Bài giảng phương trình mũ và bất phương trình mũ - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ.

+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.

 Kĩ năng

+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số.

+ Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình mũ a = b^x

+ Nếu b0 thì phương trình có nghiệm duy nhất xlog_ab . + Nếu b0 thì phương trình vô nghiệm.

Đặc biệt: Phương trình a^x a^y  x y (biến đổi về cùng cơ số).

Dạng 1: Phương trình có dạng a^{f x }a^{g x }. + Nếu a1 thì a^{f x }a^{g x } nghiệm đúng với mọi x.

+ Nếu 0 a 1 thì ^{f x}

 

^{g x}

 

^.

Dạng 2: Phương trình có dạng a^{f x }b (với 0 a 1,b0)

 

 

^{log b.}

f x

a  b f x  a 2. Bất phương trình mũ

Dạng 1: Bất phương trình có dạng ^{af x  ag x . 1}

 

+ Nếu a1 thì

 

^{1  f x}

 

^{g x}

 

^.

+ Nếu a1 thì (1) nghiệm đúng  x . + Nếu 0 a 1 thì

 

^{1  f x}

 

^{g x}

 

^.

Dạng 2: Bất phương trình có dạng a^{f x }b (với b0). (2) + Nếu a1 thì

 

²  f x

 

^{log .}ab

+ Nếu 0 a 1 thì

 

²  f x

 

^{log .}ab

Dạng 3: Bất phương trình có dạng ^{af x b. 3}

 

+ Nếu b0 thì (3) nghiệm đúng  x . + Nếu b0,a1 thì

 

³  f x

 

^{log .}ab

TOANMATH.com Trang 2 + Nếu 0 a 1 thì

 

³  f x

 

^{log .}ab

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

1 a

0 b

0 b

a

x

 b

   

f x g x

a a

 

a

f x

 b

Phương trình có nghiệm xlog_ab

 

  ^{log b}

f x

a   b f x 

a

   

   

f x g x

a  a  f x  g x

Phương trình nghiệm đúng với mọi x

Phương trình vô nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1, 0 a a

0 1

0 a b

 



BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 



⁰



af x b b





 

af x b

 

 

^log

f x

a  b f x  ab

 

 

^log

f x

a  b f x  ab

Tìm điều kiện để ^{f x}

 

^có

nghĩa

 

 

^log

f x

a  b f x  ab

 

 

^log

f x

a  b f x  ab 0

b

0 b

0 a 1

1 a 1

a

0 a 1

TOANMATH.com Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Phương trình mũ

Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ^{2 4} 1

2 16

x x  là

A. 0. B. 2. C. 6. D. 1.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có ^{2 4} 1 ² ₂ 1 ² 1

2 4 log 0 .

0

16 16

x x x

x x x x

x

            

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Cách 2: Ta có: ^{2 4 4 2 2} 0

2 2 4 4 0 .

1

x x x

x x x x

x

    

            Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình

2 12 3

25 27

0,6 9 125

x x

    

   

    là

A. -8. B. 1

2. C. 1. D. 0.

Hướng dẫn giải Ta có:

2 12 3 22 24 9

25 27 3 5 3

0,6 .

9 125 5 3 5

x x x

x

 

         

         

         

2 2

24 2 9 24 2 9

2

3 3 3 3 3 3

. 2 24 9 5.

5 5 5 5 5

2

x x x x x

x x

x

    

          

                       

 Vậy tổng các nghiệm là 1

2. Chọn B.

Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5^x2x215.3^{2x2 x 1} là A. 1

2.

 B. 3

2. C. 3

2.

 D. 1

2. Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2 2

2

2 1

2 1

2 1 2 1

2 1

5 5 5 5

3.5 5.3

3 3 3

3

x x

x x

x x x x

x x

  

 

    

  

       

TOANMATH.com Trang 4

2

0

2 1 1 1

2 x x x

x

 

     

  .

Vậy tổng các nghiệm là 1. 2 Chọn D.

Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình



^{3 2 2}



^{x2 x 2  }



^{3 2 2}



^{x32. Tìm T.}

A. T 0. B. T  2. C. T  1. D. T 1.

Hướng dẫn giải

Nhận xét:



3 2 2 3 2 2

 

1 3 2 2 ¹



3 2 2



¹, 3 2 2

        

 nên



^{3 2 2}



^{x2 x 2 }



^{3 2 2}



^x32



^{3 2 2}



^{x2 x 2  }



^{3 2 2}



^2x3

2 3 3 2

0

2 2 0 1 5.

2 x

x x x x x x

x

 

           



Do đó tích tất cả các nghiệm là 0.

Chọn A.

Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số mũ Phương pháp giải

Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.

Ta thường gặp các dạng sau:

 m a. ^{2f x }n a. ^{f x } p 0

 m a. ^{f x }n b. ^{f x } p 0 , trong đó .a b1 . Đặt t a ^{f x },t0 suy ra ^{ } 1

f x . b t

 ^{m a. 2f x n a b. .}

 

^{f x p b. 2f x  0}. Chia hai vế cho b^{2f x } và đặt

 

0.

a f x t b

   

  

 Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt a^x t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là tham số, tìm mối quan hệ x và t.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4^x25.2^x2 4 0 là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: ^{4x25.2x2  4 0}

 

^{22 x2 5.2x2 4 0}

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn 2 .^x2

TOANMATH.com Trang 5

 

^{2 2 2 5.2 2 4 0 222 1 22 0}₂ ⁰₂^.

2 4

x

x x

x

x x

x x

     

          

Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình 3^1x3^1x 10 có hai nghiệm x x₁; ₂. Khi đó giá trị biểu thứcP x ₁ x₂2x x_{1 2} là

A. 0. B. -6. C. -2. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: ^{31 x 31 x 10 3.3x} ₃³x ^{10 3. 3}

 

^{x 2 10.3x 3 0}

          

3 3 1

1 1.

3 3

x

x

x x

   

     

Vậy P 2.

Chọn C.

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn 3 .^x

Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình



^{2 1}

 

^{x 2 1}



^{x2 2 0 là}

A. 2. B. -1. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có



^{2 1}



^{2 1  }



^{1 2 1 } _{2 1}¹_ nên phương trình thành

   

²

 

1 2 1 2 2 0 2 1 2 2 2 1 1 0

2 1

x x x x

            

    

 

 

 

2 1 1 2 1

1.

2 1 2 1

x

x

x x

     

       

Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1.

Chọn B.

Nhận xét:



^{2 1}



^{2 1 }



¹

2 1 1

   2 1



Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc hai ẩn



^{2 1}



^x.

Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3.4^x111.6^x 2.9^x 0. . Tìm S.

A. S  1 log 3.₂ B. S 1 log 2.₃

C. ₂

3

1 2log 2.

S   D. S1.

Hướng dẫn giải

Ta có: 3.4^x111.6^x2.9^x  0 12.4^x11.6^x2.9^x 0 Chia 2 vế cho 4^x đưa về phương trình bậc hai ẩn

TOANMATH.com Trang 6

6 9 3 2 3

12 11. 2. 0 2. 11. 12 0

4 4 2 2

x x

x x

x x

   

             

2 3

3 2

3 4 log 4 log 4

2 .

3 3 1 1

2 2

x

x

x x

x x

  

       

  

        

Vậy ₂

3

1 2log 2.

S   Chọn C.

là 3 2 .

 x

  

Ví dụ 5. Phương trình



^{3 5}

 

^{x  3 5}



^{x 3.2x} có hai nghiệm x x₁; ₂. Giá trị biểu thức A x ₁²x₂² bằng bao nhiêu?

A. 9. B. 13. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Nhận xét



^{3 5 3}



^{ 5}



^{ 4 3}₂ ^{5 3. }₂ ^{5  1 3}₂ ^{5  }_^3₂ ^5_^1.

  Do đó:

3 5 3 5 3 3 5 2 3. 3 5 1 0

2 2 2 2

x x x x

               

       

       

       

3 5 3 5

2 2 1

1.

3 5 3 5

2 2

x

x

x x

   

  

   

       

Vậy A2.

Chọn D.

