50 bài tập về Các dạng bài tập về hàm số (có đáp án 2022) - Toán 9

Các dạng bài tập về hàm số I. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y thì y được gọi là hàm số của x, x là biến số. Ta viết:

y = f(x); y = g(x)…

Ví dụ: y = 2x + 4; y = -3x + 5 là hàm số của y theo x.

Chú ý: Khi x thay đổi mà y không thay đổi thì hàm số y = f(x) là hàm hằng.

2. Điều kiện xác định của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.

3. Giá trị của hàm số

Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x là ₀ y0 =f x

( )

Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho x, y thỏa mãn y = f(x).

5. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên .

- Nếu x₁ x₂và f x

( ) ( )

( ) ( )

Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

− và x , x_{1 2}

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên . Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên . II. Các dạng bài và phương pháp giải Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số

Phương pháp giải: Chú ý đến một số biểu thức có điều kiện đặc biệt như căn, phân thức.

Hàm số dạng căn thức y= P(x)có nghĩa khi P(x)0 Hàm số dạng phân thức

( )

( )

y A x

= B x có nghĩa khi ^{B x}

( )

Hàm số dạng phân thức

( ) ( )

y A x B x

= có nghĩa khi ^{B x}

( )

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau

a) y ^{2x 1} 3x 5

= −

−

b) 1

y 2x 1

x 2

= + + +

c) 1 3 x

y x 3

+ −

= + .

Lời giải:

a) Hàm số y ^{2x 1} 3x 5

= −

− xác định khi và chỉ khi 3x− 5 0

3x 5

 

x 5 : 3

  x 5

 3

Vậy điều kiện xác định của hàm số là 5 x 3.

b) Hàm số 1

y 2x 1

x 2

= + +

+ xác định khi và chỉ khi 2x 1 0

x 2 0

 + 

 + 



2x 1

x 2

  −

   −

x 1: 2 x 2

  −

   − x 1

2

x 2

  −

 

  −

 x 1

2

  −

Vậy điều kiện xác định của hàm số là 1

x 2

− .

c) Hàm số 1 3 x

y x 3

+ −

= + xác định khi và chỉ khi:

3 x 0 x 3 0

 − 

 + 



x 3 x 3

−  −

   −

x 3

x 3

 

   −

Vậy điều kiện xác định của hàm số là x3và x −3. Dạng 2: Tính giá trị hàm số tại một điểm

Phương pháp giải: Để tính giá trị hàm số y = f(x) tại điểm x ta thay x = ₀ x vào y ₀

= f(x) được y = ₀ ^{f x}

( )

Ví dụ 1: Tính giá trị hàm số a) y = f(x) = x³+3x−2tại x = 1 ₀ b) y = f(x) = 3x 1+ tại x₀ =2.

Lời giải:

a) y = f(x) = x³+3x−2

Thay x = x = 1 vào hàm số ta được: ₀

( )

f 1 = +1 3.1 2− = 1 + 3 – 2 = 2 Vậy với x = 1 thì giá trị hàm số là 2. ₀ b) y = f(x) = 3x 1+

Thay x = x₀ =2vào hàm số ta được:

( )

f 2 = 3.2 1+ = 7

Vậy với x₀ =2 thì giá trị hàm số là 7 .

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = f(x) = 3 x 1+ +mx² −2x+3có f(3) = f(-1) với m là tham số.

Lời giải:

Thay x = 3 ta có:

( )

f 3 =3 3 1+ +m.3 −2.3 3+

 ^{f 3}

( )

 ^{f 3}

( )

Thay x = -1 ta có:

( ) ( )

( )

f − =1 3 − + +1 1 m. −1 −2. − +1 3

( )

f 1 0 m 2 3

 − = + + +

( )

f 1 m 5

 − = +

Vì f(3) = f(-1) nên ta có:

9m + 3 = m + 5

9m – m = 5 – 3

8m = 2

m = 2 : 8

m =1 4 Vậy m =1

4thì f(3) = f(-1).

Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên hệ trục tọa độ Oxy Phương pháp giải: Biểu diễn điểm ^{M x ; y}

(

)

Bước 1: Xác định x sau đó vẽ một đường thẳng song song với Oy đi qua ₀ x ₀ Bước 2: Xác định y sau đó vẽ một đường thẳng song song với Ox đi qua ₀ y ₀ Bước 3: Tọa độ điểm M chính là giao của hai đường thẳng trên.

Ví dụ 1: Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ:

( )

A 2;3 ; 1

B ; 2

2

 − 

 

 ; ^C

(

)

Lời giải:

Ví dụ 2: Trong các điểm M(1; -1); N(2; 0), P(-2; 2) điểm nào thuộc đồ thị hàm số 1 2

y x

= 2

Lời giải:

- Xét điểm M(1; -1) có x = 1 và y = -1 Thay x = 1 vào hàm số ta được 1 ²

y .1

= 2 1

= 2  −1 Vậy M không thuộc đồ thị hàm số

- Xét điểm N(2; 0) có x = 2; y = 0

Thay x = 2 vào hàm số ta được 1 ² 1

y .2 .4 2 0

2 2

= = = 

Vậy điểm N không thuộc đồ thị hàm số - Xét điểm P(-2; 2) có x = -2; y = 2

Thay x = -2 vào hàm số ta được ^{y 1.}

( )

2 2

= − = =

Vậy điểm P thuộc đồ thị hàm số.

Dạng 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải: Để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số ta xét dấu của T, với

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

− và x , x_{1 2}

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên . Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên .

Ví dụ : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số sau a) y = f(x) = 3x + 1

b) y = f(x) = -6x – 3.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là Với x , x_{1 2} ta có:

( )

f x =3x +1

( )

f x =3x +1

Xét

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

−

(

) (

)

2 1

3x 1 3x 1

x x

+ − +

= −

2 1

2 1

3x 1 3x 1

x x

+ − −

= −

2 1

2 1

3x 3x

x x

= −

−

(

)

2 1

3 x x

3 0

x x

= − = 

−

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên . b) Tập xác định của hàm số là

Với x , x_{1 2} ta có:

( )

f x = −6x −3

( )

f x = −6x −3

Xét

( ) ( )

2 1

f x f x

T x x

= −

−

(

) (

)

2 1

6x 3 6x 3

x x

− − − − −

= −

2 1

2 1

6x 3 6x 3

x x

− − + +

= −

2 1

2 1

6x 6x

x x

− +

= −

(

)

2 1

6 x x

6 0

x x

− −

= = − 

−

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên . III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:

a) y=3x 1+ b) y ^{3x 2}

x 1

= −

−

c) x 2

y 3x 3

= +

−

d) 1

y 4x 1 2x

= + − + x. Bài 2: Tính giá trị hàm số

a) y ^{3x 2} 2x 1

= +

+ tại x = 5

b) 1

y 4x 1 6x

x 3

= + − +

+ tại x = 0 c)

x2 2x 1

y 3x 3

+ −

= + tại x = 5 d) y=3x³ +2x−5tại x = 2.

Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x a) y= m 1x+ +3

b)

x2 3x 1

y mx 5

− −

= + .

Bài 4: Cho các điểm M(-1; 2); N(0; -3); P(4; 2) a) Biểu diễn các điểm trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Trong các điểm đã cho, điểm nào thuộc hàm số ² 1

y 2x x 3

= +2 − .

Bài 5: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho ta giác ABC, biết A(2; 5); B(-1; 1);

C(3; 1).

a) Vẽ tam giác ABC trên hệ trục tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau a) y=5x 1−

b) 1

y x 3

2

= − +

c) 2

y x 3a

= 3 + với a là tham số.

Bài 7: Chứng minh

a) y=2x−5luôn đồng biến trên . b) 2x 1

y 3

= +

− luôn nghịch biến trên .

c) y= a² +1.x+ −3 aluôn đồng biến trên .

Bài 8: Tìm m để hàm số ^{y=f x}

( )

( ) ^{( )}

f 5 2 3− =f 2 .

Bài 9: Cho tứ giác ABCD có A(-1; 2); B(-3; 0); C(2; 0); D(2; 2) a) Vẽ tứ giác ABCD trên hệ trục tọa độ

b) Coi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox; Oy là 1cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 10: Tìm m để hàm số ^{y=f x}

( )

(

)