sao cho

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN TOÁN – 12

Thời gian làm bài : 180 Phút

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số (x_n) thỏa mãn: ₁ ²; ₁ 2 ^{2 1}

3 ^{n n} 2ⁿ

x = x₊ = x +  n1. Chứng minh rằng dãy số (y_n) xác định bởi

2 , 1

2

n

n n

y x n

+ n

=  

+ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f : → sao cho:

( ( )) ( ) 2 ( ) ( ( )) (0) , f x− f y = f x + xf y + f f y + f x y

Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm AH K, đối xứng với E qua BC. Gọi AK cắt CI tại N .

a) Chứng minh BN ⊥CN.

b) Gọi ( )w là đường tròn ngoại tiếp tam giác CIE và M là trung điểm EK. Các đường thẳng EB IM, cắt ( )w lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: P K Q, , thẳng hàng và

AK ⊥CP.

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên không âm c sao cho tồn tại các số nguyên ,

a b thỏa mãn aⁿ+2ⁿ là ước của bⁿ+c với mọi n nguyên dương. Với mỗi bộ ( ; ; )a b c ở trên mà c lớn nhất, chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.

Câu 5 (2,0 điểm)

a) Cho bàn cờ vua 2m2n được tô đen trắng xen kẽ. Ta đặt m.n viên sỏi vào các ô màu trắng sao cho với mỗi hình vuông 2 2 đều chứa nhiều nhất một viên sỏi. Hỏi có bao nhiêu cách đặt sỏi như vậy.

b) Cho số nguyên dương n, có n² quân cờ được đặt trên bảng vuông n²n². Ta thực hiện phép di chuyển mỗi quân cờ tới một ô mới sao cho khoảng cách từ tâm ô cũ tới tâm ô mới là n. Tìm n sao cho tồn tại một cách xếp mà cả trước và sau khi di chuyển thì đều không có hai quân cờ nào nằm cùng trên một hàng hoặc một cột.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2020-2021 MÔN TOÁN 12

Câu 1. Cho dãy số (x_n) thỏa mãn: ₁ ²; ₁ 2 ^{2 1}

3 ^{n n} 2ⁿ

x = x₊ = x +  n1. Chứng minh rằng dãy số (y_n) xác định bởi

2 , 1

2

n

n n

y x n

+ n

=  

+ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải:

Đặt a_n =x_n² ,n1thì ₁ ²

a =3 và ₁ 2 ¹ , 1

n n 2n

a₊ = a +  n

Suy ra ₁ ². ¹₁ 2( ^{2 1}. ), 1

3 2 3 2

n n n n

a ₊ + ₊ = a + n

Nên ₁ ¹ 2 ( ₁ .

1) 2

3 2 3

n n

n n

a ₊ + = a + =  n 1

Ta được ₁ 2 ¹ 3.2

n

n n

a ₊ = − ,n0, hay 2 ^{1 1} ₁ 3.2

n

n n

a = ⁻ + ₋ ,n1 Từ đây, lưu ý 2ⁿ   n² n 5 nên ¹, 5

2ⁿ

n n

 n   Ta được lim 0

2ⁿ n =

Suy ra lim ₂ ¹

2 8

n n

a

+ n=

+ , tức là lim ²

n 4 y =

Câu 2. Tìm tất cả các hàm f : → sao cho

( ( )) ( ) 2 ( ) ( ( )) (0) , f x− f y = f x + xf y + f f y + f x y Lời giải:

+) Cho x= f y( ) thì f f y( ( ))= −f²( )y  y

+) Thay x bởi f x( ) thì f f x( ( )− f y( ))= −( ( )f x − f y( ))²+ f(0)x y,  +) Nếu f x( )= 0 x thì thỏa mãn

+) Nếu tồn tại y₀ mà f y( ₀)=0, xét u bất kỳ, chọn ⁰

0

( ( )) (0) 2 ( ) u f f y f

x f y

− −

=

thì 2xf y( ₀)+ f f y( ( ₀))+ f(0)=u

Suy ra u= f x( − f y( ₀))− f x( )= f m( )− f n( )

Do đó f u( )= f f m( ( )− f n( ))= −( ( )f m − f n( ))²+ f(0)= − +u² f(0) Đặt f(0)=a thì f x( )= − +  x² a x

Thay lại phương trình đã cho, ta được a=0 Vậy f x( )= 0 x hoặc f x( )= − x² x

Câu 3. Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm AH, K đối xứng với E qua BC. AK cắt CI tại N.

a) Chứng minh BN ⊥CN.

b) Gọi (w) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CIE. M là trung điểm EK. EB, IM cắt (w) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: P, K, Q thẳng hàng và AK ⊥CP.

Lời giải:

a) Gọi S là điểm đối xứng với A qua BC thì C, K, S thẳng hàng.

Ta có: AF.AB = AE.AC = AH. AD = AI.AS.

Có: B, F, E, C, K thuộc đường tròn đường kính BC và đpcm tương đương với N cũng thuộc đường tròn này.

Vì AI.AS = AE.AC nên IECS là tứ giác nội tiếp.

Do đó: ^AKE=^ASE=^ICE  NECK là tứ giác nội tiếp hay N thuộc đường tròn đường kính BC. (đpcm)

b) Có: CEP=90⁰nên (w) là đường tròn đường kính CP.

Ta CM: CQK =90⁰ hay CMKQ là tứ giác nội tiếp.

Thật vậy, KCQ=KMQ=SIQ nên CMKQ là tứ giác nội tiếp.

Khi đó: CQK =CQP nên Q, K, P thẳng hàng.

- Có EK ⊥BC nên để CM: AK ⊥CP ta sẽ đi CM: AKE=BCQ.

Thật vậy: PCI =IEP=IHE= ACB nên BCQ=ICE=NCE =NKE =AKE Vậy ta có đpcm.

Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên không âm c sao cho tồn tại các số nguyên a b, thỏa mãn

n 2n

a + là ước của bⁿ+c với mọi n nguyên dương. Với mỗi bộ ( ; ; )a b c ở trên mà c lớn nhất, chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.

Lời giải:

+) Do aⁿ+2ⁿ là ước của bⁿ+c với mọi n nguyên dương nên với n tùy ý có

(

)

(

)

n n n n n n

b  −c a + b  −c a +

Suy ra ^{b3n  −c}

(

) ⁽

)

Từ đó được ^{(−c)3 −c}

(

)

Hay c³−c chia hết cho aⁿ+2ⁿ với mọi n nguyên dương.

Nếu c³− c 0 thì c³− c aⁿ+2ⁿ với mọi n nguyên dương Cho n đủ lớn. Ta được mâu thuẫn. Vậy c³− =c 0

Với c nguyên không âm, ta được c=0 hoặc c=1.

• Với c=0, chọn a=2, ta được 2ⁿ⁺¹ là uớc của bⁿ nên b chia hết cho 4. Rõ ràng căp số (a,b)=(2,4k) thỏa mãn đề bài

• Với c=1, tồn tại a=1,b=8 thỏa mãn đề bài Vậy c=0 và c=1 là tất cả các số cần tìm

+) Giả sử tồn tại hai số chính phương a=x b², = y², x y, nguyên dương thỏa mãn aⁿ+2ⁿ là ước của bⁿ+1 với mọi n

Do có vô hạn số nguyên tố dang 8k+5 và a, b chỉ có hũu hạn ước nguyên tố nên tồn tại số nguyên tố p dạng 8k+5 sao cho ( , )a p =( , )b p =1

Xét ¹,

2

n= p− do p có dạng 8k+5 nên 2 không phải là thăng dư bình phương mod p, suy ra

1

2 2 1( mod ) (

p

p

−  − Tiêu chuẩn Euler) hay 2ⁿ  −1( mod )p Mà aⁿ =x^p−11( mod )(p Fermat nhỏ ) nên aⁿ+2ⁿ 0( mod )p Từ đó bⁿ+ 1 0( mod )p

Măt khác bⁿ = y^p−11( mod )p nên 20( mod )p Điều này mâu thuẫn do p có dạng 8k+5.

Câu 5. a) Cho bàn cờ vua 2m2n được tô đen trắng xen kẽ. Ta đặt m.n viên sỏi vào các ô màu trắng sao cho với mỗi hình vuông 2 2 đều chứa nhiều nhất một viên sỏi. Hỏi có bao nhiêu cách đặt sỏi như vậy.

b) Cho số nguyên dương n, có n² quân cờ được đặt trên bảng vuông n²n². Ta thực hiện phép di chuyển mỗi quân cờ tới một ô mới sao cho khoảng cách từ tâm ô cũ tới tâm ô mới là n. Tìm n sao cho tồn tại một cách xếp mà cả trước và sau khi di chuyển thì đều không có hai quân cờ nào nằm cùng trên một hàng hoặc một cột.

Lời giải:

a)Ta có thể giả sử bàn cờ có ô đầu tiên màu trắng.

Chia bàn cờ thành m.n hình vuông 2x2. Do giả thiết nên mỗi ô 2x2 chứa đúng một viên sỏi.

Ta chia các chúng thành 2 loại:

- Loại 1 gồm các ô 2x2 chứa viên sỏi ở góc trên bên trái.

- Loại 2 gồm các ô 2x2 chứa viên sỏi ở góc dưới bên phải.

Nhận xét:

- Nếu 1 ô vuông 2x2 thuộc loại 1 thì ô vuông 2x2 sát trái hoặc sát trên của nó cũng thuộc loại 1, do đó tất cả các ô vuông 2x2 bên trái và bên trên của nó đều loại 1.

- Nếu 1 ô vuông 2x2 thuộc loại 2 thì ô vuông 2x2 sát phải hoặc sát dưới của nó cũng thuộc loại 2, do đó tất cả các ô vuông 2x2 bên phải và bên dưới nó đều loại 2.

Tức là bàn cờ sẽ được chia làm hai mảng tương ứng với mỗi loại, và hai mảng này có ranh giới là 1 đường đi từ góc trái dưới cho đến góc phải trên của bàn cờ.

- Như vậy số cách đặt sỏi là số cách đi từ góc dưới trái lên góc trên phải của bảng vuông 2mx2n mà mỗi bước đi dài 2 đơn vị. Đáp số là :C_{m n}^m₊

b) Gắn bảng vuông vào trong hệ trục tọa độ.

Giả sử quân cờ thứ i có tọa độ ( ;x y_{i i}) trước đầu và ( ; )z t_{i i} sao khi chuyển.

Thì ta có: (x_i−z_i)²+(y_i−t_i)² =n² Lấy tổng n² quân cờ ta được:

2

1 n



Do trước và sau khi di chuyển thì các quân cờ đều không nằm trên cùng hàng hoặc cột nên x x1, 2,...,x_n2 là hoán vị của {1; 2;... :n²} và các {y_i}, {z_i} , {t_i} cũng vậy.

Do đó khai triển vế trái ta được: ^{2 4}

1 1

4 2 ( )

n n

i i i i

i i

i x z y t n

= =

− + =

 

Điều này dẫn đến n chẵn. Và n chẵn là đáp số thỏa mãn.

- Với n chẵn ta xếp các quân cờ theo đường chéo chính của bảng vuông. Khi di chuyển, ta đẩy cụm n quân cờ đầu xuống n ô, cụm n quân cờ tiếp theo lên n ô và cứ tương tự như vậy với các cụm n ô sau đó.