Công thức giải bất phương trình lôgarit chi tiết nhất – Toán 12

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức giải bất phương trình lôgarit chi tiết nhất

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

- Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log x_a  b (hoặc log x_a b, log x_a  b, log xa b) với a0, a 1 .

2. Tập nghiệm của bất phương trình lôgarit cơ bản.

a. Nghiệm của bất phương trình log xa ^b, a

(

^0, a^1

)

log xa b a 1 0 a 1

Nghiệm x a^b 0 x a^b

b. Tập nghiệm của bất phương trình log xa ^b, a

(

^0, a^1

)

log xa  b a 1 0 a 1

Nghiệm _x_a^b 0 x a^b

c. Tập nghiệm của bất phương trình log xa ^b, a

(

^0, a^1

)

log xa  b a 1 0 a 1

Nghiệm 0 x a^b x a^b

d. Tập nghiệm của bất phương trình log xa ^b, a

(

^0, a^1

)

log xa  b a 1 0 a 1

Nghiệm ₀ _{x a}^b xa^b

- Chú ý: Khi giải bất phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x.

3. Một số bất phương trình lôgarit đơn giản VD1. Giải các bất phương trình sau:

a. log0,5

(

5x 10+

)

log0,5

(

x² +6x+8

)

b. 1

(

²

)

2

log x +2x−  −8 4

c. ^{3 1}

(

²

)

2

log log x 1  1

− 

 

 

Lời giải:

a. ^log0,5

(

^{5x 10+}

)

^log0,5

(

^{x2 +6x+8}

)

Điều kiện:

2

5x 10 0

x 2

x 6x 8 0 + 

   −

 + + 



Bất phương trình 5x 10+ x² +6x+8 (Vì 0,5 1 ) x2 x 2 0 2 x 1

 + −   −  

Kết hợp với điều kiện ta được −  2 x 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^{S= −}

(

^2;1

)

b. 1

(

²

)

2

log x +2x−  −8 4

Điều kiện: x² 2x 8 0 ^{x 2}

x 4

  + −     −

Bất phương trình

4

2 1 2

x 2x 8 x 2x 8 16

2

 −

 + −     + −  x2 2x 24 0 6 x 4

 + −   −  

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là ^{S= − − }



^{6; 4}

) (

^2;4



c. ^{3 1}

(

²

)

2

log log x 1  1

− 

 

  .

Điều kiện ¹

(

²

)

²

2

log x −  1 0 x −   −1 1 2 x 2 Bất phương trình ¹

(

²

)

2

log x 1 3

 − 

2 2

x 3 2

1 9 4

x 1 x

8 8 3 2

x 4

 



 −    

  −



Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là S 2; ^{3 2 3 2}; 2

4 4

   

= − −   

   

VD2. Giải các bất phương trình sau:

a. log2

(

x− +3

)

log2

(

x−2

)

1

b. log 3

(

x− −3

)

log x3

(

² −2x+ 3

)

1 c. log0,2x−log5

(

x−2

)

log0,23

Lời giải:

a. log2

(

x− +3

)

log2

(

x−2

)

1 Điều kiện: x 3

Bất phương trình log2

(

x−3 x

)(

−2

)

1

(

²

)

log2 x 5x 6 1

 − + 

2 2 x 4

x 5x 6 2 x 5x 4 0

x 1

 

 − +   − +    

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là ^S=

(

^4;+

)

b. log 3

(

x− −3

)

log x³

(

² −2x+ 3

)

1 Điều kiện: x 3

Bất phương trình 2log x3

(

− −3

)

log x3

(

² −2x+ 3

)

1

2 3 2

x 6x 9

log 1

x 2x 3

− +

 

− +

2 2

x 6x 9

x 2x 3 3

− +

 

− +

2 2 2

x 6x 9 3x 6x 9 x 0 x

 − +  − +   

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là ^S=

(

^3;+

)

c. log0,2x−log5

(

x−2

)

log0,23 Điều kiện: x 2

Bất phương trình log0,2x−log0,23log5

(

x−2

)

( )

1 5

5

log x log x 2

 3  − 5 5

( )

log 3 log x 2

 x  −

2 x 3

3 x 2 x 2x 3 0

x 1

x

 

  −  − −     −

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là ^S=

(

^3;+

)

VD3. Giải các bất phương trình sau:

a. log x²₃ −5log x₃ + 6 0

b. 1 2

5 log x +1 log x 1

− +

c. 4log x 33log 4 1₄ − _x 

Lời giải:

a. log x²₃ −5log x₃ + 6 0 Điều kiện x 0

Đặt t=log x₃ . Bất phương trình trở thành:

t2 − +    5t 6 0 2 t 3

Với 2   t 3 2 log x₃    3 9 x 27

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là ^S=



^9;27



b. 1 2

5 log x +1 log x 1

− +

Điều kiện: ^{x0; log x  −}



^1;5



Đặt ^{t=log x, t −}



^1;5



. Bất phương trình trở thành:

2

1 2 11 t

1 1 0

5 t 1 t t 4t 5

+   − − 

− + − + +

2 2

t 5t 6 t 4t 5 0

 − + 

− + + Xét ^{f t}

( )

^t2₂ ^{5t 6}

t 4t 5

= − +

− + + . Ta lập bảng xét dấu ^{f t}

( )

t2 − + =  =5t 6 0 t 2; t =3 t2 4t 5 0 t 1; t 5

− + + =  = − =

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ^{f t}

( )

   − − ^{0 t}

(

^{; 1}

) ( ) (

^2;3  ^5;+

)

Với ^t

(

^{; 1}

)

^{log x 1 0 x 1}

 − −   −   10

Với ^t

( )

^{2;3  2 log x 3 100 x 1000}

Với ^t

(

^{5;+ }

)

^{log x  5 x 105}

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^{S 0; 1}

(

^{10 ;102 3}

) (

^{10 ;5}

)

10

 

=   +

VD4. Giải bất phương trình: ₁

3

log x 3x

Lời giải:

1 3

log x 3x Điều kiện: x 0

Xét hàm số

( )

1 3

f x =log x−3x Ta có: ^{f ' x}

( )

¹ ₁ ^{3 0 x 0}

x.ln3

= −    ^{f x}

( )

nghịch biến

Do vậy với ^{x 1 f x}

( )

^{f 1 0}

3 3

      =

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S ;¹ 3

 

= −  4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a. log8

(

4−2x

)

2

b. 1

( )

1

( )

3 3

log 3x+2 log x−2 c. ^log2

(

^{x2 −2x}

)

^3

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a. ^log2

(

^{2− −x x2 − 1}

)

¹

b. ^log ₅

(

^{6x 1+ −36x}

)

^2

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a. log²_0,2x−5log_0,2x −6 b.

2 2

1 3

3 log x +1 log x 2

− +

c. ¹

(

²

)

⁵

( )

5

log x −6x 18+ +2log x−4 0 Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a. _{1 2} ²

3

log log x   0 b. log x₂  −6 x