50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án 2022) – Toán 8

Các phép toán về phân thức đại số

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức A C E

; ;

B D F với





+ Tính giao hoán: A C C A B D D  B

+ Tính kết hợp: ^{A C E A C E}

B D F B D F

      

   

   

+ Cộng với 0: A A A 0 0

B    B  B. 2. Phép trừ các phân thức đại số a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức A B

 là phân thức đối của A

Bvới





B

 . Ta có: A A B B 0

   .

Như vậy: A A

B B

   và A A

B B

  . b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thứcA

Bcho phân thức C

Dta lấy phân thức A

B cộng với phân thức đối của C

D:

A C A C

B D B D

 

     với





3. Phép nhân các phân thức đại số a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

A C AC

B D.  BD với





b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức A C E

; ;

B D F với





- Tính giao hoán: A C C A

. .

B D  D B

- Tính kết hợp: ^{A C}. .^{E A}. ^{C E}. B D F B D F

    

   

   

- Tính phân phối: ^{A C} .^{E A E}. ^{C E}. B D F B F D F

    

 

 

4. Phép chia các phân thức đại số a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu A

B là một phân thức khác 0 thì A B

. 1

B A  , do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của A B là B

A.

+ Phân thức nghịch đảo của B

A là A B. b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức A

Bcho phân thức C D

C 0 D

  

 

 , ta nhân phân thức A Bvới nghịch đảo của phân thức C

D Tức là ^{A C}: ^{A D}. ^AD

B D  B C  BC C D 0

  

 

 .

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:

a) 10 x x 18 x₂ 2

x 2 x 2 x 4

    

   với x 2 b) ²₂ ^2x₂ ^3y₂ ³₂

xy x y x y

   với x0; y0

c) 3 3x 3x 1 11x 5₂ 2x 2x 1 2x 4x

    

  với 1

x 0; x

  2. Lời giải:

a) 10 x x 18 x₂ 2

x 2 x 2 x 4

    

  

  

10 x x 18 x 2

x 2 x 2 x 2 x 2

  

  

   

10 x x 18 1

x 2 x 2 x 2

 

  

  

10 x x 18 1 x 2

   

 

2x 7 x 2

 

 với x 2. b) ²₂ ^2x₂ ^3y₂ ³₂

xy x y x y

  

2 2 2 2 2 2

2x 2x 3y 3y x y x y x y

   

2 2

2x 2x 3y 3y x y

  



2 2 2

4x 4 x y xy

  với x0; y0.

c) 3 3x 3x 1 11x 5₂ 2x 2x 1 2x 4x

  

 

 

 

2

11x 5 3 3x 3x 1

2x 2x 1 4x 2x

 

 

  

 

 

3 3x 3x 1 11x 5

2x 2x 1 2x 2x 1

   

  

 

  

   

   

3 3x 2x 1 3x 1 .2x 11x 5

2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 1

    

  

  

     

2 2

6x 6x 3 3x 6x 2x 11x 5

2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 1

     

  

  

     

 

2 2

6x 6x 3 3x 6x 2x 11x 5 2x 2x 1

       

 

 

2 2

6x 6x 3 3x 6x 2x 11x 5 2x 2x 1

      

 

     

 

2 2

6x 6x 6x 3x 2x 11x 3 5 2x 2x 1

       

 

 

4x 2 2x 2x 1

 

 

 

 

2 2x 1 2x 2x 1

 

 

1 x

  với 1 x 0; x

  2.

Ví dụ 2: Cho A = ^{x x} ₂^4xy ₂ x 2y x 2y 4y x

  

   với y 2x

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi x = 1; y = 3.

Lời giải:

a) A ^{x x} ₂^4xy ₂

x 2y x 2y 4y x

   

  

2 2

x x 4xy

A x 2y x 2y x 4y

  

  

x x 4xy

A x 2y x 2y  x 2y x 2y

   

 

    

     

x x 2y x x 2y 4xy

A x 2y x 2y x 2y x 2y x 2y x 2y

 

  

     

        

2 2

x 2xy x 2xy 4xy

A x 2y x 2y x 2y x 2y x 2y x 2y

 

  

     

   

  

2 2

x 2xy x 2xy 4xy

A x 2y x 2y

   

  

  

2 2

x 2xy x 2xy 4xy

A x 2y x 2y

   

  

   

  

2 2

x x 2xy 2xy 4xy

A x 2y x 2y

   

  

  

2x2 4xy

A x 2y x 2y

 

 

 

  

2x x 2y

A x 2y x 2y

 

 

A 2x

x 2y

 

b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:

2.1 2 2

A 1 2.3 1 6 5

   

 

Vậy A ² 5

  khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số

Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) ^{4xy 1}₂ ^{2xy 1}₂ 5x y 5x y

   với x0; y0

b)

 

2

2x 1 x x 1 1 x

x 5 x 5 25 x

  

 

   với x 5.

