Bài 8: Phép chia các phân thức đại số
Bài 36 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Hãy làm các phép chia sau:
a)7x 2 14x 43 2 3xy : x y
+ +
;
b)
8xy 12xy3
3x 1 5 15x− : − ;
c)
27 x3 2x 6 5x 5 : 3x 3
− −
+ + ;
d) 2 3x 6
(4x 16):
7x 2
− +
− ; e)
3
3x 3 2
: (x x 1) x 1
+ − +
− .
Lời giải:
a)7x 2 14x 43 2 3xy : x y
+ +
2 2
3 3
7x 2 x y (7x 2)x y 3xy .14x 4 3xy .(14x 4)
+ +
= =
+ +
2
3 2
(7x 2)x y x 3xy .2(7x 2) 6y
= + =
+ b)
8xy 12xy3
3x 1 5 15x− : −
3 3
8xy 5 15x 8xy(5 15x) 3x 1. 12xy (3x 1)12xy
− −
= =
− −
3 2
8xy.5(1 3x) 10 (3x 1).12xy 3y
− −
= =
− c)
27 x3 2x 6 5x 5 : 3x 3
− −
+ +
27 x3 3x 3 5x 5 . 2x 6
− +
= + −
(27 x )(3x 3)3
(5x 5)(2x 6)
− +
= + −
(3 x).(9 3x x ).3(x 1)2
5(x 1).2(x 3)
− + + +
= + −
3(9 3x x )2
10
− + +
=
d) 2 3x 6
(4x 16):
7x 2
− +
−
2
2 7x 2 (4x 16)(7x 2) (4x 16).
3x 6 3x 6
− − −
= − =
+ +
(2x 4)(2x 4)(7x 2) 3(x 2)
+ − −
= +
2(x 2)2(x 2)(7x 2) 4(x 2).(7x 2)
3(x 2) 3
+ − − − −
= =
+ e)
3
3x 3 2
: (x x 1) x 1
+ − +
−
3
2
3x 3 1
x 1 . x x 1
= +
− − +
3 2
2 2
3(x 1).1 3(x 1).(x x 1) (x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1) 3(x 1)
x 1
+ + − +
= =
− − + − − +
= +
−
Bài 37 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:
a)
2 2
4(x 3) x 3x 3x x : 1 3x
+ +
− − ;
b)
2 2
3
4x 6y 4x 12xy 9y
x 1 : 1 x
+ + +
− − .
Lời giải:
a)
2 2
4(x 3) x 3x 3x x : 1 3x
+ +
− −
2 2
4(x 3) 1 3x 3x x x. 3x
+ −
= − +
2 2
4(x 3)(1 3x) (3x x)(x 3x)
+ −
= − +
2
4(x 3)(1 3x) 4 x(3x 1)x(x 3) x
+ − −
= =
− +
b)
2 2
3
4x 6y 4x 12xy 9y
x 1 : 1 x
+ + +
− −
3
2 2
4x 6y 1 x
x 1 .4x 12xy 9y
+ −
= − + +
3
2 2
(4x 6y)(1 x ) (x 1)(4x 12xy 9y )
+ −
= − + +
2 2 2
2(2x 3y).(1 x)(1 x x ) 2(1 x x )
(x 1)(2x 3y) 2x 3y
+ − + + − + +
= =
− + +
Bài 38 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:
a)
4 3 3 2 2
2
x xy x x y xy 2xy y : 2x y
− + +
+ + ;
b)
2 2
2 2 3 3
5x 10xy 5y 8x 8y
2x 2xy 2y :10x 10y
− + −
− + + .