Ta có

3 5 3 5 1

2 2

 

 

   Chia 2 vế cho 2^x đưa về phương trình bậc hai ẩn là 3 5

2 .

  x

 

 

 

Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực ^3.4x



^{3x10 .2}



^{x   3 x 0 là} log2 a,

S b với a

b là phân số tối giản. Giá trị của a b bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải

   

²

^{ }

3.4^x 3x10 .2^x    3 x 0 3. 2^x  3x10 .2^x  3 x 0 Đặt ^{2x t t}



^{0 ,}



phương trình trở thành ^3t2



^3x10



^{t  3 x 0}

Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t2^x và tham số x.

TOANMATH.com Trang 7 Giải phương trình theo tham số x ta được

 

1 2 1

3 3

2 3 *

3

x

x

t t x x

   

 

 

    

 

 Giải phương trình (*), ta có: 2^x  x 3 0.

Đặt f x

 

^2x x ^{3, '}f x

 

2 ln 2 1 0,^x    x  nên phương trình ^{f x}

 

^0 có tối đa một nghiệm.

Mà ^f

 

^{1 0} nên phương trình ^{f x}

 

^0 có nghiệm duy nhất x1 . Tóm lại phương trình có nghiệm ₁ log₂1; ₂ 1

x  3 x  nên log₂1 1 log₂2.

3 3

S   

Do đó a2,b3 suy ra a b 5.

Chọn D.

Bài toán 3. Lấy logarit hai vế Phương pháp giải

Cho 0 a 1và ,x y0 ta có x y log_axlog_a y

 Phương trình ^{ }

 

0 1, 0

log .

f x

a

a b

a b

f x b

  

   

 Phương trình a^{f x }b^{g x }^logaa^{f x }^logab^{g x }  f x

 

g x

 

^.logab hoặc ^logba^{f x } ^logbb^{g x }  f x

 

^.logba g x

 

^.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 .3^{x2 x} 1. Tìm S.

A. Slog 3.₇ B. Slog 7.₃ C. S log 3. ₂ D. Slog 2.₃ Hướng dẫn giải

Ta có:

 

2 2 2

3 3 3 3

7 .3^{x x}  1 log 7 .3^{x x} log 1log 7^x log 3^x 0

 

2

3 3

7 3

0

.log 7 0 log 7 1 0 1 log 3.

log 7 x

x x x x

x

 

         



Vậy tổng các nghiệm là Slog 3.₇ Chọn A.

Lấy logarit cơ số 3 hoặc cơ số 7 hai vế.

Ví dụ 2. Phương trình

2 1

3 .5 15

x

x x



 có một nghiệm dạng x log_ab, với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P a 2b bằng bao nhiêu?

TOANMATH.com Trang 8 A. P8. B. P5. C. P13. D. P3.

Hướng dẫn giải Ta có:

2 1

2 1 1 1

1 1

3

3 .5 15 3 .5 1 3 .5 1 log 3 .5 0

3.5

x x xx x x

x x x x x x

   

   

       

 

1 1

3 3 3

log 3 log 5 0 1 1.log 5 0

x

x x x

x x



 

      

 

3

3

1 1

1 . 1 .log 5 0 .

log 5 x x

x x

 

 

        Vậy a3,b5 suy ra a2b13.

Chọn C.

Bài toán 4. Đặt nhân tử chung Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11^x253^x 23^x 2 là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2.11^x253^x 23^x  2 2.11^x11 .23^{x x}23^x 2 0

   

2 11^x 1 23 11^{x x} 1 0

    



^{2 23x}



^{11x 1}



⁰

   

11^x 1 0

   (vì 2 3 ^x   0, x ^{) x 0.}

Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình 2^x2x4.2^x2x2^2x 4 0 có số nghiệm nguyên dương là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2^x2x4.2^x2x 2^2x  4 0 2^x2x.2^2x 4.2^x2x2^2x 4 0

       

2 2 2 2 2

2^{x x}. 2 ^x 4 2 ^x 4 0 2 ^x 4 2^{x x} 1 0

        

2 2

2

2 4 2 2 1

0 0.

2 1

x x x

x x

x x x



     

      

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Chọn B.

