SBT Toán 8 Ôn tập chương 4 - Phần Hình học | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Ôn tập chương 4 - Phần Hình học

Bài 73 trang 153 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Xét hình lập phương. Hãy chỉ ra:

a) Hai đường thẳng cắt nhau;

b) Hai đường thẳng song song;

c) Hai đường thẳng không cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng;

d) Đường thẳng nằm trong một mặt phẳng;

e) Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng;

f) Đường thẳng cắt mặt phẳng;

g) Hai mặt phẳng cắt nhau;

h) Hai mặt phẳng không cắt nhau;

i) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Hai đường thẳng cắt nhau: AD và DC; AD và DD1; BB1 và BC; ...

b) Hai đường thẳng song song: AB và CD; AB và A1B1; ...

c) Hai đường thẳng không cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng : AB và CC1; AA1 và CD; ...

d) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: AB nằm trong mp(ABB1A1); AB nằm trong mp(ABCD); ...

e) Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng : AB và mp(CDD1C1); AB và mp (A1B1C1D1); ...

f) Đường thẳng cắt mặt phẳng : AA1 cắt mp (ABCD) tại A; AA1 cắt mp (A1B1C1D1) tại A1; ...

g) Hai mặt phẳng cắt nhau: mp (ABCD) và mp (ABB1A1); mp (ABCD) và mp (BCC1B1); ...

h) Hai mặt phẳng không cắt nhau: mp (ABCD) và mp (A1B1C1D1); mp (ABB1A1) và mp(CDD1C1); ...

i) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau: mp (ABB1A1) và mp (ABCD); mp (BCC1D1) và mp (ABCD); ...

Bài 74 trang 154 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Trên hình vẽ, l, v, h là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Hãy điền số thích hợp vào ô trống ở bảng sau:

l 25 8 15 8

v 20 4 6

h 10 6 4

Sxq 216

STP

V 576

Lời giải:

+ Trường hợp 1: với l = 25; v = 20; h = 10.

Diện tích xung quanh = 2(l + v). h = 2(25 + 20). 10 = 900

Diện tích toàn phần: = 2(l.v + v.h + l.h) = 2(25.20 + 20. 10 + 10. 25) = 1900 Thể tích: l.v .h = 25.20. 10 = 5000

+ Trường hợp 2: l = 8; v = 4; h = 6.

Diện tích xung quanh = 2(l + v). h = 2( 8 + 4). 6 = 144

Diện tích toàn phần: = 2(l.v + v.h + l.h) = 2(8.4 + 4.6 + 6.8) = 208 Thể tích: l .v .h = 8.4.6 192

+ Trường hợp 3: l = 15; h = 4; Sxq = 216.

Diện tích xung quanh = 2(l + v). h nên 216 = 2(15 + v).4 nên v = 12 Diện tích toàn phần: = 2(l.v + v.h + l.h) = 2(15. 12 + 12. 4 + 4.15) = 576 Thể tích = l.v.h = 15.12.4 = 720.

+ Trường hợp 4: l = 8; v = 6; thể tích 576

Ta có: Thể tích = l.v.h nên 576 = 8.6.h nên h = 12 Diện tích xung quanh = 2(l + v). h = 336

Diện tích toàn phần: = 2(l.v + v.h + l.h) = 432

l 25 8 15 8

v 20 4 12 6

h 10 6 4 12

Sxq 900 144 216 336

STP 1900 208 576 432

V 5000 192 720 576

Bài 75 trang 154 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Bồn đựng nước có dạng hình lăng trụ đứng các kích thước cho trên hình.

a) Tính diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp).

b) Tính thể tích của bồn.

c) Khi bồn đầy ắp nước thì nó chứa được bao nhiêu lít ?

d) Lượng sơn cần thiết để sơn cả mặt trong và mặt ngoài của bồn là bao nhiêu (một lít sơn phủ được 16 mét vông).

f) Một vòi bơm với công suất 125 lít/phút để bơm một lượng nước vào bồn lên độ cao cách đáy bồn là 1,05m thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước).