Lời giải:
a)
4 3 3 2 2
2
x xy x x y xy 2xy y : 2x y
− + +
+ +
4 3
2 3 2 2
x xy 2x y
2xy y . x x y xy
− +
= + + +
4 3
2 3 2 2
(x xy )(2x y) (2xy y )(x x y xy )
− +
= + + +
3 3
2 2
x(x y )(2x y) y(2x y)x(x xy y )
− +
= + + +
2 2
2 2
x(x y)(x xy y )(2x y) x y
y(2x y)x(x xy y ) y
− + + + −
= =
+ + +
b)
2 2
2 2 3 3
5x 10xy 5y 8x 8y
2x 2xy 2y :10x 10y
− + −
− + +
2 2 3 3
2 2
2 2 3 3
2 2
5x 10xy 5y 10x 10y 2x 2xy 2y . 8x 8y (5x 10xy 5y ).(10x 10y )
(2x 2xy 2y )(8x 8y)
− + +
= − + −
− + +
= − + −
2 2 3 3
2 2
5(x 2xy y ).10(x y ) 2(x xy y )8(x y)
− + +
= − + −
2 2 2
2 2
50(x y) (x y)(x xy y ) 16(x xy y )(x y)
− + − +
= − + −
25(x y)(x y) 8
− +
=
(
2 2)
25 x y
= 8 − .
Bài 39 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép chia phân thức:
a)
2 2
2 2
x 5x 6 x 4x 4 x 7x 12: x 3x
− + − +
+ + + ;
b)
2 2
2 2
x 2x 3 x 7x 12
x 3x 10 x: 9x 14
+ − + +
+ − − + .
Lời giải:
a)
2 2
2 2
x 5x 6 x 4x 4 x 7x 12: x 3x
− + − +
+ + +
2 2
2 2
x 5x 6 x 3x
x 7x 12 x. 4x 4
− + +
= + + − +
2 2
2 2
(x 5x 6)(x 3x) (x 7x 12)(x 4x 4)
− + +
= + + − +
2
2 2
[(x 2x) (3x 6)]x(x 3) [(x 3x) (4x 12)](x 2)
− − − +
= + + + −
2
[x(x 2) 3(x 2)]x(x 3) [x(x 3) 4(x 3)](x 2)
− − − +
= + + + −
2
(x 2)(x 3)x(x 3) x(x 3) (x 4)(x 3)(x 2) (x 4)(x 2)
− − + −
= =
+ + − + −
b)
2 2
2 2
x 2x 3 x 7x 12
x 3x 10 x: 9x 14
+ − + +
+ − − +
2 2
2 2
x 2x 3 x 9x 14 x 3x 10 x. 7x 12
+ − − +
= + − + +
2 2
2 2
(x 2x 3)(x 9x 14) (x 3x 10)(x 7x 12)
+ − − +
= + − + +
2 2
2 2
(x 3x) (x 3) . (x 2x) (7x 14) (x 2x) (5x 10) (x 3x) (4x 12)
+ − + − − −
= − + − + + +
x(x 3) 1.(x 3) . x(x
2) 7(x 2)
x(x 2) 5(x 2) x(x 3) 4(x 3)
+ − + − − −
= − + − + + +
(x 1).(x 3)(x 7)(x 2) (x 1)(x 7) (x 5)(x 2)(x 4)(x 3) (x 5)(x 4)
− + − − − −
= =
+ − + + + + .
Bài 40 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm Q, biết:
a)
2 2
3 3 2 2
x y x 2xy y
x y . Q x xy y
− = − +
+ − + ;
b)
2
3 3 2 2
x y 3x 3xy
x y . Q x xy y
+ = +
− + + .
Lời giải:
a)
2 2
3 3 2 2
x y x 2xy y
x y . Q x xy y
− = − +
+ − +
Ta có
2 2
2 2 3 3
x 2xy y x y
Q :
x xy y x y
− + −
= − + +
2 3 3
2 2
(x y) x y
x xy y . x y
− +
= − + −
2 2 2
2 2
(x y) .(x y).(x xy y ) (x xy y ).(x y)
− + − +
= − + −
(x y).(x y)
= − + = x2 – y2 Vậy Q = x2 – y2.
b)
2
3 3 2 2
x y 3x 3xy
x y . Q x xy y
+ +
− = + + .
2
2 2 3 3
2 3 3
2 2
3x 3xy x y
Q : .
x xy y x y
3x 3xy x y
x xy y . x y
+ +
= + + −
+ −
= + + +
2 2
2 2
3x(x y)(x y)(x xy y ) (x xy y )(x y)
+ − + +
= + + +
3x(x y)
= − .
Vậy Q = 3x(x – y).