Lời giải

a) ^{4xy 1}₂ ^{2xy 1}₂ 5x y 5x y

 



 

2 2

2xy 1 4xy 1

5x y 5x y

 

  

   

2

4xy 1 2xy 1 5x y

  



2

4xy 1 2xy 1 5x y

  



   

2

4xy 2xy 1 1

5x y

   



2

2xy 2 5x y 5x

  với x0; y0

b)

 

2

2x 1 x x 1 1 x

x 5 x 5 25 x

    

  

2 2

x 1 1 x 2x 2x x 5 x 5 x 25

  

  

  

  

x 1 1 x 2x 2x2

x 5 x 5 x 5 x 5

  

  

   

  

     

     

x 1 x 5 1 x x 5 2x 2x2

x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

    

  

     

        

2 2 2

x x 5x 5 x x 5x 5 2x 2x

x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

      

  

     

     

  

2 2 2

x x 5x 5 x x 5x 5 2x 2x x 5 x 5

        

  

  

2 2 2

x x 5x 5 x x 5x 5 2x 2x

x 5 x 5

        

  

     

  

2 2 2

x x 2x x 5x x 5x 2x 5 5 x 5 x 5

        

  







  

 







  

2 x 5

  với x 5

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức

 

1 1 3

x x 3 x x 3

  . Từ đó, hãy tính biểu thức



  

  



M ...

x x 3 x 3 x 6 x 12 x 15

   

     với x thỏa mãn tất cả các

mẫu khác 0.

Lời giải:

* Chứng minh biểu thức:

   

1 1 x 3 x

x x 3 x x 3 x x 3

   

   ^{ xx x}









* Tính giá trị M:

Ta có:

   

1 1 x 3 x

x x 3 x x 3 x x 3

   

   ^{ xx x}













x x 3 3 x x 3

 

      

     

1 1 x 6 x 3

x 3 x 6 x 3 x 6 x 3 x 6

 

  

      ^





 











         Chứng minh tương tự:

….







         Do đó:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

M ...

3 x x 3 3 x 3 x 6 3 x 12 x 15

     

               

1 1 1 1 1 1 1

M ...

3 x x 3 x 3 x 6 x 12 x 15

 

              1 1 1

M 3 x x 15

 

    

   

1 x 15 x

M 3 x x 15 x x 15

  

     

 

1 x 15 x

M .

3 x x 15

 

 

   

1 15 5

M .

3 x x 15 x x 15

 

 

Vậy ^{M x x 15}





Dạng 3: Nhân các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a)

2 2

3

x x 9

A .

x 3 x

 

 với x0;x 3 b)

2 3

2

x 3 8 12x 6x x

B .

x 4 x 3

   

   với x 3;x 2

c)

3

x 1 x 2

C . x x 1

2x x 1

 

        với x0;x 1 .

Lời giải:

a)

2 2

3

x x 9

A .

x 3 x

 



 

 

2 2

3

x . x 9 A x 3 .x

 



  

 

2

3

x x 3 x 3 A x 3 .x

 

 

x 3

A x

  với x0;x 3.

b)

2 3

2

x 3 8 12x 6x x

B .

x 4 x 3

   

  





 



B .

x 2 x 2 x 3

 

   

  

   

x 3 2 x 3

B x 2 x 2 x 3

 

   

 

  

x 2 3

B x 2 x 2

 

  





B x 2

  

 với x 3;x 2. c)

3

x 1 x 2

C . x x 1

2x x 1

 

       

 

3

x 1 x 2

C . x x 1

2x x 1

 

       



  

3 x x 1 x 1

x 1 x

C .

2x x 1 x 1

    

  

 

   

 

3 3

x 1 x x 1

C .

2x x 1 x 1

 

 

     

3 3

x 1 x x 1

C 2x x 1

 

  

   

x 1 1 1

C .

2x x 1 2x

  

 với x0;x 1 . Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau

2 4 8 16

1 1 1 1 1 1

M . . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

       với x 1. Lời giải:

2 4 8 16

1 1 1 1 1 1

M . . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

      

2 4 8 16

1 1 1 1 1 1

M . . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

 

        

 



M . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

 

        

2 2 4 8 16

1 1 1 1 1

M . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

     

2 2 4 8 16

1 1 1 1 1

M . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

 

       







M . . .

