50 bài tập về Nhị thức Niu-tơn (có đáp án 2022) – Toán 11

Nhị thức Niu tơn và các dạng toán liên quan 1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

n

n k n k k

n k 0

(a b) C a

^

b



    C a

^{0n n}

 C a

^{1n n 1}

b  C a

^{2n n 2}

b

²

  ... C ab

^{n 1n n 1}

 C b

^{nn n}

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau - Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n - Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng:

C

^k_n

 C

^{n k}_n^

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp:

C

^k_n

 C

^{k 1}_n^

 C

^{k 1}_{n 1}^_

- Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển:

T

_{k 1}

 C a

^k_n ^{n k}

b

^k

Ví dụ: Số hạng thứ nhất

T

₁

 T

_{0 1}

 C a

⁰_n ⁿ, số hạng thứ k:

T

_k

 T

_{(k 1) 1 }

 C a

_n^{k 1 n k 1  }

b

^{k 1} c) Hệ quả:

Ta có :

(1 x) 

ⁿ

 C

⁰_n

 xC

¹_n

 x C

^{2 2}_n

  ... x C

^{n n}_n Từ khai triển này ta có các kết quả sau

0 1 n n

n n n

C  C   ... C  2

0 1 2 n n

n n n n

C  C  C    ... ( 1) C  0

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hàng chứa x^m trong khai triển Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có:



^{p q}



^{n n kn}

   

^{p n k q k n kn n k k np pk qk}

k 0 k 0

ax bx C ax

^

bx C a

^

b x

^{ }

 

    

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m Từ đó tìm

m np

k q p

 



Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:

C a

^k_n ^{n k}

.b

^k với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có:

P x     a  bx

^p

 cx

^q



^{n n kn n k}



^{p q}



^k

k 0

C a

^

bx cx



  

   

n k n k k j p k j q j

n k

k 0 j 0

C a ^ C bx ^ cx

 



 

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)⁵ + (1 + 5x)¹⁰ . Lời giải

Khai triển:

 

^{5 k}5

 

^{k 5 k}5

 

^{k k 1}

k 5

k 0 0

x 1 – x 2 x C 2 x C 2 x

^

 

     

Khai triển:

 

^{10 m}

 

^{m 10} 1

1 m m m

10 0

m 0

0 m 0

1 5 x C 5x C 5 x

 

 

  

Do đó:

     

k

5 10 5 10

k k k 1 m m m

5 10

0 m 0

C 2 x C 5

x 1 – 2x 1 5x

^

x

 

      

Cần tìm hệ số của x⁵trong khai triển thì

k 1 5 k 4

m 5 m 5

  

 

    

 

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là:

C

5⁴

   2

⁴

 C 5

10^{5 5}

 787580

. Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

n

3

2

x x

  

 

 

, biết rằng

n 1 n 2

n n

C

^

 C

^

 78

với x > 0.

Lời giải Ta có:

C

^{n 1}_n^

 C

^{n 2}_n^

 78

(Điều kiện:

n  2;n 

)



^{n 1 ! .1!n!}

 

^{n n!2 ! .2!}



⁷⁸

  

 

 

n n 1

n 78

2

    2n n2 n 156

    n2 n 156 0

   

 n 12 n 13   0

   

 

n 12

n 13 Loai

 

    

Do đó ta được khai triển:

12 12

 

k

3 k 3 12 k

12 k 0

2 2

x C x

x x





      

   

    

^{12 12k}

 

^{k 36 3k k}

k 0

C 2 x

^

x

^



  

^{12 12k}

 

^{k 36 4k}

k 0

C 2 x

^



  

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên

36 4k     0 k 9

^. Vậy hệ số không chứa x của khai triển là:

C

12⁹

   2

⁹

  112640

. Ví dụ 3: Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển (1 – x + 2x²)¹⁰.

Lời giải Ta có khai triển:



²



^{10 10 1k0}



²



^k

k 0

1 – x 2 x C x 2x





   

¹⁰ 10^{k k} k^j

 

^{k j}

 

^{2 j}

k 0 j 0

C C x ^ 2x

 



 



10 k

 

k j k j j k j

10 k k 0 j 0

C C 1 ^ .2 .x ^

 







Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên

k j 15 0 j k 10

j, k

  

   

  



Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là

C C

10^{8 7}8

   1

^{8 7}

.2

⁷

  46080

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là

C C

10^{9 6}9

   1

^{9 6}

.2

⁶

  53760

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là

C C

¹⁰10 10⁵

   1

^{10 5}

.2

⁵

  8064

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = – 107904.

Dạng 2. Bài toán tính tổng Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

n 0 n n 1 1 n 2 2 2 n n

n n n n

(a  b)  C a  a

^

bC  a

^

b C   ... b C

.

