Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên

(1)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1

5 6 2 3 .

x x x

P x x x x

  

  

   

a. Rút gọn P.

b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:

   

2 2 1 3 0. 1

x  m x  m

a. Chứng minh rằng với  m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂. b. Tìm các giá trị của m để x₁²x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (3,0 điểm)

a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

3x2 2xy y 5x 2 0.

b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi.

Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên (dạng a² b²).

Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM BM CM, , cắt các cạnh BC CA AB, , tương ứng tại A B C', ', '.

a. Chứng minh rằng: ' ' '

AA ' ' ' 1.

MA MB MC BB CC

  

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

MA ' ' '

MA MB MC f   MB  MC

--- Hết ---

Họ và tên thí sinh: ...

SBD: ...