1 x 1 x 1 x

1 x 1 x

 

 

      

4 4 8 16

1 1 1 1

M . . .

1 x 1 x 1 x 1 x

    

4 4 8 16

1 1 1 1

M . . .

1 x 1 x 1 x 1 x

 

      







M . .

1 x 1 x

1 x 1 x

 

 

     

8 8 16

1 1 1

M . .

1 x 1 x 1 x

   

8 8 16

1 1 1

M . .

1 x 1 x 1 x

 

     







M .

1 x 1 x 1 x

 

 

    

   

16 16 16 16

1 1 1

M .

1 x 1 x 1 x . 1 x

 

   

32

M 1

1 x

 với x 1.

Dạng 4: Chia các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Làm tính chia

a)

x3 1 x 1 5x 10 x: 2

 

  với x 2;x 1 b)

2 2

2 2 3 3

x 4xy 4y 4x 8y

x xy y :2x 2y

  

   với x y; x2y c) ^{x 4 x}: ^{5 x}: ⁶

x 5 x 6 x 4

  

   với x 4;x 5;x 6. Lời giải:

a)

x3 1 x 1 5x 10 x: 2

 

 

x3 1 x 2 5x 10 x 1

 

 

 

   

   

 

x 1 x2 x 1 x 2

5 x 2 x 1

   

 

 

     

  

x 1 x2 x 1 x 2 5 x 2 x 1

   

  

x2 x 1 5

   với x 2;x 1

b)

2 2

2 2 3 3

x 4xy 4y 4x 8y

x xy y :2x 2y

  

  

2 2 3 3

2 2

x 4xy 4y 2x 2y

x xy y 4x 8y

  

 

  

 

   

 

2 3 3

2 2

2 x y x 2y

4 x 2y x xy y

 

 

  

 

     

 

2 2 2

2 2

2 x y x xy y x 2y

4 x 2y x xy y

  

  

  

     

   

2 2 2

2 2

x 2y .2 x y x xy y x xy y .4 x 2y

   

   







2

 

 với x y; x2y c) ^{x 4 x}: ^{5 x}: ⁶

x 5 x 6 x 4

  

  

x 4 x 6 x 4 x 5 x 5 x 6

  

  

  

   









   

 

 

2 2

x 4 x 5

 

 với x 4;x 5;x 6. Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết:

2

3 3 2 2

2x 3y 4x 6xy

x y .A 3x 3xy 3y

 

    với xy; 3

x y

2

  .

Lời giải:

2

3 3 2 2

2x 3y 4x 6xy

x y .A 3x 3xy 3y

  

  

2

2 2 3 3

4x 6xy 2x 3y

A :

3x 3xy 3y x y

 

    

2 3 3

2 2

4x 6xy x y

A .

3x 3xy 3y 2x 3y

 

    

 

     

 

2 2

2 2

x y x xy y

2x 2x 3y

A .

2x 3y 3 x xy y

  

  

  

 

2x x y

A 3

   với xy.

Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc.

Thứ tự thực hiện phép tính:

- Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

- Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ.

Lũy thừa nhân và chia  cộng và trừ.

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự

( ) [ ] { }

Ví dụ: Thực hiện phép tính

a)

2

2

x 2 x 8x 7

A . 2

x 1 x 1 x 1

 

 

       với x 1

b)

2 2

3x 2x 16x 20x

B :

1 4x 4x 1 16x 8x 1

  

       với 1 x 4 Lời giải:

a)

2

2

x 2 x 8x 7

A . 2

x 1 x 1 x 1

 

 

      

 

2

2

2 x 1

x 2 x 8x 7

A .

x 1 x 1 x 1 x 1



 

 

        

2

2

x 2 x 2x 2 8x 7

A .

x 1 x 1 x 1 x 1

 

  

        

2

2

x 2 x 2x 2 8x 7

A .

x 1 x 1 x 1

   

  

  

   2 

2 2

x 2 x 2x 2 8x 7

A x 1 x 1

   

  

 

3 2 2

2 2

x 2x 2x 2x 4x 4 8x 7

A x 1 x 1

     

  

 



  

2

x 2x 2x 2x 4x 4 8x 7

A x 1

      

  

3 2 2

2

x 2x 2x 2x 4x 4 8x 7

A x 1

      

  

     

3 2 2

2

x 2x 2x 2x 4x 8x 4 7

A x 1

      

  

3 2

2

x 4x 2x 3

A x 1

  

  

  

3 2

x 1 4x 2x 2

A x 1 x 1

   

   

     

  

