CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN: (a+b) n = a n b o + a n-1 b 1

Thầy Hữu Quang - Cô Phương Tổ Toán

Trường THPT Bình Chánh

(a + b)

= 1a

+ 2ab + 1b

(a + b)

= 1 a

+ 3a

b + 3ab

+ 1 b

0

C

C

C

C

C

C

C

=1

=2

=1

=1

=3

=3

=1

0

C

C

C

C

1

C

C

C

C

C

C

3

C

C

(a + b)

= a

+

a

b

+ a

b

ab

+ + b

I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN:

(a+b) n = a n b o + a n-1 b 1

+

… a n-k b k +…

+

+ a n-n b (1) n + a n-2

n-1

b

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn

Số hạng tổng quát:

k k

k+1 -k

n n

T = C a b

Số hạng thứ k+1

k

C n

1

C n C n 2

0

C n

n

C n 1

n

C n − ab +

Hoặc

2

a) Số các số hạng là n+1

b) Các số hạng có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

d) Các hệ số của mỗi cặp số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.

*Vế phải của công thức (1):

Chó ý:

I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN:

số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

c)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n

*Quy ước : a

= b

= 1

Đáp án :

VD 1: Khai triển các nhị thức Niu tơn sau:

a) (x – 2) b) (2m + 1)

( )

( )

4 2 4 5 5 6 6

6 6 6

2 2 ( 2) ( 2) ( 2)

( 2) ( 2) ( 2)

x x C x C x C x C x

C x C x C

 

− = + −  = + − + − + −

+ − + − + −

6 5 4 3 2

12 60 160 240 192 64

x x x x x x

= − + − + − +

( )

4 5 0

5 5

2 1 (2 ) (2 ) (2 ) (2 )

(2 ) (2 )

m C m C m C m C m

C m C m

+ = + + +

+ +

5 4 3 2

32m 80m 80m 40m 10m 1

= + + + + +

6 5

a

+ 3a

b + 3ab

+ b

a

+ 4a

b + 6a

b

+ 4ab

+

b

a + b

a

+ 2ab + b

1

1 1

1 2 1

1

1

3 3

1

4 6 4 1

1

1)

Công thức nhị thức Newton

n

n 0 n 1 n -1 k n -k k n n k n -k k

(a + b) = C a + C an n b + ... + C an b + ... + C b =n C an b k=0

2) Tam giác Pascal:

a

+ 4a

b + 6a

b

+ 4ab

+ b

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

k-1 k k

n-1 n-1 n

C + C = C

0

C

C

0

C

C

C

0

C

C

C

C

1

C

C

C

C

0

C

+ +

+ 1

1) Công thức nhị thức Newton

n

n 0 n 1 n -1 k n -k k n n k n -k k

(a + b) = C a + C an n b + ... + C an b + ... + C b =n C an b k=0

2) Tam giác Pascal:

Quy luật:

-Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

- Nếu biết hàng thứ n (n 1) thì hàng thứ n+1 được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này.

-Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.



VD 2 : Tìm số hạng không chứa trong khai triển

6 2

2 x 1 x

 − 

 

 

x

x

Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là:

( )

6 6 3

6^k

2

1

C

x

= −

 k=2

Vậy số hạng không chứa là:

C

2

( ) − 1

= 240

Ta phải tìm k sao cho: 6- 3k=0

1

k n k k

k n

T

= C a

b

k k

k

k

C x x

T 1 )

( )

2

(

6

1

=

−

+ 6

6 2

(2. ) ( 1 )

k k k

C x

x

−

−

=

6 6

6 2

2 . ( 1) . 1

k k k k

C x

x

− −

= −

x 0

(

)

Ví dụ 3. Tìm hệ số của trong khai triển: (1-3x)⁵

I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN

0 1 1 2 2 2

... ...

n n n n k n k k n n

n n ⁻ b+ n ⁻ b + + n ⁻ b + + nb

C a +C a C a C a C

(a +b) = ⁽¹⁾

Lời giải:

5

5 5

C 1^{k −k} ( 3 )− x ^k = −( 3) C^{k k}x^k

2 2

( 3) − C

= 90

Số hạng tổng quát trong khai triển (1-3x)⁵ là:

Vậy hệ số của trong khai triển là:

Số hạng của

x

x2

x2

Chú ý : Để giải bài toán tìm hệ số của một số hạng biết số mũ của số hạng đó trong khai triển của nhị thức Niu tơn thì:

Bước 1:

Thay giá trị k vào số hạng tổng quát ở bước 1 và kết luận.

Viết số hạng tổng quát trong khai triển của nhị thức Bước 2: Buộc số mũ của mỗi chữ trong số hạng tổng quát

phải bằng số mũ tương ứng cho trước và giải để tìm k Bước 3:

1-Hệ số của trong khai triển là....

4320

-5760

3-Hệ số của trong khai triển là ....

2-Hệ số của trong khai triển là....

Điền số thích hợp vào ...

5200300

12 13

x y ( x + y )

x

( 3 x − 4 )

x

(

)

TÓM LẠI: Qua bài học này các em cần nắm vững các nội dung sau :

1-Công thức nhị thức Niu-tơn

2-Các tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn

3-Biết khai triển các nhị thức, biết cách xác định các số hạng có tính chất nào đó của nhị thức.

Bài tập về nhà: bài 1,2,3,5,6 trang 58 sgk