SBT Toán 8 Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

(1)

Bài 7. Phép nhân các phân thức đại số Bài 29 trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân phân thức:

a)

3 5

2

30x 121y 11y . 25x ^;

b)

5

2 3

24y 21x 7x . 12y

− 

 

 ; c)

3 2

4 3

18y 15x 25x . 9y

−  − 

   

   ^; d) 4x 8₃ 2x 20₂

(x 10) . (x 2)

+ −

− + ^;

e)

2 2

3

2x 20x 50 x 1

3x 3 . 4( x 5)

− + −

+ − .

Lời giải:

a)

3 5 3 5 2 3 2 3

2 2

30x 121y 30x .121y 6x .11y 66x y 11y . 25x = 11y .25x = 5 = 5 _;

b)

5 5 2 2

2 3 2 3

24y 21x 24y .( 21x) 2y .( 3) 6y

7x . 12y 7x .12y x x

− = − = − =−

 

  ;

c)

3 2 3 2

4 3 4 3 2 2

18y 15x 18y .( 15x ) 2.3 6

25x . 9y 25x .9y 5x 5x

−  −  = − − = =

   

    ^;

d)

3 2 3 2

4x 8 2x 20 (4x 8)(2x 20) (x 10) .(x 2) (x 10) .(x 2)

+ − = + −

− + − +

(2)

3 2 2

4(x 2).2(x 10) 8

(x 10) (x 2) (x 10) (x 2)

+ −

= =

− + − + ;

e)

2 2 2 2

3 3

2x 20x 50 x 1 (2x 20x 50)(x 1) 3x 3 . 4( x 5) (3x 3)4.(x 5)

− + − − + −

+ − = + −

2 2

3 3

2(x 10x 25)(x 1)(x 1) 2(x 5) (x 1)(x 1) 3(x 1)4.(x 5) 12(x 1).(x 5)

− + + − − + −

= =

+ − + −

x 1 6(x 5)

= −

− .

Bài 30 trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức (chú ý dùng quy tắc đổi dấu để thay nhân tử chung).

a)

2 3

2

x 3 8 12x 6x x

x 4. 9x 27

+ − + −

− + ;

b)

2

2 3

6x 3 25x 10x 1 5x x. 1 8x

− + +

+ − ;

c)

2 4

2 3

3x x 1 x

x 1 . (1 3x)

− −

− − .

Lời giải:

a)

2 3

2

x 3 8 12x 6x x

x 4. 9x 27

+ − + −

− +

3 2

x 3 (x 6x 12x 8)

(x 2)(x 2). 9(x 3)

+ − − + −

= + − +

x 3 (x 2)3

(x 2)(x 2) 9(x. 3)

+ − −

= + − +

(3)

3 2

(x 3). (x 2) (x 2) (x 2)(x 2).9(x 3) 9(x 2)

 

+ − −  − −

= =

+ − + + ;

b)

2

2 3

6x 3 25x 10x 1 5x x. 1 8x

− + +

+ −

2 3

3(2x 1) (5x 1) x(5x 1). (8x 1)

− +

= + − −

2 2

3(2x 1).(5x 1)

x(5x 1)(2x 1).(4x 2x 1)

− +

= − + − − +

2 2

3(5x 1) 3(5x 1)

x(4x 2x 1) x(4x 2x 1)

+ − +

= =

− − + − +

c)

2 4

2 3

3x x 1 x

x 1 . (1 3x)

− −

− − .

