SBT Toán 8 Bài 2: Hình thang | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 2: Hình thang

Bài 11 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB //

CD), biết rằng A 3D; B C= − = 30^o. Lời giải:

Ta có: hình thang ABCD có AB // CD

⇒ A D+ = 180^o (hai góc trong cùng phía) Ta có: A 3D= (giả thiết)

⇒ 3D D+ = 180^o ⇒ 4D = 180^o

⇒ D = 45^o ⇒ A= 3.45^o = 135^o

Lại có: B C+ = 180^o (hai góc trong cùng phía) Và B−C = 30^o (giả thiết) = + B C 30

⇒2B= 180^o + 30^o = 210^o ⇒B = 105^o C= B - 30^o = 105^o – 30^o = 75^o

Bài 12 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Lời giải:

Xét ΔBCD có BC = CD (giả thiết) nên ΔBCD cân tại C.

⇒ B₁ =D₁ (tính chất tam giác cân)

Mà D₁ =D₂ ( Vì DB là tia phân giác của góc D) Suy ra: B₁ =D₂

Do đó: BC // AD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Vậy ABCD là hình thang.

Bài 13 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Xem các hình dưới và cho biết:

a) Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song?

b) Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song?

c) Tứ giác nào là hình thang.

Lời giải:

a) Tứ giác 1 có một cặp cạnh song song.

b) Tứ giác 3 có hai cặp cạnh song song.

c) Tứ giác 1 và 3 là hình thang.

Bài 14 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng: A = 60^o, C= 130^o

Lời giải:

Trong hình thang ABCD, ta có A và C là hai góc đối nhau.

a) Trường hợp A và B là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ BC // AD

Ta có: A B+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ B= 180^o - A= 180^o – 60^o = 120^o

Vì C D+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ D = 180^o - C = 180^o – 130^o = 50^o

b) Trường hợp A và D là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ AB // CD

Vì A D+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ D= 180^o - A = 180^o – 60^o = 120^o

Vì C B+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ B = 180^o - C= 180^o – 130^o = 50^o

Bài 15 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD có AB //CD.

Ta có:

* A và D là hai góc kề với cạnh bên

⇒ A D+ = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

* B và C là hai góc kề với cạnh bên

⇒ B C+ = 180^o (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

Vậy trong bốn góc là A, B, C, D có nhiều nhất là hai góc tù và có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Bài 16 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề với một cạnh bên vuông góc với nhau.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD Phân giác A;D cắt nhau tại E.

* Ta có: _{1 2} 1

A A A

= = 2 (vì AE là tia phân giác của góc A)

1 2

D D 1D

= = 2 ( Vì DE là tia phân giác của góc D) Mà A D+ = 180^o (2 góc trong cùng phía bù nhau) Suy ra: ^A1+D1=1₂

( )

* Trong ΔAED, ta có:

1 1

AED A+ + D = 180^o (tổng 3 góc trong tam giác)

⇒AED = 180^o – (A₁ + D₁ ) = 180^o - 90^o = 90^o Vậy AE ⊥ DE (điều phải chứng minh).

Bài 17 trang 81 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC ở D và E.

a) Tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang BDEC có một đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E.

Suy ra: DE// BC; DI // BC và EI// BC.

Do đó, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC.

b) Ta có: DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ I₁ = B₁ (hai góc so le trong) Mà B₁ = B₂ (gỉa thiết)

Suy ra: I₁ = B₂.

Do đó: ΔBDI cân tại D ⇒ DI = DB (1) Ta có: I₂ = C₁ (so le trong)

1 2

C =C (gỉa thiết)

Suy ra: I₂ =C₂ do đó: ΔCEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

Mà DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DE = BD + CE (điều phải chứng minh).

Bài 18 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ABC =C₁

Lại có: ABC +C₁ =90⁰ (tính chất tam giác vuông).

Suy ra:

0 0 1

ABC C 90 45

= = 2 =

Vì ΔBCD vuông cân tại B nên D=C₂ .

Lại có: D +C₂ =90⁰ (tính chất tam giác vuông).

Suy ra: C = 45₂ ^o

Ta có: ACD C= ₁ +C₂ = 45^o + 45^o = 90^o

⇒ AC ⊥ CD Mà AC ⊥ AB (gt) Do đó, AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.

Bài 19 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang vuông ABCD có A = D = 90^o, AB = AD = 2cm, DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.

Lời giải:

Kẻ BH ⊥ CD (H thuộc CD).

Ta có: AD ⊥ CD (Vì ABCD là hình thang vuông có A = D = 90^o ) Suy ra: BH // AD

Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD AB = AD = 2cm (giả thiết)

⇒ BH = HD = 2cm

Ta có: CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: ΔBHC vuông cân tại H (do BH ⊥ CD nên BHC= 90 ; HC = HB = 2cm) Do đó, HBC C=

Lại có: HBC+ =C 90⁰ (tính chất tam giác vuông).

⇒ C = 45^o

Vì B+C= 180^o (2 góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ B = 180^o – 45^o = 135^o

Bài 20 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu của hai đáy.

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD.

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED và AD = BE Ta có: CD – AB = CD – ED = EC (1)

Trong ΔBEC ta có:

BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác) Mà BE = AD

Suy ra: AD + BC > EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD + BC > CD – AB (điều phải chứng minh).

Bài 21 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Trên hình vẽ dưới có bao nhiêu hình thang.

Lời giải:

Theo hình vẽ ta có: AB// CD // EF // GH // IK.

Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang.

Đó là: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK Bài 2.1 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD (BC// AD) có C = 3D. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

(A) A= 45^o (B) B= 45^o (C) D= 45^o (D) D= 60^o Lời giải:

Chọn C. D = 45^o

Hình thang ABCD có BC//AD

Nên C D+ =180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau) Mà C 3D= nên 3D D+ =180^o

Hay 4D= 180⁰ nên D= 45^o

Bài 2.2 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD (AB // CD) có A D− = 40^o, A=2C. Tính các góc của hình thang?

Lời giải:

Hình thang ABCD có AB // CD

⇒A D+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau) (1) Mà A D− = 40^o (giả thiết) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ⇒ 2A = 220^o ⇒ A = 110^o Vì A D− = 40^o nên D A= - 40^o = 110^o – 40^o = 70^o Theo giả thiết A 2C=

⇒ A

C= 2 = 110^o : 2 = 55^o

Vì B+C= 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ B = 180^o - C = 180^o – 55^o = 125^o

Bài 2.3 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân tại E.

a) Chứng minh rằng AECB là hình thang vuông;

b) Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông cân tại A

⇒ ACB = 45^o (tính chất tam giác vuông) Tam giác EAC vuông cân tại E

⇒ EAC = 45^o (tính chất tam giác vuông) Suy ra: ACB = EAC= 45^o

⇒ AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Suy ra tứ giác AECB là hình thang.

Lại có E = 90^o nên AECB là hình thang vuông ( điều phải chứng minh).

b) Ta có: E = ECB = 90^o, B= 45^o

Mà B EAB+ = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒EAB = 180^o - B = 180^o – 45^o = 135^o

Tam giác ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC² mà AB = AC (gt)

⇒ 2AB²= BC² = 2² = 4

AB² = 2 ⇒ AB= 2(cm)AC= 2 (cm)

Tam giác AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:

EA² + EC² = AC², mà EA = EC (gt)

⇒ 2EA² = AC² = 2 EA² = 1

⇒ EA = 1(cm) ⇒ EC = 1(cm)