Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một biểu thức đặc biệt ôn thi vào chuyên Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Truy cập thuvientoan.net để tải các tài liệu hay nhé!

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

P x a bx với ab.

 Đặt điều kiện: a x b. Suy ra: P²  b a 2



xa b



x



   b a P ba. Vậy giá trị lớn nhất của P là ba. Dấu bằng xảy ra khi x a.

x b

 

 

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: P² 2



ba



 P 2



ba



.

Vậy giá trị lớn nhất của P là ²



^b^a



^. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . 2 a b x    a b x x 

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) P x 3 5x. b) P x 2 11x.

Lời giải a) Điều kiện:   3 x 5. Ta có:

  

2 8 2 3 5 8.

P   x x 

Suy ra: P2 2. Đẳng thức xảy ra khi x 3 hoặc x5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 2 đạt được khi x 3 hoặc x5.

Lại có: P x 3 5 x 2



x  3 5 x



 164.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x    3 5 x x 1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi x1.

b) Điều kiện: 2 x 11. Ta có:

  

2 9 2 2 11 9.

P   x x 

Suy ra: P3. Đẳng thức xảy ra khi x2 hoặc x11.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi x2 hoặc x11.

Lại có: P x 2 11 x 2



x  2 11 x



 183 2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 11 ¹³. x    x x 2

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

. Pm x a n bx Với m n, 0.

 Tìm giá trị nhỏ nhất:

      

  ^{  }

2 2

2 2

2

2 .

P m x a n b x m x a n b x mn x a b x m n x mn x a b x

          

    

Nếu ^{m n m2n2}



^m2n2



^0. Áp dụng đánh giá xa. Nếu ^{m n m2n2}



^m2n2



^0. Áp dụng đánh giá xb.

 Tìm giá trị lớn nhất

  ^{   }  

2 2 2 2 2

. P  m n x   a b x ab m n

Suy ra: ^P



^{ab m}

 

^2n2



^.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x a b x.

m n

  

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

3 3 4 5 .

P x  x

Lời giải a) Điều kiện: 3  x 5.

Ta có:

     

2 9 27 80 16 24 3 5 107 7 24 3 5 .

P  x   x x x   x x x

Vì x 5 P²107  7 5 72 P 6 2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x5.

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars, ta có:

 

²

^{   }

2 2 2

3 3 4 5 3 4 3 5 200.

P  x  x   x   x

Suy ra: P10 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ^{3 5 16}



³



^{9 5}

 

^{3 .}

3 4 25

x x

x x x

         

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Bài tập tự luyện Bài toán 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 9x. Bài toán 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 3 13x. Bài toán 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 2 16x. Bài toán 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P3 x 4 2 5x. Bài toán 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P2 x 2 5 11x. Bài toán 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P2 3x 2 5 52 .x