Bài toán 5. Phương pháp hàm số

TOANMATH.com Trang 9 Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

 

^{a b;} thì có tối đa một nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^{k trên}

 

^{a b; và f u}

 

^{ f v}

 

^{  u v u v, , }

 

^{a b; .}

Tính chất 2. Nếu hàm số ^{y f x}

 

liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số ^{y g x}

 

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

   

f u  f v  u v (hoặc u v ) ,u v D,  . Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Phương trình 3^x  5 2x có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: 3^x  5 2x3^x 2x 5 0

Đặt ^{f x}

 

^{3x2x5, ta có} f x

 

3 ln 3 2 0,^x    x  nên phương trình

 

⁰

f x  có tối đa một nghiệm.

Mà ^f

 

¹ ⁰ nên phương trình ^{f x}

 

⁰ có nghiệm duy nhất là x1.

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 2. Phương trình 2^x5^x  2 5x có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2^x 5^x  2 5x5^x2^x5x 2 0

Đặt ^{f x}

 

^{5x2x5x2, ta có} f x

 

5 .ln 5 2 ln 2 5^x  ^x  Xét f x

 

 ⁰ 5 .ln 5 2 ln 2 5 0^x  ^x  

Ta có f

 

x 5 .ln 5 2 ln 2 0,^{x 2}  ^{x 2}   x  nên phương trình ^{f x}

 

^{0 có}

tối đa một nghiệm.

Vì _x^lim_ ^{f x}

 

^{ 5 và} _x^lim_ ^{f x}

 

^{ } nên phương trình ^{f x}

 

^{0 có duy}

nhất một nghiệm x x ₀.

Do đó, phương trình f x

 

0 có tối đa hai nghiệm.

TOANMATH.com Trang 10 Mà

 

 

^{10 00}

f f

 

 

 nên phương trình có hai nghiệm x0 hoặc x1.

Chọn D.

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 2^23x3.2^x2^10x2 23x³10x²x gần bằng số nào dưới đây?

A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45.

Hướng dẫn giải

Ta có 2^23x3.2^x2^10x223x³10x² x 2^23x3x23x³ x 2^10x210x² Đặt ^{f t}

 

^{ 2t t, ta có} f t

 

2 .ln 2 1 0,^t    t .

Mà ^f



^23x3x

 

^{ f 10x2}



^{nên 23 3 10 2} 5 ⁰ 2^. 23 x

x x x

x

 

    



Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 10. 23 Chọn B.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

33m27 33 m27.2^x 2^x có nghiệm thực?

A. 6. B. 4.

C. Vô số. D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Ta có ^33m^{27 33 m}^27.2x ^2x ^{27 33 m}^27.2x ^23x^{3 .m}

 

¹

Đặt 2^x u, điều kiện: u0 và ^{33m27.2x  v v33m27. .u}

 

²

(1) trở thành ^{u3 27v3 .m}

 

³

Từ (3) và (2) suy ra ^{u327v v 327u}



^{u v}



^.



^{u2uv v 227}



^0

.

 u v Do

2 2

2 2 1 3

4 27 0, , ,

2 4

u uv v  u v  v   u v nên

3

3 27

3 27 ,

3

u u

m u u  m  với u0.

Xét hàm số

 

^{3 27}

3

u u

f u   với u0.

Ta có ^{f u}

 

^1₃



^{3u327 ;}



^{f u}

^{ }

^{  0 u 3 do u0.}

TOANMATH.com Trang 11 Suy ra

^min_0; ^{f u}

 

^{ 54.} Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm thực.

Chọn C.

Bài toán 6. Phương trình chứa tham số Phương pháp giải

Bước 1. Đặt ^{t a t x}



^{0 ,}



chuyển phương trình ban đầu về phương trình ẩn t.

Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết.

Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có

Ví dụ 1. Cho phương trình 4^xm.2^x12m0.

Biết rằng khi m m ₀ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂3. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m₀ là số nguyên âm.

B. m₀ là số nguyên tố.

C. m₀ là số lẻ.

D. m₀ là số chính phương.

Hướng dẫn giải Ta có:

 

²

^{ }

4^xm.2^x12m 0. 2^x 2 .2m ^x2m0 1 Đặt t2 ,^x t0, phương trình thành

 

2 2 2 0 2 .

t  mt m

Ta thấy rằng ứng với một giá trị t0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm

1, 2

x x thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

2 1 0

t  t đồng thời

1 2 3

1 2 3 2^{x x} 2 1 2. 8.

x x   ^  t t  Từ đó, ta có điều kiện

0 4 2 8 0

0 2 0 4.