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

k n k

n n

C  C

^

k k 1 k 1

n n n 1

C  C

^

 C

^_

0 1 n n

n n n

C  C   ... C  2

0 1 2 n n

n n n n

C  C  C    ... ( 1) C  0

n

n k k

n k 0

(1 x) C x



  

^.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)

A  C

⁰₂₀₂₁

 C

¹₂₀₂₁

 C

²₂₀₂₁

  ... C

²⁰²¹₂₀₂₁

b)

B  C

⁰n

 3C

¹n

 3 C

^{2 2}n

 3 C

^{3 3}n

   ...   3 C

^{n n}n

c)

C  C

⁰₂₀₂₁

 C

²₂₀₂₁

 C

⁴₂₀₂₁

  ... C

²⁰²⁰₂₀₂₁

Lời giải a)

A  C

⁰₂₀₂₁

 C

¹₂₀₂₁

 C

²₂₀₂₁

  ... C

²⁰²¹₂₀₂₁

Xét khai triển:

 1 x  

²⁰²¹

 C

⁰2021

 C

¹2021

x  C

²2021

x

²

  ... C

²⁰²¹2021

x

²⁰²¹

Chọn x = 1, ta có

 1 1  

²⁰²¹

 C

⁰2021

 C

¹2021

 C

²2021

  ... C

²⁰²¹20212²⁰²¹ A Vậy A = 2²⁰²¹.

b)

B  C

⁰n

 3C

¹n

 3 C

^{2 2}n

 3 C

^{3 3}n

   ...   3 C

^{n n}n

Xét khai triển:

 1 x  

ⁿ

 C

⁰n

 C x

¹n

 C x

²n ²

 C x

³n ³

  ... C x

ⁿn ⁿ

Chọn x = – 3, ta có

 1 3  

ⁿ

 C

⁰n

 C .3 C

¹n



²n

   3

²

 C

³n

   3

³

  ... C

ⁿn

   3

ⁿ

  2

ⁿ

C

⁰n

3C

¹n

3 C

^{2 2}n

3 C

^{3 3}n

...   3 C

^{n n}n

        

 

ⁿ

B 2

  

Vậy B = (– 2)ⁿ.

c)

C  C

⁰₂₀₂₁

 C

²₂₀₂₁

 C

⁴₂₀₂₁

  ... C

²⁰²⁰₂₀₂₁ Xét hai khai triển:

 1 x  

²⁰²¹

 C

⁰2021

 C

¹2021

x  C

²2021

x

²

 C

³2021

x

³

  ... C

²⁰²¹2021

x

²⁰²¹

 1 x  

²⁰²¹

 C

⁰2021

 C

¹2021

x  C

²2021

x

²

 C

³2021

x

³

  ... C

²⁰²¹2021

x

²⁰²¹ Cộng vế với vế của hai khai triển ta được:

 1 x  

²⁰²¹

   1 x 

²⁰²¹

 2C

⁰2021

 2C

²2021

x

²

 2C

⁴2021

x

⁴

  ... 2C

²⁰²⁰2021

x

²⁰²⁰

Chọn x = 1, ta có:

 1 1  

²⁰²¹

   1 1 

²⁰²¹

 2C

⁰2021

 2C

²2021

 2C

⁴2021

  ... 2C

²⁰²⁰2021

22021 2C

   C 2²⁰²⁰ Vậy C = 2²⁰²⁰.

Ví dụ 2: Tìm số n thỏa mãn

a)

C

⁰_n

 2C

¹_n

 4C

²_n

  ... 2 C

^{n n}_n

 243

b)

C

¹_{2n 1}

 C

³_{2n 1}

 C

⁵_{2n 1}

  ... C

^{2n 1}_{2n 1}^_

 4096

Lời giải a)

C

⁰_n

 2C

¹_n

 4C

²_n

  ... 2 C

^{n n}_n

 243

Xét khai triển:

 1 x  

ⁿ

 C

⁰n

 C x

¹n

 C x

²n ²

 C x

³n ³

  ... C x

ⁿn ⁿ

Chọn x = 2, ta có:

 1 2  

ⁿ

 C

⁰n

 C .2 C .2

¹n



²n ²

 C .2

³n ³

  ... C .2

ⁿn ⁿ

0 1 2 n n n

n n n n

C 2C 4C ... 2 C 3

     

Thay vào phương trình ta có 3ⁿ 243 5 ⁵  n 5. Vậy n = 5.

b)

C

¹_{2n 1}

 C

³_{2n 1}

 C

⁵_{2n 1}

  ... C

^{2n 1}_{2n 1}^_

 4096

Xét hai khai triển:

 1 x  

^{2n 1}

 C

⁰2n 1_

 C

¹2n 1_

x  C

²2n 1_

x

²

 C

³2n 1_

x

³

  ... C

^{2n 1}2n 1^_

x

^{2n 1}

 1 x  

^{2n 1}

 C

⁰2n 1_

 C

¹2n 1_

x  C

²2n 1_

x

²

 C

³2n 1_

x

³

  ... C

^{2n 1}2n 1^_

x

^{2n 1} Trừ cả hai vế của khai triển ta có:

 1 x  

^{2n 1}

   1 x 

^{2n 1}

 2C

¹2n 1_

x  2C

³2n 1_

x

³

 2C

⁵2n 1_

x

³

  ... 2C

^{2n 1}2n 1_^

x

^{2n 1} Chọn x = 1, ta có

 1 1  

^{2n 1}

   1 1 

^{2n 1}

 2C

¹2n 1_

 2C

³2n 1_

 2C

⁵2n 1_

  ... 2C

^{2n 1}2n 1^_



¹2n 1 ³2n 1 ⁵2n 1 ^{2n 1}2n 1



^{2n 1}

2 C _ C _ C _ ... C ^_ 2 ^

     

1 3 5 2n 1 2n

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

C

_

C

_

C

_

... C

^_

2

     

Thay vào phương trình được: 2²ⁿ 40962¹² 2n 12  n 6. Vậy n = 6.

Ví dụ 3. Cho khai triển (1 – 2x)²⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a₂₀x²⁰. Giá trị của a₀ + a₁ + a₂ + … + a₂₀ bằng:

A. 1 B. 3²⁰ C. 0 D. – 1

Lời giải Chọn A

Xét khai triển:

 1 2x  

²⁰

 C

⁰20

 C

¹20

  2x   C

²20

  2x 

²

 C

³20

  2x 

³

  ... C

²⁰20

  2x 

²⁰

 1 2x 

²⁰

C

⁰20

2C x

¹20

2 C x

^{2 2}20 ²

2 C x

^{3 3}20 ³

... 2 C x

^{20 20}20 ²⁰

       

Tổng các hệ số của khai triển là

0 1 2 2 3 3 20 20

0 1 2 20 20 20 20 20 20

S  a  a  a  a  C  2C  2 C  2 C   ... 2 C

Chọn x = 1, ta có S = (1 – 2.1)²⁰ = (– 1)²⁰ = 1.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3)²⁰²⁰

A. 2021 B. 2019 C. 2018 D. 2020

Câu 2. Hệ số x⁶ trong khai triển (1 – 2x)¹⁰ thành đa thức là:

A. – 13440 B. – 210 C. 210 D. 13440

Câu 3. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn

12

2

2

x x

  

 

 

⁽

x  0

) là A.

2 .C

⁴ ₁₂⁵ . B.

C

₁₂⁸ . C.

2 .C

⁴ ₁₂⁴ . D.

2 .C

^{8 8}₁₂. Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn

21 2

x 2 x

  

 

 

^,



^{x0, n *}



A.

2 C

^{7 7}₂₁. B.

2 C

^{8 8}₂₁. C.

 2 C

^{8 8}₂₁. D.

 2 C

^{7 7}₂₁. Câu 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁶ trong khai triển x³(1 – x)⁸

A. – 28 B. 70 C. – 56 D. 56

Câu 6. Trong khai triển biểu thức (x + y)²¹ , hệ số của số hạng chứa x¹³y⁸ là:

A. 116280 B. 293930 C. 203490 D. 1287

Câu 7. Hệ số của x⁶ trong khai triển

10

1

3

x x

  

 

 

^bằng:

A. 792 B. 210 C. 165 D. 252

Câu 8. Trong khai triển

2

6

x x

  

 

 

, hệ số của x³, (x > 0) là:

A. 60 B. 80 C. 160. D. 240

Câu 9. Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = (x + 1)⁶ + (x + 1)⁷ + ... + (x + 1)¹²

A. 1715. B. 1711. C. 1287. D. 1716.

Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

n

2

1

x x

  

 

 

^biết

2 2

n n

A  C  105

A. – 3003 B. – 5005 C. 5005 D. 3003

Câu 11. Tính tổng

S C 

₁₀⁰

 2.C

¹₁₀

 2 .C

² ₁₀²

  ... 2 .C .

^{10 10}₁₀

A. S = 2¹⁰ B. S = 4¹⁰ C. S = 3¹⁰ D. S = 3¹¹

Câu 12. Tổng

C

¹₂₀₁₆

 C

²₂₀₁₆

 C

³₂₀₁₆

  ... C

²⁰²¹₂₀₂₁ bằng

A. 4²⁰²¹ B. 2²⁰²¹ + 1 C. 4²⁰²¹ – 1 D. 2²⁰²¹ – 1 Câu 13. Số tập con của tập hợp gồm 2022 phần tử là

A. 2022 B. 2²⁰²² C. 2022² D. 2.2022

Câu 14. Trong khai triển (x – 2)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x¹ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Tổng hệ số: a₀ + a₁+ ... + a₁₀₀ là

A. – 1 B. 1 C. 3¹⁰⁰ D. 2¹⁰⁰

Câu 15. Tổng

C

⁰_2n

 C

²_2n

 C

⁴_2n

  ... C

²ⁿ_2n Bằng:

A. 2^n-2 B. 2^n-1 C. 2^2n-2 D. 2^2n-1 Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A D D D C C B A A D C D B B D