2 2

3

x(3x 1) (1 x )(1 x ) (x 1)(x 1). (3x 1)

− − +

= + − − −

2 2

3

x(3x 1) (x 1)(1 x ) (x 1)(x 1). (3x 1)

− − − +

= + − − −

2 3

2 2

3 2

x(3x 1) (x 1)(x 1)(1 x ) (x 1)(x 1). (3x 1)

x(3x 1).(x 1)(x 1)(1 x ) x(1 x ) (x 1)(x 1)(3x 1) (3x 1)

− + − +

= + − −

− + − + +

= =

+ − − −

Bài 31 trang 32 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích các mẫu thức và các mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng hoặc tách một số hạng thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức.

a)

2 2

x 2 x 2x 3 x 1 x. 5x 6

− − −

+ − + ;

(4)

b) ₂ x 1 4₂ x x 2x 8 x. x

+ −

− − + ^; c)

2 2

x 2 x 36

4x 24 x. x 2

+ −

+ + − . Lời giải:

a)

2 2

x 2 x 2x 3 x 1 x. 5x 6

− − −

+ − +

2 2

(x 2)(x 2x 3) (x 2)(x x 3x 3) (x 1)(x 5x 6) (x 1)(x 2x 3x 6)

− − − − + − −

= =

+ − + + − − +

 

(x 2) x(x 1) 3( x 1) (x 2).(x 3).(x 1) (x 1) x(x 2) 3(x 2) (x 1)(x 3)(x 2) 1

− + − + − − +

= =

+ − − − + − −

=

b) ₂ x 1 4₂ x x 2x 8 x. x

+ −

− − +

2 2 2 2

(x 1)(4 x) (x 1).(x 4)

(x 2x 8)(x x) (x 4x) (2x 8) (x x)

+ − − + −

= =

− − +  − + −  +

(x 1).(x 4)

[x(x 4) 2(x 4)].x(x +1)

(x 1).(x 4) 1

(x 2)(x 4)x(x +1) x(x 2)

− + −

= − + −

− + − −

= =

+ − +

c)

2 2

x 2 x 36

4x 24 x. x 2

+ −

+ + −

2 2

(x 2).(x 36) (4x 24)(x x 2)

+ −

= + + −

(5)

2

(x 2).(x 6)(x 6) 4(x 6)(x 2x x 2)

+ + −

= + + − −

(x 2).(x 6)(x 6) 4(x 6)[x(x 2) (x 2)]

+ + −

= + + − +

(x 2).(x 6)(x 6) x 6 4(x 6).(x 1).(x 2) 4(x 1)

+ + − −

= =

+ − + −

Bài 32 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:

a)

3 3

x 2x 1954 x 21 x

. .

x 1975 x 1 x 1975 x 1

+ + −

+ + + + ;

b)19x 8 5x 9 19x 8 4x 2

. .

x 7 x 1945 x 7 x 1945

+ − − + −

− + − + ^.

Lời giải:

a)

3 3

x 2x 1954 x 21 x

. .

x 1975 x 1 x 1975 x 1

+ −

+ + + + + ;

x3 2x 1954 21 x

x 1975. x 1 x 1

 + − 

= +  + + + 

x3 2x 1954 21 x x 1975. x 1

+ + −

= + +

3 3 3

x x 1975 x .(x 1975) x

x 1975. x 1 (x 1975)(x 1) x 1

+ +

= = =

+ + + + +

b) 19x 8 5x 9 19x 8 4x 2

. .

x 7 x 1945 x 7 x 1945

+ − − + −

− + − +

(6)

19x 8 5x 9 4x 2 x 7 . x 1945 x 1945

 

+ − −

= −  + − +  19x 8 5x 9 4x 2

x 7 . x 1945

+ − − +

= − +

19x 8 x 7 (19x 8)(x 7) x 7 . x 1945 (x 7)(x 1945) 19x 8

x 1945

+ − + −

= =

− + − +

= + +

Bài 33 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tích x.y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số):

a) (4a² – 9)x = 4a + 4; với 3

a 2 và (3a³ + 3)y = 6a² + 9a với a ≠ – 1 b) (2a³ – 2b³)x – 3b = 3a; với a ≠ b và (6a + 6b)y = (a – b)² với a ≠ – b (Chú ý rằng:

2 2 2 2

2 2 2 b b 3b b 3b

a ab b a 2a. a 0

2 4 4 2 4

 

+ + = + + + = +  + 

Do đó nếu a 0 hoặc

b 0 

thì a² + ab + b² > 0).