8 2 8

m m

S m m

P m

    

     

 

   



Vậy m₀4 là một số chính phương.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình

TOANMATH.com Trang 12 nghiệm thuộc



x x1; 2



ta giải như sau:

Bước 1. Đặt t a t ^x, 0 vì ^x



^{x x1; 2}



^{ t}



^{a ax1; x2}



^.

Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m chuyển về dạng ^{f t}

 

^m

Bước 3. Xét hàm ^{f t}

 

^: tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận.

9^x2.3^x  3 m 0 có nghiệm thuộc



^0;



^.

Đặt ^{3x t t,}



^{0 .}



^{Vì x}



^0;



^{nên t }



^1;



^.

Phương trình trở thành:

2 2 3 0 2 2 3.

t     t m m t  t

Xét hàm số ^{f t}

 

^{  t2 2t 3} trên khoảng



^1;



^.

Có ^{f t}

 

^{    2t 2 0 t 1.}Ta có bảng biến thiên

t 1 

 

f t +

 

f t



2

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4^x m.2^x2m 5 0 có hai nghiệm trái dấu?

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Ta có ^{4xm.2x2m  5 0}

 

^{2x 2m.2x2m 5 0}

Đặt t2 ,^x t0, phương trình thành ^{t2mt2m 5 0 2 .}

 

Đặt ^{f t}

 

^{ t2 mt2m5}

Nhận xét rằng với một giá trị t0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm x₁ 0 x₂ thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

2 1 0

t  t đồng thời t₁ 1 t₂ (vì 2^x1 2⁰ 2^x2). Từ đó, ta có:

 

 

 

2 2 8 20 0

0 4 2 5 0

0 2 5 0 5 5

2 4.

0 0 2

1. 0 1. 1 2 5 0 0

4

m m

m m

P m m

S m m

f t m m m

m

          

  

      

     

    

   

        

  



Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Chọn C.

TOANMATH.com Trang 13 Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

2^x 3 m 4^x1 * có nghiệm duy nhất?

A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Đặt t2 ,^x t0, phương trình

 

^{* 3 2 1} ₂ ³

 

^{1 .}

1

t m t m t

t

      

 Xét hàm số

 

₂ ³

1 f t t

t

 

 xác định trên tập ^D



^0;



^.

Ta có

 



^{2 1 31}



^{t2 1.}

f t t t

  

  Cho

 

^{0 1 3 0 1.}

f t      t t 3 Bảng biến thiên

x  0 1

3 

y + 0 

y 10

3 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1 m 3 hoặc m 10 phương trình có nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m.

Chọn D.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

1 1

2.4 ^x 5.2 ^x  m 0, * có nghiệm?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 4.

Hướng dẫn giải

Đặt t2 ^x1, điều kiện 1

t 2 vì x   1 1.

Khi đó

 

^{* 2t2  5t m.}

Xét hàm số y 2t²5t trên 1

; .

2

  

 

Ta có y   4t 5. Cho 0 4 5 0 5. y      t t 4

x  1

2 5

4 

y + 0 

TOANMATH.com Trang 14 y

25 8 2



Do đó phương trình có nghiệm khi 25. m 8 Chọn A.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình ^{3x 30x}

 

^{1 và x k 0 2}

 

có nghiệm chung là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 2: Phương trình 3^{x3 9x 4} 81có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 3: Phương trình



^{6 35}

 

^{x 6 35}



^{x 12} có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 4: Phương trình 2 .5^{x2 x} 40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 5: Phương trình 3^x2666661 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 6: Phương trình 4^x10.2^x16 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 7: Cho phương trình 3^{x2 4x 5}9.Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là

A. 28. B. 27. C. 26. D. 25.

Câu 8: Cho phương trình 3^{x2 3x 8} 9^2x1,khi đó tập nghiệm của phương trình là

A. ^{S }

 

^{2;5 . B. 5 61; 5 61 .}

2 2

S     

  

 

 

C. 5 61 5 61

; .