Lời giải:

a) Diện tích bể mặt bốn không có nắp bằng diện tích xung quanh cộng thêm diện tích mặt đáy.

Diện tích xung quanh bằng: Sxq = (5,3 + 12,5).2.2,1 = 74,76 (m²) Diện tích đáy: Sđáy = 5,3 . 12,5= 66,25 (m²)

Diện tích bề mặt bồn bằng: 74,76 + 66,25 = 141,01 (m²) b) Thể tích bồn bằng V= S.h = 66,25. 2,1= 139,125 (m³) c) Ta có: 139,125 (m³) = 139 125 (dm³)

Một lít nước tương đương với 1 dm³

Vậy bồn chứa đầy nước: có 139 125 lít nước.

d) Diện tích cả mặt trong và mặt ngoài bồn bằng:

141,01.2 = 282,02 (m²)

Số lít sơn cần dùng là: 282,02 : 16 ≈ 17,63 (lít)

e) Vì nước cách đáy bồn 1,05 m bằng nửa độ cao của bồn nên thời gian chảy cần thiết đẩy bể là:

(139125 : 125) : 2 = 556,5 phút = 9 giờ 16 phút 30 giây

Bài 76 trang 154 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tính diện tích toàn phần của lăng trụ đứng theo các kích thước cho ở hình.

Lời giải:

Hình vẽ là lăng trụ đứng đáy tam giác với cạnh bên bằng 5m, cạnh đáy 6m, chiều cao ứng với cạnh đáy 4m, chiều cao lăng trụ 10m.

Diện tích xung quanh bằng:

Sxq= (5 + 5 + 6).10 = 160 (m²) Diện tích đáy bằng: S = ¹

2.6.4 = 12 (m²) Diện tích toàn phần bằng:

STP = Sxq + Sđáy = 160 + 2.12 = 184(m²)

Bài 77 trang 155 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Thùng của một xe tải có dạng hình lăng trụ đứng các kích thước cho ở trên hình

a) Tính thể tích của thùng chứa

b) Nếu 1m³ cát nặng 1,6 tấn và xe chở đến 3

4 trọng tải của nó thì sức nặng của cát lúc đó là bao nhiêu?

c) Khi cát được san phẳng chở đầy thì phần diện tích của nó bên trong thùng là bao nhiêu?

Lời giải:

Thùng xe có dạng một lăng trụ đứng với các kích thước như sau:

a) Thể tích của thùng chứa bằng : V = 3,1.7.1,6 = 34,72 (m³) b) Phần thể tích chở cát bằng: 34,72. ³

4=26,04 (m³) Lượng cát cân nặng là : 26,04 . 1,6 = 41,664 (tấn)

c) Khi cát san phẳng chở đầy thì diện tích của nó bên trong thùng gồm diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có kích thước là 3,1m,7m và 1,6m cùng với đáy hình chữ nhật kích thước bằng 3,1m và 7m.

Diện tích cát bên trong thùng là:

2.(7 + 3,1).1,6 + 3,1 . 7 = 54,02 (m²)

Bài 78 trang 155 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Độ dài đường chéo AC1 của một hình lập phương là 12 .

a) Độ dài mỗi cạnh là bao nhiêu?

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương.

Lời giải:

a) Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương. Vì là hình lập phương nên kích thước các cạnh bằng nhau.

Như vậy đường chéo của đáy bằng đường chéo hình vuông cạnh a.

Độ dài đường chéo đáy là a 2 .

Suy ra: AC12 = ( a 2 )² + a² = 2a² +a² = 3a² Mà AC1 = 12 nên 3a² = 12 ⇒ a² = 4 ⇒ a = 2.

Vậy cạnh hình lập phương bằng 2 (đơn vị dài).

b) Diện tích toàn phần hình lập phương:

STP = 6. (2.2) = 24 (đơn vị diện tích) Thể tích hình lập phương:

V = 2.2.2 = 8 (đơn vị thể tích)

Bài 79 trang 155 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hãy quan sát ba hình dưới đây,trong đó các hình vuông đơn vị được xếp theo dạng hình chữ U. Số hình lập phương đã xếp tăng lên theo quy luật 5 hình → 28 hình → 81 hình. Nếu theo quy luật này thì có bao nhiêu hình lập phương đơn vị ở hình thứ 10?