Lời giải:

a) +) Vì 3

a  2 nên 4a² – 9 = (2a – 3)(2a + 3) ≠ 0 Nên từ (4a² – 9)x = 4a + 4

Suy ra: 4a₂ 4 x 4a 9

= +

−

+) Do 3a³ + 3 = 3(a³ + 1) = 3(a + 1)(a² – a + 1) Vì a ≠ – 1 nên a + 1 ≠ 0 và

2 2

2 2 1 1 3 1 3

a a 1 a 2.a. a 0

2 2 4 2 4

   

− + = − +   + = −  + 

(7)

Do đó 3a³ + 3 ≠ 0

Nên từ (3a³ + 3)y = 6a² + 9a Suy ra:

2 3

6a 9a

y 3a 3

= +

+ Do đó:

2 2

2 3 2 3

4a 4 6a 9a (4a 4).(6a 9a)

xy .

4a 9 3a 3 (4a 9).(3a 3)

+ + + +

= =

− + − +

2

4(a 1).3a(2a 3)

(2a 3).(2a 3).3(a 1).(a a 1)

+ +

= − + + − +

2

4a

(2a 3).(a a 1)

= − − +

b) Tương tự, vì a ≠ b nên 2a³ – 2b³ = 2(a – b)(a² + ab + b²) ≠ 0.

Suy ra: 3a 3b₃ ₃ x 2a 2b

= +

− ^.

Vì a ≠ – b nên a + b ≠ 0. Suy ra:

(a b)2

y 6a 6b

= −

+ . Vậy

2

3 3

3a 3b (a b)

xy .

2a 2b 6a 6b

+ −

= − +

2

2 2

3(a b).(a b)

2(a b)(a ab b )6(a b)

+ −

= − + + +

2 2

a b 4(a ab b )

= −

+ +

Bài 34 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

(8)

a)

4 3

3 2 4

x 15x 7 x 4x 4

. .

2x 2 14x 1 x 15x 7

+ + +

+ + + +

b)

7 2 2

3 7 2

x 3x 2 3x x x 1

. .

x 1 x 1 x 3x 2

+ + + +

− + + + .

Lời giải:

a)

4 3

3 2 4

x 15x 7 x 4x 4

. .

2x 2 14x 1 x 15x 7

+ + +

+ + + +

4 3

3 2 4

3

3 2 2

(x 15x 7).x(4x 4) (2x 2).(14x 1).(x 15x 7)

x.4(x 1) 2x

2(x 1).(14x 1) 14x 1

+ + +

= + + + +

= + =

+ + +

b)

7 2 2

3 7 2

x 3x 2 3x x x 1

. .

x 1 x 1 x 3x 2

+ + + +

− + + +

7 2 2

3 7 2

(x 3x 2).3x.(x x 1) (x 1).(x 1).(x 3x 2)

+ + + +

= − + + +

2 2

3x.(x x 1) (x 1).(x x 1)(x 1)

3x (x 1).(x 1)

= + +

− + + +

= − +

Bài 35 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Đố em điền một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau:

1 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9

. . . .... 1

x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

+ + + + + + + + + =

+ + + + + + + + + +

(9)

Lời giải:

1 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

. . . .

x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 1

+ + + + + + + + + +

1.x.(x 1).(x 2).(x 3).(x 4).(x 5)(x 6)(x 7)(x 8)(x 9)(x 10) x(x 1)(x 2)(x 30(x 4)(x 5)(x 6)(x 7)(x 8)(x 9)(x 10).1 1

+ + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + +

=

Vậy phân thức cần điền vào chỗ chấm là x 10 1 + .

Bài tập bổ sung

Bài 7.1 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau bằng hai cách:

dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và không dùng tính chất này:

a)

3

2

x 1 1 x 1

x 2. x 1 x x 1

 

−  − + 

+  − + + ; b)

3 2

x 2x x 2 1 2 1

2x 10 . x 1 x 1 x 2

 

+ +− −  − − + + + .