2 2

S    

  

 

  D. ^{S  }



^{2; 5 .}



Câu 9: Phương trình

1 1

3 9. 4 0

3

x x

  

      có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Câu 10: Cho phương trình ²

28 4 3 1

2 ^x 16^{x }.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

TOANMATH.com Trang 15 D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 11: Phương trình ^{28x2.58x2 0,001. 10}

 

^{5 1x}có tổng các nghiệm là

A. 7. B. -7. C. 5. D. -5.

Câu 12: Phương trình 9^x5.3^x 6 0 có nghiệm là

A. x1,xlog 3.₂ B. x 1,xlog 2.₃ C. x1,xlog 2.₃ D. x 1,x log 2.₃ Câu 13: Cho phương trình 4.4^x9.2^x1 8 0. Gọi x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x x₁. ₂ bằng

A. -1. B. 2. C. -2. D. 1.

Câu 14: Cho phương trình 4^x4^1x 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4^2x3.4^x 4 0.

B. Phương trình có một nghiệm.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 15: Nghiệm của phương trình 2^x2^x13^x3^x1 là

A. ₃

2

log 3.

x 4 B. x1. C. x0. D. ₄

3

log 2. x 3

Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4^x 13.6^x6.9^x 0 là A. ^x

 

^{0;1 . B. 2 3}; .

x 3 2

  

  C. ^{x }



^{1;0 .}



^{D. x }

 

^{1;1 .}

Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3^x3.15^x5^x120 là

A. xlog 3 1.₅  B. xlog 5.₃ C. xlog 5 1.₃  D. xlog 5 1.₃  Câu 18: Phương trình 9^x5.3^x 6 0 có tổng các nghiệm là

A. log 6.₃ B. ₃2 log .

3 C. ₃3

log .

2 D. log 6.₃

Câu 19: Phương trình 5^x25^1x 6 có tích các nghiệm là A. log₅ 1 21 .

2

  

 

 

  B. log₅ 1 21 . 2

  

 

 

  C. 5. D. 5log₅ 1 21 .

2

  

 

 

 

Câu 20: Phương trình



^{7 4 3}

 

^{x  2 3}



^{x 6} có nghiệm là

A. ^xlog^{2 3}^{2. B.} xlog 3.² C. ^{xlog 22}



^{ 3 .}



^{D. x1.}

Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4^{x2 3x 2}4^{x2 6x 5}4^{2x2 3x 7}1.

A. x  



5; 1;1; 2 .



B. ^{x  }



^{5; 1;1;3 .}



^C. x  



5; 1;1; 2 .



D. x



5; 1;1; 2 .



Câu 22: Phương trình



^{3 2}

 

^{x 3 2}

  

^{x  10 x} có bao nhiêu nghiệm thực?

TOANMATH.com Trang 16

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 23: Cho phương trình 2^cos2x4.2^sin2x 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số nghiệm.

Câu 24: Phương trình x.2^xx² 2 2^x13x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?

A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 25: Phương trình



^{5 2}

 

^{x 3 2}

  

^{x  7 x} có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 0. C. 3. D. 2.

Câu 26: Phương trình ^{32x2 3x}



^{x 1}



^{4.3x 5 0} có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 27: Phương trình 2^x33^{x2 5x 6} có hai nghiệm x x₁, ₂ trong đó x₁x₂ hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3x₁2x₂log 54.₃ B. 2x₁3x₂log 8.₃ C. 2x₁3x₂ log 54.₃ D. 3x₁2x₂ log 8.₃ Câu 28: Phương trình ^{4sin2x4cos2x 2 2 sin}



^xcosx



có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn



^{0;15 ?}



A. 3. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 9^x4.3^x127^m21 có hai nghiệm phân biệt. Tổng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. 1. B. -3. C. 2. D. -4.

Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình



^{2 3}

 

^{x 2 3}



^{x m} có hai nghiệm phân biệt?

A. m2. B. m2. C. m2. D. m2.

Câu 31: Gọi x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình 2^x242² ^x21  2²^x222^x231. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?