Lời giải:

Khi vẽ hình thứ 3, ta có:

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 3.4.3 = 36 Số hình lập phương đơn vị bên phải là 3.4.3 = 36

Số hình lập phương đơn vị ở giữa là 3.3 = 9

Vậy có tổng số :36 + 36 + 9 = 81 hình lập phương đơn vị Với quy luật đó thì hình thứ 10:

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 10.11.10 = 1100 Số hình lập phương đơn vị bên phải là 10.11.10 = 1100 Số hình lập phương đơn vị ở giữa là 10.10 = 100

Vậy tổng số hình lập phương đơn vị của hình thứ 10 là:

1100 + 1100 + 100 = 2300 (hình)

Bài 80 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hãy tìm diện tích mặt ngoài theo các kích thước cho ở hình. Biết rằng hình a) gồm một hình chóp đều và một hình hộp chữ nhật, hình b) gồm hai hình chóp đều.

Lời giải:

*Hình a:

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là:

Sxq = 4.5.2 = 40 (cm²)

Diện tích đáy hình hộp chữ nhật là:

S = 5.5 = 25 (cm²)

Đường cao hình chóp bằng 3 nên đường cao mặt bên bằng:

2 2

3 +2,5 = 15, 25 ≈ 3,9 cm

Diện tích xung quanh hình chóp đều:

Sxq= ¹

2.(5 . 4).3,9 = 39 (cm²)

Vậy diện tích xung quanh vật thể bằng:

40 + 25 + 39 = 104 (cm²)

*Hình b:

Diện tích xung quanh vật thể gồm diện tích xung quanh hai hình chóp đều có cạnh đáy bằng 6cm và đường cao hình chóp 9cm

Đường cao mặt bên bằng : 3²+9² = 90 Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Sxq = ¹

2.(6.4). 90 12 90= (cm²)

Diện tích xung quanh vật thể là: 2.12 90 ≈ 228 (cm²)

Bài 81 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Số hình lập phương đơn vị có ở hình bên là bao nhiêu?

Lời giải:

Lớp dưới cùng có: 3.3 = 9 (hình lập phương đơn vị) Lớp thứ hai có: 2.3 = 6 (hình lập phương đơn vị) Lớp trên cùng có: 3 (hình lập phương đơn vị)

Trong hình bên có tất cả: 9 + 6 + 3 = 18 (hình lập phương đơn vị).

Bài 82 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho biết hộp có dạng hình hộp chữ nhật, độ dài đường chéo là 50. Hãy tìm các cạnh thước của hai hình hộp như vậy.

Hướng dẫn: Đây là bài toán mở hãy chọn hai trong ba kích thước của hình hộp có thể chấp nhận được từ đó tính kích thước còn lại.

Lời giải:

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

*Cho a = 30cm; b = 16cm, ta có:

a² + b² + c² = 50² ⇒ 30² + 16² + c² = 50² Suy ra: c² = 2500 - 900 - 256 = 1344 Vậy c = 1344 ≈ 36,7(cm)

*Cho a = 25cm; b = 20cm, ta có:

a² + b² + c² = 50² ⇒ 25² + 20² + c² = 50² Suy ra: c² = 2500 - 625 - 400 = 1475 Vậy c = 1475 ≈ 38,4 cm

Bài 83 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, chiều cao 7cm, độ dài hai cạnh góc vuông đáy là 3cm và 4cm. Hãy tính:

a) Diện tích một mặt đáy;

b) Diện tích mặt xung quanh;

c) Diện tích toàn phần;

d) Thể tích lăng trụ.

