Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sinx+m.cosx = 2m−1 có nghiệm? A

SỞ GD-ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

ĐỀ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Môn: TOÁN 11

Thời gian làm bài: 90 phút (đề thi gồm 02 trang) Ngày thi: 4/7/2020

Họ và tên thí sinh: . . . ; Số báo danh: . . . . I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sinx+m.cosx = 2m−1 có nghiệm?

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Câu 2. Tìm ảnh của điểm M(1;−5) qua phép tịnh tiến theo ~v = (−2; 0).

A. M^′(−5; 1). B. M^′(−1;−5). C. M^′(3;−5). D. M^′(−3; 5).

Câu 3. Cho tập hợp T ={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}. Một tổ hợp chập 3 của các phần tử của tập hợp T là

A. C12³ . B. C13³ . C. A³13. D. _{1; 2; 3}. Câu 4. Cho cấp số cộng (un) có u3 = 11, u5 = 19. Tìm công sai d.

A. d= 4. B. d= 8. C. d=−1. D. d = 19 11. Câu 5. Xét hai phát biểu sau đây:

(1) Nếu một cấp số nhân có công bội q = 1 thì mọi số hạng của nó bằng nhau.

(2) Nếu một cấp số nhân có mọi số hạng bằng nhau thì nó có công bội q = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Chỉ (1) đúng.

C. Chỉ (2) đúng.

B. Cả (1) và (2) đều đúng.

D. Cả (1) và (2) đều sai.

Câu 6. Có 20 học sinh, trong đó có một bạn tên là Thái và một bạn tên là Bình. Có 20 ghế được kê thành 4 dãy ngang, mỗi dãy gồm 5 ghế. Xếp 20 bạn học sinh đó ngồi vào 20 ghế đã cho, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để bạn Thái và bạn Bình luôn ngồi cùng dãy với nhau.

A. ²

5. B. ¹

19. C. ⁸

19. D. ⁴

19.

Câu 7. Cho tứ diện SABC có A^′, B^′, C^′ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Khẳng định nào sau đây sai?

1

A. AB//(A^′B^′C^′).

C. A^′C^′ và BC cắt nhau.

B. B^′C^′//BC.

D. A^′B^′ và SC chéo nhau.

Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A^′B^′C^′. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Mỗi mặt đáy của hình lăng trụ ABC.A^′B^′C^′ là một tam giác đều.

B. Mỗi mặt bên của hình lăng trụ ABC.A^′B^′C^′ là một hình chữ nhật.

C. Các cạnh đáy của hình lăng trụ ABC.A^′B^′C^′ song song và bằng nhau.

D. Hai cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A^′B^′C^′ vuông góc với nhau.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 9. (2,0 điểm)

1) Tính giới hạn lim

x→1

3−√ x+ 8 x−1

.

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình sau đây luôn có nghiệm

m(x−1)⁴(x+ 2)⁷+ 2020(x²+ 8x−1) = 0.

Câu 10. (2,0 điểm) Cho hàm số y =√

2x²+x−3.

1) Tìm tất cả các giá trị của x để y^′ ≥ 0.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 = 5.

Câu 11. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA⊥(ABC), SA= AB =a.

1) Chứng minh rằng SA⊥BC.

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính SG theo a.

3) Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC).

Câu 12. (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x(x−2) +y(y + 4) = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =p

9−2x−2y+p

29 + 8x−12y.

————— HẾT —————

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD-ĐT BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN LỚP CLC TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 Môn: TOÁN 11 - Thi ngày 4/7/2020

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

Phần trắc nghiệm khách quan:

1C-2B-3D-4A-5A-6D-7C-8B 2,0

9 1 Ta có lim

x→1

3−√ x+ 8 x−1

= lim

x→1

−1 3 +√

x+ 8

= −1

6. 1,0

2 Hàm số đa thức f(x) = m(x−1)⁴(x+ 2)⁷ + 2020(x² + 8x−1) liên tục trên R và có f(−2) = 2020.(−13) <0, f(1) = 2020.8 >0 nên f(−2).f(1)< 0. Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (−2; 1). 1,0 10 1 Hàm số y = √

2x²+x−3 có tập xác định D =

−∞;−3 2

∪[1; +∞) và có đạo hàm y^′ = 4x+ 1

2√

2x²+x−3, ∀x ∈

−∞;−3 2

∪(1; +∞). 0,5

Ta có 4x+ 1 2√

2x²+x−3 ≥0 ⇔

4x+ 1≥0 2x²+x−3 >0

⇔











x≥ − 1

" x >14

x <−3 2

⇔ x >1. Vậy y^′ ≥0 khi và chỉ khi x >1.