Lời giải:

a) Cách 1:

3

2

x 1 1 x 1

x 2. x 1 x x 1

 

−  − + 

+  − + + 

3 2

2 2

x 1 x x 1 (x 1)(x 1)

x 2. (x 1)(x x 1) (x x 1).(x 1)

 

− + + + −

= +  − + + − + + − 

3 2 2

2

x 1 x x 1 (x 1) x 2. (x 1)(x x 1)

− + + − −

= + − + +

(10)

3 2 2 3

x 1 x x 1 x 1

x 2. x 1

x 2 1 x 2

− + + − +

= + −

= + = +

Cách 2:

3

2

x 1 1 x 1

x 2. x 1 x x 1

 

−  − + 

+  − + + 

3 3

2

x 1 1 x 1 x 1

. .

x 2 x 1 x 2 x x 1

− − +

= −

+ − + + +

2 2

2

(x 1).(x x 1) (x 1).(x x 1).(x 1) (x 2).(x 1) (x 2)(x x 1)

− + + − + + +

= −

+ − + + +

x2 x 1 (x 1).(x 1)

x 2 x 2

+ + − +

= −

+ +

2 2 2 2

x x 1 (x 1) x x 1 x 1

x 2 x 2

1

+ + − − + + − +

= =

+ +

=

b) Ta có:

x³ + 2x² – x – 2 = (x³ + 2x² ) – (x + 2) = x²(x + 2) – 1. (x + 2)

= (x² – 1). (x + 2 )

= (x – 1). (x + 1). (x + 2) Cách 1:

3 2

x 2x x 2 1 2 1

2x 10 . x 1 x 1 x 2

 

+ +− −  − − + + + 

(11)

(x 1)(x 1).(x 2) (x 1).(x 2) 2(x 1).(x 2) (x 1).(x 1)

2(x 5) . (x 1).(x 1)(x 2)

 

+ − + + + − − + + − +

= +  − + + 

2 2 2

(x 1)(x 1).(x 2) x 2x x 2 2(x 2x x 2) x 1 2(x 5) . (x 1).(x 1)(x 2)

+ − + + + + − + − − + −

= + − + +

2 2 2

(x 1)(x 1).(x 2) x 3x 2 2x 4x 2x 4 x 1 2(x 5) . (x 1).(x 1)(x 2)

+ − + + + − − + + + −

= + − + +

(x 1)(x 1).(x 2) x 5 1

2(x 5) . (x 1).(x 1)(x 2) 2

+ − + +

= =

+ − + +

Cách 2:

3 2

x 2x x 2 1 2 1

2x 10 . x 1 x 1 x 2

 

+ +− −  − − + + + 

( )( )( )

( )

x 1 x 1 x 2 1 2 1

2 x 5 x 1 x 1 x 2

+ − +  

= +  − − + + + 

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 1

. . .

2 x 5 x 1 2 x 5 x 1 2 x 5 x 2

+ − + + − + + − +

= − +

+ − + + + +

( )( )

( ) ( )( )

( )

x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1

2 x 5 2 x 5 2 x 5

+ + − + + −

= − +

+ + +

( )

2 2 2

x 3x 2 2 x x 2 x 1

2 x 5

+ + − + − + −

= +

( )

3x 2x 2 4 1 2 x 5

− + + −

= +

(

^x ⁵

)

¹

2 x 5 2

= + =

+

(12)

Bài 7.2 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân

2 4 8 16

1 1 1 1 1 1

. . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x− + + + + + Lời giải:

2 4 8 16

1 1 1 1 1 1

. . . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x− + + + + +

(

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

)(

¹

)

^. ¹ ²^. ¹ ⁴^. ¹ ⁸^. ¹¹⁶

= − + + + + +

2 2 4 8 16

1 1 1 1 1

. . . .

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

= − + + + +

4 4 8 16

1 1 1 1

. . .

1 x 1 x 1 x 1 x

= − + + +

8 8 16

1 1 1

. .

1 x 1 x 1 x

= − + +

16 16 32

1 1 1

1 x .1 x 1 x

= =

− + − .