thuvienhoclieu.com
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021- 2022
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang)
Câu 1: (5 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: (x−3).(x−5).(x−6).(x−10)−24x2 2. Cho biểu thức:
A=
(
xx22−5−25x−1)
:(
x2+225−x−15x2 −x+3 x+5+x−5x−3
)
a. Rút gọn A.
b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm Điều kiện của x đề A > 0 Câu 2: (3,5 điểm)
1. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab+bc+ca=1 Tính giá trị của biểu thức : A=¿ ¿
2. Tìm số dư khi chia đa thức A=(x+1)(x+3) (x+5)(x+7)+2028 chia cho đa thức x2+8x+12 Câu 3: (3,5 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x2−656xy−657y2=1983 2. Giải phương trình:
x−241
17 +x−220
19 +x−195
21 +x−166 23 =10
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. H là hình chiếu trên DE
a. Chứng minh AD2=DH . DE
b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng.
c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích ∆CDh gấp 9 lần diện tích ∆AFH.
Câu 5: (2 điểm)
1. Chứng minh rằng A=n8+4n7+6n6+4n5+n4chiahết cho16 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a2
b2+c2+ b2
c2+a2+ c2 a2+b2
a3+b3+c3 2abc
………..HẾT………
ĐÁP ÁN:
câu ĐÁP ÁN Điểm
1 1. (1,5 điểm)
(x−3).(x−5).(x−6).(x−10)−24x2
= (x¿¿2−13x+30)(x2−11x+30)−24x2¿
= [(x2−12x+30)−x¿.[(x2−12x+30)+x]−24x2
=(x¿¿2−12x+30)2−25x2¿
0,25 0,25 0,25 thuvienhoclieu.com Trang 1
thuvienhoclieu.com
= (x2−12x+30−5x).(x2−12x+30+5x)
= (x2−17x+30).(x2−7x+30)
= (x2−2x−15x+30).(x2−7x+30)
= (x−2)(x−15)(x2−7x+30)
0,5 0,25
2. a. (1,5 điểm) ĐKXĐ : x¿±5; x¿3 0,25
A=
(
xx22−5−25x−1)
:(
x2+225−x−15x2 −x+3 x+5+x−5x−3
)
¿
(
(x−5x(x−5)(x+5)) −1)
:(
25−x2−(x+3) ((x−3x−3)+()(x+5)x−5) (x+5))
¿
(
x+x5−1)
:(
25−x(2x−−3) (xx2+9++5)x2−25)
¿ 5
x+5: (3−x)(x+3) (x+5)(x−3)
¿ 5
x+5.
(
−x+3x+5)
0,5
0,25
0,25 0,25 b. b.(1 điểm)
Để A nguyên thì x+3Ư(−5)={−5;−1;1;5} Vậy x{−8;−4;−2;2}
0,5 0,5 c. A > 0 x + 3 < 0
x < - 3
0,5 0,5
2 1. (1,5 điểm)
A=¿ ¿
¿(a+b)2¿¿
A=(a+b)2¿ ¿
0,5 1,0 2. A=(x+1)(x+3) (x+5)(x+7)+2028
A=(x2+8x+7).(x2+8x+15)+2028 Đặt t=x2+8x+11
A=(t−4) (t+4)+2028 A=t2−16+2028 A=t2+2012
A=(x¿¿2+8x+11)2+2012¿ A=¿
A=(x¿¿2+8x+12)−2.(x2+8x+12)+2013¿
Vậy số dư trong phép chia đa thức A cho đa thức x2+8x+12 dư 2013
0,25 0,25
0,5 0,25
0,25 3 1. (1,5 điểm)
x2−656xy−657y2=1983 x2−656xy−y2−656y2=1983
(x2−y2)−656(xy+y2)=1983 (x−y) (x+y)−656y(x+y)=1983
(x+y) (x−657y)=3.661=661.3=(−3).(−661)=(−661).(−3)
x + y 3 661 -3 -661
x - 657y 661 3 -661 -3
0,5 0,25
thuvienhoclieu.com Trang 2
thuvienhoclieu.com
x 4 660 -4 -660
y -1 1 1 -1
Vậy (x; y) = {(4; -1); (-4; 1); (660; 1); (-660; -1)}
0,25 0,25 2. (2 điểm)
x−241
17 +x−220
19 +x−195
21 +x−166 23 =10 x−241
17 −1+x−220
19 −2+x−195
21 −3+x−166 23 +4=0 x−258
17 +x−258
19 +x−258
21 +x−258 23 =0 (x−258)
(
171 + 119+ 1 21+ 1
23
)
=0x−258=0
x=258
Vậy phương trình có nghiệm x = 258
0,5
0,5 0,25 0,25 4
a. (2 điểm)
Xét ∆ADE vuông tại A và ∆HDA vuông tại H có
^ADE chung
Nên ∆ADE đồng dạng ∆HDA (g.g) suy ra AD
DH=DE AD
AD2=DE . DH b. (2 điểm)
Vì ∆ADE đồng dạng ∆HDA nên AD
DH= AE AH DC DH= AF
AH(do AD=DC ; AE=AF) Mà ^HDC=^HAD(cùng phụ góc HAD) Suy ra ∆AHF đồng dạng ∆DHC
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
thuvienhoclieu.com Trang 3
A E
D C
B
F
thuvienhoclieu.com c. (2 điểm)
Ta có ∆CDH đồng dạng ∆AFH nên : S∆ CDH
S∆ AFH=¿
S∆ CDH S∆ AFH=9¿ CD=3AF .
Vậy để diện tích ∆CDH gấp 9 lần diện tích ∆AFH thì E, F thuộc AB, AD sao cho AE = AF = 1/3 AB.
0,5 0,5 0,5 0,5 5 1. Chứng minh rằng A=n8+4n7+6n6+4n5+n4chiahết cho16
A=n8+4n7+6n6+4n5+n4
A=n8+n7+3n7+3n6+3n6+3n5+n5+n4 A=n7(n+1)+3n6(n+1)+3n6(n+1)+n4(n+1) A=(n+1)n4(n3+3n2+3n+1)
A=(n(n+1)¿ ¿2)4¿
Vì n.(n + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên n. ( n + 1) 2⁝ Suy ra (n(n+1)¿¿2)4⁝ 24=16¿
2. Chứng minh rằng:
a2
b2+c2+ b2
c2+a2+ c2 a2+b2
a3+b3+c3 2abc Ta có:
a2 b2+c2
a2 2bc b2
c2+a2≤ b2 2ac c2
a2+b2≤ c2 2ab
Cộng từng vế ta có:
a2
b2+c2+ b2
c2+a2+ c2
a2+b2≤ a2 2bc+ b2
2ac+ c2
2ab≤a3+b3+c3 2abc
0,5 0,5
0,5
0,25 + 0,25
thuvienhoclieu.com Trang 4