Lời giải:

a) Diện tích mặt đáy bằng: S = ¹

2.3.4 = 6 (cm²)

b) Cạnh huyền của tam giác đáy bằng: 3²+4² =5 (cm) Diện tích xung quanh bằng: Sxq = (3 + 4 + 5).7 = 84 (cm²)

c) Diện tính toàn phần bằng: Stp = Sxq + Sđáy = 84 + 2.6 = 96 (cm²) d) Thể tích của hình lăng trụ bằng: V = S.h = 6.7 = 42 (cm³)

Bài 84 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tìm diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng có kích thước như hình vẽ.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225 Suy ra: BC = 15 (cm)

Diện tích xung quanh bằng:

Sxq = (9 + 12 + 15).10 = 360 (cm²) Diện tích mặt đáy bằng:

S = ¹

2.9.12 = 54 (cm²) Diện tích toàn phần bằng :

STP = Sxq + Sđáy = 360 + 2.54 = 468 (cm²)

Thể tích của hình lăng trụ bằng : V = S.h = 54.10 = 540 (cm³)

Bài 85 trang 156 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 10cm, chiều cao hình chóp là 12 cm.Tính :

a) Diện tích toàn phần của hình chóp;

b) Thể tích của hình chóp.

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của hình vuông đáy.

Kẻ SK ⊥ BC, ta có: KB = KC Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OK Trong tam giác SOK ta có:

SOK = 90⁰ OK = ¹AB

2 = 5cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông SOK, ta có:

SK² = SO² + OK² = 12² + 5² =169 Suy ra: SK = 13 (cm).

Diện tích xung quanh hình chóp đều: S = (2.10).13 = 260 (cm²) Diện tích mặt đáy: S = 10.10 = 100(cm²)

Diện tích toàn phần hình chóp đều : STP = Sxq + Sđáy = 260 + 100 = 360 (cm²) b)Thể tích hình chóp đều bằng: V =1

3S.h = 1

3.100.12 = 400 (cm³)

Bài 86 trang 157 sách bài tập Toán 8 Tập 2: . Người ta vẽ phần trên của một cái bàn học có dạng một lăng trụ đứng như hình vẽ các kích thước của nó là: AB = 108cm, BC = 24cm; BF = 90 cm, FG =54 cm, LG =18 cm, LC = 78cm. Các cạnh AB, DC, EF, HG và KL đều vuông góc với mặt phẳng (ADKHE) và LG song song với BF. Hãy tính:

a) Diện tích hình chữ nhật CDKL;

b) Diện tích hình thang BCLGF;

c) Thể tích hình lăng trụ đứng ADKHE.BCLGF.

Lời giải:

a) Diện tích hình chữ nhật CDKL CD = AB = 108 cm

SCDKL = CD.CL = 108.78 = 8424 (cm²)

b) Hình BCLGF có thể chia thành hai hình: Một hình chữ nhật có kích thước 18cm và 54cm, một hình thang vuông có: 2 đáy là 24cm và 54cm, chiều cao 72cm

Diện tích phần hình chữ nhật là: S = 18.54 = 972(cm²) Diện tích phần hình thang vuông

S = [(24 + 54) : 2].72 = 2808 (cm²)

Diện tích hình BCLGF bằng: 972 + 2808 = 3780 (cm²)

c) Hình lăng trụ đứng ADKHE.BCLGF có thể chia thành hai hình.

Một hình hộp chữ nhật có hai cạnh đáy là 13cm và 54cm ,chiều cao hình hộp 108cm, một hình lăng trụ đứng đáy hình thang vuông với hai cạnh đáy 24cm và 54cm, chiều cao đáy 72cm chiều cao lăng trụ 108cm

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là : V = 18.54.108 = 104976 (cm³) Thể tích phần hình lăng trụ đứng là:

V = S.h = 2808.108 = 303264 (cm³)

Thể tích lăng trụ đứng ADKHE.BCLGF bằng:

V = 104976 + 303264 = 408240 (cm³)

Bài 87 trang 157 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Thể tích của hình chóp đều là 126 cm³, chiều cao hình chóp là 6cm. Như vậy trong các số dưới đây, số nào là diện tích đáy của nó?

A.45(cm²);

B.52(cm²);

C.63(cm²);

D.60(cm²);

E.50(cm²).