Bài 41 trang 34 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức (chú ý đến các thứ tự thực hiện các phép tính):
a) x 1 x 2 x 3
: :
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + ;
b) x 1: x 2 x 3: x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + ; c) x 1 x 2 x 3
. :
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + ;
d) x 1. x 2 x 3: x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + ; e) x 1 x 2 x 3
: .
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + ; f) x 1: x 2 x 3. x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + . Lời giải:
a) x 1 x 2 x 3
: :
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + +
x 1 x 3 x 1
. .
x 2 x 2 x 3
+ + +
= + + +
2 2
(x 1)(x 3)(x 1) (x 1) (x 2)(x 2).(x 3) (x 2)
+ + + +
= =
+ + + +
b) x 1: x 2 x 3: x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + +
2
x 1 x 2 x 1
: .
x 2 x 3 x 3 x 1 (x 2)(x 1) x 2: (x 3)
+ + +
= + + +
+ + +
= + +
x 1 (x 3)2
x 2 (x 2).(x 1).
+ +
= + + +
2 2
2
(x 1)(x 3) (x 3) (x 2)(x 2).(x 1) (x 2)
+ + +
= =
+ + + +
c) x 1 x 2 x 3
. :
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + +
x 1 x 2 x 1
. .
x 2 x 3 x 3
+ + +
= + + +
2 2
(x 1)(x 2).(x 1) (x 1) (x 2)(x 3).(x 3) (x 3)
+ + + +
= =
+ + + +
d) x 1. x 2 x 3: x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + x 1 x 2 x 1
. .
x 2 x 3 x 3
+ + +
= + + +
2 2
(x 1)(x 2).(x 1) (x 1) (x 2)(x 3)(x 3) (x 3)
+ + + +
= =
+ + + +
e) x 1 x 2 x 3
: .
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + +
x 1 x 3 x 3
. .
x 2 x 2 x 1
+ + +
= + + +
2 2
(x 1).(x 3).(x 3) (x 3) (x 2)(x 2).(x 1) (x 2)
+ + + +
= =
+ + + +
f) x 1: x 2 x 3. x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + + x 1 x 2
x 2 x: 1
+ +
= + +
2 2
x 1 x 1 (x 1) x 2 x. 2 (x 2)
+ + +
= =
+ + +
Bài 42 trang 35 SBT Toán 8 Tập 1: Hà Nội cách TP. Hồ Chí Minh x km. Quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là 411km. Một con tàu xuất phát từ TP. Hồ Chí Minh đi Hà Nội. Sau đó 8 giờ con tàu
thứ hai xuất phát từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh, chúng gặp nhau tại Huế rồi tiếp tục đi. Con tàu thứ hai phải đi 20 giờ nữa mới đến TP. Hồ Chí Minh.
Hãy biểu diễn qua x:
a) Chiều dài quãng đường Hà Nội - Huế, Huế - TP. Hồ Chí Minh.
b) Vận tốc của con tàu thứ hai.
c) Thời gian của con tàu thứ hai từ Hà Nội vào Huế.
d) Thời gian của con tàu thứ nhất từ TP. Hồ Chí Minh ra Huế.
e) Vận tốc con tàu thứ nhất.
f) Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ Huế ra Hà Nội.
Lời giải:
Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Huế là y (km) thì quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là y + 411 (km) (do quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là 411km).
Khi đó quãng đường từ Hà Nội đến TP. Hồ Chí Minh là y + y + 411 (km).
Theo đề bài, quãng đường từ Hà Nội đến TP. Hồ Chí Minh là x (km).
Do đó: y + y + 411 = x.
a) Khi đó quãng đường Hà Nội đến Huế là x 411
y 2
= − (km)
Quãng đường từ Huế đến TP.Hồ Chí Minh là
x 411 x 411
y 411 411
2 2
− +
+ = + = (km)
b) Vận tốc tàu thứ hai là: x 411 x 411
2 :20 40
+ = + (km/h)
c) Thời gian tàu thứ hai từ Hà Nội đến Huế là:
x 411 x 411 x 411 40 20(x 411)
: .
2 40 2 x 411 x 411
− + = − = −
+ + (h)
d) Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ thành phố Hồ Chí Minh ra Huế bằng tổng thời gian con tàu thứ hai đi từ Hà Nội ra Huế và 8h:
20(x 411) 4(7x 1233) x 411 8 x 411
− + = −
+ + (h).
e) Vận tốc tàu thứ nhất là:
x 411 4(7x 1233) x 411 x 411 (x 411)2
: .