2 2

x 1 x x 1 2 2x x 1

A x 1 x 1

     

   

     

  

2 2

x 1 x x 1 2 2x 2x x 1

A x 1 x 1

      

   

       

  

x 1 x2 x 1 2 2x x 1 x 1

A x 1 x 1

        

   

      

  

x 1 x2 x 1 2 x 1 2x 1

A x 1 x 1

     

   

   

  

x 1 x2 x 1 4x 2

A x 1 x 1

    

   

x2 5x 3

A x 1

 

   với x 1.

b)

2 2

3x 2x 16x 20x

B :

1 4x 4x 1 16x 8x 1

  

      

 

    

  

2 2

3x. 4x 1 2x 1 4x 16x 20x

B :

1 4x 4x 1 1 4x 4x 1 16x 8x 1

    

         

     

2 2 2

2

12x 3x 2x 8x 16x 8x 1

B .

1 4x 4x 1 1 4x 4x 1 16x 20x

     

        

    

 

2 2 1 4x 2

12x 3x 2x 8x

B .

1 4x 4x 1 4x 4x 5

     

      

    

 

2 1 4x 2

4x 5x

B .

1 4x 4x 1 4x 4x 5

 

    

 

    

 

x 4x 5 1 4x 2

B .

1 4x 4x 1 4x 4x 5

 

    

  

    

x 4x 5 1 4x 2

B 1 4x 4x 1 4x 4x 5

 

    

 

B 1 4x

4 1 4x

  

 với 1

x 4.

III. Bài tập tự luyện Bài 1: Thực hiện phép tính

a)

2 2

2 x x 2x 7 5x

x 3 3 x x 3

    

   với x3

b) ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹

x 3x 2 x 4x 3 x 5x 6

      với x 1;x 2;x3 c) ₂ ^{x x}₂ ^3y₂ ^x ₂

x xy y x xy x

  

   với x0; x y. Bài 2: Thực hiện phép tính

a) ^{1 1} ₂^2x

x 3 x 3 x 9

   với x 3 b)

2

2 3

1 x 2

x x 1 1 x 1

  

   với x 1 c) ^{5 x} ₂³⁰

x  x 6 x 6x

  với x 6;x0. Bài 3: Thực hiện phép tính:

a)

x2 49 3 2x 1 7. x



  với 1

x ; x 7

2

  

b)

2 2

x 3 x 7x 8 x 1 x. 5x 6

  

   với x 1;x2;x3 c)

3

2

x 1 1 x 1

2x 4. x 1 x x 1

    

     với x 2;x 1 d)

3 3

x 2001 2x x x 16

. .

x 2017 x 2 x 2017 x 2

  

    với x 2;x2017. Bài 4: Thực hiện phép tính

a)





3x 1

 

 với x 5; x ¹

   3

b)

2 2

x 2x 2x 4 3x 6x 3 5x: 5

 

   với x 2;x 1 c) ^{x 7}: ^{x 8 x}. ⁹

x 8 x 9 x 7

    

 

     với x 7;x 8;x 9 d)

2 2

3

4x 6y 4x 12xy 9y x 2 : 8 x

  

  với 3

x 2; x y

  2 .

Bài 5: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:

a)

2

2 3

4 2 2x 4x

x x 1 P 1 x x 1

   

    với x0;x 1 b)

2

2 2

2 6 2x

x 1 Q x 31 x

   với x 1;x3. Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết

a)

2 2

2

x 3x x 9 P. x 4 x 4x

  

  với x 3;x0;x4 b)

2 2

4x 4 4x 12x 9 Q : 2x 3 x 1

   

  với 3

x ; x 1

 2  . Bài 7: Thực hiện phép tính

2 2

x x 64

A . 16 19

x 8 x

  

     với x0;x8. Bài 8: Thực hiện phép tính

x2 1 x 2 2

B .

8 4 x 1 x 1

    

         với x 1.

Bài 9: Tìm phân thức T biết

1 x x 2 x 4 x 14 x 16 x 18 1

... T

x x 2 x 4 x 6 x 16 x 18 x 20 2

    

        

      .

Giả thuyết tất cả các mẫu thức khác 0.

Bài 10: Tính hợp lí biểu thức

2 4

1 1 1 1

N . . .

2x 1 2x 1 4x 1 16x 1

     với 1

x 2. Bài 11: Chứng minh biểu thức

 

1 1 2

a a 2 a a 2

  . Từ đó, hãy tính biểu thức



  

  



A ...

a a 2 a 2 a 4 a 78 a 80

   

     với x thỏa mãn tất cả các mẫu

khác 0.