Lời giải:

Ta có: V = 1

3.S.h mà V = 126 (cm³) , h = 6cm nên : 126 =1

3.S.6 ⇒ S = 126 : 2 = 63 (cm²) Vậy chọn đáp án C.

Bài 88 trang 157 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy là a và 2a; chiều cao của mặt bên là a.

a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt;

b) Tính độ dài cạnh bên và chiều cao hình chóp cụt.

Lời giải:

a) Một mặt bên của hình chóp cụt là một hình thang có hai đáy là a và 2a; đường cao bằng a.

Diện tích mặt bên là:

S = (a + 2a): 2.a = ³

2a² (đvdt).

Diện tích xung quanh hình nón cụt:

Sxq = 4.³

2.a² = 6a² (đvdt) b)

Kẻ A'H ⊥ AB.

Ta có K là trung điểm của AB, I là trung điểm của A'B'. O và O' là tâm của hai hình vuông đáy.

Ta có: A'I = ^a

2; AK = a ⇒ AH = ^a 2.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AA'H, ta có:

A'A² = A'H² + AH² =

2 2

2 a 5a

a + 4 = 4 .

Suy ra cạnh bên của hình chóp cụt: AA' = 5a2

4 . Kẻ IE ⊥ OK, ta có: OK = a ⇒ EK = ^a

2.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông IEK, ta có:

IK² = IE² + EK²

Suy ra: IE² = IK² - EK² = a² –

2 2

a 3a

2 4

  =

  

Vậy chiều cao của hình chóp cụt là IE = ^3a2 4 .

Bài 89 trang 157 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cần phải đo đường chéo của một viên gạch có dạng hình hộp chữ nhật mà chỉ được phép sử dụng thước có chia vạch thì phải làm như thế nào? (không được cắt, xẻ…)

Lời giải:

Gọi viên gạch là hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.

Để đo đường chéo AC1 ta làm như sau: trên tia đối tia CC1 ta lấy điểm C2 sao cho CC2 = CC1.

Dùng thước chia vạch đo đoạn AC2. Độ dài đoạn AC2 chính là độ dài đường chéo AC1.

Bài 90 trang 157 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tính thể tích của 1 trụ bê tông cho theo các kích thước ở hình, SJ = 9, OI = IJ. Phần trên là một hình hộp chữ nhật, phần dưới là một hình chóp cụt tứ giác đều.

Lời giải:

Thể tích phần hình hộp chữ nhật:

V = 5 . 5 . 3 = 75 (đvtt) Ta có: IJ = AA' ⇒ IJ = 3 Do đó: OI = IJ = 3 SJ = 9 ⇒ SO = 3

Suy ra: SA1 = A1A'; SD1 = D1D'

Khi đó hình vuông A1B1C1D1 có cạnh A1 B1 = ¹

2A'B' = 2,5 Thể tích hình chóp đều S.A'B'C'D' là:

V= 1

3(5.5).6 = 50 (đvtt)

Thể tích hình chóp đều S.A1B1C1D1 là:

V= 1

3(2,5.2,5).3 = 6,25 (đvtt)

Thể tích hình chóp cụt A'B'C'D'.A1B1C1D1 là:

V = 50 – 6,25 = 43,75 (đvtt) Thể tích của một trụ bê tông là:

V = 43,75 + 75 = 118,75 (đvtt).

Bài tập bổ sung

Bài IV.1 trang 158 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Quan sát hình lăng trụ đứng tam giác ở hình bs.15 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:

a 9 ... 20 63 ...

b 40 12 ... ... 45

c ... 37 ... 65 ...

h 8 ... ... ... 13

Diện tích một đáy ... ... 210 ... ...

Diện tích xung quanh ... 1512 ... ... ...

Diện tích toàn phần ... ... ... 4464 ...

Thể tích ... ... 3570 ... 8190 Lời giải:

+ Trường hợp 1: Nếu a = 9; b = 40; h = 8 Áp dụng định lí Pi- ta- go ta có:

2 2 2 2

c= a +b = 9 +40 =41

Diện tích 1 đáy là S ¹a.b ¹.9.40 180

2 2

= = = .

