Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình: 4 3

4 8 74 10 7 1

   

x x

x x x x .

b) Giải hệ phương trình:

3 3

3

2 3 8

2 6 0

  



  



x x y xy x Câu 2 (2,0 điểm).

a) Tìm số nguyên tố p để 2p1 là lập phương của một số tự nhiên.

b) Trong bảng 11 11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5.

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D E F, , tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A B C, , ; gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC;

gọi N P, tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh CA AB, . a) Chứng minh rằng HE MN HF MP .

b) Chứng minh rằng tứ giác EFPN nội tiếp.

c) Chứng minh rằng

2

   .

  

  

BD BM AB CD CM AC Câu 4 (1,0 điểm).

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

2 2 2 1.

a b b c c a Câu 5 (1,0 điểm).

Điểm ^{M x y}

 

^; của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0).

———— HẾT————

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………