SBT Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Bài 17 trang 28 SBT Toán 8 Tập 1: Cộng các phân thức cùng mẫu thức:

a) ^{1 2x}₃ ^{3 2y}₃ ^2x ₃ ⁴ 6x y 6x y 6x y

− + −

+ + ;

b)

2

2 2

x 2 2 x

x(x 1) x(x 1)

− + −

− − ^;

c)

2

2 2

3x 1 x 6x

x 3x 1 x 3x 1

+ + −

− + − + ; d)

2 2

2 2

x 38x 4 3x 4x 2 2x 17x 1 2x 17x 1

+ + + − −

+ + + + .

Lời giải:

a) 3 3 3 3 3 3

1 2x 3 2y 2x 4 1 2x 3 2y 2x 4 2y 1

6x y 6x y 6x y 6x y 6x y 3x

− + + + − = − + + + − = =

b)

2 2 2

2 2 2 2 2

x 2 2 x x 2 2 x x x x(x 1) 1

x(x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) x 1

− + − = − + − = − = − =

− − − − − − ^.

c)

2 2 2

2 2 2 2

3x 1 x 6x 3x 1 x 6x x 3x 1

x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 1

+ − + + − − +

+ = = =

− + − + − + − + .

d)

2 2 2 2

2 2 2

x 38x 4 3x 4x 2 x 38x 4 3x 4x 2

2x 17x 1 2x 17x 1 2x 17x 1

+ + + − − = + + + − −

+ + + + + +

(

)

2

2 2

2. 2x 17x 1 4x 34x 2

2x 17x 1 2x 17x 1 2 + + + +

= = =

+ + + + ^.

Bài 18 trang 28 SBT Toán 8 Tập 1: Cộng các phân thức khác mẫu thức:

a) ⁵₂ ⁷ ₂ ¹¹ 6x y +12xy +18xy;

b) 3 2 3

4x 2 5y 3 x 1 15x y 9x y 5xy

+ + − + + ;

c)

2 2

3 3x 3 2x 1 2x 2x 1 4x 2x

− +

+ +

− − ;

d)

3

3 2

x 2x 2x 1

x 1 x x 1 x 1

+ + +

+ − + + . Lời giải:

a)Mẫu thức chung: 36x²y².

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 7 11 30y 21x 22xy 30y 21x 22xy

6x y 12xy 18xy 36x y 36x y 36x y 36x y + +

+ + = + + = .

b) Mẫu thức chung 45x³y³.

3 2 3

4x 2 5y 3 x 1 15x y 9x y 5xy

+ − +

+ +

2 2 2

3 3 3 3 3 3

(4x 2).3y (5y 3).5xy (x 1).9x

45x y 45x y 45x y

+ − +

= + +

2 2 3 2 3 2

3 3

12xy 6y 25xy 15xy 9x 9x 45x y

+ + − + +

=

2 3 2 3 2

3 3

6y 25xy 3xy 9x 9x 45x y

+ − + +

=

c) Mẫu thức chung: 4x² – 2x = 2x.(2x – 1).

2 2

3 3x 3 2x 1

2x 2x 1 4x 2x

− +

+ +

− −

3(2x 1) (3x 3).2x 2x2 1 2x(2x 1) (2x 1).2x 2x(2x 1)

− − +

= + +

− − −

2 2

6x 3 6x 6x 2x 1 2x(2x 1)

− + − + +

= −

8x2 2 2(2x 1).(2x 1) 2x 1 2x(2x 1) 2x(2x 1) x

− + − +

= = =

− −

d) Mẫu thức chung: x³ + 1 = (x + 1)(x² – x + 1)

3

3 2

x 2x 2x 1

x 1 x x 1 x 1

+ + +

+ − + +

3 2

2 2 2

x 2x 2x.(x 1) 1.(x x 1)

(x 1).(x x 1) (x x 1).(x 1) (x 1).(x x 1)

+ + − +

= + +

+ − + − + + + − +

3 2 2

2

x 2x 2x 2x x x 1 (x 1).(x x 1) + + + + − +

= + − +

3 2

2

x 3x 3x 1 (x 1).(x x 1)

+ + +

= + − +

3 2

(x 1)

(x 1).(x x 1)

= +

+ − +

2 2

(x 1)

x x 1

= +

− +

Bài 19 trang 29 SBT Toán 8 Tập 1: Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng:

a) 4 2 5x 6₂ x 2 x 2 4 x

+ + −

+ − − ^;

b) 1 3x 3x 2 3x 2₂ 2x 2x 1 2x 4x

− + − + −

− − ;

c) ₂ 1 1_{2 2}x

x 6x 9+ 6x x 9 +x 9

+ + − − − ^;

d)

2

3 2

x 2 2 1

x 1 x x 1 1 x

+ + +

− + + − ;

e) x x 4xy_{2 2}

x 2y +x 2y+4y x

− + − ^.