Diện tích xung quanh: S = (9 + 40 + 41). 8 = 720 Diện tích toàn phần: Stp = 2.180 + 720 = 900.

Thể tích : V=S .h 180.8 1440_d = = .

+Trường hợp 2: Nếu b = 12; c = 37; Sxq = 1512 Áp dụng định lí Py ta go ta có:

2 2

a= c −b =35

Diện tích 1 đáy : S ¹ab ¹.35.12 210

2 2

= = =

Diện tích toàn phần: 2. 210 + 1512 = 1932 Nửa chu vi đáy là p = (12 + 37 + 35) : 2 = 42 Diện tích xung quanh Sxq = 2ph S^xq 1512

h 18

2p 2.42

 = = =

Thể tích: V = S.h = 1

.35.12.18 3780

2 =

+ Trường hợp 3: a = 20; diện tích 1 đáy: 10; V = 3570.

Chiều cao:

d

V 3570

h 17

S 210

= = =

Diện tích 1 đáy: 1 2S 2.210

S ab b 21

2 a 20

=  = = = .

Áp dụng định lí Py ta go: c= a²+b² = 20²+21² =29 Diện tích xung quanh: Sxq = (20 + 21 + 29). 17 = 1190

Diện tích toàn phần là: 2.210 + 1190 = 1610.

+ Trường hợp 4: a = 63; c = 65, diện tích toàn phần 4464.

Áp dụng định lí Pi tago: b= c² − =a² 16 Diện tích 1 đáy: S ¹ab ¹.63.16 504

2 2

= = = .

Diện tích xung quanh: 4464 – 2.504 = 3456.

Mà S_xq (a b c).h h ^Sxq 24 a b c

= + +  = =

+ + . Thể tích: V S .h 12096= _d = .

+ Trường hợp 5: b = 45; h = 13; V = 8190 Diện tích 1 đáy: S_d ^V 630

= =h

Diện tích 1 đáy: _d 1 2S^d 2.630

S ab a 28

2 b 45

=  = = =

Áp dụng định lí Py ta go: c= a²+ b² =53. Diện tích xung quanh: (a b c).h 1638+ + = Diện tích toàn phần: 2.630 + 1638 = 2898.

a 9 35 20 63 28

b 40 12 21 16 45

c 41 37 29 65 53

h 8 18 17 24 13

Diện tích một đáy 180 210 210 504 630

Diện tích xung quanh 720 1512 1190 3456 1638 Diện tích toàn phần 1080 1932 1610 4464 2898

Thể tích 1440 3780 3570 12096 8190

Bài IV.2 trang 158 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Một con kiến đang ở vị trí M là trung điểm cạnh A'D' của một chiếc hộp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (h. bs.16).

Con kiến muốn bò qua sáu mặt của chiếc hộp rồi quay trở về M. Tìm đường đi ngắn nhất của con kiến.

Lời giải:

Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình bs.18a.

Để đi đường ngắn nhất từ M đến M' (M' chính là trung điểm của A'D' trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM'.

Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM như ở hình bs.18b (dễ thấy N, P, Q, K, Z lần lượt là trung điểm của DD', CD, BC, BB', A'B').

Bài IV. 3 trang 158 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Thể tích của một hình chóp tam giác đều thay đổi thế nào nếu ta tăng

a) Gấp đôi chiều cao của hình chóp;

b) Gấp đôi cạnh đáy của hình chóp;

c) Gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy của hình chóp.

Lời giải:

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng 3a2

4 . Do đó, hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a, chiều cao h có thể tích :

2 2

1 3a 3a h

V . .h

3 4 12

= =

a) Nếu tăng gấp đôi chiều cao thì thể tích hình chóp là:

2 2

1 3a 3a h

V ' . .2h 2. 2V

3 4 12

= = =

Vậy thể tích sẽ tăng 2 lần.

b) Nếu tăng gấp đôi cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

2 2

1 3(2a) 3a h

V ' . .h 4. 4V

3 4 12

= = =

Vậy thể tích tăng 4 lần.

c) Nếu gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

2 2

1 3(2a) 3a h

V ' . .2h 8. 8V

3 4 12

= = =

Vậy thể tích tăng 8 lần.