Chú ý: Nếu học sinh trình bày y^′ ≥ 0 ⇔ 4x+ 1≥ 0 ⇔ x ≥ −1

4, sau đó kết hợp với điều kiện xác định của y^′ được x > 1 thì vẫn cho điểm tối đa, còn nếu học sinh không kết hợp với điều kiện xác định của y^′ mà kết luận x≥ −1

4 thì không cho điểm phần này.

0,5

2 Xét phương trình √

2x²+x−3 = 5 ⇔

" x=−4 x= 7

2

. 0,5

Hệ số góc của tiếp tuyến d1 với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M1(−4; 5) là y^′(−4) =−3

2.Tiếp tuyếnd1có phương trìnhy =−3

2(x+4)+5⇔ y =−3

2x−1. 0,25 Hệ số góc của tiếp tuyến d² với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M²

7 2; 5

là y^′

7 2

= 3

2. Tiếp tuyến d² có phương trình y = 3 2

x− 7

2

+ 5

⇔ y = 3

2x − 1

4. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài toán là d¹ : y =−3

2x−1 và d² : y = 3 2x− 1

4.

0,25

Trang 1/3

11 1

Vì SA⊥(ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA⊥BC.

S

A

B

C

G D H

1,0

2 Tam giác ABC đều, cạnh bằng a, nên AD =

√3

2 .a, với D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có AG = 2

3AD =

√3 3 .a.

0,5 Vì SA⊥(ABC) và AG ⊂ (ABC) nên SA⊥AG, hay tam giác SAG vuông tại A. Vậy SG=√

SA²+AG² = v u u ta²+

√3 3 .a

!²

= 2√ 3

3 .a. 0,5

3 GọiH là hình chiếu vuông góc của G trênSD. Khi đó SD⊥GH. Vì BC⊥AD và BC⊥SA nên BC⊥(SAD). Suy ra BC⊥GH. Dẫn tới GH⊥(SBC). 0,5 Dễ thấy GD = 1

3AD =

√3

6 .a. Tam giác SAD vuông tại A nên cạnh huyền SD = √

SA²+AD² = v u u ta²+

√3 2 .a

!²

=

√7

2 .a Hai tam giác vuông SAD, GHDđồng dạng nên SA

GH = SD

GD ⇒ GH = SA.GD SD =a.

√3 6 a. 2

a.√ 7 =

√21

21 .a.

Vậy d(G,(SBC)) =GH =

√21 21 .a.

0,5

Trang 2/3 .

12

Biến đổi x(x − 2) + y(y + 4) = 4 ⇔ (x − 1)² + (y + 2)² = 9 (đây là phương trình đường tròn (C) tâm I(1;−2), bán kính R = 3). Ta có

P =√

9−2x−2y +√

29 + 8x−12y

=√

5−2x−2y+ 4 +√

25 + 8x−12y+ 4

=p

5−2x−2y+x(x−2) +y(y + 4) +p

25 + 8x−12y +x(x−2) +y(y+ 4) (do 4 =x(x−2) +y(y+ 4))

=p

(x−2)²+ (y + 1)²+p

(x+ 3)²+ (y−4)²

=AM +BM,

với A(2;−1) nằm bên trong (C), B(−3; 4) nằm bên ngoài (C), và M(x;y) thuộc đường tròn(C), −−→AM = (x−2;y+1), −−→BM = (x+3;y−4), −→AB = (−5; 5).

0,5

Nhận thấy P = AM + BM ≥ AB = 5√

2. Đẳng thức xảy ra khi M(x;y) là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường tròn (C), tức là ( (x−1)²+ (y+ 2)² = 9

−−→AM =k.−→AB, với k ∈[0; 1] ⇔







(x−1)²+ (y+ 2)² = 9 x−2 =−5k

y+ 1 = 5k, với k ∈[0; 1]

⇔













 k =

√14

10 x = 4−√

14 2 y = −2 +√

14 2

.

Vậy minP = 5√2, đạt được khi x= 4−√ 14

2 , y = −2 +√ 14

2 .

0,5

————— HẾT —————

Trang 3/3