1 2

+ =

−

( )

3x 2 2 4x 1

 + = −

3x 2 8x 2

 + = − 8x 3x 2 2

 − = + 5x 4

 =

x 4

 =5(thỏa mãn điều kiện) Vậy 4

x= 5thì phân thức 3x 2 4x 1

+

− có giá trị là 2.

Ví dụ 2: Cho phân thức A =

2 2

x 1

2x 3x 1

−

− + . Tìm x để A = 1.

Lời giải:

2x2 −3x 1 0+ 

2x2 2x x 1 0

 − − + 

( ) ( )

2x x 1 x 1 0

 − − − 

(

^{2x 1 x 1}

)( )

⁰

 − − 

2x 1 0 x 1 0

 − 

  − 

2x 1 x 1

 

   x 1

2 x 1

 

  

(7)

Để A = 1 thì

2 2

x 1

2x 3x 1 1

− =

− +

2 2

x 1 2x 3x 1

 − = − +

2 2

2x x 3x 1 1 0

 − − + + = x2 3x 2 0

 − + = x2 2x x 2 0

 − − + =

( ) ( )

x x 2 x 2 0

 − − − =

(

^x ^{2 x 1}

)( )

⁰

 − − =

x 2 0 x 1 0

 − =

  − =

x 2(tm) x 1(ktm)

 =

  =

Vậy để A = 1 thì x = 2.

Dạng 4: Chứng minh phân thức bằng nhau Phương pháp giải: Hai phân thức A

B và C

D (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

A C

B = D(B, D0) nếu A.D = B.C Chọn một trong bốn cách biến đổi sau

Cách 1: Dùng định nghĩa A C

B = D(B, D0) nếu A.D = B.C Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải.

Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái.

Cách 4: Biến đổi đồng thời cả hai vế.

(8)

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau ₂2x 1 1

2x 3x 2 x 2

− =

+ − + với 1

x 2; x

 −  2. Lời giải:

Đặt

2

VT 2x 1

2x 3x 2

= −

+ − VP 1

x 2

= +

Ta biến đổi vế trái

2

VT 2x 1

2x 3x 2

= −

+ −

2

VT 2x 1

2x 4x x 2

 = −

+ − −

(

^{2x 1}

) ( )

VT 2x x 2 x 2

 = −

+ − +

(

^{2x 1}

)( )

VT x 2 2x 1

 = −

+ −

VT 1 VP

x 2

= =

+ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Hai phân thức ₂ x 4

x 5x 4

−

− + và ₂ x 2

x 3x 2

−

− + có bằng nhau không với x2;x4;x 1 .

Lời giải:

Ta có:

2 2

x 4 x 4

x 5x 4 x 4x x 4

− = −

− + − − +

(

^x

) (

⁴

) (

^x

)(

⁴

)

x x 4 x 4 x 1 x 4

− −

= =

− − − − −

(9)

1

= x 1

− (1) Ta lại có:

2 2

x 2 x 2

x 3x 2 x 2x x 2

− = −

− + − − +

(

^x

) (

²

) (

^x

)(

²

)

x x 2 x 2 x 1 x 2

− −

= =

− − − − −

1

= x 1

− (2)

Từ (1) và (2) ₂ x 4 ₂ x 2 1

x 5x 4 x 3x 2 x 1

− −

 = =

− + − + − (điều phải chứng minh).

Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước

Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức ở cả hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Chú ý: Áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

( )

A C

A.D B.C B, D 0

B = D  = 

Ví dụ 1: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau ₂ x 1 ₃A

x 2x 4 x 8

− =

+ + − với x2. Lời giải:

2 3

x 1 A

x 2x 4 x 8

− =

+ + −

( ) ( )

2 2

x 1 A

x 2x 4 x 2 x 2x 4

 − =

+ + − + +

Ta có:

( )

²

2 2

x +2x+ =4 x +2x 1 3+ + = x 1+ +3

(10)

Vì

(

^{x 1}⁺

)

² ^⁰ với mọi x nên

(

^{x 1}⁺

)

² ^{+ }^{3 3}^{với mọi x}

x2 2x 4 0

 + + 

Nhân cả hai vế với x² +2x+4 x 1 A

x 2

 − =

−

( )( )

A x 1 x 2

 = − −

A x2 2x x 2

 = − − + A x2 3x 2

 = − +

Vậy A=x² −3x+2 với x2.

Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau ^2x³₂ ^4x² ^B

x 4 x 2

+ =

− − với x 2. Lời giải:

3 2

2

2x 4x B

x 4 x 2

+ =

− −

( )

( )( )

2x2 x 2 B x 2 x 2 x 2

 + =

+ − −

2x2 B x 2 x 2

 =

− −

2x2 B

 = (vì x 2 nên x – 2 0) Vậy B = 2x với x²  2.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của các phân thức sau

a) 4x 1 2x 5

− + b) ₂4x 2

2x 3x 1

−

− +

(11)

c)

( )

²

3x 1 x 2

−

d) ₃ 2x₂ 3

x x x 1

−

− + −

Bài 2: Tính giá trị phân thức

a) ₂4x 3

2x 3x 1

−

− + với x = 2 b) 3x 1

2x 5

−

− với 1 x = 2

Bài 3: Tìm các đa thức B trong mỗi trường hợp sau

a) 2x 1 1 ₂ 1 x 3 B. x 4x 3

− =

− − + với 1 1

x ;x 1;x

2 3

  

b)

2 2

B 2x 3x

2x 3 4x 9

= +

− − với 3

x 2 Bài 4: Tính giá trị phân thức

2 2

x 2x 3 A x 2x 1

− −

= − + tại x trong các trường hợp sau:

a) x=3 b) 2x 1 1− = c) 4x+ =3 7

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức bằng nhau

( )( )

2 2

2

x 3x 2 x 4x 4

x 1 x 2 4 x

− + − − +

− + = − với

x 2;x 1

Bài 6: Tìm một cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức

(

²

) ( )

2 2

x 1 A x 1 B

x 2x 1 x x 6

− +

− + = − − Với x 1;x  −2;x3

(12)

Bài 7: Cho ba phân thức

2 2

x x 2 x x ;

− − +

x 2 x ;

− ²

2

x 3x 2 x x

− +

− có bằng nhau không? Vì sao?

Bài 8: Cho đẳng thức

( ) ( )

2

x 3 A x 1 B

x 3 x 9

+ −

− = − với x 3. Tìm cặp số A, B thỏa mãn.

Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a)

2 3

x 1 x 2x 4

M x 8

+ = − +

+ với x −1;x −2 b)

3 2

x 3 2x 8x 6x 36

x 3.M x 2

− = − − +

+ + với x 3;x −2 Bài 10: Cho

2 2

3x 10x 3 B x 4x 3

− +

= − + với x2;x3 Tính giá trị của B khi x thỏa mãn x² −8x 15+ =0.