Tính giá trị phân thức
I. Lý thuyết
- Giá trị của phân thức là giá trị mà phân thức đó đạt được tại một giá trị biến cho trước.
- Giá trị của phân thức chỉ được xác định với điều kiện mẫu của phân thức đó khác 0.
Chú ý: Với biểu thức hữu tỉ có hai biến x, y thì giá trị biểu thức hữu tỉ chỉ xác định bởi các cặp số x, y làm cho mẫu khác 0.
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của một biến Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị phân thức xác định (nếu đề bài chưa cho điều kiện).
Bước 2: Ta kiểm tra xem giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện hay không Bước 3:
+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.
- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ: Tính giá trị phân thức sau
a)
3x2 x 2
A x 3
tại x = 2 b) 2x 12
B 4x 2x
tại 1 x2.
Lời giải:
a) Điều kiện: x3
Thay x = 2 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có:
3.22 2 2 12 2 2
A 12
2 3 1
Vậy với x = 2 thì A = -12.
b) Điều kiện: 4x2 2x0
2x 2x 1 0
x 0 x 1
2
Thay 1
x 2(thỏa mãn điều kiện) vào B ta được
2
2.1 1 B 2
1 1
4. 2.
2 2
1 1 2
1 1 2 1
Vậy B = 1 khi 1 x 2.
Dạng 2: Tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức (nếu đề bài chưa cho điều kiện).
Bước 2: Giải điều kiện của biến để tìm ra giá trị của biến.
Bước 3: Kiểm tra biến vừa giải được với điều kiện
+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.
- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.
Bước 4: Kết luận
Ví dụ 1: Tính giá trị của các phân thức sau
a)
2 2
x 2x 3 A x 2x 1
với x 1tại 3x 1 0
b)
2 2
x 1
B 2x 3x 1
với 1
x 1; x
2 tại 2x 1 3 c) C 2 x 2
x 5x 6
với x2;x3 tại x2 4 0. Lời giải:
a)
2 2
x 2x 3 A x 2x 1
Với 3x 1 0 3x1 1 x 3
(thỏa mãn điều kiện)
Thay x 1
3vào A ta có:
2
2
1 1
2. 3
3 3
A
1 1
2. 1
3 3
1 2 32
9 3 3 9
A 2
1 2 16
9 3 1 9
Vậy khi 3x – 1 = 0 thì A = -2.
b) Ta có:
2x 1 3 TH1: 2x 1 3
2x 3 1
2x 2
x 1
(không thỏa mãn)
TH2 : 2x 1 3 2x 3 1
2x 4
x 2
(thỏa mãn) Thay x = -2 vào B ta được
2 2
2 1 1
B 2. 2 3. 2 1 5
Vậy với 2x 1 3thì B = 1 5. c) Ta có:
x2 4 0 x2 4 x 2 (ktm) x 2 (tm)
Với x = -2 thay vào C ta có
2
2 2 1
C 2 5. 2 6 5
Vậy với x2 4 0 thì C = 1 5
.
Ví dụ 2: Cho 3x – y = 6. Tính giá trị biểu thức y 2y 3x
A x 2 y 6
.
Lời giải:
Điều kiện: x2; y6
Ta có: 3x – y = 6y = 3x – 6 thay vào A ta được:
2 3x 6 3x 3x 6
A x 2 3x 6 6
3 x 2 6x 12 3x
A x 2 3x 12
3x 12 A 3
3x 12
A 3 1 4
Vậy với 3x – y = 6 thì A = 4.
III.Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính giá trị phân thức:
a)
2 2
4x 3x 1
x 8x 7
tại x 1
3 b)
2x3 x 2 x 4
tại x3 c)
2 2
2 2
4x y 3xy
x y
tại x 3; y 1 3
d)
2 2
3x 2x x 1
tại 1 x4 e)
2
3 2
3x 4x 2
x 3x 3x 1
tại 5
x 2
f)
2
2 2
2x 3y y
4x y
tạix1; y3
Bài 2: Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) 2x2 3
x 1
tại 3x – 2 =5 b)
2 2
4x 3x 1 x 2x 1
với x1tại 2x 3 5 c)
4x 1 x2
2x 3
với 3
x 2
tại 3x 7 4
Bài 3: Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a)
3 2
2x 1 x 2x 4x
với 1
x 0; x
2tại x2 3x 2 0 b) x2 6
4x 1
với 1
x 2tại 2x2 9x 10 0
Bài 4: Với giá trị x thỏa mãn 2x2 7x 3 0, tính giá trị biểu thức:
a)
2 2
x 2x 1 2x x 1
b)
3 2
x 27
x 2x 3
Bài 5: Cho biểu thức:
x2 10x 25
Q x 5
a) Tìm điều kiện xác định của Q.
b) Rút gọn Q.
c) Tính Q khi x = 13.
Bài 6: Cho biểu thức:
2 2
2 3 2 2
2x x 2x 2 x 1
C .
2x 8 x 2x 4x 8 x x
a) Tìm điều kiện của biểu thức C.
b) Rút gọn C.
c) Tính C khi x = 2017.
Bài 7: Tính giá trị phân thức
2 2
x 9y
15x 45y
biết 3x – 9y = 1.
Bài 8: Tính giá trị phân thức x y
A x y
biết 3x2 3y2 10xy và y x 0.
Bài 9: Cho hai số x, y thỏa mãn 4x2 4xyy2 0với xy. Tính x y
P x y
.