A. -2. B. 2. C. 0. D. 1.

Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình

2 2

3 .51 15,

x m

x x m m

 

   là tham số khác 2.

A. S 



2; log 5 .m 3



B. S



2;mlog 5 .3



C. ^S

 

^{2 . D.} S 



2;mlog 5 .3



Câu 33: Biết rằng phương trình ^{2 1 1} 3 3 .25

25

x  x  có đúng hai nghiệm x x₁, .₂ Tính giá trị của

1 2

3^x 3 .^x

P 

A. 26 5 .

P B. P 26. C. P26. D. 26

25. P Câu 34: Phương trình ^{2x12x2x }



^x1



² có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

TOANMATH.com Trang 17 Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017^sin2x 2017^cos2x cos 2x trên đoạn

 

^{0; .}

A. T  . B. .

T 4 C. .

T 2 D. 3

4 . T  

Câu 36: Biết rằng phương trình ^3x21



^{x21 3}



^x11 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng

A. 2. B. 0. C. 8. D. 8.

Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9^x2.3^x1 m 0 có hai nghiệm thực x x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂1.

A. m6. B. m 3. C. m3. D. m1.

Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4^x m.2^x12m0 có hai nghiệm thựcx x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂2.

A.m4. B. m3. C. m2. D. m1.

Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2017^2x12 .2017m ^x m 0 có hai nghiệm thựcx x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂1.

A. m0. B. m3. C. m2. D. m1.

Câu 40: Cho phương trình



^m^{1 16}



^x^{2 2}



^m^{3 4}



^x^6m ^{5 0} với m là tham số thực. Tập các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng

 

^{a b; . Tính} P ab .

A. P4. B. P 4. C. 3

P .

 2 D. 5

6. P

Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ^9x



^{m1 3}



^x2m0 có nghiệm duy nhất.

A. m 5 2 6. B. m0;m 5 2 6.

C. m0. D. m0;m 5 2 6.

Câu 42: Cho phương trình 4^{x2 2x 1}m.2^{x2 2x 2}3m 2 0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

A. m1. B. m1;m2. C. m2. D. m2.

Câu 43: Cho phương trình m.2^{x2 5x 6}2^1x2 2.2^{6 5 x}m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 44: Cho phương trình ^{251 1 x2 }



^{m2 5}



^{1 1 x2 2m 1 0}với m là tham số thực. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là

A. m20. B. m35. C. m30. D. m25.

Dạng 2: Bất phương trình mũ

TOANMATH.com Trang 18 Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Giải bất phương trình



^{3 1}



^{x1 4 2 3}

Hướng dẫn giải

Ta thấy^{a 3 1 }

 

^0;1 nên ta có: x 1 log 3 1_



4 2 3



    x 1 2 x 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



^;1



Chọn D.

Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2^2x12^2x22^2x3448 là

A. 9

; . 2

 

 

  B. 9

; .

2

 

   C. 9

; .

2

  

 

  D. 9

; .

2

 

  Hướng dẫn giải

Ta có: 1 ² 1 ² 1 ² 7 ^{2 2}

.2 .2 .2 448 .2 448 2 512

2 4 8 8

x x x  x   x 

2

2 log 512 2 9 9.

x x x 2

     

Chọn B.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2^x2^x22^x43^x3^x23^x4 là

A. ₂

3

;log 13 .

T  3 

  

  B. ₂

3

log 13; .

T  3 

  

 

C. ₂

3

;log 13 .

T  3 

  

  D. ₂

3

log 13; .

T  3 

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 91 2 13

2 4.2 16.2 3 9.3 81.3 21.2 91.3 .

3 21 3 3

             

x x

x x x x x x x x

x

Vì cơ số ²

 

^0;1

a 3 nên bất phương trình thành ₂

3

log 13. x 3

Chọn A.

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình



^{5 2}

 

^{x2x1 5 2}



^{x là}

A.



^{  ; 1}

  

^{0;1 . B.}



^{1; 0 .}



C.



^{  ; 1}

 

^0;



^{. D.}



^1;0



^{ }



^1;



^.

Hướng dẫn giải

Ta thấy



^{5 2}



^{5 2}



^{ 1 5 2 }



^{5 2}



^1 nên bất phương trình thành