2 x 411 2 4(7x 1233) 8(7x 1233)
+ − = + + = +
+ − − ( km/h)
f) Thời gian tàu thứ nhất đi từ Huế ra Hà Nội là:
2
2
2
x 411 (x 411) x 411 8(7x 1233)
: .
2 8(7x 1233) 2 (x 411)
4(x 411)(7x 1233)
(km / h) (x 411)
− + − −
− = +
− −
= +
Bài 43 trang 35 SBT Toán 8 Tập 1: Đố.Đố em điền được một phân thức vào chỗ trống của đẳng thức:
x x 2 x 3 x 4 x 5
: : : : :.... 1
x 1 x 1 x 2 x 3 x 4
+ + + +
+ + + + + =
Lời giải:
Giả sử phân thức cần tìm là A, ta có:
x x 2 x 3 x 4 x 5
: : : : : A
x 1 x 1 x 2 x 3 x 4
+ + + +
+ + + + +
x x 1 x 2 x 3 x 4
. . . . : A
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x : A
x 5
+ + + +
= + + + + +
= +
Để x x 2 x 3 x 4 x 5
: : : : : A 1
x 1 x 1 x 2 x 3 x 4
+ + + + =
+ + + + + thì
x x
: A 1 A
x 5 = =x 5
+ +
Vậy phân thức cần điền là x x 5+ . Bài tập bổ sung
Bài 8.1 trang 35 SBT Toán 8 Tập 1: Hãy thực hiện các phép tính sau : a) x y:
y z; b) y x:
z y; c) x y: : z
y z x
; d) x y z
: : y z x
.
So sánh kết quả của a) với kết quả của b); kết quả của c với kết quả của d).
Phép chia có tính chất giao hoán và tính chất kết hợp hay không ? Lời giải:
a) 2
x y x z xz
: .
y z= y y =y ;
b)
y x y y y2
: .
z y = z x =xz .
Kết quả câu b là nghịch đảo kết quả câu a.
c)
2
2 2
x y z x z z xz x x
: : . : .
y z x y y x y z y
= = =
;
d)
2 2
2 2
x y z x y x x xy x z z
: : : . : .
y z x y z z y z y xy y
= = = =
.
Kết quả câu c và d khác nhau. Phép chia không có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp.
Bài 8.2 trang 35 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm phân thức P biết : a)
2 2
4x 16 4x 4x 1
P : 2x 1 x 2
− = + +
+ − ;
b)
2 3
3 2
2x 4x 8 x 8
x 3x x 3:P (x 1).(x 3)
+ + = −
− − + + − .
Lời giải:
a)
2 2
4x 16 4x 4x 1
P : 2x 1 x 2
− + +
+ = −
2 2
2 2
4x 4x 1 4x 16
P .
x 2 2x 1
(4x 4x 1)(4x 16) P (x 2)(2x 1)
+ + −
= − +
+ + −
= − +
(2x 1) .(2x2 4)(2x 4)
P (x 2)(2x 1)
+ + −
= − +
(2x 1) .2(x2 2)2(x 2)
P (x 2)(2x 1)
+ + −
= − +
P 4(2x 1).(x 2)= + +
Vậy P 4(2x 1).(x 2)= + + . b)
2 3
3 2
2x 4x 8 x 8
x 3x x 3:P (x 1).(x 3)
+ + = −
− − + + −
2 3
3 2
2
2 3
2x 4x 8 x 8
P :
x 3x x 3 (x 1).(x 3) 2(x 2x 4) (x 1).(x 3)
P .
x (x 3) (x 3) x 8
+ + −
= − − + + −
+ + + −
= − − − −
2
2 2
2(x 2x 4) (x 1).(x 3)
P .
(x 1)(x 3) (x 2)(x 2x 4)
+ + + −
= − − − + +
2
2
2(x 2x 4).(x 1)(x 3) (x 1)(x 1)(x 3)(x 2)(x 2x 4)
2 (x 1)(x 2)
+ + + −
= + − − − + +
= − −