Lời giải:

a)

2

4 2 5x 6

x 2 x 2 4 x + + −

+ − −

2

4 2 5x 6

x 2 x 2 x 4

= + − −

+ − −

4(x 2) 2(x 2) (5x 6) (x 2).(x 2)

− + + − −

= − +

4x 8 2x 4 5x 6 (x 2).(x 2)

− + + − +

= − +

x 2 1

(x 2).(x 2) x 2

= + =

− + − ;

b)1 3x 3x 2 3x 2₂ 2x 2x 1 2x 4x

− + − + −

− −

2

1 3x 3x 2 3x 2

2x 2x 1 4x 2x

− − −

= + −

− −

1 3x 3x 2 3x 2

2x 2x 1 2x(2x 1)

− − −

= + −

− −

(1 3x).(2x 1) (3x 2).2x (3x 2) 2x(2x 1)

− − + − − −

= −

2 2

2x 1 6x 3x 6x 4x 3x 2 2x(2x 1)

− − + + − − +

= −

2x 1 (2x 1) 1

2x(2x 1) 2x(2x 1) 2x

− + − − −

= = =

− −

c) ₂ 1 1_{2 2}x

x 6x 9+ 6x x 9+x 9

+ + − − −

2 2

1 1 x

(x 3) (x 6x 9) (x 3)(x 3)

= + +

+ − − + + −

2 2

1 1 x

(x 3) (x 3) (x 3)(x 3)

= − +

+ − + −

2 2

2 2

1.(x 3) 1(x 3) x(x 3).(x 3) (x 3) (x 3)

− − + + + −

= + −

2 2 2

2 2

x 6x 9 (x 6x 9) x(x 9) (x 3) .(x 3)

− + − + + + −

= + −

2 2 3

2 2

x 6x 9 x 6x 9 x 9x (x 3) .(x 3)

− + − − − + −

= + −

3

2 2

21x x (x 3) .(x 3)

− +

= + −

d)

2

3 2

x 2 2 1

x 1 x x 1 1 x

+ + +

− + + −

2

2 2

x 2 2 1

(x 1)(x x 1) x x 1 x 1

= + + −

− + + + + −

2 2

2

x 2 2(x 1) 1.(x x 1) (x 1)(x x 1)

+ + − − + +

= − + +

2 2 2

x 2 2x 2 x x 1 (x 1)(x x 1) + + − − − −

= − + +

2 2

x 1 1

(x 1)(x x 1) x x 1

= − =

− + + + +

e) x x 4xy_{2 2}

x 2y +x 2y +4y x

− + −

2 2

x x 4xy

x 2y x 2y x 4y

= + −

− + −

x x 4xy

x 2y x 2y (x 2y).(x 2y)

= + −

− + + −

x(x 2y) x.(x 2y) 4xy (x 2y).(x 2y)

+ + − −

= + −

2 2

x 2xy x 2xy 4xy (x 2y).(x 2y)

+ + − −

= + −

2x2 4xy 2x(x 2y) 2x

(x 2y).(x 2y) (x 2y).(x 2y) x 2y

− −

= = =

+ − + − +

Bài 20 trang 29 SBT Toán 8 Tập 1: Cộng các phân thức:

a) ^{1 1 1}

(x y)(y z)+(y z).(z x)+(z x).(x y)

− − − − − − ;

b) ^{4 3 3}

(y x)(z x) +(y x)(y z) +(y z).(x z)

− − − − − − ;

c) ^{1 1 1}

x(x y).(x z) +y(y z).(y x) +z(z x).(z y)

− − − − − − .

