50 bài tập về cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (có đáp án 2022) – Toán 8

DẠNG: CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A. Lý thuyết:

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên

- Với A và B là hai đa thức tùy ý cùng một biến số (B 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R.

Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

R 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.

B. Các dạng bài:

Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia đa thức

1. Phương pháp giải: Có thể dùng các hằng đẳng thức đấng nhớ sau để rút gọn phép chia đa thức:

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

(A B ) : (A B) A AB B

(A B ) : (A B) A AB B

(A B ) : (A B) A B

2. Ví dụ minh hoạ: Áp dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép chia sau:

a, (8x³ 1) : (2x 1) [(2x)³ 1 ]: (2x³ 1)

2 2

(2x) 2x.1 1 4x2 2x 1

b,(4x2 4x 1) : (1 2x)

2 2

[(2x) 2.2x.1 1 ]: (1 2x) (2x 1) : (12 2x)

= (2x 1) :[ (2x² 1)]

= (2x 1)

= 1 2x

Dạng 2: Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức

1. Phương pháp giải: Từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R

2. Ví dụ minh họa:

a, Cho hai đa thức A = x - x - 5x - 3 và B = ^{3 2} x - 3. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R

b, Cho đa thức A = 3x⁴ x³ 6x 5và B = x² 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B và viết A dưới dạng A = B.Q + R

Hướng dẫn giải:

a, Ta thực hiện phép chia sau:

3 2

(x - x - 5x - 3) : (x - 3)

x - x - 5x - 3 ^{3 2 x - 3}

- x + 2x +1 ²

x - 3x ^{3 2}

2x² 5x 3 -

2x² 6x x – 3 -

x – 3 0 KL:

- Vậy số dư trong phép chia là 0 A = (x - 3).(x + 2x +1) + 0 ² b, Ta thực hiện phép chia sau:

4 3 2

(3x x 6x 5) : (x 1)

4 3

3x x 6x 5 x² 1

- _3x² _{x 3}

4 2

3x 3x

x³ 3x² 6x 5 -

x³ x 3x² 5x 5 -

3x² 3 5x 2 KL:

- Vậy số dư trong phép chia là 5x – 2 A = (x² 1).(3x² x 3) + (5x – 2)

Dạng 3: Tìm điều kiện để thực hiện phép chia đa thức 1. Phương pháp giải:

* Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m Để A chia hết cho B thì R = 0 m

* Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n) - Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q

- Viết A = Q.B + k

- Để A chia hết cho B k chia hết cho B B là Ư(k) n 2. Ví dụ minh họa:

VD1: Tìm k để f (x) x⁴ 9x³ 21x² x k chia hết cho g(x) = x – 2 Giải: Ta thực hiện phép chia sau:

x⁴ 9x³ 21x² x k x – 2

- _x³ _7x² _{7x 15}

x⁴ 2x ³

7x³ 21x² x k -

7x³ 14x²

7x² x k -

7x² 14x 15x + k -

15x – 30 k + 30

Để f(x) chia hết cho g(x) thì k + 30 = 0 k = - 30.

KL: Vậy với k = -30 thì f(x) chia hết cho g(x)

VD2: Tìm số nguyên x để đa thức A = ^{8x2 4x 1} chia hết cho đa thức B = 2x + 1 Giải: Ta thực hiện phép chia sau:

8x2 4x 1 2x + 1

- 4x – 4

8x2 4x - 8x + 1 -

- 8x – 4 5

Để A chia hết cho B thì 5 (2x + 1) (2x + 1) Ư(5)

2x + 1 5 -5 1 -1

x = 2 (TM) -3 (TM) 0 (TM) -1 (TM)

KL: Vậy x = {-3, -1, 0, 2}

3, Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép chia sau:

a, (x³ x² 5x 3) : (x 3)

b, (x⁴ x³ 6x² 5x 5) : (x² x 1) c, (2x³ 3x² 6x 5) : (x² 2)

d, (x² 6x 7): (x – 3)

Đs:

a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng x² 2x 1 b, Đa thức thương bằng x² 5

c, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng 2x + 3 và dư ( - 10x -1) d, Đây là phép chia dư với đa thức thương bằng x + 9 và dư 34

Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi tính:

a,(2x⁴ 5x² x³ 3 3x) : (x² 3) b, ( x³ 2x⁴ 4 x² 7x) : (x² x 1) c, ( x² 6x³ 26x 21) : (2x – 3) Đs:

a, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x² x 1 b, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 2x² 3x 4 c, Đây là phép chia hết với đa thức thương bằng 3x² 4x 7

Bài 3: Sử dụng hẳng đẳng thức để thực hiện các phép chia sau:

a, x² 2x 1 : (x + 1) b, (x³ 8) : (x² 2x 4) c, (x³ 3x² 3x 1) : (x – 1) d, (8x³ 27): (2x + 3)

ĐS:

a, Đa thức thương bằng x + 1 b, x – 2

c, (x 1)² x² 2x 1 d, 4x² 6x 9

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

a, (24x⁵ 9x³ 15x ) : 3x ² b, ( 8x⁵ x³ 2x ) : 2x ^{2 2} c, x⁴ 4x² 3 : (x² 3)

d, (x⁴ 2x³ 4x² 4x 4) : (x² 2x 2) Đs:

a, 8x⁴ 3x² 5x

b, ³ 1

4x x 1

2 c, x² 1 d, x² 2

Bài 5: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, biết:

a, A 2x⁴ x³ 3x² 4x 9 và B = x² 1 b, A = 2x³ 11x² 19x 6 và B = x² 3x 1 c, A = 2x⁴ x³ x² x 1 và B = x² 1 Đs:

a, Q = 2x² x 1 và R = 3x + 8 b, Q = 2x - 5 và R = 2x - 1

c, Q = 2x² x 3 và R = 4 Bài 6: Tìm k để:

a, f(x) = x⁴ 10x³ 21x² 8x k chia hết cho g(x) = x + 2 b, f(x) = x⁴ 19x³ 25x² 6x k chia hết cho g(x) = x – 3 c, f(x) = x⁴ 8x³ 24x² 7x k chia hết cho g(x) = x + 4 d, f(x) = 3x⁴ 7x³ 11x² x k chia hết cho g(x) = x – 4 ĐS:

a, k = - 164 b, k = 225 c, k = -1124 d, k = 500

Bài 7: Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết:

a) A = x – 3x + 3x + ax + b^{4 3 2} và B = x - 3x + 4² b) A = x - 9x + 21x + ax + b^{4 3 2} và B = x - x - 2.² ĐS:

a, a = 3, b = -4 b, a = 1, b = -30

Bài 8: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức A chia hết cho đa thức B, biết:

a, A = 3x³ 8x² 15x 6 và B = 3x – 1 b, A = x³ 4x² 3x 7 và B = x + 4 ĐS:

a, x = 0, x = 1

b, x = {-23, -5, -3, 15}

Bài 9: Tìm đa thức M, biết:

a)x³ 5x² x 5 (x 5).M

b) x² 4x 3 .M 2x⁴ 13x³ 14x² 15x c) x² x 1 .M x⁴ x³ 4x² 5x 3 ĐS:

a, M = x² 1 b, M = 2x² 5x c, M = x² 2x 3 Bài 10: Tìm x biết:

a)



 ^{   }

b)



  

^{ }

ĐS:

a, x = -3 b, x = 1, x = 3

2