Bài IV.4 trang 159 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Quan sát hình chóp tứ giác đều ở hình bs.17 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:

a 6 ... ... 32 ...

d ... ... 15 ... 17

h 4 6 ... ... ...

Diện tích đáy ... 256 ... ... ...

Diện tích xung quanh ... ... 720 ... 544 Diện tích toàn phần ... ... ... ... ...

Thể tích ... ... ... 4096 ...

Lời giải:

+ Với a = 6; h = 4.

Diện tích đáy; S_d = =6² 36 Thể tích: 1

V .36.4 48

=3 = . Áp dụng định lí Pi ta go:

2

2 a

d h 5

2

= +    =

Diện tích xung quanh: _xq 1 1

S 4. .ad .4.6.5 60

2 2

 

=  = =

Diện tích toàn phần 36 + 60 = 96.

+ Với h = 6 và Sđáy = 256

Vì Sđáy = 256 nên độ dài cạnh là a= 256 =16 Áp dụng định lí Py ta go

2

2 a

d h 10

2

= +   =

  Diện tích xung quanh: _xq 1

S 4. .ad 320

2

 

=  = Diện tích toàn phần: 320 + 256 = 576.

Thể tích: 1 _day

V S .h 512

=3 = . + Với d = 15; Sxq = 720.

Nửa chu vi đáy là: S^xq 720

p 48

d 15

= = =

Nên độ dài cạnh là: a = 48 : 2 = 24 Diện tích đáy: S_d = =a² 576

Diện tích toàn phần: 576 + 720 = 1296 Thể tích 1 _day

V S .h 1728

=3 = . + Với a = 32; V = 4096 Diện tích đáy: 32² = 1024.

Chiều cao hình chóp:

d

h 3V 12

= S =

2

2 a

d h 20

2

= +    =

Diện tích xung quanh: _xq 1

S 4. .ad 1280 2

 

=  =

Diện tích toàn phần: 1280 + 1024 = 2304 + Với d = 17 và Sxq = 544

Nửa chu vi đáy là S^xq d =32

Độ dài cạnh đáy: a = 32 : 2 = 16

2

2 a

h d 15

2

= −    =

Diện tích đáy: 16² = 256.

Diện tích xung quanh: _xq 1

S 4. .ad 544

2

 

=  =

 

Diện tích toàn phần: 256 + 544 = 800 Thể tích: 1 _d

V S .h 1280

=3 = .

a 6 16 24 32 16

d 5 10 15 20 17

h 4 6 9 12 15

Diện tích đáy 36 256 576 1024 256

Diện tích xung quanh 60 320 720 1280 544 Diện tích toàn phần 96 576 1296 2304 800

Thể tích 48 512 1728 4096 1280

Bài IV.5 trang 159 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b. Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

Lời giải:

Xét hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' như hình trên.

Gọi M, M' thứ tự là trung điểm của BC, B'C'. Khi đó MM' là đường cao của hình thang cân BCC'B'.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

Sxq = 4^{a b} 2

+ .MM′= (2a + 2b).MM′

Từ giả thiết ta có:

(2a + 2b).MM′ = a² + b²

2 2

a b MM ' 2(a b)

 = +

+ (1)

Dễ thấy OM // O'M' nên OM và O'M' xác định mặt phẳng (OMM'O'). Trong mặt phẳng (OMM'O'), kẻ MH ⊥ O'M'. Khi đó: HM' = O'M' – O'H =^{b a}

2

−

Trong tam giác vuông MHM' ta có:

MM′² = MH² + HM′² = h² +

b a 2

2

 − 

 

  (2) Từ (1) và (2) suy ra :

2 2 2 2

2

2

b a (a b )

h 2 4(a b)

− +

 

+  = +

2 2 2 2 2 2 2

2 2

(a b ) b a a b

h 4(a b) 2 (a b)

+  − 

 = + −  = + h ab

a b

 = +