Lời giải:

a) ^{1 1 1}

(x y)(y z)+(y z).(z x)+(z x).(x y)

− − − − − −

1(z x) 1.(x y) 1.(y z) (x y)(y z)(z x)

− + − + −

= − − −

z x x y y z 0

(x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 0

− + − + −

= = =

− − − − − −

b) ^{4 3 3}

(y x)(z x) +(y x)(y z) +(y z).(x z)

− − − − − −

4 3 3

(y x)(z x) (y x)(y z) (y z).(z x)

= + −

− − − − − −

4(y z) 3(z x) 3.(y x) (y x)(z x).(y z)

− + − − −

= − − −

4y 4z 3z 3x 3y 3x (y x)(z x)(y z)

− + − − +

= − − −

y z 1

(y x)(z x)(y z) (y x)(z x)

= − =

− − − − −

c) ^{1 1 1}

x(x y).(x z) +y(y z).(y x) +z(z x).(z y)

− − − − − −

1 1 1

x(x y).(x z) y(y z).(x y) z(x z).(y z)

= − +

− − − − − −

1.yz(y z) 1.xz.(x z) 1.xy(x y) xyz(x y).(x z)(y z)

− − − + −

= − − −

2 2 2 2

yz(y z) x z xz x y xy xyz(x y).(x z)(y z)

− − + + −

= − − −

2 2 2 2

yz(y z) (x y x z) (xy xz ) xyz(x y).(x z)(y z)

− + − − −

= − − −

yz(y z) x (y2 z) x(y z)(y z ) xyz(x y).(x z)(y z)

− + − − − +

= − − −

(y z).[yz x2 x(y z)]

xyz(x y).(x z)(y z)

− + − +

= − − −

2 2

yz x x(y z) yz x xy xz xyz(x y).(x z) xyz(x y).(x z)

+ − + + − −

= =

− − − −

(yz xz) (xy x )2 z(y x) x(y x) xyz(x y).(x z) xyz(x y).(x z)

− − − − − −

= =

− − − −

(z x)(y x) (x z)(x y) 1

xyz(x y).(x z) xyz(x y).(x z) xyz

− − − −

= = =

− − − −

Bài 21 trang 29 SBT Toán 8 Tập 1: Làm tính cộng các phân thức:

a) 11x 13 15x 17

3x 3 4 4x

+ + +

− − ;

b)

2

2 2 2

2x 1 32x 1 2x

2x x 1 4x 2x x

+ −

+ +

− − + ;

c) ₂ 1 ₂1 2x₃

x x 1+ x x 1 x+

+ + − − ^;

d)

4

3 2

x x x x 1

1 x + + + +

− .

Lời giải:

a)11x 13 15x 17

3x 3 4 4x

+ + +

− − ;

11x 13 15x 17 3(x 1) 4x 4

+ +

= −

− −

11x 13 15x 17 3(x 1) 4(x 1)

+ +

= −

− −

4(11x 13) 3(15x 17) 12(x 1)

+ − +

= −

44x 52 45x 51 x 1 12(x 1) 12(x 1) (x 1) 1

12(x 1) 12

+ − − − +

= =

− −

− − −

= =

−

b)

2

2 2 2

2x 1 32x 1 2x

2x x 1 4x 2x x

+ −

+ +

− − + ;

2 2

2

2x 1 32x 1 2x

x(2x 1) 4x 1 x(2x 1)

(2x 1).(2x 1) 32x .x (1 2x).(2x 1) x(2x 1)(2x 1)

+ −

= − +

− − +

+ + − + − −

= − +

2 3 2

3 2

4x 2x 2x 1 32x 2x 1 4x 2x x(2x 1)(2x 1)

32x 8x 8x( 4x 1)

x(2x 1).(2x 1) x(2x 1).(2x 1) 8x(2x 1)( 2x 1)

x(2x 1).(2x 1) 8

+ + + − + − − +

= − +

− + − −

= =

+ − + −

− + −

= = −

+ −

c) ₂ 1 ₂1 2x₃

x x 1+ x x 1 x+

+ + − − ^;

2 3

1 1 2x

x x 1 x(x 1) x 1

= + −

+ + − −

2 2

1 1 2x

x x 1 x(x 1) (x 1).(x x 1)

= + −

+ + − − + +

2 2

1.x(x 1) 1.(x x 1) 2x.x x(x 1).(x x 1)

− + + + −

= − + +

2 2 2

2 2

x x x x 1 2x 1

x(x 1).(x x 1) x(x 1).(x x 1)

− + + + −

= =

− + + − + +

d)

4

3 2

x x x x 1

1 x + + + +

− .

