Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Hoạt động 1 trang 86 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b.

Lời giải:

a^x ≥ b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1 b ≤ 0

b > 0 [logab ; +∞) (-∞; logab]

a^x < b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b ≤ 0 Vô nghiệm Vô nghiệm

b > 0 (-∞; logab) (logab ; +∞)

a^x ≤ b

Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1

b ≤ 0 Vô nghiệm Vô nghiệm

b > 0 (-∞; logab] [logab ; +∞)

Hoạt động 2 trang 87 Toán lớp 12 Giải tích: Giải bất phương trình

x x

2 2^  3 0. Lời giải:

Đặt t = 2^x (t > 0)

Khi đó: 2^x 2^x  3 0

 1

t 3 0

  t

 t² + 1 – 3t < 0 (do t > 0)

3 5 3 5

2 t 2

 

  

3 5 x 3 5

2 2 2

 

  

2 2

3 5 3 5

log x log

2 2

 

  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S log₂ ^{3 5};log₂^{3 5}

3 2

   

  

 .

Hoạt động 3 trang 88 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình logax ≥ b, logax < b, logax ≤ b.

Lời giải:

logax ≥ b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm x ≥ a^b 0 < x ≤ a^b

logax < b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm 0 < x < a^b x > a^b

logax ≤ b a > 1 0 < a < 1

Nghiệm 0 < x ≤ a^b x ≥ a^b

Hoạt động 4 trang 89 Toán lớp 12 Giải tích: Giải bất phương trình

   

1 1

2 2

log 2x 3 log 3x 1 . Lời giải:

ĐKXĐ: ^{2x 3 0} 3x 1 0

  

  



x 3 2 x 1

3

  

   



x 1

  3

Khi đó: 1

 

 

2 2

log 2x 3 log 3x 1

 2x + 3 < 3x + 1 (do 1 20)

3x – 2x > 3 – 1

 x > 2

Kết hợp với điều kiện ta được x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =





Bài tập

Bài 1 trang 89 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các bất phương trình mũ:

a) 2^{ x2 3x} 4; b)

2x2 3x

7 9

9 7

   

   ; c) 3^{x 2} 3^{x 1} 28; d) 4^x 3.2^x  2 0. Lời giải:

a) 2^{ x2 3x} 4

x2 3x 2

2^{ } 2

 

x2 3x 2

    (do 2 > 1) x2 3x 2 0

    

x 1 x 2

 

  

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =



 



b)

2x2 3x

7 9

9 7

   

  

2x2 3x

9 1 9

7 7

 

  

    

2x2 3x 1

9 9

7 7

 

   

      2x2 3x 1

    (do ⁹ 1 7  ) 2x2 3x 1 0

    

1 x 1

  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ¹;1 2

 

   . c) 3^{x 2} 3^{x 1} 28

x 2 x 1

3 .3 3 .3^ 28

  

x 1 x

9.3 .3 28

 3  28 x

.3 28

 3  3x 3

  x 1

  (do 3 > 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =





d) 4^x 3.2^x  2 0

 

   

 

    (*) Đặt t = 2^x (t > 0)

Khi đó: (*)  t² – 3t + 2 > 0 t 1

t 2

 

   Do đó:

x x 0

x x 1

2 1 2 2 x 0

x 1

2 2 2 2

     

 

     

 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (-∞; 0)  (1; +∞).

Bài 2 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) log 4 2x8





b) 1

 

 

5 5

log 3x 5 log x 1 ; c) log0,2xlog x5





Lời giải:

a) log 4 2x8





2x 64 4

   

2x 60 x 30

     

Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (-∞; -30].

b) 1

 

 

5 5

log 3x 5 log x 1 (2)

ĐKXĐ:

3x 5 0 x 5 5

3 x

x 1 0 3

x 1

   

   

   

   

Khi đó: (2)  3x – 5 < x + 1 (do 0 ¹ 1

 5 )

 3x – x < 1 + 5

 2x < 6

 x < 3

Kết hợp với điều kiện ta được ⁵ x 3 3  

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ⁵;3 3

 

 

 . c) log0,2xlog x5





ĐKXĐ: ^{x 0} x 2

x 2 0

 

    



Khi đó: (3) 1 5

 

5 5

log x log x 2 log 3

   

 

1 5 1

5 5

log  x log x 2 log  3

   

 

5 5 5

log x log x 2 log 3

     

 

5 5 5

log x log x 2 log 3

   

 

 

5 5

log x x 2 log 3

  

 x(x – 2) > 3 (do 5 > 1)

 x² – 2x – 3 > 0

x 1

x 3

  

  

Kết hợp với điều kiện ta được: x > 3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (3; +∞).

d) log x²₃ 5log x₃  6 0 (4) ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (4) 





Ta được t² – 5t + 6  0

2 t 3

  

Khi đó: 2log x₃ 3

2 3

3 x 3

   9 x 27

   (tm đk)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [9; 27].