4 3 2

x .1 (1 x).(x x x 1) 1 x

+ − + + +

= −

4 3 2 4 3 2

x x x x 1 x x x x

1 x 1

1 x

+ + + + − − − −

= −

= −

Bài 22 trang 29 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai biểu thức:

1 1 x 5 3

A ; B

x x 5 x(x 5) x 5

= + + − =

+ + +

Chứng tỏ A = B.

Lời giải:

Ta có:

1 1 x 5 x 5 x x 5

A x x 5 x(x 5) x(x 5) x(x 5) x(x 5)

x 5 x x 5 3x 3

x(x 5) x.(x 5) x 5

− + −

= + + = + +

+ + + + +

+ + + −

= = =

+ + +

Vậy A = B.

Bài 23 trang 29 SBT Toán 8 Tập 1: Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70 km. Vận tốc dòng nước là 5km/h. Vận tốc thực của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h.

a) Hãy biểu diễn qua x:

- Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì.

- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội.

- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.

b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20 km/h.

Lời giải:

a) Vận tốc tàu đi từ Hà Nội lên Việt Trì ngược dòng là x – 5 (km/h) Khi đó thời gian tàu đi từ Hà Nội đến Việt Trì là 70

x−5 (h) Vận tốc tàu từ Việt Trì về Hà Nội lúc xuôi dòng là: x + 5 (km/h) Thời gian đi từ Việt Trì về Hà Nội là: 70

x+5 (km/h) Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội là:

70 70

( )

2 1

x 5+ +x 5

− +

70(x 5) 2(x 5)(x 5) 70(x 5) (x 5)(x 5) (x 5)(x 5) (x 5)(x 5)

+ − + −

= + +

− + − + − +

2

2

70x 350 2(x 25) 70x 350 (x 5)(x 5)

2x 140x 50 (x 5)(x 5) (h)

+ + − + −

= − +

+ −

= − +

b) Vận tốc lúc ngược dòng: x – 5 = 20 ⇒ x = 25 (km/h) Vận tốc lúc xuôi dòng là 25 + 5 = 30 (km/h)

Thay vào (1), ta được

70 70 7 7 21 12 14 47

2 2

20+ +30 = + + =2 3 6 + 6 + 6 = 6 (h).

Bài tập bổ sung

Bài 5.1 trang 30 SBT Toán 8 Tập 1: Cộng hai phân thức x 3 4 x 2x 1 1 2x

+ + −

− −

Phương án nào sau đây là đúng?

(A) 7 2x 1− ; (B) 7

1 2x− ; (C) 1;

(D) – 1.

Lời giải:

Ta có:

x 3 4 x x 3 x 4

2x 1 1 2x 2x 1 2x 1 x 3 x 4 2x 1

2x 1 2x 1 1

+ + − = + + −

− − − −

+ + − −

= = =

− −

Chọn đáp án C.

Bài 5.2 trang 30 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép cộng:

2 4 8 16

1 1 2 4 8 16

1 x +1 x 1 x+ +1 x +1 x +1 x

− + + + + +

Lời giải:

2 4 8 16

1 1 2 4 8 16

1 x +1 x 1 x+ +1 x +1 x +1 x

− + + + + +

2 4 8 16

1(1 x) 1(1 x) 2 4 8 16

(1 x)(1 x) 1 x 1 x 1 x 1 x + + −

= + + + +

− + + + + +

2 2 4 8 16

2 2 4 8 16

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

= + + + +

− + + + +

2 2

2 2 4 8 16

2(1 x ) 2(1 x ) 4 8 16

(1 x )(1 x ) 1 x 1 x 1 x + + −

= + + +

− + + + +

4 4 8 16

4 4 8 16

1 x 1 x 1 x 1 x

= + + +

− + + +

4 4

4 4 8 16

4(1 x ) 4(1 x ) 8 16 (1 x )(1 x ) 1 x 1 x

+ + −

= + +

+ − + +

8 8 16

8 8 16

1 x 1 x 1 x

= + +

− + +

8 8

8 8 16

8(1 x ) 8(1 x ) 16 (1 x )(1 x ) 1 x

+ + −

= +

+ − +

16 16

16 16 16 16

32

16 16 16(1 x ) 16(1 x )

1 x 1 x (1 x )(1 x )

32 1 x

+ + −

= + =

− + + −

= −